§3.3.1 几何概型(一)
【课题】几何概型
【教材】普通高中课程标准实验教科书人民教育出版社 A版数学必修3
【授课教师】兰州一中刘雪峰
【教材分析】
几何概型是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸.几何概型的基本特点是：在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件是等可能的.几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限个.
【学情分析】
学生通过古典概型的学习初步形成了解决概率问题的思维模式，但还不是很成熟.学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆，究其原因是思维不严谨，对几何概型的概念理解不清.另外，在解决几何概型的问题时，几何度量的选择也需要特别重视，在实际授课时，应当引导学生发现规律，找出适当的方法来解决问题.
【教学目标】
知识与技能：初步体会几何概型的意义，会用公式求解简单的几何概型的概率．
过程与方法：通过试验，与已学过计算概率的方法进行比较，提出新问题，师生共同探究，提出可行性解决问题的建议或想法.
情感态度与价值观：感知生活中的数学，培养学生用随机的观点来理解世界，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价身边的随机现象，学会用科学的方法去观察世界和认识世界.
【重点难点】
教学重点: 几何概型的基本特征及如何求几何概型的概率.
教学难点: 如何判断一个试验是否是几何概型，如何将实际背景转化为几何度量.
【教法学法】问题解决的教学模式，分层实现教学目标.
【教学基本流程】温故知新
↓
创设情境
↓
新知探究
↓
形成概念
↓
典例分析
↓
巩固深化
↓
课堂梳理
↓
布置作业
【教学情景设计】
知
新
提问2:古典概型的概率个公式?一步引入几何概型做铺垫.
创设情境问题情境：下图是卧室和书房地板的示意图,图中每
一块方砖除颜色外完全相同.一只小猫分别在卧室和
书房自由地走动，随意地停留在地板上.请问,在哪个
房间小猫停留在黑砖上的概率大?为什么?
卧室书房
设置学生思维的最近发
展区，创设适宜于学生探究、
生成新知识的问题情境.
新知探究引导学生思考探究
探究1:上述问题的概率与什么相关？
(学生很容易联想到几何图形的面积.)
探究2:这是古典概型吗？
(教师引导学生通过古典概型的两个特征进行判断,让
学生初步体会古典概型和几何概型区别和联系)
探究3:怎样确定几何概型的概率?
图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指
针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分
别求甲获胜的概率是多少?
学生分析：
1、指针指向的每个方向都是等可能性的，但指针所指
的位置却是无限个的，因而无法利用古典概型；
2、利用B区域的所对弧长、所占的角度或所占的面积
与整个圆的弧长、角度或面积成比例研究概率；
学生求解：法一（利用B区域所占的弧长）
法二（利用B区域所占的圆心角）
法三（利用B区域所占的面积）
引导学生初步认识几何
概型的等可能性和无限性.
引导学生发现试验的
结果是无限的，似乎不能解
决此问题，从而激励学生寻
求解决问题的方法.
让学生体会解决问题的
实质就是将原来具有无限性
的基本事件集合进行了度
量，
形成概念几何概型的概念：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的
长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为
几何概率模型，简称为几何概型.
几何概型的特征：
⑴试验中所有可能出现的基本事件有无限多个——基
本事件具有无限性.
⑵每个基本事件出现的可能性相等——基本事件发
明确概念的内涵和外
延，抓住概念的本质属性，
这是探究活动的重要环节，
有助于培养学生的语言表达
能力、归纳概括能力与辩证
思维能力.
生具有等可能性.
在几何概型中，事件A的概率计算公式：
典例分析典例1：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想
听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
采取以学生自主学习的方式,学生独立完成.让学生
板演，教师巡视学生的做题情况.
教师对巡视时发现的问题通过实物投影仪进行点评.
典例2:在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱
AB上任取一点P,求P到点的距离小于等于1的概率.
变式1:在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1的面
ABCD上任取一点P,求P到点的距离小于等于1的概
率.
变式2:在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1内任取
一点P,求P到点的距离小于等于1的概率.
典例3:已知点A为圆周上一定点,在圆周上等可能的任
取一点与A连结,求弦长超过半径的概率.
围绕概念选择典型例
题,设置问题.学生完成后，
教师组织学生进行点评，引
导学生总结解题的方法步
骤，以及应注意的问题，达
到更好的掌握知识和数学思
想方法的目的.
