题型1：球的截面问题
说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -=
解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．
1.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为
（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π
【答案】B
2.在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为249cm π和2400cm π．求球的表面积．
解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，21//BO AO ，且若1O 、2O 分
别为两截面圆的圆心，则11AO OO ⊥，22BO OO ⊥．设球的半径为R ．
∵ππ4922=?B O ，∴)(72cm B O =
同理ππ40021=?A O ，∴)(201cm A O =
设xcm OO =1，则cm x OO )9(2+=．
在A OO Rt 1?中，22220+=x R ；在B OO Rt 2?中，2227)9(++=x R ，
∴222)9(720++=+x x ，解得15=x ，∴2
2222520=+=x R ，∴25=R
∴)(2500422cm R S ππ==球．∴球的表面积为22500cm π．
3.球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，ABC ?是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式222d R r -=求出球半径R ．
解：∵18=AB ，24=BC ，30=AC ，
∴222AC BC AB =+，ABC ?是以AC 为斜边的直角三角形．
∴ABC ?的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15=r ， 又球心到截面的距离为R d 21=，∴22215)21(=-R R ，得310=R ． ∴球的表面积为πππ1200)310(4422===R S ．
4．如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当
球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为
（ ） A ．35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm π D ．320483
cm π 【答案】A
题型2：球与几何体的切、接问题
①． 正方体棱长为a ，则其内切球半径r 内切= ；棱切球半径r 外接= ；外接球半径r 外接=
②．长方体长宽高分别为c b a ,,，则其外接球半径r 外接=_________
③．正四面体棱长为a ，则其内切球半径r 内切=_________；外接球半径r 外接=_________
C B A
D S O E
球类组合体的求解方法 与球有关的组合体问题具有一定的灵活性和隐蔽性,加之其组合体的立体几何图形有一定的复杂性,故能很好考查学生的空间思维能力.许多学生在处理与球有关的组合体问题时,由于受到球本身的限制,不善于从组合体问题中挖掘关键点,而显得不够简捷. 1．由球面定义定球心 球心是球的灵魂,抓住了球心就抓住了球的位置.球面上任意一点到球心的距离都相等,这是确定球心位置的基本策略 例1 (20XX 年安徽高考题) 表面积为 在同一个球面上,则此球的体积为( ) A 、 B 、13π C 、23π D 、 分析 如图所示: 正八面体的各个顶点P ，A ，B ，C ，D ，Q 都 在 同一个球面上,球 心O 到P ，A ，B ，C ，D ， Q 六点的距离相 等, 因为正八面体的各个面都是正三角形,结合球的内接正八面体的对称性可知:正八面体的顶点A ，B ，C,D 在球O 的同一个大圆上 , 且四边形ABCD 为正 方形.所以 = 2R AB ,即AB . 又因为正 八面体的表面积为且正八面体的各个面都是正三角形, 所 以 28=14AB AB ? =，1=,即 2R = 所以此球的体积为 334433V R ππ== 因此答案应选A. 评注：解此题的关键是确定球心O 恰好是正方形ABCD 的中心,再结 合正八面体的各个面都是正三角形以及正八面体的表面积为可求出球O 的体积. 2 .利用割补思想定球心
在直接将球心定位较困难时,利用分割或补形的思想方法去探寻球心的位置,是解决与球有关的组合体问题一种常用策略. 例2 (20XX 年全国高考题)一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点 在同一球面上,则此球的表面积为 ( ) (A)3π (B)4π (C) (D)6π 分析 法1(分割): 如图3所示,连结球心 O 与正四面体11C A BD 的四个顶点,则四面体 被分割成四个相同的 小正三棱锥,由 1114C A BD O A BD V V --=得各小棱锥的高为原正四面体高 的1 4 ,进而可求得 外接球的半径 R = ,球的 表面积为3π.故答案应选(A). 法2 (补形):如图3所示,构造棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -, 则11C A BD ,正方体1111ABCD A B C D -的外接球 也为正四面体11C A BD 的外接球,此时球的直径2R ==球 的表面积为3π,故答案应选(A). 3.利用正四面体、正方体的外接球球心与内切球球心重合 利用正四面体、正方体的外接球球心与内切球球心重合这一性质,寻求内切球半径与外接球半径的方程,算出半径的值,即可解决问题. 例3 (20XX 年山东高考题)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) (A) 1(B)1:3 (C) 1 分析:如图,由图形的对称性知,正方体的中心O 既是内切球的球心又 是外接球的球心.
