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几何概型典型例题

几何概型

1．(2009年高考福建卷)点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧

的长度小于1的概率为________．答案：2

解析：设事件M 为“劣弧

的长度小于1”，则满足事件M 的点B 可以在定点A 的两侧与

定点A 构成的弧长小于1的弧上随机取一点，由几何概型的概率公式得：P (M )＝2

2．(2010年苏、锡、常、镇四市调研)已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．答案：36

解析：设所求的面积为S ，由题意得6001000＝S

5×12

，

∴S ＝36.

3．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．

解析：P ＝18×43πa 3a 3

＝π

答案：π6

4．(2010年扬州调研)已知集合A {x |－1

3－x

>0}，在集合A 中任取一个元

素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．

解析：由题意得A ＝{x |－1

元素x ，则x ∈A ∩B 的概率为P ＝1

答案：16

5．某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过4分钟的概率是________．

答案：25

6．如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN 的长度超过2R

的概率是________．答案：1

解析：连结圆心O 与M 点，作弦MN 使∠MON ＝90°，这样的点有两个，分别记为N 1，N 2，仅当点N 在不包含点M 的半圆弧上取

值时，满足MN >2R ，此时∠N 1ON 2＝180°，故所求的概率为

180°

360°

＝12. 7．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，E ＝{(x ，y )|x －2y ≥0，x ≤4，y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落入区域E 的概率为________．

解析：如图，区域Ω表示的平面区域为△AOB 边界及其内部的部分，区域E 表示的平面区域为△COD 边界

及其内部的部分，所以点P 落入区域E 的概率为S △COD

S △AOB

＝

2×2×412

×6×6＝2

答案：29

8．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0,4]任取的一个数，则f (1)＞0成立的概率是________．

解析：f (1)＝－1＋a －b ＞0，即a －b ＞1，如图：

A (1,0)，

B (4,0)，

C (4,3)，S △ABC ＝92，P ＝S △ABC S 矩＝924×4＝9

答案：9

9．在区间[0,1]上任意取两个实数a ，b ，则函数f (x )＝1

x 3

＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为________．

解析：f ′(x )＝32x 2＋a ，故f (x )在x ∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f (x )＝1

x 3＋ax －b 在

[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f (－1)·f (1)<0成立，即(－12－a －b )(12＋a －b )<0，则(1

＋a

＋b )(1

2＋a －b )>0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1

0≤b ≤1

＋a －b >0

12＋a ＋b >0

或⎩⎪⎨⎪⎧

0≤a ≤1

≤b ≤1

12＋a －b <0，

12＋a ＋b <0

由线性规划知识在平面直

角坐标系aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f (x )＝

x 3

＋ax －b 在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a ＝0，a ＝1，b ＝0，

b ＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为7

答案：78

10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤60≤y ≤6表示的区域为A ，不等式组⎩

⎪⎨⎪

⎧

0≤x ≤6x －y ≥0表示的区域为B .

(1)在区域A 中任取一点(x ，y )，求点(x ，y )∈B 的概率；

(2)若x ，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x ，y )在区域B 中的概率．解：(1)设集合A 中的点(x ，y )∈B 为事件M ，区域A 的面积为S 1＝36，区域B 的面积为S 2＝18，

∴P (M )＝S 2S 1＝1836＝1

(2)设点(x ，y )在区域B 为事件N ，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x ，y )的个数为36

个，其中在区域B 中的点(x ，y )有21个，故P (N )＝2136＝7

11．(2010年江苏南通模拟)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤0}，集合B ＝{x |ax ＋b ·2x －1＜0,0≤a ≤2,1≤b ≤3}．

(1)若a ，b ∈N ，求A ∩B ≠∅的概率； (2)若a ，b ∈R ，求A ∩B ＝∅的概率．

解：(1)因为a ，b ∈N ，(a ，b )可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组．

令函数f (x )＝ax ＋b ·2x －1，x ∈[－1,0]，则f ′(x )＝a ＋b ln2·2x .

因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以f ′(x )＞0，即f (x )在[－1,0]上是单调递增函数．

f (x )在[－1,0]上的最小值为－a ＋b

2－1.

要使A ∩B ≠∅，只需－a ＋b

－1＜0，

即2a －b ＋2＞0.