通过设计一系列变式练
习,让学生进一步体会如何
在几何概型中选择恰当的几
何度量来确定概率.
()
P A
构成事件A的区域的长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域的长度（面积或体积）
【教学反思】
本节课的定位是几何概型的建构及其应用，我采用了“问题解决”的教学模式，分层实现教学目标。
在对比分析过程中，激发学生的学习兴趣，使其初步感受从有限到无限，从古典概型到几何概型的过渡，同时也在学生的思维中呈现了“面积”这一几何测度，引出课题—几何概型。在此教学环节中，我将旧知识的检查有机融合在学生对新知识的探求过程中，力求新知导入的自然、快捷、高效。
实例能让学生在感受数学源
自生活的同时，体会已有知识不足以解决新问题的“窘迫”，从而产生内源性的驱动力，极力参与到概念的构建、形成、巩固和应用等环节中，提高主体参与的深度与广度 .
为了让学生更好地把握几何概型的本质，教学时着重强调“每个事件的发生可以看成在某个特定区域上取上一个点”和“等可能性”，突出问题的几何特性和随机性，这样不但可以“几何概型”中的“几何”一词来头，
引导学生从多角度思考问题，意识到解决问题方法的不唯一性.可以用弧长、角度、面积等不同的几何度量去求解,加深学生对几何概型的理解,拓展学生思维.
巩固深化 练习1：在区间[-1，2]上任取一个整数，恰好取在区间[0，1]上的概率为 .
练习2：在区间[-1，2]上任取一个实数，恰好取在区间[0，1]上的概率为 .
练习3：如下图,假设你在每个图形上随机地撒一粒黄豆,分别计算它落在阴影部分的概率.
练习4：一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.
通过比较让学生进一步体会古典概型和几何概型的区别和联系.
课堂练习让学生尝试自主解决,以达到巩固概念，强化应用的目的.
课 堂 梳 理 让学生自己总结：
①我们这节课你学到了什么？
②通过这节课你掌握了哪些方法？应该注意些什么问题？
③有哪些思想是在以后的学习中可以借鉴? 课堂梳理，可以把课堂探究生成的知识尽快转化为学生的素质，巩固深化这节课的内容.
思考拓展 思考拓展:
甲乙两人相约上午8:00到9:00在某地会面,先到者等候另一个人20分钟,过时即可离去,求甲乙两人能会面的概率.
思维拓展题满足不同学生发展的需要.
布 置 作 业
1. 习题3.3A 组:1,2,3.
2. <<红对勾>>第31课时.
3. <<数学导学案>>几何概型第二课时.
适度的作业可以帮助学生巩固所学的知识,并为下一阶段学习做好准备.
而且在遇到相关的几何概型实际问题时有“抓手”，能自觉将问题转化成找“点”、找“点所形成的区域”，从而自觉把实际问题抽象成几何问题．这主要体现在例题和练习反馈教学中.
为了让学生更好地掌握新知，本课设计从学生已有的认知水平出发，遵照知识的发生发展过程，对教材做了必要的加工，分散难点，突出重点，使学生能参与、可交流，使课堂民主、和谐、高效.