二十种排列组合问题的解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理． 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理． 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题．提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =???种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事． 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或 是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类． 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 排法； 然后排首位，从２，４和剩余的两个奇数中任选一个共有1 4C 种排法； 最后排中间三个数，从剩余四个数中任选３个的排列数共有34A 种排法； ∴由分步计数原理得113 4 34288C C A = 443
题型1：球的截面问题 说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -= 解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量． 1.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 【答案】B 2.在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为249cm π和2400cm π．求球的表面积． 解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，21//BO AO ，且若1O 、2O 分 别为两截面圆的圆心，则11AO OO ⊥，22BO OO ⊥．设球的半径为R ． ∵ππ4922=?B O ，∴)(72cm B O = 同理ππ40021=?A O ，∴)(201cm A O = 设xcm OO =1，则cm x OO )9(2+=． 在A OO Rt 1?中，22220+=x R ；在B OO Rt 2?中，2227)9(++=x R ， ∴222)9(720++=+x x ，解得15=x ，∴2 2222520=+=x R ，∴25=R ∴)(2500422cm R S ππ==球．∴球的表面积为22500cm π． 3.球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积． 分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，ABC ?是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式222d R r -=求出球半径R ． 解：∵18=AB ，24=BC ，30=AC ， ∴222AC BC AB =+，ABC ?是以AC 为斜边的直角三角形． ∴ABC ?的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15=r ， 又球心到截面的距离为R d 21=，∴22215)21(=-R R ，得310=R ． ∴球的表面积为πππ1200)310(4422===R S ．
高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有 m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花 盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素， 再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法
球组合体问题专项练习 一、正方体、正四面体外接球与内切球问题 1.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 (1)外接球:球心是正方体中心;半径a(a 为正方体的棱长). (2)内切球:球心是正方体中心;半径r=2a (a 为正方体的棱长). (3)与各条棱都相切的球:球心是正方体中心;半径a(a 为正方体的棱长). 外接球 内切球 与各条棱都相切的球 2. 正四面体的外接球与内切球 方法（1）：将问题转换为等腰三角形ADF 线段关系问题，易证r:R:h=1:3:4(h 为正四面体的高AE). 方法（2）：将正四面体看成正方体切割而来，由正四面体棱长求出正方体棱长，再求出R ，根据比例可求r ，h. (1)外接球:球心是正四面体的中心;半径a(a 为正四面体的棱长). (2)内切球:球心是正四面体的中心;半径a(a 为正四面体的棱长). → 方法（1） 方法（2） 二、可补成长方体的几何体的外接球问题（所有顶点为所补长方体的顶点） 其本公式：2222 121c b a l R ++== 1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 2．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四 棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的 直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为 ，则该“阳马”的体积为________. 正视图 侧视图
3．将边长为2的正 沿高 折成直二面角 ，则三棱锥 的外接球的表面积是________. 4．在三棱锥 中，三侧面两两互相垂直，侧面 的面积分别为 ，则此三棱锥的外接球的表面积为________. 5．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点， 平面ABC ， ， ， ，则球O 的体积等于________. 6.已知四面体ABCD 中，AB=CD=2，BC=AD=3，BD=AC=7，则该四面体外接球的表面积为________. 二、有一条侧棱垂直于底面的锥体或柱体（直棱柱）的外接球问题 其本公式：222?? ? ??+=h r R ，h 为垂直于底面的侧棱长，r 为底面所在截面半径（若底面为三角形，则)3,60;2,90,sin 2a r A a r A A a r ===== 特别地. 1.已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12,AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的半径为________. 2.已知 ， ， ， 是同一球面上的四个点，其中 是正三角形， 平面 ， ，则该球的表面积为________. 3．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为________. 4.三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ， Q 是BC 边上的一个动点，且直线 PQ 与面ABC 所成角的最大值为 则该三棱锥外接球的表面积为________. 5.已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为________.
