高一数学必修3概率公式总结以及例题

§3. 概率

事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event )

随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了

m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈

说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和

古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型

如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n

1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n

m A P = 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为

()的侧度

的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ）

几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多

颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。

互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件

对立事件（complementary events ）：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事

件 ，事件A 的对立事件 记为：A

独立事件的概率：()()()B P A P A =AB P , B , 则为相互独立的事件事件若， 若()()()()n 21n 2121A ...A A ...A A A P , , ... , , P P P A A A n =则为两两独立的事件 颜老师说明：① 若, B , , B , 中最多有一个发生则为互斥事件A A 可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于 1 ⑥ 若事件B A ,是互斥事件，则有()()()B P A P B A P +=+ ⑦ 一般地，如果 n A A A ,...,,21 两两互斥，则有()()()()n n A P A P A P A A A P +++=+++......2121 ⑧ ()()A P A P -=1 ⑨ 在本教材中n A A A +++...21 指的是n A A A ,...,,21 中至少发生一个 ⑩ ★ 在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照我们课本上（新课标试验教科书-苏教版）的例题

例题选讲：

例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？

【分析】题目所给的6个球中有4个红球，2个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不同的解法

解法1：（互斥事件）设事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，则其互斥事件为A

意义为“选取2个球都是其它颜色球”

()()()

1514 151 - 1A P - 1 A P 151 2

)56(1A P ===∴=⨯= 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 15

14 . 解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有15256=⨯种情况，设事件 A 为“选

取2个球至少有1个是红球” ，而事件A 所含有的基本事件数有1423424=⨯+

⨯ 所以()15

14=A P 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为

1514 . 解法3：（独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，事件A 有三种可能的情况：1红1白；1白1红；2红，对应的概率分别为：5364 , 5462 , 5264⨯⨯⨯， 则有 ()15

145364 5462 5264=⨯+⨯+⨯=A P 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 15

14 . 评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法，但是基本的解题步骤不能少!

变式训练1： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？

解法1：（互斥事件）设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为A ，

意义为“选取3个球都是白球”

()()()

54 51 - 1A P - 1 A P 51425364 123)456(123234A P 3634===∴=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==C C 答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 5

4 . 解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有201

2345636=⨯⨯⨯⨯=C 种情况，设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球” ，而事件A 所含有的基本事件数有

162

34241224=⨯⨯=⨯+⨯C ， 所以 ()542016==A P 答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 5

4 . 解法3：（独立事件概率）设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球” ，则事件A 的情况如下：

红 白 白 5

1435462=⨯⨯ 1红2白 白 白 红 5

1425364=⨯⨯ 白 红 白 5

1435264=⨯⨯ 红 红 白 15

1445162=⨯⨯ 2红1白 红 白 红 15

1415462=⨯⨯

白 红 红 15

1415264=⨯⨯ 所以 ()5

41513513=⨯+⨯=A P 答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为

54 . 变式训练2：盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率：

（1）第1次抽到的是次品

（2）抽到的2次中，正品、次品各一次

解：设事件A 为“第1次抽到的是次品”， 事件B 为“抽到的2次中，正品、次品各一次”

则 ()3162==

A P ，()94664224=⨯⨯+⨯=

B P （或者()9

462646462=⨯+⨯=B P ） 答：第1次抽到的是次品的概率为31 ，抽到的2次中，正品、次品各一次的概率为94 变式训练3：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少1人抽到选择题的概率？

【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件“至少1人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来

解：设事件A 为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”，事件B 为“至少1人抽到选择题”，则B 为“两人都抽到填空题”

（1）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯===⨯=1035633 103536326

1313P P P A P A P 或者 （2）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===⨯=51 5152632623P P B P B P 或者 则 ()()

545111=-=-=B P B P 答：甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 103，少1人抽到选择题的概率为 5

4 . 变式训练4：一只口袋里装有5个大小形状相同的球，其中3个红球，2 个黄球，从中不放

回摸出2个球，球两个球颜色不同的概率？

【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是1红1球，要么是1黄1球

略解:()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛===⨯+⨯= 536 534352425325C A P A P 或者 变式训练5：设盒子中有6个球，其中4个红球，2 个白球，每次人抽一个，然后放回，若连续抽两次，则抽到1个红球1个白球的概率是多少？