《几何概型》备课资料 教学内容的分析 1.从教材的地位和作用来看 本课选自人教A 版（必修3）第三章《概率》中3.3几何概型的第一课时，是在学习古典概型情况下教学的。它是对古典概型内容的进一步拓展，使等可能事件的概念从有限向无限延伸，此节内容也是新课本中增加的，反映了《新课标》对数学知识在实际应用方面的重视．同时也暗示了它在概率论中的重要作用，以及在高考中的题型的转变。 2.从学生学习角度来看 从学生的思维特点看，很容易将本节内容与古典概型进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：基本事件个数由有限向无限过渡，以及对实际背景的转化上还存在一定的认知困难。 3.教学重难点 重点：几何概型概念及计算公式的形成过程. 难点：将实际问题转化为数学问题，建立几何概率模型，并求解。 教学目标 1.知识与技能 以学生动手试验为主要形式，通过解决具体问题来感知用图形解决概率问题的思路，体会几何概型计算公式及几何意义. 2.过程与方法 通过多个问题的分析及模拟试验让学生理解几何概型的特征，归纳总结出几何概型的概率计算公式，渗透有限到无限，转化与化归及数形结合的思想。 3.情感、态度与价值观 教会学生用数学方法去研究不确定现象的规律，帮助学生获取认识世界的初步知识和科学方法。 教学过程： 引入1：复习古典概型的特点及其概率公式： (1)1 (2) 2A () A P A ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；、古典概型的特点每个基本事件出现的可能性相等。古典概型包含基本事件的个数、事件的概率公式：基本事件的总数 对比练习： 1.(赌博游戏)：甲乙两赌徒掷骰子，规定掷一次谁掷出6点朝上则谁胜，请问甲掷一次获胜（事件A ）的概率？ 2. （转盘游戏）：如图转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.求甲获胜（事
《几何概型（第一课时）》的教学设计教学内容 本节课选自普通高中课程标准实验教科书《数学》（苏教版）必修3第3章《概率》第3节内容. 教材的地位与作用 概率的初步知识在初中已经介绍，在选修模块的系列2中还将继续学习概率的其他内容，因此，本章在高中阶段概率的学习中，起了承前启后的作用. 本章的核心是运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成用科学的态度、辩证的思想、随机的观念去观察、分析研究客观世界的态度，并获取认识世界的初步知识和科学方法. 本小节是在学生已经掌握一般性的随机事件即概率的统计定义的基础上，继古典概型后对另一常见概型的学习，这对全面系统地掌握概率知识，对于学生辩证思想的进一步形成具有促进的作用. 三维目标 知识与技能 了解几何概型的意义，会求简单的几何概型事件的概率. 过程与方法 通过学习运用几何概型的过程，初步体会几何概型的含义，体验几何概型与古典概型的联系与区别. 情感、态度与价值观 通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想，养成合作交流的习惯. 教学重点 几何概型的基本特点及“测度”的寻找. 教学难点 从实际背景中找测度. 课时安排 1课时 教学过程 一、创设情境，导入新课 问题情境一：取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？（教师演示绳子） 问题情境二：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环？从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶星是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？（播放flash动画）设置意图：这两个问题都来自于日常生活中，特别是当第二个问题提出时，学生们会跃跃欲试.根据心理学，情境具有暗示作用，在暗示作用下，学生自觉不自觉地参与了情境中的角色，这样他们的学习积极性和思维活动就会被极大的调动起来. 二、师生互动，意义建构 经过分析，在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的“等可能性”，但是显然不能用古典概型的方法求解. 通过学生的讨论，解决以上两个问题并不困难，解决之后，教师向学生介绍“测度”这一新名词（不必深究）.学生只需要知道第一个问题中的测度是指（线段的）长度，第二个问题中的测度是指（圆的）面积.
庖丁巧解牛 知识·巧学 一、几何概型 1.几何概型的概念 如果把事件A 理解为区域Ω的某一个子区域A,A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，则称满足以上条件的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称几何概型. 深化升华 准确理解几何概型的定义，要注意定义中的两个关键词：“无限性”，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；“等可能性”，即每个基本事件发生的可能性是均等的. 对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某特定的几何区域内随机地取一点，该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这里的几何区域可以是线段，也可以是平面图形、立体图形.这样，我们就把随机事件与几何区域联系在一起了. 2.几何概型的特点 (1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等. 辨析比较 几何概型与古典概型的主要区别在于：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是均等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个. 随机事件A“从正整数中任取两个数，其和为偶数”是否为几何概型？ 尽管这里事件A 满足几何概型的两个特点：有无限多个基本事件，且每个基本事件的出现是等可能的，但它不满足几何概型的基本特征——能进行几何度量.故事件A 不是几何概型. 误区警示 几何概型的两个特点(无限性和等可能性)不是判定一个事件是否为几何概型的基本特征，要判定一个随机事件是否为几何概型，关键是看它是否具有几何概型的本质特征——能进行“几何度量”，不过掌握几何概型的两个特点有利于区分几何概型与古典概型.事实上几何概型是由连续型随机变量所组成随机事件的一类特殊概型，而不是由离散型随机变量(如变量取自然数)组成的随机事件.另外，在判断一个试验是否为古典概型时，其基本事件的“等可能性”的判断是很容易被忽略的. 二、几何概型的计算公式 几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P(A)=) ()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . 设在空间上有一区域G ，又区域g 包含在区域G 内，而区域G 与g 都是可以度量的(可求面积)，现随机地向G 内投掷一点M ，假设点M 必落在G 中，且点M 落在区域G 的部分区域g 内的概率只与g 的度量(长度、面积、体积等)有关， 而与g 的位置和形状无关.则关于几何概型的随机事件“向区域g 中任意投掷一个点M ，点M 落在G 内的部分区域g”的概率P 为g 的度量与G 的度量之比，即P(A)=的度量的度量G g 我们把每个基本事件理解为某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型可以用几何概型来求解.
