球的组合体研究
（球中的截面问题 及 球与其它几何体的切接问题）
王宪良
[学习目标]1.学习球与其它几何体切接的直观图的画法。2.掌握球的截面的性质；
3.理解掌握球的切接题目的类型和解法；
4.培养空间想象能力，能根据题意正确画出组合体的直观图。 一、基础知识与概念： 1.有关定义
（1）球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.
空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，
（2）外接球：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接
多面体，这个球是这个多面体的外接球. 如图
（3）内切球：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.如图
（4）大圆：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等（它是截面圆中最大的圆）； （5）小圆：不过球心的截面所截得的圆叫小圆． 2．外接球的有关知识与方法 （1）性质：
性质1：球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 性质2：经过小圆的直径与且小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：球心和截面圆心的连线垂直于截面（类比：圆的垂径定理）；
性质4：在同一球中，过两不平行截面圆的圆心且垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两
相交弦的中垂线交点是圆心）；
性质5：球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+． （2）结论：
结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；
结论2：若由长方体截得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；
结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的
一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；
c
a b
初图2
初图1N
O
O 1
P
E
F
O
O 1
D 1
C 1
B 1
D
C
A 1
O 2
A
B
M
结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连线段中点处；
结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱与该棱柱的外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；
结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥与该棱锥的外接圆锥有相同的外接球.
（3）终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 3．内切球的有关知识与方法
（1）若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.
（2）内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等(类比：与多边形的内切圆、外接圆) （3）正多面体的内切球和外接球的球心重合.
（4）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 4．基本方法：
（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；
（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 二、理清位置，学会画图 先画一个大圆与一个或两个小圆。 1．多面体的外接球（球包体）
模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱）
球包 直
柱
注：凡是有一条侧棱垂直于底面的柱或锥，都能补成同球内接圆柱，则都可用以下公式求其外接球的半径
球包正方体
速算a R 2
3=
球包长方体
22
2
2
c b a R ++=
球包四棱柱
速算:球径公式
(右)
球包三棱柱 速算:球径公式
(右)
球
包
直
锥
三
棱
锥
速算：球径公式(右)
球径公式：
2
2
2
h
R r
??
=+
?
??
，
（r为底面外接圆半径）
关键：构建Rt△四
棱
锥
速算：球径公式(右)
r
速
算
模型2：“顶点连心”锥:锥体的顶点与球心及其在底面的投影(都是底面多边形外接圆的圆心)两心一顶连成线,构建Rt△实例：正棱锥
图5-6
D
P
O
O2
A
B C
球径计算方程：()222
h R r R
-+=
22
22
20
2
h r
h hR r R
h
+
?-+=?=，
（h为棱锥的高，r为底面外接圆半径）
特别地，（1）边长为a正四面体的外接球半径：R=________．a
4
6
（2）底面边长为a，高为h的正三棱锥的外接球半径：R=____．
h
h
a
6
32
2+
（3）底面边长为a，高为h的正四棱锥的外接球半径：R=____．
h
h
a
4
22
2+ 2．正多面体的内切球（体中球）
棱锥的内切球：(由等体
积法)R=____．
锥表
锥
S
3V
圆锥的内切球：(若圆
锥高为h，底面半径
r)R=
2
2r
h
r
hr
+
+
边长为a的正方体：
2
a
R=
等边圆柱（母线a）：
R=
2
a
．
边长a的正八面体：
R=a
6
6
①对于正三角
形、等腰直角
三角形、一般
直角三角形：
②对于一般三角形：
r
C
c
B
b
A
a
2
sin
sin
sin
=
=
=
注：不用记忆结果，应画好直观图，做好轴截面图，会用平面几何知识求半径。
3．正多面体的“l棱切球”（与所有的棱都相切的球）
正四面体边长为a，球半径(是对棱距
离的一半)R=_______. a
4
2
正方体边长为a，球半径R=a
2
2正四面体边长为a，球半径R=
2
a
三、球的问题的六种题型和解法
球心可以确定球的位置，半径可以确定球的大小。球心和半径是确定球的两个重要的量。“求球的表面积、体积、半径或已知球的半径而求切接几何体的棱长”等是常见题目，它们的求解都离不开“求球的半径R”，据此可把球的切接问题分成六种类型。（见思维导图）
（一）简单的——（1）能直接用222
R d r
=+求解的；
（2）正方体与球的切、接；
（3）长方体内接于球（球包长方体）；
对于（1）如图
对于（2）（3）
如图：①正方体的内切球③正方体的外接球
分别作直观图如下
说明：①正方体的内切球：
球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为R 。如图，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2
a
R =
； ②与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2
2
=
。 ③正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图，以对角面1AC 为截面作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2
3
1=
=（作为记住）。 ④球包长方体2222c b a R ++= 下面分别就（1）（2）（3）种情况举例分析
例1．（1） (2012·课标全国，8，中)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )
A.6π B ．43π C ．46π D ．63π
解：(直接用222
R d r =+求解)如图，设平面α截球O 所得圆的圆心为O 1，则|OO 1|＝2，
|O 1A |＝1，
∴球的半径R ＝|OA |＝2＋1＝ 3. ∴球的体积V ＝4
3πR 3＝43π.故选B.
例1．（2）【2012高考新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）
()
A 26 ()
B 3 ()
C 23 ()
D 2
2 【解析】(用222R d r =+求解)ABC ?的外接圆的半径33
r =，点O 到面ABC 的距离22
63d R r =-=,SC 为球O
的直径?点S 到面ABC 的距离为26
2d =， 此棱锥的体积为113262233ABC V S d ?=?=??=
另解（估算法）：13
23ABC V S R ?
例1.（3）求棱长为4的正方体的外接球和内切球的体积。
解：由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径2R 2r ，因为正方体的棱长为4，故2R=34，2r=4，所以32=R ，（或直接用公式得3242
3
23=?==a R ）. 2=r ，从而πππ3323234R 343
3===
）（外接球V ；3
234r 3433ππ===内切球V . 例1.（4）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）
A ．
22
B ．1
C ．212
+
D ．2
解：(利用截面图)由题意可知，球为正方体的外接球，平面D D AA 11截球所得的圆面的半径2
2
2
1
=
=
AD R ，因为D D AA 11面?EF ，且EF 过截面圆圆心，所以直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径22=R . 选D
例1.(5) （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为
=++=2223212R 14，所以2
14=R ，故球的表面积为==2
4R S π14π. 巩固训练：1．能直接用222
R d r =+求解的
（1）(2013·课标Ⅰ，15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________． 解：平面α截球O 所得截面为圆面，圆心为H ，设球O 的半径为R ，则3
2231R
R AH =
?=
，R R R AH R OH 3
132=-
=-=，所以OH ＝1
3R . 由圆H 的面积为π，得圆H 的半径为1，所以????R 32
＋12＝R 2，得R 2＝98，所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝4π·98＝9π2. 填 9π2 （2）已知三棱锥S-ABC 各顶点均在球O 上，SB 为球O 的直径，若AB=AC=2，∠BAC=3
2π
，三棱锥S-ABC 的体积为4，则球O 的表面积为（ ）
A ．120π
B ．64π
C ．32π
D ．16π
解：如图，在△ABC 中，由余弦定理，得32=BC ，又由正弦定理3
2sin
2πBC
r =
，得底面△ABC 的外接圆半径r=A O '=2，又因为33
2sin 21=?=
?π
AC AB S ABC ，
且三棱锥S-ABC 的体积为4，得433
1
=?=h V ，所以34=h ，所以322
==
'h
O O ，在A O O Rt '?中，由勾股定理得球半径42
2
='+'==O O A O OA R ，则球O 的表面积ππ6442
==R S .选B. （3）(2013·课标Ⅱ，15)已知正四棱锥O -ABCD 的体积为32
2，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．
【解析】 设底面中心为E ，由球的截面性质知ABCD OE 底面⊥，则|AE |＝1
2·|AC |
＝62，∵体积V ＝13|AB |2·|OE |＝|OE |＝322，由球的截面的性质知△OEA 为Rt △，∴|OA |2＝|AE |2＋|OE |2＝6. 从而以O 为球心，OA 为半径的球的表面积S ＝4π·|OA |2＝24π. 填24π
（4）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。
（5）(2013·课标Ⅰ，6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A.500π3cm 3
B.866π3cm 3
C.1 372π3cm 3
D.2 048π
3cm 3
解：设水面与球的接触点（切点）为P ，球心为O ，则PO 垂直于正方体的上表面，依题意P 到正方体上表面的距离为2h =。设球的半径为R ，则球与正方体上表面相交圆（截面圆）的半径是42
8
==r ，且球心到该截面的距离是R －2，故()2
22
2R r R -+=，
R 2＝(R －2)2＋42?R ＝5.∴V ＝43πR 3＝500π
3(cm 3)．【答案】 A
【点评】关键是由球的截面圆性质构造Rt ?，由勾股定理建立关于R 的方程，求出R .
