三视图与球内组合体

第四讲 三视图与球内组合体

方法：三视图还原几何体的两种方法：一是以俯视图为依托，观察顶点位置，作出几何体直观图；二是把几何体放在正方体中结合三视图还原几何体。

球内组合体的处理：必须掌握各面积或体积公式，长方体的对称线与球的直径关系；作底面再作高，寻找直径或半径关系（注意重要的直角三角形）。

基础典题

1(直观图的画法).如图斜二测画法中，O A B '''?是OAB ?的水平放置的直观图，其

中O A O B ''''=，则OAB ?的面积是______。

变式必做：如图直观图，////,//A B C D x A D y ''''''''，则原四边形ABCD 的图形是

_________。

2(柱体三视图).如图某几何体三视图，其正视图与俯视图都是矩形，侧视图是

平行四边形，则该几何体的表面积是________.

变式必做：某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是扇形,则

该几何体的体积为( )

(A)4π (B)2π (C) (D)

3 (锥体三视图).多面体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等

腰直角三角形,正视图为直角梯形,则此多面体最长的一条棱长为 .

变式必做：已知如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积

为( )

A 。24π

B 。6π

C 。4π

D 。2π

4（球及旋转体的三视图）.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆

中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是283

π，则它的表面积是 A 。17π B 。18π C 。20π D 。28π

变式必做：如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，

该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）

A. 90π

B. 63π

C. 42π

D. 36π

5（组合体的三视图）. 几何体的三视图(单位：cm)如图所示，

则此几何体的表面积是( )

A ．90 cm 2

B ．129 cm 2

C ．132 cm 2

D ．138 cm 2

变式必做1：如图线是某几何体的三视图，则该组合体的体积为_______.

变式必做2：.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视

图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

变式必做3：一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石

材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6(球与正方体的位置关系)。就以下三种情况：球与球的内接正方体，球与球的外切正方体，球与球的外切棱正方体。分别指出球与对应正方体的表面积与体积之比分别为多少？

变式必做1：圆柱及其内切球表面积与体积之比各为多少？

变式必做2：半球内放置一正方体，则半球的体积与正方体体积之比为_____。

7（内接棱锥）.半径为R 的球的内接正四面体的体积是_______。

变式必做1：半径为2的球有一个内接正四棱柱，正四棱柱的底面边长为2，则该四棱柱的体积为_______。

变式必做2：已知矩形ABCD 的顶点都在半径为2的球O 的表面上，且过点D 作DE 作垂直于面ABCD 交球O 于点E ，则棱锥E-ABCD 的体积为________。

8(构造内接长方体).S ，A,B,C 都在一个球面上，且SA=1,SB SC =

=且两两相垂直，则S-ABC 的

外接球的表面积为______.

变式必做1.已知体积为的长方体的八个顶点都在球O 的表面上，在这个长方体经过同一个顶点的三

个面中，有两个面的面积分别是O 的体积是（ ）

A.

223π B. 3 C. 332π D. 2

变式必做2.三棱锥A-BCD 中，侧棱AB,AC,AD 两两垂直，△ABC,△ACD,△ABD 的面积分别为

2

6,23,22，则此三棱锥的外接球的表面积为_________.

9．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( ) A.

26 B.36 C.23 D.22

变式必做.以单位正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的点A 为顶点作单位球，则球面正方体的各面的交线的弧长为_____。

培优题典

1（求三视图中的面积）.某简单几何体的正视图与俯视图都是边长为1的正方形，则其左视图的面积的取值范围_______。

变式必做：已知棱长为2的正四面体（各面均为正三角形）的俯视图如图所示，则该

四面体的正视图的面积为（ ）

A. B. D.

2（先定底面再看顶点注意虚线的画法）。如图是某几何三视图，则该几何体的体积

是( ) A.34 B. 1 C.54 D. 32

变式必做：多面体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直

角三角形,正视图为直角梯形,则此多面体最长的一条棱长为 .

3(长方体内部直线还原法)。（1）.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗

实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度

为( )

A ．6 2

B ．4 2

C ．6

D ．4

(2).某几何体的三视图如左图，则该几何体的体积为_______。

变式必做1：一几何体的三视图，则该几何体的表面积是_____________。

变式必做2：某几何体的三视图如图，网格中小正方形面的边长为1，则该几何体的

表面积（ ）

A.6+

B. 6+

C. 6+

D. 6+

4（非常规放法几何体直观图）.某几何体三视图如图所示，则该几何体体积

（ ）（这是一个三棱柱切掉了三分之一）

A.2

B. 4

C.