所以(a ，b )只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)7组．

所以A ∩B ≠∅的概率为7

(2)因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，

所以(a ，b )对应的区域为边长为2的正方形(如图)，面积为4.

由(1)可知，要使A ∩B ＝∅，

只需f (x )min ＝－a ＋b

－1≥0⇒2a －b ＋2≤0，所以满足

A ∩

B ＝∅的(a ，b )对应的区域是如图阴影部分．

所以S 阴影＝12×1×12＝1

，

所以A ∩B ＝∅的概率为P ＝144＝1

12．将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a (1

≤a ≤1)的概率．

解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为1－x －y ，

则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω＝{(x ，y )|0＜x ＜1,0＜y ＜1,0＜x ＋y ＜1}，此

区域面积为1

事件“三段的长度都不超过a (1

≤a ≤1)”所对应的几何区域可表示为A ＝{(x ，y )|(x ，

y )∈Ω，x ＜a ，y ＜a,1－x －y ＜a }．

即图中六边形区域，此区域面积：当13≤a ≤1

2时，为(3a －

1)2/2，此时事件“三段的长度都不超过a (1

≤a ≤1)”的概率为P

＝(3a －1)2

/21/2

＝(3a －1)2；

当12≤a ≤1时，为12－3(1－a )2

2.此时事件“三段的长度都不超过a (1

3≤a ≤1)”的概率为P ＝1－3(1－a )2.

高中数学概率经典例题和巩固练习及答案

高中数学：概率总复习（例题、巩固练习、例题和巩固练习详解）【典型例题】要点一：随机事件与概率例1．某射手在相同条件下进行射击，结果如下： (1)问该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少? (2)假设该射手射击了300次，估计击中靶心的次数是多少? 举一反三：【变式1】若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率()n f ，则随着n 的逐渐增大，有( ) A .()n f 与某个常数相等 B .()n f 与某个常数的差逐渐减小 C .()n f 与某个常数的差的绝对值逐渐减小 D .()n f 与某个常数的附近摆动并趋于稳定要点二：互斥事件与对立事件例2．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下： (1)至多2人排队等候的概率是多少? (2)至少3人排队等候的概率是多少?

举一反三：【变式1】某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示： . 要点三：古典概型例3．5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求： (1)甲中奖的概率P(A)； (2)甲、乙都中奖的概率P(B)； (3)只有乙中奖的概率P(C)； (4)乙中奖的概率P(D)．举一反三：【变式1】在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； (Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率. 【变式2】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率. 要点四：几何概型

几何概型的典型题型

几何概型的典型题型一、长度比（包括弧长比）１、Ａ、Ｐ分别是一圆上的定点和一动点，求ＡＰ线段长超过此圆内接正三角形的边长的概率。作圆内接等边三角形ＡＢＣ，可知满足条件的点落在劣弧ＢＣ上，故概率等于弧长比，等于1/3。２、Ｐ为三角形ＡＢＣ的边ＢＣ上任一点，求使三角形ＡＰＣ的面积大于三角形ＡＢＣ的面积的三分之一的概率。取ＢＣ边靠近Ｃ点的三等分点Ｍ，则满足条件的Ｐ点组成线段ＡＭ，故概率等于长度比，等于2/3。二、角度比（转化为角所在区间长度比） 3、一被三等分成三个相等的扇形的质地均匀的圆盘，被过圆心的轴固定。现用力转动圆盘，求从圆心指向外的一固定指针落在其中指定的一个扇形内的概率。这个题中可设指针与圆中的某个扇形的一边所在的半径为始边，指针所在的射线为终边形成一个角。将圆盘转动的整圈数去掉，只考虑最后不大于一圈的情况，指针可能落在这最后一周角内的任意位置，其角度分布区间为[０，３６０]（单位为度），但要指针落在其中一个扇形中，其对应角范围如[１２０，２４０]（单位为度），则所求的概率为（２４０－１２０）/（３６０－０）＝１/３。三、面积比