（6）(2015·四川绵阳一模，7)如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为( )
A.
22＋12 B.62＋12 C.32 D.32＋1
2
解：蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，鸡蛋的表面积为4π，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为d ＝1－14＝32.而截面到底面的距离即为三角形的高1
2，所以球心到底面的距离为
32＋1
2. 【答案】 D
2．求正方体的外接球的有关问题
（7）（2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径. 另解：23323==
a R ，故表面积为πππ274
27
442=?==R S .
（8）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为___________.
解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，2,4,2462
2
==∴=?a a a ,从而求出正方体的体对角线
是23，所以球的半径为323==a R ，故该球的体积为()ππ34
33
43
==V .
（9）(2013·天津，10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π
2，则正方体的棱长为________．
【解析】 设正方体的棱长为a ，则正方体的外接球半径R ＝32a .因为球的体积为9
2π，所以43π·R 3＝92π，即R ＝32＝3
2a ，所以a ＝ 3. 【答案】 3
（10）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为6，面DB A 1与面11DC A 的重心分别为E 、F ，求EF 所在直线被正方体外接球截得的弦长为（ ）
A ．
439 B ．339 C ．3392 D ．3
6
5 解法一：如左图，连结1AC ，1BD ，交点为球心O ，易知点E 是线段1BD 的三等分点（靠近1D ），点F 是线段1AC 的
三等分点（靠近A ），又O 是1BD 的中点，且是1AC 的中点，所以
OF BD OE ==??==22
3661611，连结,EF 1AD ，在1OAD ?中，因为OA
OF OD OE =1，
所以1//AD EF ，所以OEF ?～A OD 1?，所以
==OA OF
AD EF 13
12
2322
=，所以3
323231311=?==
AD EF . 作出平面OEF 与球O 的截面圆图象如右图，作MN OP ⊥，则613121332222
2
2
2
2=-=???? ??-???? ??=??? ??-=EF OE OP ；在OPM Rt ?中，3136129616232
22222=-=-???? ???=-=-=OP R OP OM MP ，得313=MP ，所以
3
39
22=
=MP MN . 选C. 解法二：（先用空间向量求球心到直线EF 的距离OP ）设外接球球心为O ，如图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、
1DD 所在直线分别为X 轴、Y 轴、Z 轴建立空间直角坐标系xyz D -，则)0,0,6(A 、
)6,0,6(1A 、)0,6,6(B 、)6,6,0(1C 、)0,0,0(D 、???
?
??36,36,362E 、 z
???? ??362,36,36F 、???? ??26,26,26O ，所以????
??--=66,66,66OE ???
?
??-=36,
0,36，所以点O 到直线EF
的距离66==d ，下边同解法一。 3．求长方体的外接球的有关问题
（11）（2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16π
B. 20π
C. 24π
D. 32π
解析：正四棱柱是底面为正方形的长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例1（5），622416442==++=R ，6=R ，所以ππ2442==R S ，故选C.
（二）一般的——找球心，构造直角三角形
球心是决定球的位置的关键点，定球心的方法有：
① 扩展成同球内接圆柱或直棱柱后，再定球心位置，在上下底面圆心连线段的中点处.(适用于有一条侧棱垂直底面的几何体)（见例2）
② 根据球心到球面上四个不共面的点的距离相等确定球心位置；（常用于多面体中有两个直角三角形，且两个直角三角形有公
共斜边的情况，可利用直角三角形性质：直角三角形斜边中线等于斜边一半。得球心为直角三角形斜边中点）（见例3）
③ 过两个相邻三角形外接圆圆心，且垂直于两个三角形各自所在面的两条直线的交点为球心.(适用于二面角模型) ④讨论球心的位置，列方程求解，舍去一种位置（适用于球内接正棱锥）；也可不讨论球心的位置，而由
222)(r R R h -=-，求R .（见例5）
⑤其它：构造R t △求解。
下面分别举例探究：
1． 有一条侧棱垂直底面的几何体模型
方法一：采用扩展成同球内接圆柱或直棱柱．．．．．．
后，再定球心位置的方法；（结合后四3圆柱模型）
图3-1
图3-2
图
3-3
题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心O 的位置（O 在扩展成的同球内接圆柱上下底面圆心连线段的中点），1O 是ABC ?的外心，则⊥1OO 平面ABC ；
第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，（底面三角形外接圆半径r 的求法：①若底面是等边三
角形，则r =
a 3
3
；②若底面是Rt △，则r =斜边的一半；③若底面是一般的三角形，则可用正弦定理r C c
B b A a 2sin sin sin ===求解），h AA OO 2
1211
1==（h AA =1也是圆柱的高）； 第三步：用勾股定理21212O O A O OA +=?2
22)2
(r h R +=?22)2(h r R +=，解出R .(可
记住该公式，见后四（三）圆柱模型速算法)
方法二：构造以球直径为斜边的球内接直角三角形，利用勾股定理求球半径 题设：如图5，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径. 解题步骤：
第一步：将ABC ?画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；（因
为⊥1OO 面ABC ，又PA ⊥面ABC ，所以1//OO PA ，所以PA 与1OO 共面；又∠PAD=90° ，所以PD 是大圆的直径）
第二步：1O 为ABC ?的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三种方法同前），PA OO 2
1
1=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①在PAD Rt ?中，2
22)2()2(r PA R +=?22)2(2r PA R +=
；或
②在D OO Rt 1?中，2
12
2OO r R +=?2
12OO r R +=
.
例2.(1) 请观看视频（例题1——4）
例 2.(2).已知EAB ?所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，?
=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体
ABCD E -的外接球的表面积为 .