略解: () 9

46642662464626264=⨯⨯+⨯⨯=⨯+⨯=A P 例2. 急救飞机向一个边长为1千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为80米和50米的水池，当急救物品落在水池及距离水池10米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放急救物品无效的概率？

a a/6

F E D C 1

C

A B B1A1【分析】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量

解：如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为1千米的正方形为区域 D ，事件“发放急救物品无效”为A ，距离水池10米范围为区域 d ，即为图中的阴影部分， 则有()测度测度

D d A P =

()100010004104105021080250802⨯⨯

+⨯⨯+⨯⨯+⨯=π

答：略

颜老师说明：这种题目要看清题目意思，为了利用 几何概率，题目中一般都会有落在所给的大的区域

之外的不计的条件，但如果涉及到网格的现象是一

般则不需要这个条件，因为超出一个网格，就会进入

另外一个网格，分析是同样的

变式训练1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚

硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正方形内的概率？

略解：()ππ+=+⨯⨯+==3241

41442222测度测度

D d A P 变式训练2：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是a , 现有一直径等于2a 的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？ 【分析】因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点

只要圆心到网格线的距离小于等于半径

解：如图，正三角形ABC 内有一正三角形 111C B A ，其中

︒

======tan30D A BE AD , 61F A E B D A , 1111a a AB a 63= ，a a a AD AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=∴331332B A 11 当圆心落在三角形 111C B A 之外时，硬币与网格有公共点 1

11C B A 111ABC C B A -S P ∆∆∆=∴S S 有公共点的概率

B

D C P A 82.04

33314343222

2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a 答：硬币落下后与网格有公共点的概率为 0.82 . 变式训练3：如图，已知矩形在正方形内，

中 , 7AC , 5AB ==ABCD , P 任取一点︒>∠90 APB 求的概率？

略解：()56

57525212ππ=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=A P 变式训练4：平面上画了彼此相距2a 的平行线把一枚半径r < a 的

硬币，任意的抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相

碰的概率？

解：设事件A 为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币

的位置，有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线OM ，垂足

为M ， 线段OM 的长度的取值范围为[] a , 0 ，其长度就是

几何概型所有的可能性构成的区域D 的几何测度，只有当

a OM 0≤<时，硬币不与平行线相碰，其长度就是满足

事件A 的区域d 的几何测度，所以 ()(][]a

r a a a r A P -==的长度的长度

,0, 答：硬币不与任何一条平行线相碰的概率为a

r a - 【评价与链接】该题是几何概型的典型题目，要求我们正确确认区域D 和区域d ，理解它们的关系以及它们的测度如何来刻画。

蒲丰投针问题：平面上画有等距离的一系列的平行线，平行线间距离为a 2（ 0 >a ） ， 向平面内任意的投掷一枚长为() 2a

解：以x 表示针的中点与最近的一条平行线的距离，又以ϕ表示针与此直线的交角，如图易知πϕ 0 , 0≤≤≤≤a x ，有这两式可以确定 - πx 平面上的一个矩形Ω，这是为了针与平行线相交，其充要条件为ϕSin l x 2≤，有这个不等式表示的区域A 为图中的阴影部分，由等可能性知 ()a

l a d S i n l S S A P A ππϕϕπ=⋅==⎰Ω

0 2

r

M 2a 2a

如果()(), , , , a , 的值如果已知反过来的值值代入上式即可计算则以已知A P A P l π π则也可以利用上式来求，而关于()A P 的值，则可以用实验的方法，用频率去近似它，既: 如果 投针N 次，其中平行线相交的次数为n 次，则频率为N

n ，于是，()n

a N , l N n a l A P ≈≈=ππ于是 注释：这也是历史上有名的问题之一，用试验的方法先用数学积分的手段结合几何概型求出概率，再用频率近似概率来建立等式，进而求出π. 在历史上有好多的数学家用不同的方法来计算 π，如中国的祖冲之父子俩，还有撒豆试验，也是可以用来求 π的.

会面问题：甲乙两人约定在6时到7时在某地会面，并约定先到者等候另一人一刻钟，过时

即可离去，求两人能会面的概率？

解：设“两人能会面”为事件A ，以 x 和y 分别表示

甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充

要条件为： 15≤-y x 在平面上建立如图所示的

坐标系，则()y x ,的所有可能的结果是边长为60的

正方形,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示，

由几何概型知，()1676045602

22=-==ΩS S A P A 答：两人能会面的概率16

7 . ◆ 课本上一道例题的变式训练：如图，在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一

点M ，求AC AM <的概率？

【分析】点M 随机的落在线段AB 上，故线段AB 为区域

D ，当点M 位于如图的'AC 内时AC AM <，故线段

'AC 即为区域d

解: 在AB 上截取AC AC ='