4、一组平行线，任两相邻的两条相距３cm，现向其所在平面任投一枚半径为１cm 的硬币，求硬币与平行线不接触的概率。先简化为只有两条平行线，投的硬币所在圆心落在这两条线围成的条形区域中。现要求不与两线接触，则圆心到两线的距离应试大于1cm，故圆心应落在两线中间的条形区域中加两条与它们平等行的直线且将已知和区域等分成三等份的中间的一个区域中，故所求概率等于面积比，等于1/3。 5、向一三角形ＡＢＣ内任意投一点Ｐ，求三角形ＰＢＣ的面积小于等于三角形ＡＢＣ面积一半的概率。由于两三角形同底ＢＣ，故只要求三角形ＰＢＣ的高小于等于三角形ＡＢＣ的相应高的一半，即Ｐ点到ＢＣ的距离小于等于原高的一半，故Ｐ点组成三角形ＡＢＣ内与ＢＣ平行的一条中位线与ＢＣ边之间的部分。故概率等于面积比，等于3/4。 6、两人约定在某处会面，每人到某处的时间都在１０到１１点之间，约定先到的在那里等待１０分钟，然后离去。问两人能会面的概率。解答方法见课本。答案：１１/３６。 7、长为a的线段被随机的两点分成三段，求此三段能组成三角形有概率。解答用上一题的方法步骤，可得结论为：１/４。四、体积比

古典概型与几何概型

古典概型与几何概型古典概型与几何概型【知识网络】 1．理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 2．了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。【典型例题】 [例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（） A ． 4 9 B ．2 9 C ．23 D ．13 （2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为（） A ． 6 1 B ． 36 5 C ． 12 1 D ． 2 1 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为（） A ． 56 B ． 12 C ．13 D ． 16 （4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3 S ”的概率为．（5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为． [例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。 [例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．

几何概型知识点及练习

3.3几何概型 1、几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，称这样的概率模型为集合概率模型，简称集合概型。备注：（1）几何概型的特点①无限性，即在一次实验中，基本事件的个数可以是无限的；②等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的。 2、几何概型的概率计算公式积）的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A )( A P 【典型例题】 1、假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家, 你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少? 2、在墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm ，4cm ，6cm ，某人站在3m 之外向此版投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问： (1) 投中大圆的内的概率是多少？（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？【练习】 1、一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（ B ） A ．14 B ．18 C ．110 D ．1 12 2、在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_____________. 3、已知地铁列车每10min 一班，在车站停１min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率为___________. 4、在线段[0,3]上任取一点,其坐标小于1的概率是_____________.

高中数学人教A版第三章概率几何概型

§3.3.1 几何概型(一) 【课题】几何概型【教材】普通高中课程标准实验教科书人民教育出版社 A版数学必修3 【授课教师】兰州一中刘雪峰【教材分析】几何概型是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸.几何概型的基本特点是：在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件是等可能的.几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限个. 【学情分析】学生通过古典概型的学习初步形成了解决概率问题的思维模式，但还不是很成熟.学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆，究其原因是思维不严谨，对几何概型的概念理解不清.另外，在解决几何概型的问题时，几何度量的选择也需要特别重视，在实际授课时，应当引导学生发现规律，找出适当的方法来解决问题. 【教学目标】知识与技能：初步体会几何概型的意义，会用公式求解简单的几何概型的概率．过程与方法：通过试验，与已学过计算概率的方法进行比较，提出新问题，师生共同探究，提出可行性解决问题的建议或想法. 情感态度与价值观：感知生活中的数学，培养学生用随机的观点来理解世界，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价身边的随机现象，学会用科学的方法去观察世界和认识世界. 【重点难点】教学重点: 几何概型的基本特征及如何求几何概型的概率. 教学难点: 如何判断一个试验是否是几何概型，如何将实际背景转化为几何度量. 【教法学法】问题解决的教学模式，分层实现教学目标. 【教学基本流程】温故知新 ↓ 创设情境 ↓ 新知探究 ↓ 形成概念 ↓ 典例分析 ↓ 巩固深化 ↓ 课堂梳理 ↓ 布置作业【教学情景设计】

几何概型、古典概型常考经典好题(史上最全面含答案)