解：（折叠型）
法一：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式.再扩展为圆柱，通过计算圆
柱的轴截面的对角线长来求球的直径：EAB ?外接圆半径
33
31==
EA r ，所以()162)32(2)2(2222
12=+=+=AD r R ，所以42
=R ，π16=表S ；也可以解Rt △OO 1E
注：设正三棱柱111C B A ABC -的高为h ，底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下
A
D
P
O 1O
C
B
底面的中心。根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，a AD R AO h OD 3
3
,,2===
，借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求2
2
332???
? ??
+??? ??=a h R
法二：补形为直三棱柱，（可改变直三棱柱的放置方式为立式），再扩展为圆柱，如图，设ABE ?的外接圆圆心为1O ，则AB EO ⊥1，垂足为M ，由题意⊥EM 面ABCD ，又设矩形ABCD 的外接圆圆心为2O ，球心为O ，则⊥2OO 面ABCD ，所以2//OO EM ，又因为M 为AB 中点，所以AB M O ⊥2，则⊥M O 2面ABE ，又
⊥1OO 面ABE ，所以M O OO 21//，得21MO OO 为矩形，所以
12
21==
=AD
M O OO ，在Rt A OO 1?中，33311===EA A O r ，，所以42
1212=+=OO r R ，所以外接球的表面积为π16=表S . 填π16 .
法三：同上图在Rt D OO 2?中，2312==M O OO ，213222===BD D O r ，所以44
13432
=+=R ，π16=表S ；
法四：用公式22)2
(h
r R +=
速算， EAB ?的外接圆半径为31=r ，2==AD h ，所以231=+=R ，π16=表S .
巩固训练：
1．（高考题选）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A ．π
B ．
3π
4
C ．
π２
D ．
π4
解法一：由题可知球心在圆柱体中心，球心与圆柱底面圆心的距离2
1
2==
h d ，圆柱体上下底面圆半径2
2
d R r -=2
2
1312r ??=-= ???
，则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B. 解法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，()()22
2
22h R r -=3122=-=，
得2
3
=r 2．已知直三棱柱111C B A ABC -的六个顶点都在球O 的球面上，若BC=3，AC=4，BC ⊥AC,121=AA ，则球O 的半径为 A ．
2
17
3 B ．102 C ．213 D ．10
解法一：由题意知，AB 是△ABC 外接圆的直径，AB 中点1O 为此外接圆的圆心，球心O 是三棱柱外接圆柱的中心（高的中点），连结1OO 、A 1O 、OA ，得Rt △O 1O A,,由AB=5，得
A 1O =2521=BC ，又1OO =121AA =6，所以球O 的半径2136252
2
=+??
? ??=R .
r 1
R r 2
r 1
R （3）题
O O 2
M
D
B
A
E
O 1
解法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，
()()2
122
12222BB AB AA r R +=+=21316914425==+=，得2
13=
R 3．(2015·河南驻马店调研，13)在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，已知AA ′⊥平面ABC ，AA ′＝2，BC ＝23，∠BAC ＝π
2
，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的体积为________．
【解析】 依题意可知，球心到平面ABC 的距离为d=12AA ′＝1，平面ABC 外接圆的半径为r=1
2BC ＝3，则球的半径
为=+=
22r d R 12＋（3）2＝2，则球的体积为球V = 43×π×23＝32π3. 【答案】 32π
3
解法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，()()()
162322222
222=+='+=A A r R ，得2=R ，则球的体积为
球V = 43×π×23
＝32π
3.
4.在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3
,6,41==
==AA A AC AB π
，
则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 .π3
160
解法一：在ABC ?中，由余弦定理求BC ，282
1
64236162
=?
??-+=BC ，72=BC ，又由正弦定理3
742
372sin 2=
==
A BC r ，得372=r ，所以3404328)2(212
2=+=+=AA r R ，π3160=表S ； 法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.
5.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 .
解法一：由余弦定理得32=BC ，由正弦定理得4120sin 3
22==
r ，2=r ，所以5122
12
12=+=+=r AO OO R ，则此球的表面积为π20=S ；
法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.
6. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，
且该六棱柱的体积为9
8，底面周长为３，则这个球的体积为_________. 解：（本题可扩展成圆柱来考虑）设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有
2
63,1,2936,384x x x h h =??
=??
∴??=???
=??．
图3-3
C 1
B 1
A
E
F
A 1
O 1
O O 2
B
C
C 1
B 1
A
A 1
O 1
O
O 2
B
C
图3-1
C 1
B 1
A
E
F
A 1
O 1
O
O 2
B
C
∴正六棱柱的底面圆的半径
12r =
，球心到底面的距离2
32==h d .∴外接球的半径22
1R r d =+=.43V π
∴=球.
法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.
小结：①本题可扩展成圆柱来考虑，解法一是运用公式2
2
2
R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. ②球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。本类题目的一般解法是——构造直角三角形法。
2．多面体中有两个直角三角形且有公共斜边的模型，（两直角三角形拼接在一起，斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥，如图）
根据球心到球面上四个不共面的点的距离相等确定球心位置；（可利用直角
三角形结论：直角三角形斜边中线等于斜边一半。得球心为直角三角形斜边中点）
题设：如图7，
90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径（分析：
取公共的斜边的中点O ，连接OC OP ,，则AB OP OC OB OA 2
1
====，
∴O 为三棱锥ABC P -外接球球心），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角，球半径都为定值.
例3.(1) 已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积 解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=
PC ，10=AC ，因为22
210517=+ 所
以知2
2
2
PC PA AC +=，所以 PC PA ⊥ ，如右图。在ABC Rt ?中，斜边为AC ； 在
PAC Rt ?中斜边也为AC ，取斜边的中点O ，在ABC Rt ?中OC OB OA ==，在PAC Rt ?中，OC OP OA ==，所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四
面体的外接球的球心， 521==
AC R ，所以该外接球的体积为3
500343π
π==R V . 评注：对于四面体四个面都是直角三角形的三棱锥（中国古代称作“鳖臑”），可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置。
如图，三棱锥ABC S -,满足⊥SA 面ABC ，BC AB ⊥，取SC 的中点为O ，由直角三角形的性质可得：OC OB OS OA ===,所以O 点为三棱锥ABC S -的外接球的球心,则2
SC
R =
.例3（2）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD
O
A
B
C
图7
O
A
C
B P
A
C
B
S
解：设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===. 折起后该等量关系不变∴点
O 到四面体的四个顶点A B C D
、、、的距离相等，即点O 为
四面体的外接球的球心，如图所示.∴外接球的半径
52R OA ==.故34125
36V R ππ
==球.选C. （变式）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，
所得三棱锥BCD A -的外接球的表面积为 ． 解：BD 的中点是球心O ，1332222=+=
=BD R ，ππ1342==R S .
例3.(3) 已知正四棱锥S-ABCD 的侧棱长和底面边长都为23，求其外接球的半径。 解：这是特殊的正四棱锥，依题意，该四棱锥底面对角线的长为6223=?，高为3621)23(2
2
=??
?
???-，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥外接球的球心
即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
例3（4）在直角梯形ABCD 中，BC AD //， 90=∠A ，
45=∠C ，1==AD AB ，沿对
角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 .