，于是 ()

22)(''===<=

答：AC AM <的概率为2

2 【变式训练】如图，在等腰直角三角形ABC 中，在ACB ∠内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AC AM <的概率？

错解：在AB 上截取AC AC ='

，在A C B ∠内部任意作一条射线CM ，满足条件的M 看作是在线段'AC 上任取一点M ，则有 ()

22)(''===<=

正解：在ACB ∠内的射线是均匀分布的，所以射线CM 作在任何位置都是等可能的，在AB

上截取AC AC =' ，则︒=∠5.67'

ACC ，故满足条件的概率为75.090

5.67= 评价：这就要求同学们根据不同的问题选取不同的角度，确定区域D 和d ，求出其测度，再利用几何概型来求概率.

例3. 利用随机模拟法计算曲线2,0,2===x y x y 和所围成的图形的面积.

【分析】在直角坐标系中作出长方形（2,4,0,2====x y y x y 所围成的部分，用随机

模拟法结合几何概型可以得到它的面积的近似值）

解：（1）利用计算机或者计算器生成两组0到1区间上

的随机数，rand b rand a ==00,

（2）进行平移变换：004,2b b a a ==，其中b a ,分

别随机点的横坐标和纵坐标

（3）假如作N 次试验，数处落在阴影部分的点数1N ，

用几何概型公式计算阴影部分的面积

由 N N S 18≈ 得出 7.281≈≈N

N S 评价：这是一种用计算机模拟试验的方法，结合几何概型

公式来计算若干函数围成的图形面积，其基本原理还是

利用我们教材上介绍的撒豆试验，只是用随机数来代替豆子而已，另外要求我们理解用试验的频率来近似概率的思想.

另外这种题目到我们学习了积分，还可以有下面的解法：

7.23x dx 2

032

02≈==⎰x S

高一数学必修3同步练习：3-1-3概率的基本性质

3-1-3概率的基本性质 一、选择题 1．给出以下结论： ①互斥事件一定对立． ②对立事件一定互斥． ③互斥事件不一定对立． ④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率． ⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)． 其中正确命题的个数为() A．0个B．1个 C．2个D．3个 [答案] C [解析]对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错； 又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错； 只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)， ∴⑤错． 2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则() A．A?B B．A＝B C．A＋B表示向上的点数是1或2或3 D．AB表示向上的点数是1或2或3 [答案] C [解析]设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.

3．抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件A＝{向上的点数是1}，事件B＝{向上的点数是2}，事件C＝{向上的点数是1或2}，则有() A．A∩B＝C B．A∪B＝C C．C?B D．C?A [答案] B [解析]A∪B＝?，A∪B＝C，B?C，A?C，则仅有B项正确．4．事件M?N，当N发生时，下列必发生的是() A．M B．M∩N C．M∪N D．M的对立事件 [答案] C [解析]由于M?N，则当N发生时，M不一定发生，则MN和M∩N也不一定发生，而M∪N一定发生． 5．对于对立事件和互斥事件，下列说法正确的是() A．如果两个事件是互斥事件，那么这两个事件一定是对立事件B．如果两个事件是对立事件，那么这两个事件一定是互斥事件C．对立事件和互斥事件没有区别，意义相同 D．对立事件和互斥事件没有任何联系 [答案] B [解析]互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，则B项正确，A、C、D项不正确 6．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是() A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球

高一数学必修三条件概率知识点总结

高一数学必修三条件概率知识点总结 条件概率是高一数学必修三课程改革中的新增内容，有哪些知识点需要我们学习?下面是店铺给大家带来的高一数学必修三条件概率知识点，希望对你有帮助。 高一数学必修三条件概率知识点 条件概率的定义： (1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示. (2)条件概率公式： 称为事件A与B的交(或积). (3)条件概率的求法： ①利用条件概率公式，分别求出P(A)和P(A∩B)，得P(B|A)= ②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n(A∩B)，得P(B|A)= P(B|A)的性质： (1)非负性：对任意的A∈Ω， ; (2)规范性：P(Ω|B)=1; (3)可列可加性：如果是两个互斥事件，则 P(B|A)概率和P(AB)的区别与联系： (1)联系：事件A和B都发生了; (2)区别：a、P(B|A)中，事件A和B发生有时间差异，A先B后;在P(AB)中，事件A、B同时发生。 b、样本空间不同，在P(B|A)中，样本空间为A，事件P(AB)中，样本空间仍为Ω。 高一数学必修三条件概率基本性质知识点 互斥事件： 事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。