§3.3.1 几何概型(一) 【课题】几何概型 【教材】普通高中课程标准实验教科书人民教育出版社 A版数学必修3 【授课教师】兰州一中刘雪峰 【教材分析】 几何概型是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸.几何概型的基本特点是：在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件是等可能的.几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限个. 【学情分析】 学生通过古典概型的学习初步形成了解决概率问题的思维模式，但还不是很成熟.学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆，究其原因是思维不严谨，对几何概型的概念理解不清.另外，在解决几何概型的问题时，几何度量的选择也需要特别重视，在实际授课时，应当引导学生发现规律，找出适当的方法来解决问题. 【教学目标】 知识与技能：初步体会几何概型的意义，会用公式求解简单的几何概型的概率． 过程与方法：通过试验，与已学过计算概率的方法进行比较，提出新问题，师生共同探究，提出可行性解决问题的建议或想法. 情感态度与价值观：感知生活中的数学，培养学生用随机的观点来理解世界，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价身边的随机现象，学会用科学的方法去观察世界和认识世界. 【重点难点】 教学重点: 几何概型的基本特征及如何求几何概型的概率. 教学难点: 如何判断一个试验是否是几何概型，如何将实际背景转化为几何度量. 【教法学法】问题解决的教学模式，分层实现教学目标. 【教学基本流程】温故知新 ↓ 创设情境 ↓ 新知探究 ↓ 形成概念 ↓ 典例分析 ↓ 巩固深化 ↓ 课堂梳理 ↓ 布置作业 【教学情景设计】
第三章 概 率 一、随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念： （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件； （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； （5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数nA 为事件 A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A 为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次 数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。 （6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A ，它具有一定的稳定性， 总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件 的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这 个事件的概率 二、概率的基本性质 1、基本概念： （1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件 （2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥； （3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件； （4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以 P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质： 1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)； 3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)； 4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同 的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事 件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生， 对立事件互斥事件的特殊情形。 三、古典概型及随机数的产生
参赛课题：几何概型 使用教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修3（人教A版）
《几何概型》教案说明 一、《几何概型》在教材中的地位 本节课是高中数学（必修3）第三章概率的第三节几何概型的第一课时，是在学习了古典概型情况下教学的。它是对古典概型内容的进一步拓展，主要是要把概率问题与几何问题完美的结合，用数形结合的思想，通过建立基本事件与相应点的对应，实现从有限到无限形式上的转化，使等可能事件的概念从有限向无限延伸，进而建立合理的几何模型解决相关概率问题。此节内容也是新课标中增加的，反映了《新课标》对数学知识在实际应用方面的重视．同时也暗示了它在概率论中的重要作用，以及在高考中的题型的转变。 二、《几何概型》教学目标定位 1、教学目标 1）知识目标 通过解决具体问题让学生感知用图形解决概率问题的思路，体会几何概型计算公式及几何意义。 2）能力目标 通过多个问题的分析及试验让学生理解几何概型的特征，归纳总结出几何概型的概率计算公式，渗透有限到无限，转化与化归及数形结合的思想。 3）情感目标 教会学生用数学方法去研究不确定现象的规律，帮助学生获取认识世界的初步知识和科学方法。 2、教学目标的设置意图 几何概型概念中的核心是它的两个特征，（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），所以教学的重点不是“如何计算概率”，而是要引导学生动手操作，开展小组合作学习，通过举出大量的几何概型的实例与数学模型使学生概括、理解、深化几何概型的两个特征及概率计算公式。同时使学生初步能够把一些实际问题转化为几何概型，并能够合理利用随机、统计、化归、数形结合等