解：如图，由题意知∠ABD=45°，∵BC AD //，
∴∠CBD=45°，又∵∠C=45°，∴∠BDC=90°，∴△BAD
与△BDC 都是等腰直角三角形，在四面体BCD A -'中，取BD 中点M ，BC 中点O ，则BD OM ⊥，BD A '⊥∴面OM ，则点O 到各顶点的距离都相等，∴球心在BC 的中点O 处，
∵1===AD OB R ，∴π4=表S ；
巩固训练：
（1） (2014宁夏银川质检，10)已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形ABCD 周长最小时，沿对角线AC 把△ACD 折起，则三棱锥D-ABC 的外接球表面积等于________．
【解析】 设矩形的两邻边长度分别为a ，b ，则ab ＝8，此时2a ＋2b≥4ab ＝82，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立．此时四边形ABCD 为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是2
24?=πS ＝16π. 【答案】 16π
（2）正四棱锥S ABCD -点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为___. 解：设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.
又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. 正方形ABCD 的对角线
D S
C A
O D
B
图4
C
D A
B
S
O 1图3
(2)题-2
(2)题-1
→A
222=?=AC ，11=∴A O ，在A SO Rt 1?中，()
1122
1=-=
SO
. ∴S O D O B O C O A O 11111====，所以球心O 与点1O 重合. ∴其外接球的半径是12AC =. 故
43V π
=
球. （3）(2015河北衡水中学一模，8)已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为( )
A ．16π
B ．4π
C ．8π
D ．2π
【解析】画出该几何体的直观图如左图所示，设点O 为AB 的中点，连接OP ，OC ，由三视图知OP ＝1，△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝1，由
勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝2，由于点O 为斜边AB 的中点，所以OC ＝1
2
AB ＝1，
所以OA ＝OB ＝OC ＝OP ＝1，则点O 为三棱锥P -ABC 的外接球的球心，所以三棱锥P -ABC 外接球的半径长为1，
其表面积为4π×12＝4π，故选B.
3．二面角模型，（两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)，也可连成四面体） 利用“过两个三角形外接圆圆心且垂直于两个三角形各自所在面的两条直线的交点为球心”来定球心位置。 第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD ?画在小圆上，找出BCD ?和BD A '?的外心
1H 和2H ；
第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,；（若此两直线不相交，则无外接球）
第三步：解Rt 1OEH ?，算出1OH ，在1OCH Rt ?中，勾股定理：
2
22121R OC CH OH ==+ 注：易知21,,,H E H O 四点共面且四点共圆（对角互补），证略.
例4（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAB 平面ABC ，△PAB 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .
解：如图，法一：
21r r = ，3460sin 22221=== r r ，3
2
2
1==r r ，由四边形12HO OO 是矩形，∴123
12OO r H O ===，又32
11==r C O ，∴在C OO Rt 1?中，R OC =，
则3
534312
12122=+=+==r OO OC R ，得315=R ；
法二：312=H O ，3
1
1=H O ，1=AH ，在OHA Rt ?中，
3
5
31311212122222=++=++=+==O O H O AH OH AH AO R ，所以315=R ； 例4（2）在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，
2==BC AB ，△SAC 是正三角形，二面角B AC S --的余弦值为3
3
-
，（1）题
O H A P
O 2
O 1
图6
H 1
E A
C
O
B
D A'
H 2
则四面体ABC S -的外接球表面积为 π6 解：如图，法一：取AC 中点1O ，易知∠B SO 1是二面角S-AC-B 的平面角，且1O 为
△ABC 的外接圆圆心，设O 为球心，2O 为SAC ?的外接圆圆心，则ABC OO 面⊥1，
AC OO S 2面⊥，满足此类题型.
∵33)2cos(cos 211-=+∠=∠π
O OO B SO ， ∴3
3sin 21=∠O OO ，
∴3
6cos 21=∠O OO ，在21O OO ?中，33
3122321=??=O O ， ∴223
6
33
cos 21211==∠=O OO O O OO ，在C OO Rt 1?中，2321121212=+=+=C O OO R ，ππ642==R S ； 法二：延长1BO 到D 使1111===r BO DO ，在B SO Rt 1?中，3
3
,1,3111-
=∠==B SO Cos BO SO ，由余弦定理得6=
SB ，又在D SO 1?中，
3
311=∠-=∠B SO Cos D SO Cos ，由余弦定理2=SD ，所以222BD SD SB +=，所以?=∠90SDB ，而SBD ?的外接圆是大圆，所以大圆直径为62==SB R ；所以2
6=R ，ππ642
==R S .
巩固训练
（1）在边长为32的菱形ABCD 中， 60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为
120的四面体ABCD ，
则此四面体的外接球表面积为
解：分析知ABD ?和CBD ?都是等边三角形，如图，取BD 的中点M ，ABD ?和
CBD ?的外接圆半径为221==r r ，ABD ?和CBD ?的外心21,O O 到弦BD 的距离
（弦心距）为121==d d ，
法一：由题意OM 是四边形21MO OO 的外接圆直径，在21MO O ?中，由余弦定理得
321=O O ，又由正弦定理：
OM r Sin O O ==?
21202
1，得2=OM . 在OMB Rt ?中，
32
3
22===
BD MB ，由勾股定理得7==OB R ，所以ππ2842==R S ； 法二：在M OO Rt 1?中，33160tan 11=
?=?=M O OO 31=OO ，所以在C OO Rt 1?中，
743212
122=+=+==C O OO OC R ，所以ππ2842==R S ；
法三：借助AEC ?的外接圆是大圆，用正弦定理求球半径. 作出等
边CBD ?的外接圆直径CE ,则3==CM AM ，
4222=?==r CE ，11==M O ME ，在AME ?中，?=∠60AME ，由余弦定理得72
=AE ，7=AE ，同理
(4)题图
→
抽象化
(5)题解答图
-2
(5)题解答图-1
1
(3)题
33=AC ；又在AEC ?中，由余弦定理得 7
214
7227167cos -
=??-+=
∠AEC ，7
23
3sin =
∠AEC ，727
23
33
3sin 2==∠=
AEC AC R ，7=R ；所以ππ2842==R S .
(2) 在四面体ABCD 中， 120=∠BDA ，
150=∠BDC ，2==BD AD ，3=
CD ，二面角C BD A --的平面
角的大小为
120，则此四面体的外接球的体积为
解：如图，过两小圆（两三角形外接圆）圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，在ABD ?中，由余弦定理，
32=AB ，又由正弦定理42
3
3212022==?=Sin AB r ，
∴22=r ，弦心距314212
2
22=-=??? ??-=BD B O M O ，同理在ACD ?中，13=BC ，131=r ，弦心距321=M O ，21MO O ∠为二面角C BD A --的平面角，
2
1
12021-=?=∠∴Cos MO O Cos 在21MO O ?中，由余弦定理 ∴2121=O O . 21MO OO 是圆内接四边形，OM
是该四边形的外接圆直径，r OM '=∴2，由正弦定理72120
sin 2
1==
O O OM ， 法一：在OMD ?中，∴292
222=+==OM MD OD R ，29=R ，∴3
29116π=球V ；
法二：在M OO Rt 2?中，2522222=-=M O OM OO ，在D OO Rt 2?中，∴292
22222=+==OO r OD R ，29=R ，
∴3
29116π
=
球V . 4．对于球内接正棱锥；或非正棱锥，即底面不是正多边形，但满足顶点在底面的射影是底面外接圆圆心的模型。 需讨论球心的位置，列方程求解，舍去一种位置，也可不讨论球心的位置，而由2
2
2
)(r R R h -=-，求R .（见例5）
球与正棱锥的组合，常见的有两类，
一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解. 二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.