如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥。 对立事件： 两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做 注：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件。 事件A+B的意义及其计算公式： (1)事件A+B：如果事件A，B中有一个发生发生。 (2)如果事件A，B互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)，如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。 (3)对立事件：P(A+)=P(A)+P()=1。 概率的几个基本性质： (1)概率的取值范围：[0，1]. (2)必然事件的概率为1. (3)不可能事件的概率为0. (4)互斥事件的概率的加法公式： 如果事件A，B互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)，如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。 如果事件A，B对立事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)=1。 互斥事件与对立事件的区别和联系： 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生。因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件。 高一数学必修三条件随机事件概率知识点 随机事件的定义：

高一数学必修3知识点总结及典型例题解析

概率部分 1、事件：随机事件、确定性事件、必然事件和不可能事件 2、随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件A在n次实验中发了 m次，当实验的次数n很大时，我们称事件A发生的概率为 () n m A P≈ 说明：①一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ②不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 3、概率必须满足三个基本要求： 对任意的一个随机事件A，有 ()1 0≤ ≤A P ()()0 ,1 ,= Φ = Ω Φ ΩP P 则有 可能事件 分别表示必然事件和不 和 用 如果事件 ()()()B P A P B A P B A+ = + : ,则有 互斥 和 4、古典概率 ①所有基本事件有限个 ②每个基本事件发生的可能性都相等满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n，则每一个基本事件发生

的概率都是n 1 ，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P = 5、几何概型 一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ()的侧度的侧度 D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ） 几何概型的基本特点 ① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。 6、互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件 7、对立事件 两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件 ，事件A 的对立事件记为：A 独立事件的概率：()()()B P A P A =AB P , B , 则为相互独立的事件事件若， 若()()()()n 21n 2121A ...A A ...A A A P , , ... , , P P P A A A n =则为两两独立的事件 说明：① 若, B , , B , 中最多有一个发生则为互斥事件A A 可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可

必修3第三章-概率 知识点总结及强化练习：

高中数学必修3 第三章 概率 知识点总结及强化训练 一、 知识点总结 3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念： （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件； （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； （5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A 为事件A 出现的概 率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。 （6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A ， 它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念： （1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件 （2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥； （3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件； （4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪ B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质： 1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)； 3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)； 4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）

高一数学必修三,概率与统计的综合问题知识点及题型

第四节概率与统计的综合问题 考点一概率与统计图表的综合问题 [典例]学校将高二年级某班级50位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题． (1)试估计该班级同学数学成绩的平均分； (2)现准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的概率． [解](1)由频率分布直方图可知，所求数学成绩的平均分为85×0.06＋95×0.1＋105×0.24＋115×0.28＋125×0.2＋135×0.08＋145×0.04＝113.6， 故该班级同学数学成绩的平均分约为113.6. (2)由频率分布直方图可知，数学成绩不低于130分的人数为50×0.08＋50×0.04＝4＋2＝6，其中，分数在[130,140)的有4人，分别记作a，b，c，d，分数在[140,150]的有2人，分别记作m，n. 从该班级数学成绩不低于130分的同学中选出2人共有15个基本事件，列举如下：ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn.其中，选出的两人在同一组的有7个基本事件，分别是：ab，ac，ad，bc，bd，cd，mn. 故选出的两人在同一组的概率P＝7 15. [对点训练] 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．

(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； (2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率． 解：(1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是8,8,9,10，故x ＝8＋8＋9＋10 4 ＝354，s 2＝14 ×????????8－3542×2＋????9－3542＋????10－3542＝1116. (2)当X ＝9时，记甲组四名同学分别为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学分别为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 3，B 4}，{A 4，B 1}， {A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 4，B 4}，共16个．设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C ，则事件C 中包含的基本事件为{A 1，B 4}，{A 2，B 4}，{A 3，B 2}，{A 4，B 2}，共4个． 故P (C )＝416＝1 4. 考点二 概率与随机抽样的综合问题 [典例] 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩统计，先将800人按001,002,003，…，800进行编号． (1)如果从随机数表的第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取到的3个人的编号． (2)所抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：