班级组别组号姓名 【学习目标】（1）了解均匀随机数的概念； （2）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； （3）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题． 【自主学习】：阅读教材P137—139，独立完成下列问题 任务1问题1:（回顾（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式： P（A）= （3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； 2）每个基本事件出现的可能性相等． 任务2问题1：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7:00～8:00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A， （1）那么事件A是哪种类型的事件？ （2）怎样求事件A的概率？ 问题2：设送报人到达你家的时间为x，父亲离开家的时间为y，若事件A发生，则x、y应满足什么关系？ 问题3：你能画出上述不等式组表示的平面区域吗？ 问题4：根据几何概型的概率计算公式，事件A发生的概率为多少？ 【合作探究】
利用随机模拟方法计算由y=1和y=x2 所围成的图形的面积. 让学生操作,再演示试验. 分析：见P140 小结 1.在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随 机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数. 2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列 问题，体现了数学知识的应用价值. 3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为 参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决. 4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数，其操作 方法要通过上机实习才能掌握. 【目标检测】 1 甲乙两人相约上午8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去，求甲乙两人能会面的概率. 2. 将一长为18cm的线段随机地分成三段，则这三段能够组成一三角形的概率是多少？ 学习反思：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些没学懂？
3.3 几何概型 3.3.1 几何概型 一、基础达标 1．下列概率模型： ①在区间[－10，10]中任取一个数，求取到1的概率；②从区间[－10，10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10，10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的整数的概率；④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率．其中，是几何概型的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C 解析 ①是．因为区间[－10，10]有无限多个点，取到1这个数的概率为0. ②是．因为在[－10，10]和[－1，1]上有无限多个点可取，且在这两个区间上每个数取到的可能性相同． ③不是．因为[－10，10]上的整数只有21个，不满足无限性． ④是．因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点，且每个点被投中的可能性相同． 2．有四个游戏盘，如图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为 ( ) 答案 A 解析 对A ，P (A )＝38，对B ，P (B )＝13；对C ，P (C )＝4－π4＜1 4 ；对D ，P (D ) ＝1 π，显然P (A )最大，因此应选游戏盘A.
3．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是 ( ) A.1 10 B.1 9 C.1 11 D.18 答案 A 解析 试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝ 110 . 4．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S 4 的概率是 ( ) A.14 B.1 2 C.3 4 D.23 答案 C 解析 如右图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S 4 ”等价于事 件“|BP |∶|AB |＞14．即P (△PBC 的面积大于S 4)＝|PA ||BA |＝3 45．在如图所示的正方形中随机撒入1 000粒芝麻，则撒入圆内 的芝麻数大约为________(结果保留整数)． 答案 785 解析 设正方形边长为2a ，则S 正＝4a 2， S 圆＝πa 2 .因此芝麻落入圆内的概率为P ＝πa 24a 2＝π4，大约有 1 000×π 4 ≈ 785(粒)． 6．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________． 答案 0.005 解析 由几何概型知P ＝ 2 400 ＝0.005. 7．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r ＜a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．
几何概型教学的一点体会 一、教学目标的定位: 本章的核心是运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成建模的数学思想，学会用随机的观念去观察、分析研究客观世界的变化规律，并获取认识世界的初步知识和科学方法。 依据高中数学新课程标准的要求、本课教材的特点、学生的实际情况等方针，我认为这一节课要达到的学习目标可确定为： 1．知识与技能： （1）通过本节学习使学生掌握几何概型的特点，明确几何概型与古典的区别（2）通过学生玩转盘游戏，分析得出几何概型概率计算公式。 （3）通过例题教学，使学生能掌握几何概型概率计算公式的应用。 2．过程与方法： （1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力； （2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3．情感、态度与价值观： 通过对几何概型的教学，帮助学生树立科学的世界观和辩证的思想，养成合作交流的习惯，初步形成建立数学模型的能力。 确定教学重点与难点如下： 1．重点： （1）几何概型概率计算公式及应用。 （2）如何利用几何图形，把问题转化为几何概型问题。 2．难点： 无限过渡到有限；实际背景如何转化几何图形；正确判断几何概型并求出概率。 二、教学内容的地位和作用 本小节是在学生已经掌握一般性的随机事件即概率的统计定义的基础上，继古典概型后对另一常见概型的学习，对全面系统地掌握概率知识，对于学生辩证思想的进一步形成具有良好的作用。另外几何概型是借助几何图形解决概率的