几何概型、古典概型常考经典题（史上最全面） 1．在长为2的线段AB 上任意取一点C ，则以线段AC 为半径的圆的面积小于π的概率为( ) A .14 B.12 C .34 D.π4 2．已知正棱锥S-ABC 的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P ，使得 V P-ABC ＜12V S- ABC 的概率是( ) A .34 B.78 C .12 D.14 3.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( ) A .12 B.32 C .13 D.14 4．在区间???? ??－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1， 2 ]的概率是( ) A .12 B.34 C .38 D.58 5．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m)y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________． 6.如图，正四棱锥S-ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面 ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________． 7．平面区域A 1＝{}(x ，y )|x 2＋y 2＜4，x ，y ∈R ，A 2＝{(x ，y )||x | ＋|y |≤3，x ，y ∈R}．在A 2内随机取一点，则该点不在A 1内的概率为________． 8．在边长为4的等边三角形OAB 及其内部任取一点P ，使得 OA ―→·OP ―→≤4的概率为( ) A.12 B.14 C.13 D.18

9．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为35，则AD AB ＝________. 10．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告． 11．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14 ，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________． 12.在面积为S 的ABC ? 的边AB 上任取一点P ，则PBC ?的面积大于4S 的概率为 . 13．在ABC ?中，060,2,6ABC AB BC ∠===，在BC 上任取一点D ，则使ABD ?为钝角三角形的概率为（） A ．16 B ．13 C ．12 D ．23 14.从区间[0,1]上随机抽取2n 个数1212,,,,,,,n n x x x y y y L L ，构成n 个数对 11(,)x y ，22(,)x y ，[来源:学+,(,)n n x y L ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________. A ．4n m B ．2n m C ．4m n D ．m n 15. 在等腰Rt △ABC 中， (1)在斜边A B 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率. （2）过直角顶点C 在ACB ∠内作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM

概率例题

例题：甲乙两人相约见面，并约定第一人到达后，等15分钟不见第二人来就可以离去。假设他们都在10点至10点半的任一时间来到见面地点，则两人能见面的概率有多大？（2010年4月25日联考第10题） A. 37.5％ B. 50％ C. 62.5％ D. 75％这是几何概型中一道典型的会面问题。几何概型是在古典概型的基础上进一步发展起来的，是等可能事件的概念从有限到无限延伸，它们之间的主要区别就是，几何概型中等可能事件是无限多个，而古典概型中等可能事件只有有限多个。在古典概型中，因为基本事件是有限个，由古典概型的计算公式，只要知道所求事件包含的基本事件个数再除以总的基本事件个数就可以了；而在几何概型中，由于基本事件是无限多个，解题就相对来说比较困难了，但是近几年来的省考中已经考了不少几何概型，因此华图教育特别提示考生引起足够重视。下面华图教育就先大家介绍一下几何概型。一、几何概型的定义：向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在子区域的概率与的面积成正比，而与的形状、位置无关，即则称这种模型为几何概型。几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比。二、几何概型的特点是：（1）无限性：在每次试验中，可能的出现的结果有无穷多个；（2）等可能性：在每次试验中，每个结果出现的可能性相等。三、例题详解【例1】公交车每隔10分钟来一辆。假定乘客在接连两辆车之间的任何时刻随机地到达车站，试求乘客候车时间不超过3分钟的概率。解：从前一辆开出起计算时间，乘客到达车站的时刻t可以是[0，10）中的任何一点，即G={t︱0≤t<10}，由假定，乘客到达时刻t均匀地分布在G内，故问题归结为几何概型，设表示“乘客候车不超过3分钟”的事件，则={t︱0≤t≤3} 【例2】某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。解：设={等待的时间不多于10分钟}.事件恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内。

几何概型典型例题

几何概型例1、取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率是多少？例2、等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM

人教版高中数学【必修三】[知识点整理及重点题型梳理]_几何概型_提高(1)

人教版高中数学必修三知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习几何概型【学习目标】 1.了解几何概型的概念及基本特点； 2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式； 3.会进行简单的几何概率计算； 4.能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想. 【要点梳理】要点一、几何概型 1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型. 2.几何概型的基本特点： (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件 A 发生的概率()d P A D 的测度的测度 . 说明： (1)D 的测度不为0； (2)其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积. (3)区域为＂开区域＂； (4)区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关. 要点诠释：几种常见的几何概型 (1)设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，若落在线段l 上的点数与线段l 的长度成正比，而与线段l 在线段L 上的相对位置无关，则点落在线段l 上的概率为： P=l 的长度/L 的长度 (2)设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比，而与区域g 在区域G 上的相对位置无关，则点落在区域g 上概率为： P=g 的面积/G 的面积 (3)设空间区域上v 是空间区域V 的一部分，向区域V 上任投一点，若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比，而与区域v 在区域V 上的相对位置无关，则点落在区域v 上的概率为： P=v 的体积/V 的体积