83 D. 209

变式必做1：如图网格纸小正方形的边长为1，粗实线是某几何体的三视图，则该组

合体的体积为（ ）

C. 1643π+

D. 423π+ 变式必做2：一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单

几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋

转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )

A. V 1>V 2>V 3>V 4 ;

B. V 1

C. V 1=V 4>V 3>V 2 ;

D. V 2

5（构造内接长方体） .三棱锥A-BCD 中，6,4,3======BD AC AD BC CD AB ,则此三棱锥的外接球的体积为_________.

变式必做1.三棱锥的顶点A,B,C,D 都在半径为

2

29的球面上，CD AB BC AD BD AC =====,5,13，则._____=-BCD A V

变式必做2.三棱锥S-ABC 的顶点都在球面上，SA ⊥面ABC ，060,2,1,32=∠===BAC AC AB SA ，则球O 的表面积是________________.

6（内接正三、四棱锥）.（1）正四面体的内切球与外接球的体积之比为_______.

(2)三棱锥S-ABC 底面中∠A=1200

,AB=AC=2,SA ⊥面ABC,SA =.则其外接球的体积是________.(本题请改变底面三角形的形状给出不同的问题。基本方法是先画底面再与球半径、底面外接圆半径、球心到截面的距离构成重要的直角三角形)

变式必做1：正四棱锥S-ABCD 底面ABCD 是边长为2的正方形，高为4，则其外接球的体积为_______.

变式必做2：四棱锥S-ABCD 底面ABCD 是边长为2的正方形，面SBC ⊥面ABCD,且四棱锥的最大体积为163,则其外接球的表面积为________.

变式必做2：在三棱锥BCD A -中，△ABC 与△BCD 都是边长为6的正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A.π155 B.π60 C.π1560 D.π1520

7（构造特殊图形）。四面体A-BC Ｄ中，ＡＢ=ＡＣ=ＢＤ=ＣＤ=２,ＢＣ=２ＡＤ，若直线ＡＤ与底面ＢＣＤ所成角角为

3

π，则该三棱锥的外接球的表面积为________.（这是一个特殊的三棱锥，球心的位置如何确定？）

变式必做1.若三棱锥P-ABC 的最长棱PA=2,且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球体积为______.

变式必做2.球O 的直径SC ＝4，A,B 是球O 表面上的两点，045,2=∠=∠=BSC ASC AB ,则S-ABC 的体积为____.

（看17年高考题）。已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球面上，SC 是直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC.SB=BC,三棱锥S-ABC 的体积是9，则球的表面积是______。

8（先判断形状再求半径）.正三棱锥S-ABC 中，M,N 为SC,BC 之中点，MN ⊥AM,且侧棱32=SA ,则正三棱锥的外接球的表面积为_________.

变式必做1.四棱锥S-ABCD 底面ABCD 矩形面SBC ⊥面ABCD,SE ⊥BC 于E 点,且BE=1,则其外接球的体积为________.

变式必做2.四面体ABC-D 的棱长都相等，E 是底面ABC 内的一点，E 到面ABD,DBC,ACD 的距离之和为36，则其外接球的体积为_________.

9(较复杂的外接球情况).正ΔABC 的边长为2,AD,CE 在面ABC 的内侧，且AD=CE=2，则三棱锥D-ABC,E-ABC 的公共部分的外接球的体积是______。

变式必做1：在菱形ABCD 中，,3A AB π∠=

=E 是BD 之中点，将ΔABC 沿BD 折起到ΔPCD 的位置，且∠PEC=23

π，则三棱锥P-BCD 的体积是( )

A.

43π

变式必做2：已知四面体ABCD 的一条棱长为a ，其余棱长均为20π的球面上，则a 的值等于（ ）

A ．．．．3

变式必做3：已知从点P 出发的三条射线PA ，PB ，PC 两两成60?角，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点．若球O 的体积为36π，则O ，P 两点间的距离为( )

（A ）（B ）（C ）3 （D ）6

10（球与球的组合）.水平桌面上有三个球，上面放一个球，四个球半径都是r ，且两两相外切，则上面小球的上项点到桌面的距离为______；若在四个球中间再放一个更小的球，则这个更小球的半径最多为_______；若这四个球都在一个大球中，则大球的半径最小为_______。

半径为R 的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r 的可能最大值为（ ）．

A

B R

C R D

变式必做:如图，三个半径都是10cm 的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶

端恰好与碗的上沿处于同于水平面，则这个碗的半径R 是________________cm

11（几何体内的动点移动问题）.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1A 为

顶点半径为2作球，则球面正方体的各面的交线的弧长为_____。(只画出两个面，

其它面类似)