一种手段，它与几何图形的长度、面积、体积均有联系，尤其应注意到点的面积为0这一情况。而且几何概型为后继求几何图形的面积（如抛物线与x轴相交内部的面积求解）、在经济学中、在高等数学的概率论学习都有极其重要的应用。 通过本节课的学习，应注重发展学生的应用意识，通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值．帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学，从而发展学生应用数学的意识和能力。 概率与实际生活联系很密切，在课堂教学过程中，通过对案例的分析、研究，培养学生应用数学的意识和能力。指导学生直接应用数学知识解决一些简单问题，通过数学建模活动引导学生从实际情境中发现问题，并归结为数学模型，尝试用数学知识和方法去解决问题，鼓励学生注意数学应用的事例，开阔他们的视野。 数学实验具有直观、形象、生动的特点。问题1和2在实验的过程中让学生进行体验和感受，通过亲历的过程，激活学生的思维，加速数学知识的迁移和促进数学知识的同化，促使学生在积极思维的过程中迸发出创新的火花，提高其分析问题和解决问题的能力。 三、教学的效果分析 根据本节课的内容、教学目标、教学手段和学生的实际水平等因素，在教法上，我以引导、发现为主，重视多媒体的作用，充分调动学生，展示学生的思维过程，使学生能准确理解、运算和表示。 对于学生的学习，结合本课的实际需要，作如下指导：对于概念，引导学生用归纳总结的方法得出几何概型概念，并用类比的方法对几何概型和古典概型进行比较，以加深对概念的认识；对于典型例题，充分调动学生的积极性，发散学生的思维，广开言路，让学生从多角度建模，注意数形结合思想的运用，把抽象的问题转化为熟悉的几何概型。 由于本节课的要求也较低，要求学生了解几何概型，体会建模的思想，感受几何概型的建模方法：一维、二维、三维；而且设计的循序渐进，从而学生的接受情况应该比较不错。通过实际教学也可以看出由于学生对本堂课比较重视，学生的数学思维程度较好，学生的领悟能力比较强，在例题的构建模型的过程中，
高二数学 第三章第3节几何概型 理 知识精讲人教新课标A 版必修 3 一、学习目标： （1）了解几何概型的概念及基本特点 （2）熟练掌握几何概型中概率的计算公式 （3）会进行简单的几何概率计算 （4）能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想 二、重点、难点： 重点：掌握几何概型中概率的计算公式；并能进行简单的几何概率计算。 难点：将实际问题转化为几何概型，并能正确应用几何概型的概率计算公式解决问题。 三、考点分析： 本部分内容是新增的内容，对几何概型的要求仅限于体会几何概型的意义，所以在练习时，侧重于一些简单的试题即可。 （1）区别古典概型与几何概型 （2）理解随机模拟求几何概型的概率 1、几何概型的概念： 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的可以几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则可以理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型。 2、几何概型的基本特点： （1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。 3、几何概型的概率： 一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D 的测度 的测度 。 说明： （1）D 的测度不为0； （2）其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的“测度”分别是长度，面积和体积。 （3）区域为“开区域”； （4）区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关。
——教学资料参考参考范本—— 2019- 2020学年度高中数学人教A版必修三教学案：第三章第3节几 何概型-含答案 ______年______月______日 ____________________部门
20xx最新高中数学人教A版必修三教学案：第三章第3节几何概 型-含答案 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P135～P136，回答下列问题． (1)教材问题中甲获胜的概率与什么因素有关？ 提示：与两图中标注B的扇形区域的圆弧的长度有关． (2)教材问题中试验的结果有多少个？其发生的概率相等吗？ 提示：试验结果有无穷个，但每个试验结果发生的概率相等． 2．归纳总结，核心必记 (1)几何概型的定义与特点 ①定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． ②特点：(ⅰ)可能出现的结果有无限多个；(ⅱ)每个结果发生的可能性相等． (2)几何概型中事件A的概率的计算公式 P(A)＝. [问题思考] (1)几何概型有何特点？ 提示：几何概型的特点有：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； ②每个基本事件出现的可能性相等． (2)古典概型与几何概型有何区别？ 提示：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的． [课前反思] 通过以上预习，必须掌握的几个知识点： (1)几何概型的定义：； (2)几何概型的特点：； (3)几何概型的计算公式：. 某班公交车到终点站的时间可能是11∶30－12∶00之间的任何一个时刻． 往方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上． [思考1] 这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？ 提示：无限多个． [思考2] 古典概型和几何概型的异同是什么？ 名师指津：古典概型和几何概型的异同 如表所示： 名称古典概型几何概型 相同 基本事件发生的可能性相等 点