高一数学必修3知识点总结及典型例题解析(公式)-2016

新课标必修3概率部分知识点总结 ◆ 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event ) 和不可能事件( impossible event ) ? 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次， 当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重 复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然 性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事 件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常 数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个 常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是 一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率 的近似值 ? 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和 ? 古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事 件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是 n 1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P = ? 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一 点，记事件“改点落在其部的一个区域d ”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ()的侧度 的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其 体积 ） 几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界， 在区域D 随机地取点，指的是该点落在区域D 任何一处都是等可能的，落在任何部分 的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。 互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件 对立事件（complementary events ）：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立 事件 ，事件A 的对立事件 记为：A 独立事件的概率：()()()B P A P A =AB P , B , 则为相互独立的事件事件若，

高中数学必修三概率知识点

第三章 概 率 3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念： （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件； （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； （5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出 现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A 为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。 （6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A ， 它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念： （1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件 （2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥； （3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件； （4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质： 1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)； 3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)； 4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其

高中数学 第三章 概率本章知识体系学案(含解析)北师大版必修3-北师大版高一必修3数学学案

第三章概率 本章知识体系 专题一互斥事件与对立事件 【例1】甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题． (1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 【思路探究】用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式． 【解答】把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2. 总的事件数为20. “甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，

p1)，(x3，p2)，共6种； “甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种； “甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种； “甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种． (1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为6 20＝3 10， “甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为6 20＝3 10， 故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为3 10＋3 10＝ 3 5. (2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为2 20＝1 10，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择 题”的概率为1－1 10＝9 10. 【规律方法】“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个要发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．当一个事件包含几种情况时，可把事件转化为几个互斥事件的并事件，再利用概率的加法公式计算．求“至多”“至少”型的概率问题时，先理解题意，明确所求事件包含哪些事件，再利用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式解决． 某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35. (1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？ (2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？

高中数学必修三第三章《概率》章节练习题(含答案)

高中数学必修三第三章《概率》章节练习 题(含答案) 高中数学必修三第三章《概率》章节练题 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.下列试验属于古典概型的有（）。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.任取两个不同的1位正整数，它们的和是8的概率是（）。 A。B。C。D。 补偿训练】一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（）。 A。B。C。D。

3.在全运会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的 5名火炬手。若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的 概率为（）。 A。B。C。D。 4.任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则点P(a， b)落在区域|x|+|y|≤3中的概率为（）。 A。B。C。D。 5.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为（）。 A。B。C。D。 6.如图，两个正方形的边长均为2a，左边正方形内四个半径为的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a的内切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为 P1，P2，则P1，P2的大小关系是（）。 A。P1=P2 B。P1>P2 C。P1

7.一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现 的点数为a，第二次出现的点数为b，则a+b能被3整除的概 率为（）。 8.已知函数f(x)=log2x，x∈R。在区间[1,8]上任取一点x，使f(x)≥-2的概率为（）。 补偿训练】已知直线y=x+b，b∈[-2，3]，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是（）。 A。B。C。D。 9.如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=√(x) 与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S： ①先产生两组[0,1]的均匀随机数，a=RAND，b=RAND； ②做变换，令x=4a，y=√(b)； ③判断(x,y)是否在阴影部分中，若是则计数器加1； ④重复上述步骤n次，估计S≈n×计数器/. 则利用上述方法，当n=时，估计得到的阴影部分的面积 S≈（）。

高一数学 (人教版必修3)：第五章 概率含解析

第五章概率 重点列表： 重点名称重要指数 重点1 随机事件的概念★★★ 重点2 对立与互斥的概念★★★★ 重点详解： 1．随机事件和确定事件 (1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的____________． (2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的____________． 必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件的确定事件． (3)在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的__________． (4)____________和____________统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示． 2．频率与概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的________，称事件A出现的比例f n(A)＝________为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的____________f n(A)稳定在某个常数上，把这个____________记作P(A)，称为事件A的____________． (3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为____________． 3．事件的关系与运算(类比集合的关系与运算) 定义符号表示 包含关系如果事件A发生， 则事件B一定发生， 这时称事件 B______事件A(或 称事件A包含于事 件B) (或A⊆B) 相等关系若B⊇A且A⊇B____________

种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定互斥． 4．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：____________. (2)必然事件的概率P(E)＝____________. (3)不可能事件的概率P(F)＝____________. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝___________. 推广：如果事件A1，A2，…，A n两两互斥(彼此互斥)，那么事件A1＋A2＋…＋A n发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A n)＝___________. ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝____________________. 【答案】 1．(1)必然事件(2)不可能事件 (3)随机事件(4)确定事件随机事件