变式必做：如图在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，1AB BC AA ===上底面A 1B 1C 1D 1 的中心为O1,当点E

在线段CC 1上从C 移动到C 1时，点O 1在平面BCD 上的射影G 的轨迹长底_____。

简单组合体的三视图

全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选 简单组合体的三视图（第一课时）教案设计 一、教案背景 1，面向学生：√中学□小学 2，学科：数学 3，课时：1 4，学生课前准备：找出球、圆柱、圆锥等简单几何体的实物 预习简单几何体的三视图（第一课时） 二、教学目标 1．知识与技能 （1）巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解，运用投影知识，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技巧。 （2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，丰富学生的空间想象力。 2．过程与方法：培养学生动手、动脑能力，空间想象能力。 3．情感态度与价值观：培养学生自主探究与合作学习的学习方式，激发学生应用数学的热情。 三、教材分析 本章是普通高中新课程人教版《必修2》第一章的内容，是高中数学立体几何知识的起始章节。学生在义务教育阶段,已经初步接触了正方体，长方体的几何特征以及简单几何体的表面积、体积的计算，会从不同的方向看物体得到不同的视图的方法。通过本章知识的学习，为下一章点、直线、平面之间的位置关系学习打下基础，同时有利于培养学生空间想象能力，几何直观能力的，有利于培养学生学习立体几何的兴趣。 重点：简单组合体的三视图画法。 难点：把握好三视图的画法规则，识别三视图所表示的空间几何体。 为了激发学生画组合体三视图的兴趣利用百度在网上搜索飞机、汽车的三视图相关教学材料，结合教学的重点和难点，确定课堂教学形式和方法。并根据课堂教学需要，利用百度搜索关于三视图的图片与视频，课堂放给学生观看，增强学生的空间想象能力。 四、教学过程 （一）创设情景，揭开课题 “横看成岭侧看成峰”，https://www.doczj.com/doc/9d17571298.html,/view/1c5c5a49e45c3b3567ec8b32.html 这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图）。在我们生活中也会用到和看到许事物的三视图比如飞机、汽车 https://www.doczj.com/doc/9d17571298.html,/view/e8745797dd88d0d233d46aa7.html等 （二）给出三视图的定义： 1、从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图称为几何体的正视图（主视图）。 2、从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图称为几何体的侧视图（左视图）。 3、从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图称为几何体的俯视图。(俯视图) （三）通过多媒体课件展示长方体的三视图，并给出三视图之间的投影规律。 一个长、宽、高分别为3,4,5的长方体，如图所示，它的三视图显然都是长方形，是否可以任画三个长方体作为它的三视图呢？如果不可以，那么这三个长方体的长、宽关系如何？引导学生分组讨论，适时总结归纳出三视图的画法规则（主视、俯视长对正；主视、左视高平齐；左视、俯视宽相等）。

《简单几何体的三视图》说课稿

《简单几何体的三视图》说课稿 大家好！今天我说课的题目是《简单几何体三视图》，所选用的教材为北师大版数学必修2第一章第3小节.本节课内容是在学习空间几何体结构特征之后、直观图之后的情况下教学的. 根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析、教法学法、教学设计、板书设计这四个方面加以说明. 一、教材分析 （1）内容分析 初中时学生已对三视图有了一些认识，所以在本节课在对三视图的定义进行简单的复习回顾后，着手于基本几何体的画法，并从中引出绘制三视图应注意的问题.随后定位于简单组合体，分别给出了什么是组合体及简单组合体三视图的画法实例，并在此过程中再强调绘制三视图应注意的问题. （2）教学目标 1、知知识与技能目标：理解三视图的投影规律，能画出简单组合体的三视图； 2、过程与方法目标：学生亲身实践，动手作图，体会三视图的作用； 3、情感、态度与价值观目标：培养学生自主探究与合作学习的学习方式，激发学生应用数学的热情. （3）重点与难点 1、重点：简单组合体的三视图画法； 2、难点：三视图的画法规则，虚线、实线的使用. 二、教法、学法 （1）教法：由基本几何体三视图的画法入手，由简至繁、循序渐进，逐步让学生掌握简单组合体的三视图的画法，以三维动画模拟实物演示，激发学生学习兴趣，突破教学重难点. （2）学法：学生在教师营造的“可探索”环境里，积极参与，通过自己的观察、想象、思考、实践，主动发现规律、获得知识，体验成功. 三、教学过程 （1）教学导入 从房子模型、飞机这些较为复杂的几何体的视图欣赏入手，激发学生画组合体三视图的兴趣，随后引入课题并复习回顾三视图的定义及画法规则. （2）简单几何体的三视图的画法 1、例1画长、宽、高分别为5、3、4的长方体的三视图. 思考问题：是否可以任画三个长方形作为它的三视图？ 引导学生分组讨论，适时总结归纳出三视图的画法规则——长对正，高齐平，宽相等. 2、练习1：分别画出球、圆柱、圆锥、正三菱柱的三视图. 这些练习的设置是为了让学生进一步熟练基本几何体的三视图的画法，从而为后面简单组合体三视图的画法奠定基础.