例5（1）请观看视频（例题6） （同时练习画图）
图5-1
图5-2
图5-3
图5-4
图5-6
图
5-7
图5-8
方法一：（特征三角形法）构造（作出）球中的Rt △，由勾股定理求球半径R. 解题步骤：
第一步：确定球心O 的位置，取ABC ?的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；
第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：2
12
12
O O A O OA +=?2
2
2
)(r R h R +-=，解出R 方法二：（大圆法）小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.
方法三：速算法，h
b R 22=
例5（2）一个四棱锥的底面是正方形，其顶点在底面的射影为该正方形的
中心，即正四棱锥。已知四棱锥的各顶点都在同一个球面上，且该四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积是 （ ）
A ．10π
B ．16π
C ．12π
D ．18π
解法一：（特征三角形法）设底面正方形的边长为a ，由
633
1
22==?=a a V ，得6=a ，所以底面外接圆半径3=r .
由222)(r R R h -=-，得3)3(2
2-=-R R ，得R=2 .
所以外接球的表面积为ππ1642
==R S ，选B .
解法二：（大圆法，利用轴截面圆是大圆求球半径）过底面对角线和高所在的直线的平面截球所得的圆是大圆，是△PAC 的外接圆，其半径就是球半径R. 在直角三角形POA 中，可求出3=OA ，所以tan ∠PAO =
33
3=,得
C
D A
B
S
O 1图3
C
D
A
B
S
O 1
图3
∠PAO=60°，所以△PAC 是等边三角形，所以23
2==h R ，（也可以用正弦定理求R ：
R Sin APC AC 2603
2,60,32=?
∴
?=∠= ，∴22
33==
R ）
，所以外接球的表面积为ππ1642==R S ，选B . 解法三：（速解法，见后四（二））h
b R 22
=
例5（2） 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C
A ．π3
B ．π2
C ．3
16π D ．以上都不对
解法一：（特征三角形法）此几何体是圆锥，作出直观图如下图，高3=h ，利用
球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，（勾股定理）
221)3(R R =+-,3
2=
R ,ππ31642
==R S ；选C
解法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三
角形PMN 的外接圆是大圆，PMN ?是等边三角形，2=MN ，?=∠60MPN ，由正弦定理3
4
60sin 22==
R ，或33232==h R ，下略；
解法三：（速解法，见后四（二））h
b R 22
=
巩固训练：
1．(2014·大纲全国，10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π
4 【解析】由题意易知，球心在正四棱锥的高上，设球的半径为R ， 据题意，2=
r ,由222)(r R R h -=-，得2)4(22-=-R R ，得R=94
. 故选A.
解法二：（速解法）h
b R 22
=
2．在三棱锥P －ABC 中，PA ＝
侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A ．π B.
3π C. 4π D.43π
解答图
侧视图
正视图
解：①若R ≥ h ，……，无解；
②若R ?= =A O r ，高2 3 60sin 31=?==PO h ，构造A OO 1?（O 为球心），得2 2 2 )(R h r R -+=，解得1=R ；π3 4 =V ，选D ， 解法二：略 5.其它 例6．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ?是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且 2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．2 解：（构造R t △）利用⊥1OO 截面ABC ，且21h OO =求三棱锥的高h ，3 6 )33( 12221= -=-=r R OO ，362=h ，6 2 362433131=??== Sh V 锥。选A （三）特殊的——补体法（不用找球心，不用构造R t △） 可分为三类： 1．有“直角”条件的 ①“墙角”结构（有三个直角， ，或者说有三条棱两两垂直的柱或锥，不找球心的位置即可求出球半径 ）——补形成长（正）方体。 c a b 图1-1 C P A B a b c 图1-2 P C B A a b c 图1-3 C B P A a b c P C B A 方法：一般地，若一个三棱锥(柱)的三条棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c = ++，即 球类组合体的求解方法 与球有关的组合体问题具有一定的灵活性和隐蔽性,加之其组合体的立体几何图形有一定的复杂性,故能很好考查学生的空间思维能力.许多学生在处理与球有关的组合体问题时,由于受到球本身的限制,不善于从组合体问题中挖掘关键点,而显得不够简捷. 1．由球面定义定球心 球心是球的灵魂,抓住了球心就抓住了球的位置.球面上任意一点到球心的距离都相等,这是确定球心位置的基本策略 例1 (20XX 年安徽高考题) 表面积为 在同一个球面上,则此球的体积为( ) A 、 B 、13π C 、23π D 、 分析 如图所示: 正八面体的各个顶点P ，A ，B ，C ，D ，Q 都 在 同一个球面上,球 心O 到P ，A ，B ，C ，D ， Q 六点的距离相 等, 因为正八面体的各个面都是正三角形,结合球的内接正八面体的对称性可知:正八面体的顶点A ，B ，C,D 在球O 的同一个大圆上 , 且四边形ABCD 为正 方形.所以 = 2R AB ,即AB . 又因为正 八面体的表面积为且正八面体的各个面都是正三角形, 所 以 28=14AB AB ? =，1=,即 2R = 所以此球的体积为 334433V R ππ== 因此答案应选A. 评注：解此题的关键是确定球心O 恰好是正方形ABCD 的中心,再结 合正八面体的各个面都是正三角形以及正八面体的表面积为可求出球O 的体积. 2 .利用割补思想定球心 在直接将球心定位较困难时,利用分割或补形的思想方法去探寻球心的位置,是解决与球有关的组合体问题一种常用策略. 例2 (20XX 年全国高考题)一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点 在同一球面上,则此球的表面积为 ( ) (A)3π (B)4π (C) (D)6π 分析 法1(分割): 如图3所示,连结球心 O 与正四面体11C A BD 的四个顶点,则四面体 被分割成四个相同的 小正三棱锥,由 1114C A BD O A BD V V --=得各小棱锥的高为原正四面体高 的1 4 ,进而可求得 外接球的半径 R = ,球的 表面积为3π.故答案应选(A). 法2 (补形):如图3所示,构造棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -, 则11C A BD ,正方体1111ABCD A B C D -的外接球 也为正四面体11C A BD 的外接球,此时球的直径2R ==球 的表面积为3π,故答案应选(A). 3.利用正四面体、正方体的外接球球心与内切球球心重合 利用正四面体、正方体的外接球球心与内切球球心重合这一性质,寻求内切球半径与外接球半径的方程,算出半径的值,即可解决问题. 例3 (20XX 年山东高考题)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) (A) 1(B)1:3 (C) 1 分析:如图,由图形的对称性知,正方体的中心O 既是内切球的球心又 是外接球的球心. 题型1：球的截面问题 说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -= 解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量． 1.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 【答案】B 2.在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为249cm π和2400cm π．求球的表面积． 解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，21//BO AO ，且若1O 、2O 分 别为两截面圆的圆心，则11AO OO ⊥，22BO OO ⊥．设球的半径为R ． ∵ππ4922=?B O ，∴)(72cm B O = 同理ππ40021=?A O ，∴)(201cm A O = 设xcm OO =1，则cm x OO )9(2+=． 在A OO Rt 1?中，22220+=x R ；在B OO Rt 2?中，2227)9(++=x R ， ∴222)9(720++=+x x ，解得15=x ，∴2 2222520=+=x R ，∴25=R ∴)(2500422cm R S ππ==球．∴球的表面积为22500cm π． 3.球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积． 分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，ABC ?是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式222d R r -=求出球半径R ． 解：∵18=AB ，24=BC ，30=AC ， ∴222AC BC AB =+，ABC ?是以AC 为斜边的直角三角形． ∴ABC ?的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15=r ， 又球心到截面的距离为R d 21=，∴22215)21(=-R R ，得310=R ． ∴球的表面积为πππ1200)310(4422===R S ． 球组合体问题专项练习 一、正方体、正四面体外接球与内切球问题 1.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 (1)外接球:球心是正方体中心;半径a(a 为正方体的棱长). (2)内切球:球心是正方体中心;半径r=2a (a 为正方体的棱长). (3)与各条棱都相切的球:球心是正方体中心;半径a(a 为正方体的棱长). 外接球 内切球 与各条棱都相切的球 2. 正四面体的外接球与内切球 方法（1）：将问题转换为等腰三角形ADF 线段关系问题，易证r:R:h=1:3:4(h 为正四面体的高AE). 方法（2）：将正四面体看成正方体切割而来，由正四面体棱长求出正方体棱长，再求出R ，根据比例可求r ，h. (1)外接球:球心是正四面体的中心;半径a(a 为正四面体的棱长). (2)内切球:球心是正四面体的中心;半径a(a 为正四面体的棱长). → 方法（1） 方法（2） 二、可补成长方体的几何体的外接球问题（所有顶点为所补长方体的顶点） 其本公式：2222 121c b a l R ++== 1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 2．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四 棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的 直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为 ，则该“阳马”的体积为________. 正视图 侧视图 3．将边长为2的正 沿高 折成直二面角 ，则三棱锥 的外接球的表面积是________. 4．