专题一 压轴选择题 第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题 【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理． 类型一 四面体的外接球问题 典例1．【2019·山东师范大学附中高考模拟（文）】已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，且6ACB π∠=， 223,1AC AB SA ===.则该三棱锥的外接球的体积为( ) A ．13138π B ．13π C ．136π D ．13136 π 【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将其补全为长方体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径2222c b a R ++= ，c b a ,,分别指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面 积． 【举一反三】【2020·山东高三期末】已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为43，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．32π D ．64π 类型二 三棱柱的外接球问题 典例2．[山东省临沂市2019届高三上学期第六次质量调研]已知三棱柱 的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为 ,则此球的体积等于( ) A ． B ． C ． D ． 【名师指导】确定球心位置是解决相关问题的关键，确定一个点到多面体各顶点相等的策略是将问题分解，即先确定到顶点A B C 、、距离相等的点在过ABC ?的外心且垂直于平面ABC 的直线上，再确定到顶点111A B C 、、距离相等的点过111A B C ?的外心且垂直于平面111A B C 的直线上，故直三棱柱111ABC A B C -的
高考数学专题七：排列、组合、二项式定理 一、高考考试说明 计数原理 （１）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题． （２）理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题. （３）理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题. （４）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 二、核心知识点归纳： 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 １．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第１类方案中有m种不同的方法，在第２类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同方法． ２．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第１步有m种不同的方法，做第２步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 注意： １．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． ２．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的． 二、排列与组合 １．排列与排列数 （１）排列： 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个排列． （２）排列数： 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作A错误!. ２．组合与组合数 （１）组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合． （２）组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C错误!. ３．排列数、组合数的公式及性质 注意： １．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关． ２．计算A错误!时易错算为n（n—１）（n—２）…（n—m）． ３．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数． ４．排列问题与组合问题的识别方法：
第3节 球体及组合体 课标要求： 1.利用实物、计算机软件等观察球及简单组合体的结构特征，能利用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.知道球体的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题 . 知 识 梳 理 1.球体的体积 一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积关系 ． 用任一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆 环面.有上述可知： 圆环大圆半径为R ，小圆半径为l ，面积 πππ()S R l R l =-=-22222.所以，S S =12.根据祖暅原理，这两个几何体体积相等.即 所以球的体积 2.球体的表面积 如图,将球的表面分成n 个小球面，每个小球面的顶点与球心O 连接起来，近似的看作是一个棱锥，其高近似的看作是球的半径.则球的体积约为这n 个小棱锥的体积和，表面积是这n 个小球面的面积和.当n 越大时，分割得越细密，每个小棱锥的高就越接近球的半径，于是当n 趋近于无穷大时(即分割无限加细)，小棱锥的高就变 成了球的半径(这就是极限的思想).所有小棱锥的体积和 就是球的体积.最后根据球的体积公式就可以推导出球 的表面积公式. 3.球体的组合体 规则的几何体，如正方体、长方体、正棱柱等能够 和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合， 通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. [微点提醒] 1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面， 截线是圆。大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心． 2：球心和截面圆心的连线垂直于截面． 3：球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有下面的关系： 4：正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则 (1)若球为正方体的外接球，则2R ＝ ； (2)若球为正方体的内切球，则2R ＝ ； (3)若球与正方体的各棱相切，则2R ＝ . (1)(2)图6
球的组合体（课前导学） 1. 【2017全国Ⅲ，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB． 3π 4 C． π 2 D． π 4 题型几何载体考查知识点题目类型难度选择题B 2.【2016全国Ⅰ，理6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（） A．17πB．18πC．20πD．28π 题型几何载体考查知识点题目类型难度选择题A 3.【2016全国Ⅲ，理10】在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（） A．4πB．C．6πD． 题型几何载体考查知识点题目类型难度选择题B 4.【2015课标全国Ⅰ,理11】
圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A .1 B .2 C .4 D .8 题型 几何载体 考查知识点 题目类型 难度 选择题 B 5.【2015课标全国Ⅱ,理9】已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 题型 几何载体 考查知识点 题目类型 难度 选择题 C 6.【2014·全国大纲卷，理8】正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4 题型 几何载体 考查知识点 题目类型 难度 选择题 A 7.【2013全国1，T6】6. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A. 866π3cm 3 B. 500π3cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π 3 cm 3 题型 几何载体 考查知识点 题目类型 难度 选择题 B 研究心得：
简单几何体、组合体专题训练 1.圆柱的侧面展开图是长为12cm ，宽为8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为 （ ） A.288 π cm 3 B. 192 π cm 3 C. 288 π cm 3或 192 π cm 3 D.192π cm 3 2.把直径分别为6cm ，8cm ，10cm 的三个铜球先熔成一个大球，再将其削成一个最大的正方体，则这一正方体的体积为 . 3.轴截面是正方形的圆柱有一内接正四棱柱，已知圆柱的轴截面对角线长为 22cm ，则四棱柱的体积为（ ） A.4cm 3 B.8 cm 3 C.2πcm 3 D.4πcm 3 4.棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） A.33a B.34a C.36a D.3 12 a
5.已知一个直棱柱底面是菱形，面积为S ，两对角面的面积分别为m ，n ，求直棱柱的体积. 6.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱18AA =.若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过AC 、BC 、11AC 、11B C 的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高为多少？ 7.（全国1理16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 __________。 8.一个容器形如倒置的等边圆锥，如图所示，当所盛水深是容器高的一半时，将容器倒转，那么水深是容器高的（ ） A.31172+ B.3172 C.31172- D.31 173 -
9.在全面积为2a π的圆锥中，当底面半径为何值时圆锥体积最大，最大体积是多少？ 10.半径为r 的球放置于倒置的等边圆锥容器内，再将水注入容器内到水与球面相切为止，取出球后水面的高度是 . 11.直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，已知点P ，Q 分别为1AA ，1CC 上的点，而且满足1AP C Q =，则四棱锥B APQC -的体积是（ ） A.12 V B.13 V C.14 V D.23 V 12.一个正三棱锥的底面边长为a ，且三条侧棱两两垂直，求棱锥的体积. 13.四面体ABCD 中，5AB CD ==，41BC AD ==，34BD AC ==，求这个四面体的体积.
排列与组合 一、教学目标 1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． 2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 三、活动设计 1.活动：思考，讨论，对比，练习． 2.教具：多媒体课件． 四、教学过程正 1．新课导入 随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．
2．新课 我们先看下面两个问题． (l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 板书：图 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．一般地，有如下原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十m n种不同的方法． (2) 我们再看下面的问题： 由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A 村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 板书：图 这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一
实用文档 排列与组合 一、教学目标 1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． 2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 三、活动设计 1.活动：思考，讨论，对比，练习． 2.教具：多媒体课件． 四、教学过程正 1．新课导入 随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．
实用文档 2．新课 我们先看下面两个问题． (l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 板书：图 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法． 一般地，有如下原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，在第二类办法中有m种不同的方法，……，21在第n 类办法中有m种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m十m2n1十…十m种不同的方法．n(2) 我们再看下面的问题： 由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 板书：图
多面体与球的组合体问题的求解策略 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用． 策略一：公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为_________． 【解析】设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,936,8 4x x h =???=???∴1,23x h ?=???=?． ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离32 d =．∴外接球的半径221R r d =+=，43 V π∴=球 【小结】本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式 策略二：多面体几何性质法[来 XK] 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π 【解析】设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =．[来源:Zxxk ．Com] ∴222222426,6R R =++=∴= ．∴这个球的表面积是2424R ππ=．选C ． 【小结】本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的． 策略三：补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_________． 【解析】据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球．