高一数学必修3统计公式总结以及例题

§2 统计 ◆ 基本定义： （1）总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体. (2) 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体. (3) 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本. (4) 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量. ❖ 抽样方法： （1）简单随机抽样（simple random sampling ）：设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单的随机抽样,简单随机抽样常用的方法有抽签法和随机数表法. （关于制签和随机数表的制作，请参照课本第41页） (2)系统抽样(systematic sampling):将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每一部分抽取一个个体作为样本。先用随机的方法将总体进行编号，如果整除不能被n N 就从中用随机数表法剔除几个个体，使得能整除，然后分组，一般是样本容量是多少，就分几组，间隔n N k = ，然后从第一组中用简单实际抽样的方法抽取一个个体，假设编号为 l ，然后就可以将编号为 ()k n l k l k l l 1...2,,-+++++ 的个体抽出作为样本，实际就是从每一组抽取与第一组相 同编号的个体。 (3)分层抽样（stratifed sampling ）：当已知总体是由有差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层. 样本容量越大，估计越精确！ 颜老师友情提醒：1. 把每一种抽样的具体步骤看清楚，要求会写过程 2. 个体数N 的总体中抽取一个样本容量为n 的样本，那么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等，且等于 N n .其实三种抽样的每一个个体都是等几率的被抽到的 3. 三种抽样都是不放回的抽样 4. 在具体问题中对于样本，总体，个体应该时代单位的,如考察一个班级的学生的视力状况，从中抽取20个同学，则个体应该是20名同学的视力，而不是20名同学，样本容量则为20，同样的总体也是全班级同学的视力 ♦ 两种抽样方法的区别与联系：

北师大版高中数学必修3古典概型的特征和概率计算公式

北师大版高中数学必修3古典概型的特征和概率计算公 式 古典概型是概率论中的一种基本概型，它指的是试验中所有可能结果 的数量是有限且相等的情况。古典概型的特征是每个结果出现的可能性相等，并且所有可能结果都能被列举出来。 古典概型常用于计算事件发生的概率，其中事件是指试验中几个结果 的集合。根据古典概型的特征，我们可以得到概率计算的公式。 设古典概型的样本空间为S={E1，E2，…，En}，其中Ei表示试验的 每一个结果。如果事件A是由k个结果组成的，那么事件A的概率记为 P(A)。 首先，我们可以通过以下公式计算单个结果的概率： P(Ei)=1/n 其中，n表示样本空间S中结果的数量。 其次，如果事件A由k个结果组成，我们可以通过以下公式计算事件 A的概率： P(A)=k/n 古典概型的概率计算公式非常简单和直观。通过根据样本空间和事件 的定义，我们可以直接得到结果的概率。 下面我们来举一个例子来说明古典概型的特征和概率计算公式的应用：假设有一枚均匀硬币，抛掷一次，求出现正面的概率。

首先，我们定义样本空间S为{正面，反面}，其中正面和反面是硬币的两个可能结果。 根据古典概型的特征，我们知道样本空间中结果的数量为2，并且每个结果出现的可能性相等。所以，正面出现的概率为： P(正面)=1/2 同样地，如果我们要计算连续两次抛掷硬币出现两次正面的概率，我们可以定义事件A为{正面，正面}，其中正面出现两次。 根据古典概型的特征，样本空间S包含了4个可能结果，即{正面，正面}、{正面，反面}、{反面，正面}和{反面，反面}。而事件A只有一个结果，即{正面，正面}。 所以，事件A出现的概率为： P(A)=1/4 通过这个简单的例子，我们可以看到古典概型的特征和概率计算公式的应用。古典概型的概率计算非常直观和简单，所以在许多实际问题中都能被广泛应用。

高一必修三数学概率与统计专题训练试题及答案

高一必修三数学概率与统计专题训练试题及答案 若甲、乙两位旅客打算从A城到B城，假设他们到达A城火车站侯车 的时间分别是周六8：00和周日8：20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)(1)设乙侯车所需时间为随机变量某，求某的分布列和数学期望;(2)求甲、乙二人候车时间相等的概率.解(1)某的所有可能取值为10、30、50、70、90(分钟)，其概率分布列如下 某的数学期望 E(某)=102(1)+303(1)+5036(1)+7012(1)+9018(1)=9(245)(分钟).(2)甲、 乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为P甲10=6(1)，P甲30=2(1)，P甲50=3(1);P乙10=2(1)，P乙30=3(1)，P乙 50=6(1)6(1)=36(1).所以所求概率 P=6(1)2(1)+2(1)3(1)+3(1)36(1)=108(28)=27(7)，即甲、乙二人候车时 间相等的概率为27(7).2.(2022皖南八校联考)从正方体的各个表面上的 12条面对角线中任取2条，设为2条面对角线所成的角(用弧度制表示)，如当2条面对角线垂直时，=2().(1)求概率P(=0);(2)求的分布列，并求 其数学期望E().解(1)当=0时，即所选的2条面对角线平行，则 P(=0)=12(2)=11(1).(2)的可能取值为0，3()，2().则 P(=0)=12(2)=11(1)，P3()=12(2)=11(8)，P2()=12(2)=11(2).的分布列如下： E()=011(1)+3()11(8)+2()11(2)=3().3.(2022广州调研)空气质量指 数PM2.5(单位：g/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值 越高，代表空气污染越严重.PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表 所示：