简单组合体的三视图(教学设计)

《简单组合体的三视图》 九江一中邵瑾波教学目标： 知识与技能： 理解和掌握三视图的概念及画法。能识别几何体的三视图，会画简单组合体的三视图。 过程与方法： 通过直接观察图形、空间想象、实践感知、合作交流，培养学生的空间想象能力，抽象概括能力和图形表达能力。 情感、态度与价值观： 通过学生自主实践，让学生感受到数学的严谨性、科学性，在探究活动中培养学生勇于探索、互相合作的精神。 核心素养： 通过实物直观演示、图形直观操作，培养学生几何直观与空间想象的数学核心素养，增强用图形和空间想象思考问题的意识。 教学重点： 掌握三视图的画法规则，会画简单几何体（组合体）的三视图。 教学难点： 三视图的画法规则“长对正，高平齐，宽相等”，三视图和几何体之间的转化。 教学过程 （一）复习旧知，情境导入 1情境导入：教师展示图片 2投影 （1）中心投影：光由一点向外散射形成的投影 （2）平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影 ①正投影：光线与投影面垂直 ②斜投影：光线与投影面不垂直

（二）问题探究，形成概念 初中我们已经学过简单几何体的三视图，请回忆已经学过的正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图，然后围绕以下三个问题展开讨论，给出答案。 问题：（1）什么是空间几何体的三视图？ （2）如何画空间几何体的三视图？ （3）同一个几何体的三视图的各个视图在形状、大小方面有什么关系？ 问题一：先给出三个相邻且互相垂直的投影面：正面、侧面、水平面，指出“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图。 以长方体为例，得出三视图的定义：将物体由前往后投影得到主视图，由左往右投影得到左视图，由上到下投影得到俯视图。 问题二：展示动画，将三视图展开平铺到同一平面内，由立体图形转化为平面图形，通过翻折的过程感受三视图的对应关系。 三视图的位置：主视图在上，左视图在右，俯视图在下。 问题三：观察图形，从长度、宽度、高度的角度发现规律： 主视图反映了物体的高度和长度 俯视图反映了物体的长度和宽度

组合体三视图的绘制

组合体三视图的绘制 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

《组合体视图的画法》教学设计 一、教材分析 1．本节的地位和作用 本节内容选自全国中等职业技术学校机械类行动导向教材《机械制图与技术测量》课题六第二节。本课程是在学生学习了基本几何体的三视图和轴测图的基础上进行的学习。组合体三视图是本课题的核心内容，也是全书的重点部分，是培养空间想像能力和画图能力的关键一章，起着承上启下的作用，将空间形体转化为平面图形，培养学生分析和解决问题的能力，使绘图的能力得以提高。本节内容共为两个课时，共90分钟，为新课讲解和操作练习课。 2．教学目标 （1）知识目标 学会使用形体分析法判断组合体类型，分析选择主视图，画三视图，增强物图转化想象能力。 （2）能力目标 通过分组合作学习活动，培养学生的团队协作精神；培养学生自主分析判断问题、解决问题的能力。 （3）情感目标

增强对专业学习的自信心和求知欲，养成严谨细致、积极上进的职业态度。 3．教学重点和难点 （1）重点：灵活运用形体分析法，画组合体三视图。 （2）难点：各部分相对位置以及表面关系。 二、学生情况分析 经过前面的学习，大部分学生具备基本几何体三视图投影知识，但学生主动学习能力差，接受新知识能力反应慢，空间想象能力差。因此，通过有趣的提问和动手实践激发学生的学习兴趣；利用多媒体动画课件直观生动的讲解，降低学习难度，增强学生学习自信心，变被动学习为主动学习，有利于掌握知识。 三、教法和学法 1、教法 问题研讨法、案例讲授法、任务驱动法、小组协作学习法、学生演示法 2、学法 合作学习法、自主学习法 四、教学资源 多媒体教学平台CAD软件绘图工具及图纸项目任务书学生自评表