专题七 不等式 问题一：多面体与球的组合体问题 一、考情分析 纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理． 二、经验分享 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． (3)研究有一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球，可把该三棱锥补成直三棱柱 三、知识拓展 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a . (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1 四、题型分析 (一) 球与柱体的组合体 规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 如图1所示,正方体1111ABCD A B C D -,设正方体的棱长为a ,,,,E F H G 为棱的中点,O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球,截面图为正方形EFGH 和其内切圆,则2 a OJ r == ；二是与正方
第十九讲排列组合 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 一般地，从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 排列的基本问题是计算排列的总个数． 从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素 P． 的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做m n 根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成： 步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法； 步骤2：从剩下的(1 n-)种方法； n-)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1
…… 步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有 11n m n m --=-+（）(种)方法； 由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是 121n n n n m ?-?-??-+L （）（）（） ，即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘． 二、排列数 一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-????L （ ）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =?-?-????L L （）（） ． 在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算． 三、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取 出m 个不同元素的组合数．记作m n C ． 一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法． 根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =?．
排列组合中的染色问题 辅导教师：朱屿 电话： 染色问题的基本要求：每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色 注意问题：颜色的种类，是否有颜色限制。必要时可对颜色进行分类。 1.将A 、B 、C 三种不同的颜色，填到如图所示区域中，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，颜色不能有剩余，则不同的涂法种数为（90） 解：9061 21212121213=-C C C C C C （详解:先从三种不同的颜色中选出一种填到第一个小格 中,后面每小格都有两种不同的选法,所以共有1 21212121213C C C C C C 种,但由于每种颜色都用到且不能有剩余有以下重复的现象出现共六种,所以总计有:90种,） 如果方格数有变化，应该怎样解？ 2.如图所示的花圃分成六个区域，现要栽四种不同的花，每一部分栽一种花色且相邻部分颜色不同，则不同的栽法种数为（120） 5 6 23 4 1 解：先安排1、2、3有243 4=A 种，不妨已分别栽A 、B 、C ，则4、5、6的栽法有 B-C-D B-D-C D-B-C D-B-D D-C-D 共计五种。所以共计有24*5=120种。 3.用五种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的填法种数为（260） 解：①.如果用4种颜色，有1204 5=A 种
1 43 2 ②.如果用3种颜色，选色的103 5=C ，填色方案有2*2*3=12种，共计10*12=120种， B B B C C C A A A B C A ③.用2色图，2022 5=?C ，综上共计120+120+20=260种。 4.用五种颜色涂如图所示的区域，有多少种不同的涂法？（180） 解： 1 4 3 2 ①.如果用3种颜色，603 335=?A C ； ②. .如果用4种颜色，有1204 5=A 种。所以共计180种。 5.用六种广告色着色图中区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色。（480） 14 3 2 解：4804456=??? 6.用n 种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，不同的图法种数为120种，则n=（120）。