高一数学必修3概率

概率 必然事件： 不可能事件： 随机事件： 练：判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不肯能事件，哪些是随机事件？ （1）掷一枚骰子两次，所得点数之和大于12. （2）如果b a >，那么0>-b a ； （3）掷一枚硬币，出现正面向上； （4）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签； （5）某电话机在1分钟内接到2次呼叫； （6）没有水分，种子能发芽. 1，概率概念： 思考：（1）抛掷一枚质量均匀的硬币20次，字面向上的频率和概率是试验前知道还是试验后知道？ （2）如何用频率来研究事件发生的概率？ （3）如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，则事件A 的概率一定是n m ？ 随机事件的频率： 随机事件的概率： 概率与频率的区别与联系： 例1：抛掷10次硬币，是否一定是5次“正面朝上”和5次“5次反面朝上”? 例2：有四个阉，其中两个分别代表两件奖品，四个人按排序依次抓阉来决定这两件奖品的归属.先抓的人中奖率一定大吗？ 例3：一次抽奖活动中，中奖的概率为0.3，解释该概率的含义； 例4．为了增强学生对世园会的了解和认识，某校决定在全校3000名学生中随机抽取10名学生举行一次考核，小明认为被选取的可能性为300 1，不可能抽到他，所以他就不做备考，他的想法对吗？为什么？ 2，对立、互斥事件： 对立事件： 互斥事件： 问题1：互斥事件与对立事件有何异同？ 问题2：对于任意两个事件A ，B ，P(A ⋃B)=P(B)+P(B)是否一定成立？ 例1．某公司部门有男职工4名，女职工3名，由于工作需要，需从中任选3名职工出国洽谈业务，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件： （1）至少1名女职工与全是男职工； （2）至少1名女职工与至少1名男职工； （3）恰有1名女职工与恰有1名男职工； （4）至多1名女职工与至多1名男职工。 例2．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由。 从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张。 （1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”； （2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； （3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”。 例3、某战士在一次射击训练中，击中环数大于6的概率为0.6，击中环数是6或7或8的概率为0.3，

沪教版2020年数学必修三-第11讲 古典概率(讲义)学生版

第11讲 古典概率 【知识梳理】 概率性质1 必然事件的概率为1, 不可能事件的概率为0, 即P(Ω)=1,P(Φ)=0. 概率性质2 对任意的事件A, 都有0()1P A ≤≤． 互斥:如果A 与B 没有共同的基本事件，即两个子集不相交，那么有A ∩B=Φ，则两个事件不可能同时发生，或者说互斥。 对立事件:事件A 发生的否定就是事件A 不发生，它也是一个事件，称为事件A 的对立事件。简称为非A 。 A A=Φ A A=Ω A B=A B ⋂ A B=A B 概率性质3（可加性）. 两个不可能同时发生的事件至少有一个发生的概率是这两个事件的概率之和。换言之，如果A ∩B=Φ，那么P(A ∪B)=P(A)+P(B) 概率性质4 对任一给定事件，其发生的概率与不发生的概率的和总是1.换言之，有 P(A)=1- P(A ) 【例题解析】 知识点一：简单的古典概型 例1．在某微信群的“微信抢红包”活动中，某次所发的红包总金额为10元，被随 机分配为2.13元，3.44元，1.83元，2.60元，现有甲、乙等4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲、乙两人抢到的金额之和大于5元的概率为（ ） A ．2 3 B ．1 2 C ．1 3 D ．1 4 例2．人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作B ，隐性基因 记作b ；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是BB ，bB 或Bb ”），人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的，分别用D ，d 表示显性基因、隐形基因，基因对中只要出现了显性基因D ，就一定是卷舌的．生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是BbDd ，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为（ ）