高中数学 3.3《几何概型》素材2 苏教版必修3

几何概型交汇点剖析几何概型的两大特点是无限性和等可能性．几何概型的一个题目往往包含多个知识点，这类综合题背景新颖，能力要求较高，内在联系深刻，故与其他知识交汇也成为几何概型的显著特征，下面通过几例剖析．一、与随机数相关的几何概型例1 将数2.5随机地分成两个非负实数，例如2.143和0.357 2.5，然后对每一个数取与它最接近的整数，如在上述第一个例子中是取2和0，在第二个例子中取2和1．那么这两个整数之和等于3的概率是多少？分析：所谓随机地将2.5分成两个非负实数，就是在区间[02.5]，上随机地取一个数x ，另一个数y 就是2.5x -．全体基本事件是线段[02.5]，内的所有点，然后考虑取整后两数之和等于3的点的取值范围．解：根据题意知，若[)00.5x ∈，，则(]22.5y ∈，，和数等于2；若[)0.51x ∈，，则(]1.52y ∈，，和数等于3；若[)11.5x ∈，，则(]11.5y ∈，，和数等于2；若(]1.52x ∈，，则[)0.51y ∈，，和数等于3；若(]22.5x ∈，，则[)00.5y ∈，，和数等于2．故和数等于3的x 值的取值范围为[)[)0.51 1.52，，，其长度为1，于是所求事件的概率122.55 P = =．二、与方程相关的几何概型例2 设p 在［0，5］上随机地取值，求方程21042 p x px +++=有实数根的概率．解：一元二次方程有实数根0⇔∆≥，而22142(1)(2)042p p p p p p ⎛⎫=-+=--=+- ⎪⎝⎭ ≥，解得1p -≤或2p ≥，故所求概率为(][){}[05]123[05]5 P --+==，∞，，∞的长度，的长度．三、与不等式相关的几何概型例3 在集合{}()|0504x y x y ，，≤≤≤≤内任取一个元素，能使代数式240x y +-≥右的概率是多少？解：如图１，集合{}()0504x y x y ，|，≤≤≤≤为矩形内（包括边界）的点的集合，集合{}()240x y x y +-，|≥表示坐标平面内直线240x y +-=右上方（包括直线）所有点的

几何概型例题分析及习题(含答案)

几何概型例题分析及练习题(含答案) ［例1］甲、乙两人约定在下午 4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。解：设x 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图|x — y|乞15时可相见，即阴 60 - 452 7 影部分P 2 602 1 2 1 ［例3］将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过的概率。 2 解：设第一段的长度为x ,第二段的长度为y ,第三段的长度为1-x -y ，则基本事件组所对应的几何区域可表示为门二{(x, y) |0 ::: x :: 1,0 ：：： y ：：： 1,0 ：：： x ? y ：：： 1}，即图中黄色区域，此区域面积为［例2］设A 为圆周上一定点, 率。在圆周上等可能任取一点与 A 连接，求弦长超过半径,2倍的概 c f BCD P =- 圆周 1 事件“三段的长度都不超过丄”所对应的几何区域可表示为 2 1 1 1 A ={(x, y)| (x, yb 11，x , y ,1 — x — y } 2 2 2 = 1 8 1 丄”的概率为P 二直 2 1 2 即图中最中间三角形区域，此区域面积为此时事件“三段的长度都不超过 2 ? -(-)2 2 2 解：| AB |=| AC 匸..2R . y=-15 x-y=15 15 0 60 1 2