微专题3---球的组合体问题 一、选择题（本大题共6小题，共30.0分） 1. 在四面体PABC 中，PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，AP =BP =AB =2PC =2，则四面体PABC 外接球的表面积是( ) A. 17π12 B. 19π12 C. 19π3 D. 17π 3 【答案】C 【解析】【分析】 本题给出特殊的三棱锥外接球的表面积的求解．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题． 由已知可得PC ⊥平面PAB ，先设O 是外接球球心，H 是△ABP 的中心，由去球的性质可知，OH ⊥平面PAB ，且OH =1 2PC ， 根据勾股定理求出外接球半径，即可求解． 【解答】 解：∵PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，且PA ∩PB =P ，∴PC ⊥平面PAB ，AP =BP =AB =2PC =2， 设O 是外接球球心，H 是△ABP 的中心，由球的性质可知，OH ⊥平面PAB ，则OH =12PC =1 2，PH =2×√32×23=2√3 3 ， 则R 2=OP 2=OH 2+PH 2 =19 12，故四面体外接球的表面积是S =4πR 2 = 19π3 ． 故选C ． 2. 如图所示，四棱锥P ?ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面PDC 为等腰直角三角形 且垂直于底面ABCD ，若PD =PC =√2，AD =1，则四棱锥P ?ABCD 的外接球的表面积为( ) A. 5π3 B. 4π C. 5π D. 20π 【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查球的表面积，解答本题的关键是球的半径的求法，属于中档题． 先求出OP =√5 2，再依据矩形对角线互相平分且相等推出OA 与OB 、OC 、OD 的关系，即可推出结论． 【解答】 解：如图，连接AC ，BD 交于点O ，作PQ ⊥CD 于点Q ，连接OP ，OQ ， 由条件可知PQ =12CD =1，OQ =1 2，侧面PDC ⊥底面ABCD ， 侧面PDC ∩底面ABCD =CD ，PQ ⊥CD ，PQ ?侧面PDC ， ∴PQ ⊥底面ABCD ，又OQ ?底面ABCD ， ∴PQ ⊥OQ ，所以OP =√52 ． 由矩形对角线互相平分且相等可得OA =OB =OC =OD =√5 2 ． 所以点O 为该四棱锥外接球的球心，球的半径为√5 2 ， 所以四棱锥P ?ABCD 的外接球的表面积为4π×(√52 )2=5π． 故 选C ． 3. 在△ABC 中，AB = 3，BC =4，AC =5，过B 点作AC 的垂线，垂足为D ，以BD 为折痕将△ABD 折起使点A 到 达点P 处，满足平面PBD ⊥平面BDC ，则三棱锥P ?BDC 的外接球的表面积为( ) A. 25π B. 16π C. 48π D. 481 25π 【答案】D
全县小学骨干教师送 教下乡观摩研讨活动 」学设计~I数学广角一一排列组合 教学内容： 人教版数学三年级上册P112例1、例2。 教学分析： 排列与组合不仅是组合数学的最初步知识和学习概率统计的基础，而且也是日常生活中应用比较广泛的数学知识。在二年级上册教材中，学生已经接触了一点排列与组合知识，学生通过观察、猜测、操作可以 找出最简单的事物的排列数和组合数。本册教材就是在学生已有知识和经验 的基础上，继续让学生通过观察、猜测、实验等活动找出事物的排列数和组合 数。 教学目标： 1、学生通过观察、猜测、操作、合作交流等活动，找出简单事物的排列 数和组合数。 2、初步培养有序地全面地思考问题的能力，发展学生的符号感。 3、学生在丰富的生活情境中感受数学与生活的紧密联系，增强 对数学学习的兴趣和用数学的眼光观察生活的数学素养。 教学重点： 经历探索简单事物排列与组合规律的过程，能有序地找出简单事物的排列数和组合数。 教学难点：培养学生有序地、全面地思考问题的能力。 教具、学具准备：课件、数字卡片 教学过程： 、激情引趣
想和我一起去数学广角吗？相信凭借你们的智慧，今天一定会玩的非常开心！ 二、操作探究 1、破译密码——体会排列。 （1）初步体会课件出示：请输入密码密码提示：用1、2、3 组成的三位数。 有多少种可能性？ （2）深入探究用手中的数字卡片摆一摆，共有几种可能？一人摆数字卡片，一人写在答题卡上。 学生活动，教师巡视。实物投影仪展示不同写法。 （3）比较优化：你喜欢哪一种？为什么？ （4）输入密码，开启数学广角 2、握手庆贺——体会组合 （1）实际感知同桌互相握手庆贺合作愉快。两个人握手几次？如果每两个人握一次手，三人一共要握手多少次呢？猜猜看？ 现在四人一小组，请小组长作指挥，小组内的另外三个同学握一握，看看一共握手多少次？ 学生活动，教师巡视。选择小组上台展示有序握手的方法。 （2）提炼符号有没有好方法把这个结果简单而有条理地记录下来呢？用自己喜欢的方式记录下来。 学生活动，教师巡视。 实物投影仪展示多种表示方法。学生互相评价比较优化——符号代替。 3、对比分析 为什么从3个数字可以摆成6个不同的三位数，而3个同学每两个握一次手，就一共只握了3 次呢？ 小结：排数，交换数的位置，就变成另一个数了，这和顺序有关。
球的组合体 1.球的表面积与体积： 2 4S R π=, 34 3 V R π= . 2.正方体、长方体与球：(1)设正方体的棱长为a ，则内切球半径为2 a R = ，外接球半径2R a = ，与棱相切的球半径2 R a =.(2) 长方体的外接球直径2R =3. 直棱柱与球的组合问题 直棱柱的外接球，其球心一定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径. 4.正四面体与球：设正四面体的棱长为a ，则该正四面体的：(1) 全面积2 S ；(2)体 积312V a = ；(3)对棱中点连线段的长2d =；(4)内切球半径12r a =；(5)外接球半径4 R a = ；(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 (等于正四面体的高). 可以用分割的方法求出内切球半径，也可以也可以运用正四面体的二心合一性质，作出 截面图，通过点、线、面关 系解之.在Rt BEO ?中，22 2B O B E E O =+ ，即 222 )R r =+ ，得R =，得3R r =. 5.一般棱锥与球:利用2 2 2 R d r =+求解. 三、高考真题演练 1.【2012新课标理11】 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =,则此棱锥的体积为 A A B C D
2.【2013新理6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为A 333350086613722048. . . .3333 A cm B cm C cm D cm ππππ 3.【2015新理科一理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620π+，则r =B .1 .2 .4 .8A B C D 4.【2015新课标2理9】已知,A B 是球O 的球面上两点，o 90AOB ∠=,C 为该球面上的动点，若三棱锥O A B C -体积的最大值为36，则球O 的表面积为 .36 .64 .144 .256A B C D ππππ C 5.【2016全国三理10】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若 AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是B 932.4 . .6 .23 A B C D ππ ππ 6.【2016理科6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 283 π ，则它的表面积是A .17 .18 .20 .28A B C D ππππ 四、经典例题解析 【例1】【2006全国一】已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为C .16 .20 .24 .32A B C D ππππ 【变式练习】1.【2010新课标理】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为B 2 2 2 27 11.. . .53 3 A a B a C a D a ππππ 2.【2008新课标理】一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 8 9 ，底面周长为3，则这个球的体积为