2020高一数学必修3教师版3随机事件的概率 - 拔高 - 习题

随机事件的概率 一、选择题（共12小题；共60分） 1. 容量为的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 频数 则样本数据落在区间内的频率为 A. B. C. D. 2. 事件在次试验中的频率为，则 A. B. C. D. 与的大小关系无法确定 3. 某人将一枚硬币连掷了次，正面朝上的情形出现了次，若用表示正面朝上这一事件，则 的 A. 概率为 B. 频率为 C. 频率为 D. 概率是 4. 从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A. “至少有一个黑球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“都是红球” C. “至少有一个黑球”和“至少有一个红球” D. “恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” 5. 从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于的概率为，该同学的身高在 （单位：）的概率为，那么该同学的身高超过的概率为 A. B. C. D. 6. 从个同类产品（其中个是正品，个是次品）中任意抽取个，下列选项是必然事件的是 A. 个都是正品 B. 至少有个是次品 C. 个都是次品 D. 至少有个是正品 7. 从，，，，这个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中，是对立事件的是

A. ① B. ②④ C. ③ D. ①③ 8. 某次数学考试有道选择题，每道选择题有个选项，其中只有个选项是正确的．某同学说： “每个选项正确的概率是，我每题都选第一个选项，则一定有道题选择结果正确．”这句话 A. 正确 B. 错误 C. 不一定 D. 无法解释 9. 在件同类产品中，有件正品，件次品，任意抽出件必然现象为 A. 件都是正品 B. 至少有件是正品 C. 件都是次品 D. 至少有件是次品 10. 从一副扑克牌中抽取张红桃，张梅花，张黑桃，从中一次随机抽出张，恰好红桃、梅 花、黑桃种牌都抽到，这种事情 A. 可能发生 B. 很可能发生 C. 不可能发生 D. 必然发生 11. 在一次随机试验中，分析其中的个事件，，的概率分别为，，，则下列说 法正确的是 A. 与是互斥事件，也是对立事件 B. 是必然事件 C. D. 12. 一个家庭有两个小孩，所有可能的基本事件有 A. （男女），（男男），（女女） B. （男女），（女男） C. （男男），（男女），（女男），（女女） D. （男男），（女女） 二、填空题（共5小题；共25分） 13. 频率和概率 （1）在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的④为事件出现的频数，称事件出现的比例⑤为事件出现的频率． （2）对于给定的随机事件，随着试验次数的增加，事件发生的⑥稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件的概率，简称为的概率． 14. 在件产品中有件一级品，件二级品，从中任取件，事件“ 件不都是一级品”， 则的对立事件是． 15. 甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，给出下列说法：①甲获胜的概率是； ②甲不输的概率是；③乙输的概率是；④乙不输的概率是． 其中正确的说法是．（填序号）

高一数学必修3《概率》公式总结以及例题

§3. 概率 ◆ 事务：随机事务（ random event ），确定性事务: 必定事务( certain event )和不行能事务( impossible event ) ❖ 随机事务的概率(统计定义)：一般的，假如随机事务 A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，我们称事务A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明：① 一个随机事务发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事务时某个事务是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必定的，因此偶然性和必定性对立统一 ② 不行能事务和确定事务可以看成随机事务的极端状况 ③ 随机事务的频率是指事务发生的次数和总的试验次数的比值，它具有肯定的稳定性，总在某个常数旁边摇摆，且随着试验次数的不断增多，这个摇摆的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事务发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是详细的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 ♦ 概率必需满意三个基本要求：① 对随意的一个随机事务A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③假如事务 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和 ⌧ 古典概率（Classical probability model ）：① 全部基本领件有限个 ② 每个基本领件发生的可能性都相等 满意这两个条件的概率模型成为古典概型 假如一次试验的等可能的基本领件的个数为个n ，则每一个基本领件发生的概率都是n 1，假如某个事务A 包含了其中的m 个等可能的基本领件，则事务A 发生的概率为 ()n m A P = ⍓ 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事 务“改点落在其内部的一个区域d 内”为事务A ，则事务A 发生的概率为 ()的侧度 的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ） 几何概型的基本特点：① 基本领件等可性 ② 基本领件无限多 颜老师说明：为了便于探讨互斥事务，我们所探讨的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形态无关。 互斥事务(exclusive events)：不能同时发生的两个事务称为互斥事务 对立事务（complementary events ）：两个互斥事务中必有一个发生,则称两个事务为对立事务 ，事务A 的对立事务 记为：A