在三棱锥 中，三侧面两两互相垂直，侧面 的面积分别为 ，则此三棱锥的外接球的表面积为________. 5．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点， 平面ABC ， ， ， ，则球O 的体积等于________. 6.已知四面体ABCD 中，AB=CD=2，BC=AD=3，BD=AC=7，则该四面体外接球的表面积为________. 二、有一条侧棱垂直于底面的锥体或柱体（直棱柱）的外接球问题 其本公式：222?? ? ??+=h r R ，h 为垂直于底面的侧棱长，r 为底面所在截面半径（若底面为三角形，则)3,60;2,90,sin 2a r A a r A A a r ===== 特别地. 1.已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12,AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的半径为________. 2.已知 ， ， ， 是同一球面上的四个点，其中 是正三角形， 平面 ， ，则该球的表面积为________. 3．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为________. 4.三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ， Q 是BC 边上的一个动点，且直线 PQ 与面ABC 所成角的最大值为 则该三棱锥外接球的表面积为________. 5.已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为________. 专题一 压轴选择题 第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题 【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理． 类型一 四面体的外接球问题 典例1．【2019·山东师范大学附中高考模拟（文）】已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，且6ACB π∠=， 223,1AC AB SA ===.则该三棱锥的外接球的体积为( ) A ．13138π B ．13π C ．136π D ．13136 π 【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将其补全为长方体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径2222c b a R ++= ，c b a ,,分别指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面 积． 【举一反三】【2020·山东高三期末】已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为43，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．32π D ．64π 类型二 三棱柱的外接球问题 典例2．[山东省临沂市2019届高三上学期第六次质量调研]已知三棱柱 的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为 ,则此球的体积等于( ) A ． B ． C ． D ． 【名师指导】确定球心位置是解决相关问题的关键，确定一个点到多面体各顶点相等的策略是将问题分解，即先确定到顶点A B C 、、距离相等的点在过ABC ?的外心且垂直于平面ABC 的直线上，再确定到顶点111A B C 、、距离相等的点过111A B C ?的外心且垂直于平面111A B C 的直线上，故直三棱柱111ABC A B C -的 第3节 球体及组合体 课标要求： 1.利用实物、计算机软件等观察球及简单组合体的结构特征，能利用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.知道球体的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题 . 知 识 梳 理 1.球体的体积 一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积关系 ． 用任一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆 环面.有上述可知： 圆环大圆半径为R ，小圆半径为l ，面积 πππ()S R l R l =-=-22222.所以，S S =12.根据祖暅原理，这两个几何体体积相等.即 所以球的体积 2.球体的表面积 如图,将球的表面分成n 个小球面，每个小球面的顶点与球心O 连接起来，近似的看作是一个棱锥，其高近似的看作是球的半径.则球的体积约为这n 个小棱锥的体积和，表面积是这n 个小球面的面积和.当n 越大时，分割得越细密，每个小棱锥的高就越接近球的半径，于是当n 趋近于无穷大时(即分割无限加细)，小棱锥的高就变 成了球的半径(这就是极限的思想).所有小棱锥的体积和 就是球的体积.最后根据球的体积公式就可以推导出球 的表面积公式. 3.球体的组合体 规则的几何体，如正方体、长方体、正棱柱等能够 和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合， 通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. [微点提醒] 1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面， 截线是圆。大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心． 2：球心和截面圆心的连线垂直于截面． 3：球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有下面的关系： 4：正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则 (1)若球为正方体的外接球，则2R ＝ ； (2)若球为正方体的内切球，则2R ＝ ； (3)若球与正方体的各棱相切，则2R ＝ . (1)(2)图6 球的组合体（课前导学） 1. 【2017全国Ⅲ，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB． 3π 4 C． π 2 D． π 4 题型几何载体考查知识点题目类型难度选择题B 2.【2016全国Ⅰ，理6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（） A．17πB．18πC．20πD．28π 题型几何载体考查知识点题目类型难度选择题A 3.【2016全国Ⅲ，理10】在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（） A．4πB．C．6πD． 题型几何载体考查知识点题目类型难度选择题B 4.【2015课标全国Ⅰ,理11】 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A .1 B .2 C .4 D .8 题型 几何载体 考查知识点 题目类型 难度 选择题 B 5.【2015课标全国Ⅱ,理9】已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 题型 几何载体 考查知识点 题目类型 难度 选择题 C 6.【2014·全国大纲卷，理8】正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4 题型 几何载体 考查知识点 题目类型 难度 选择题 A 7.【2013全国1，T6】6. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A. 866π3cm 3 B. 500π3cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π 3 cm 3 题型 几何载体 考查知识点 题目类型 难度 选择题 B 研究心得： 简单几何体、组合体专题训练 1.圆柱的侧面展开图是长为12cm ，宽为8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为 （ ） A.288 π cm 3 B. 192 π cm 3 C. 288 π cm 3或 192 π cm 3 D.192π cm 3 2.把直径分别为6cm ，8cm ，10cm 的三个铜球先熔成一个大球，再将其削成一个最大的正方体，则这一正方体的体积为 . 3.轴截面是正方形的圆柱有一内接正四棱柱，已知圆柱的轴截面对角线长为 22cm ，则四棱柱的体积为（ ） A.4cm 3 B.8 cm 3 C.2πcm 3 D.4πcm 3 4.棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） A.33a B.34a C.36a D.3 12 a 5.已知一个直棱柱底面是菱形，面积为S ，两对角面的面积分别为m ，n ，求直棱柱的体积. 6.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱18AA =.若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过AC 、BC 、11AC 、11B C 的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高为多少？ 7.（全国1理16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 __________。 8.一个容器形如倒置的等边圆锥，如图所示，当所盛水深是容器高的一半时，将容器倒转，那么水深是容器高的（ ） A.31172+ B.3172 C.31172- D.31 173 - 9.在全面积为2a π的圆锥中，当底面半径为何值时圆锥体积最大，最大体积是多少？ 10.半径为r 的球放置于倒置的等边圆锥容器内，再将水注入容器内到水与球面相切为止，取出球后水面的高度是 . 11.直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，已知点P ，Q 分别为1AA ，1CC 上的点，而且满足1AP C Q =，则四棱锥B APQC -的体积是（ ） A.12 V B.13 V C.14 V D.23 V 12.一个正三棱锥的底面边长为a ，且三条侧棱两两垂直，求棱锥的体积. 13.四面体ABCD 中，5AB CD ==，41BC AD ==，34BD AC ==，求这个四面体的体积. 多面体与球的组合体问题的求解策略 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用． 策略一：公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为_________． 【解析】设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,936,8 4x x h =???=???∴1,23x h ?=???=?． ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离32 d =．∴外接球的半径221R r d =+=，43 V π∴=球 【小结】本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式 策略二：多面体几何性质法[来 XK] 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π 【解析】设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =．[来源:Zxxk ．Com] ∴222222426,6R R =++=∴= ．∴这个球的表面积是2424R ππ=．选C ． 【小结】本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的． 