［例4］两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25km，

X i x 2 _ -a 0 X 2 = b 0 解：（2）（1）利用计算器产生 0 变换 a = a ! ” 2 _ 1 , (3) 从中数出满足条件 b 至1区间两组随机数a 1,b 1 b = b - ” 2 -1 1 2 a 且a . 0且 b 0的数m 4 c ：解法1：记 ABC 的三内角分别为形”，则试验的全部结果组成集合 $ 11 =｛「，）0 J , :: ,0 J 因为ABC 是锐角三角形的条件是 n ， 3T n JI 0 , 且二川：— 2 2 所以事件A 构成集合 A=｛（「）| ,0 (2) 由图2可知，所求概率为 A 、 B 、C,求 AB C 是锐角三角形的概率。，事件A 表示“ ABC 是锐角三角 p A 的面积= 0的面积 12 —JL 2 解法2 :如图3所示建立平面直角坐标系， A 、 B C 1、C 2为单位圆与坐标轴的交点，当UABC 为锐角三角形，记为事件 A 。则当C 点在劣弧CC 2上运动时， ABC 即为锐角三下午3： 00张三在基地正东30km 内部处，向基地行驶，李四在基地正北 40km 内部处, 向基地行驶，试问下午 3： 00,他们可以交谈的概率。解：设x, y 为张三、李四与基地的距离 x ? ［0,30］，y ［0,40］，以基地为原点建立坐标系?他们构成实数对（x, y ），表示区域总面积为1200,可以交谈即x 2 ? y 2乞25 丄兀252 故 P = 4 ------- 1200 192 ［例5］在区间［-1,1］上任取两数a,b ，运用随机模拟方法求二次方程为正数的概率。 A 25 二 2 x ax 0两根均 (4) i m P （n 为总组 o

高一数学必修3概率公式总结以及例题

§3. 概率事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event ) 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了 m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等满足这两个条件的概率模型成为古典概型如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P = 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ()的侧度的侧度D d A P = （这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积）几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。

几何概型典型例题

几何概型 1．(2009年高考福建卷)点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为________．答案：2 3 解析：设事件M 为“劣弧的长度小于1”，则满足事件M 的点B 可以在定点A 的两侧与定点A 构成的弧长小于1的弧上随机取一点，由几何概型的概率公式得：P (M )＝2 3. 2．(2010年苏、锡、常、镇四市调研)已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．答案：36 解析：设所求的面积为S ，由题意得6001000＝S 5×12 ， ∴S ＝36. 3．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．解析：P ＝18×43πa 3a 3 ＝π 6 . 答案：π6 4．(2010年扬州调研)已知集合A {x |－10}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．解析：由题意得A ＝{x |－12R ，此时∠N 1ON 2＝180°，故所求的概率为 180° 360° ＝12. 7．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，E ＝{(x ，y )|x －2y ≥0，x ≤4，y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落入区域E 的概率为________．

概率论与数理统计第1章习题详解

一、习题详解： 1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{2 1 6,T y x T y x ≤≤= Ω ； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω； (8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??； (4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ??； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ??； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ??； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ； (8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ?? ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

几何概型习题

D O B A C 几何概型经典例题：如图，60AOB ∠= ，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，试求：(1)AOC ∆为钝角三角形的概率； (2)AOC ∆为锐角三角形的概率．练习： 1．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g ）范围内的概率是（） A ．0.62 B ．0.38 C ．0.02 D ．0.68 2．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间的概率为（） A ． 310 B ．1 5 C ．2 5 D ．4 5 3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，y ）中满足xy ＝4的概率为（） A ． 1 B ． 216 C ． 3 D ．1 4 题图 4．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（） A ．3 4 B ．3 8 C ．1 4 D ．1 8 5．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则求两人会面的概率为（） A ．1 3 B ．4 9 C ．5 9 D ． 710 6如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（） A ．2 π B ． 1 π C ．23 D ．1 3

7．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45 ，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（） A ．1 8 B ．1 4 C ．1 2 D ．3 4 8．现有100ml 的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml 的蒸馏水，则抽到细菌的概率为（） A ． 1100 B ． 120 C ． 110 D ．1 5 9．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（） A ．1 4 B ．1 8 C ．1 10 D ．1 12 10．在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是（） A ．1 5 B ．2 5 C ． 35 D ．2 7 11．若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线L ，则L 与线段BC 相交的概率为（） A ．1 2 B ．1 3 C ． 16 D ．1 12 12．在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（） A ．0.5 B ．0.4 C ．0.004 D ．不能确定 13．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r