策略三：补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_________． 【解析】据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球． 专题七 不等式 问题一：多面体与球的组合体问题 一、考情分析 纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理． 二、经验分享 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． (3)研究有一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球，可把该三棱锥补成直三棱柱 三、知识拓展 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a . (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1 四、题型分析 (一) 球与柱体的组合体 规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 如图1所示,正方体1111ABCD A B C D -,设正方体的棱长为a ,,,,E F H G 为棱的中点,O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球,截面图为正方形EFGH 和其内切圆,则2 a OJ r == ；二是与正方 微专题3---球的组合体问题 一、选择题（本大题共6小题，共30.0分） 1. 在四面体PABC 中，PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，AP =BP =AB =2PC =2，则四面体PABC 外接球的表面积是( ) A. 17π12 B. 19π12 C. 19π3 D. 17π 3 【答案】C 【解析】【分析】 本题给出特殊的三棱锥外接球的表面积的求解．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题． 由已知可得PC ⊥平面PAB ，先设O 是外接球球心，H 是△ABP 的中心，由去球的性质可知，OH ⊥平面PAB ，且OH =1 2PC ， 根据勾股定理求出外接球半径，即可求解． 【解答】 解：∵PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，且PA ∩PB =P ，∴PC ⊥平面PAB ，AP =BP =AB =2PC =2， 设O 是外接球球心，H 是△ABP 的中心，由球的性质可知，OH ⊥平面PAB ，则OH =12PC =1 2，PH =2×√32×23=2√3 3 ， 则R 2=OP 2=OH 2+PH 2 =19 12，故四面体外接球的表面积是S =4πR 2 = 19π3 ． 故选C ． 2. 如图所示，四棱锥P ?ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面PDC 为等腰直角三角形 且垂直于底面ABCD ，若PD =PC =√2，AD =1，则四棱锥P ?ABCD 的外接球的表面积为( ) A. 5π3 B. 4π C. 5π D. 20π 【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查球的表面积，解答本题的关键是球的半径的求法，属于中档题． 先求出OP =√5 2，再依据矩形对角线互相平分且相等推出OA 与OB 、OC 、OD 的关系，即可推出结论． 【解答】 解：如图，连接AC ，BD 交于点O ，作PQ ⊥CD 于点Q ，连接OP ，OQ ， 由条件可知PQ =12CD =1，OQ =1 2，侧面PDC ⊥底面ABCD ， 侧面PDC ∩底面ABCD =CD ，PQ ⊥CD ，PQ ?侧面PDC ， ∴PQ ⊥底面ABCD ，又OQ ?底面ABCD ， ∴PQ ⊥OQ ，所以OP =√52 ． 由矩形对角线互相平分且相等可得OA =OB =OC =OD =√5 2 ． 所以点O 为该四棱锥外接球的球心，球的半径为√5 2 ， 所以四棱锥P ?ABCD 的外接球的表面积为4π×(√52 )2=5π． 故 选C ． 3. 在△ABC 中，AB = 3，BC =4，AC =5，过B 点作AC 的垂线，垂足为D ，以BD 为折痕将△ABD 折起使点A 到 达点P 处，满足平面PBD ⊥平面BDC ，则三棱锥P ?BDC 的外接球的表面积为( ) A. 25π B. 16π C. 48π D. 481 25π 【答案】D 球的组合体 1.球的表面积与体积： 2 4S R π=, 34 3 V R π= . 2.正方体、长方体与球：(1)设正方体的棱长为a ，则内切球半径为2 a R = ，外接球半径2R a = ，与棱相切的球半径2 R a =.(2) 长方体的外接球直径2R =3. 直棱柱与球的组合问题 直棱柱的外接球，其球心一定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径. 4.正四面体与球：设正四面体的棱长为a ，则该正四面体的：(1) 全面积2 S ；(2)体 积312V a = ；(3)对棱中点连线段的长2d =；(4)内切球半径12r a =；(5)外接球半径4 R a = ；(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 (等于正四面体的高). 可以用分割的方法求出内切球半径，也可以也可以运用正四面体的二心合一性质，作出 截面图，通过点、线、面关 系解之.在Rt BEO ?中，22 2B O B E E O =+ ，即 222 )R r =+ ，得R =，得3R r =. 5.一般棱锥与球:利用2 2 2 R d r =+求解. 三、高考真题演练 1.【2012新课标理11】 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =,则此棱锥的体积为 A A B C D 2.【2013新理6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为A 333350086613722048. . . .3333 A cm B cm C cm D cm ππππ 3.【2015新理科一理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620π+，则r =B .1 .2 .4 .8A B C D 4.【2015新课标2理9】已知,A B 是球O 的球面上两点，o 90AOB ∠=,C 为该球面上的动点，若三棱锥O A B C -体积的最大值为36，则球O 的表面积为 .36 .64 .144 .256A B C D ππππ C 5.【2016全国三理10】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若 AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是B 932.4 . .6 .23 A B C D ππ ππ 6.【2016理科6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 283 π ，则它的表面积是A .17 .18 .20 .28A B C D ππππ 四、经典例题解析 【例1】【2006全国一】已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为C .16 .20 .24 .32A B C D ππππ 【变式练习】1.【2010新课标理】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为B 2 2 2 27 11.. . .53 3 A a B a C a D a ππππ 2.【2008新课标理】一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 8 9 ，底面周长为3，则这个球的体积为 球的组合体 1若一个球的体积为，则它的表面积为 一． 球截面问题 1 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积． 2.已知四面体ABCD 中 ,AB=AD=6,AC=4,CD=2,AB ⊥平面ACD,则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ） A ．36 B ．88 C ．92 D ．128 3.已知矩形A B C D 的顶点都在半径为4的球面上,且AB =6,BC =,则棱锥O ABCD -的体积为__________. 4球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积． 5.已知三棱锥O —ABC ,A .B ．C 三点均在球心为0的球表面上,AB=BC=1,∠ABC=120°,三棱锥O —ABC 则球O 的表面积是 （ ） A ．64π B ．16π C ．32 3π D ．544π 6.已知四面体中,,平面,则四面体外接球的体积为____ 13ππππP ABC -4,2PA PB PC AC ====PB ⊥PAC P ABC - 二． 球心可见问题： 1在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折 成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体 积为 A. 12512π B.1259π C.1256π D.1253π 2已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱 锥的体积为 三．补形问题（正方体、长方体） 1求棱长为a 的正四面体外接球和内切球的体积？ 2.正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 3自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求222MC MB MA ++的值． S ABC -O ABC ?1SC O 2SC =() A 6() B () C 3() D 2A O D B 图4 多面体与球切、接的问题（一） 纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一. 高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. 首先明确定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 1 球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形 态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关 问题. 1.1 球与正方体 如图所示，正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 ，设正方体的棱长为 a ， E , F , H , G 为棱的中点， O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形 EFGH 和 a 其内切圆，则 OJ = r = ；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形 EFGH 和其外 2 接圆，则 GO = R = 2 a ；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形 ACAC 和其外接 2 1 1 圆，则 A 1O = R ' = 3 a .通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工 2 具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确 定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题. 1.立体几何中的组合体问题 一、补（补成长方体或正方体） 1. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 A 、3π B 、4π C 、33π D 、6π 2. 在正三棱锥ABC S -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱 32=SA ，则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是（ ） A ．π12 B ．π32 C ．π36 D ．π48 3. 点P 的球面上，过P 作两两互相垂直的三条弦（两端点均在球面上的线 段），若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是 A ．6 B C D 4. 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ） A ．8π B ．6π C ．4π D ．π 5. 设正方体的棱长为233，则它的外接球的表面积为（ ） A ．π38 B ．2π C ．4π D ．π3 4 6. 已知三棱锥S ABC -的三条侧棱两两垂直，且2,4SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的半径为 A ．3 B ．6 C ．36 D ．9 7. 已知长方体1111ABCD A BC D -的外接球的表面积为16，则该长方体的表面积的最大值为 A ．32 B ．36 C ．48 D ．64 8. 长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，其中 1::AB AD AA =O ABCD -的体积为 A . 3 B . 3 C . D .3 9.【山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试数学文】四棱 锥P ABCD -的三视图如右图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶 点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为 A .12p B .24p C .36p D .48p 10. (河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试四)已知四面体ABCD 中， AB 丄平面ACD ,则四面体 ABCD 外接球的表面积为 问题一：多面体与球的组合体问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则12 A O R a '==. 通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关 系，进而将空间问题转化为平面问题. 例1棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（） A B ．1 C ．1 D 为1.3 球与正棱柱 球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ， ,,,2h OD AO R AD ===借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求R =例3正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为. ，设正四正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O .此时，,CO OS R OE r ===, ,,SE CE ==则有22223a R r R r CE +=-=，=，解得：,.R r ==这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O 为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方 专题：与球体截面相关的计算问题 方法总结： 1.确定三角形外接圆半径 （1）直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点上，且半径为斜边的一半； （2）等边三角形（边长为a ）的外接圆的圆心在三角形的重心上，且半径为a 3 3； （3）其他非特殊三角形的外接圆的半径可利用正弦定理求解，即R A a 2sin =（a 为角A 的对边）. 2.记住几个常用的结论： （1）正方体的棱长为a ，球的半径为R . ①对于正方体的外接球，2R ； ②对于正方体的内切球，2R ＝a ； ③对于球与正方体的各棱相切，2R . （2）在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，球的半径为R ，则2R = （3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 3.构造法在定几何体外接球球心中的应用 （1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； （2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； （3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体； （4）若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体． 例题1-1．已知四面体P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，23AC AB =，若四面体P ABC -的体积为32 ，求球的表面积( ) A ．8π B ．12π C ．83π D ．123π 例题1-2．在三棱锥A BCD -中，AB ⊥面,4,25,2BCD AB AD BC CD ==== ，则三棱锥A BCD -的外接球表面积是（ ） A ．25π B ．20π C ．5π D ．π5 变形1-1.矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将ABCD 矩形折起，使面BAC ⊥面DAC ，则四面体A BCD -一、球心在三棱锥侧棱上 在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ABC ⊥平面,12,2 AA BC BAC π ==∠=，此 三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ） A ． 323 π B ．16π C ． 253 π D ． 312 π 【知识点】线面垂直的性质;球内接多面体;球体积的公式. 【答案解析】A 解析 ：解：直三棱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上， （如图）， ∵ABC 中，BAC ?ABC 的外心P 为BC 的中点， 同理，可得上底面111A B C 的外心Q 为11B C 的中点， 连接PQ ，则PQ 与侧棱平行，所以PQ ⊥平面ABC 再取PQ 中点O ，可得：点O 到111,,,,,A B C A B C 的距离相等， ∴O 点是三棱柱111ABC A B C -外接球的球心 ∵RT POB 中，12BP BC = =11 12 PQ AA ==， ∴2OB =，即外接球半径2R =， 因此，三棱柱111ABC A B C -外接球的球的体积为：3344233V R p p ==故选：A ． 【思路点拨】根据题意并结合空间线面垂直的性质，可得三棱柱111ABC A B C -外接球的球心是上下底面斜边中点的连线段PQ 的中点．在直角RT POB 中，利用勾股定理算出OB 的长，即得外接球半径R 的大小，再用球的体积公式即可算出所 求外接球的体积． 四面体ABCD 中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD 的外 接球的表面积（ ） A ．25π B ．45π C ．50π D ．100π 【知识点】几何体的外接球的表面积的求法;割补法的应用. 1 题型1：球的截面问题 说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -=解题，我们可以通过两个量求第三个量， 也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量． 1.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 2.在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为249cm π和2400cm π．求球的表面积． 3.球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积． 4．如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在 容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ） A ．3 5003cm π B ． 3 8663cm π C ．313723 cm π D ．320483 cm π 题型2：球与几何体的切、接问题 ①． 正方体棱长为a ，则其内切球半径r 内切= ；棱切球半径r 外接= ；外接球半径r 外接= ②．长方体长宽高分别为c b a ,,，则其外接球半径r 外接=_________ ③．正四面体棱长为a ，则其内切球半径r 内切=_________；外接球半径r 外接=_________ C B A D S O E 2 ④. 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比． 1.设长方体的长、宽、高分别为a a a ,,2,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A ）2 3a π （B ）2 6a π （C ）2 12a π （D ） 2 24a π 练1.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ． 练2. ，则其外接球的表面积是 .: 练3．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为 （ ） A ． 2 B ．C ． 132 D ．2．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 92 π , 则正方体的棱长为 ______. 3.过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为?60，若球半径为R ，求弦AB 的长度． 4. 正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积． R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法． 5.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ） () A 6 ()B 6 ()C 3 () D 2 6．已知正四棱锥O-ABCD 的体积为 ,底面边长为 ,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为________. 7.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。 8．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的 3 16 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________． 9．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．球类组合体的求解方法
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