2019-2020年高中数学《几何概型》教案1 新人教A版必修3 教材分析 和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率．它也是一种等可能概型． 教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整． 这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学．教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题． 教学目标 1. 通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用． 2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力． 3. 通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平． 任务分析 在这节内容中，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，因此，教学重点是随机模拟部分．这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等．教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动．有条件的学校可以让学生用一种统计软件统计模拟的结果． 教学设计 一、问题情境 如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜． 问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率．
几何概型 一.教材分析: 本节课是高中数学人教A版必修三第三章第三节，共有两个课时，本节课为第一课时,它是古典概型之后学习的另一类等可能概型。为教材新增加的内容，历年高考说明中要求了解几何概型的意义，可见大纲、考纲对几何概型的教学要求都比较低。几何概型的研究，是古典概型的拓广，将古典概型试验结果有限个拓广到无限个；这充分体现了新课改强调的数学与实际生活的紧密关系，是学生思维从有限到无限的自然延伸。课本介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要．概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成用随机的观念去观察、分析、研究客观世界的态度，并获取认识世界的初步知识和科学方法． 二.学情分析: 学生前面已经学习了随机事件的概率和古典概型,了解了互斥事，学会了用古典概型公式解决概率问题,能尝试把一些问题模型化．学生在学习本节课时容易把几何概型认为是古典概型的一种特殊情况，究其原因是思维不严谨，对几何概型的概念理解不清，此外学生在分析问题，解决问题的能力，应用数学的意识等方面发展有待加强． 三.设计思想: 利用建构主义学习理论，引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。同时以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构．让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中建构几何概型的概念以及归纳出几何概型公式，运用实物、多媒体、投影仪辅助，倡导“自主、合作、探究”的学习方式．具体流程如下: →→ 四.教学目标: 知识与技能:解几何概型的概念以及几何概型与古典概型的区别．会计算简单的几何概型事件，并解决实际问题。 过程与方法:让学生经历概念的建构这一过程，进一步体会从特殊到一般的思想；通过实际应用，进一步培养学生数形结合的能力和数学建模思想。 情感与态度:通过情境引入激发学生学习兴趣趣，培养其积极探索的精神．通过实际应用让学生体会到数学在现实生活中的价值,加强对世界客观性的认识。五.教学重点与难点: 重点：理解几何概型的定义、特点，利用公式计算几何概率．
3.3 几何概型 3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生 一、教学目标： 1、 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念； （2）掌握几何概型的概率公式： P （A ）= 积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型； （4）了解均匀随机数的概念； （5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； （6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题． 2、 过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数 学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、 情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。 二、重点与难点： 1、几何概型的概念、公式及应用； 2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中． 三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学． 四、教学设想： 1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。 2、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式： P （A ）= 积） 的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． 3、 例题分析： 课本例题略 例1 判下列试验中事件A 发生的概度是古典概型， 还是几何概型。 （1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率； （2）如课本P132图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。 分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。而几何概
第三章概率 小结 （人教A版高中课标教材数学必修3） 教学设计 一、教学内容解析 本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修3第三章《概率》的小结课，本节教学内容为梳理本章知识内容，强化知识间的内在联系，提高综合运用知识解决问题的能力．掌握随机现象中的必然事件、不可能事件、随机事件的概念；掌握古典概型、几何概型的特点及概率运算；掌握互斥事件、对立事件的概念，会利用公式计算有关的问题的概率．概率小结是对概率概念和运算的丰富与升华，是对概率认识的又一次质的飞跃．根据本节课的内容特点以及学生的实际情况，在小结课之前让学生自己总结本章知识网络结构，在课堂上学生分组讨论并展示，加之老师对知识网络结构的归纳、总结和评价，使学生对本章内容有一个全面的认识．通过各类题组训练，让学生自己体会知识的横向、纵向联系，对相关概念的认识更加精准和深刻，同时也把它们作为本节课的教学重点．本节课的学习在发展学生运算能力的同时还需要培养学生运用所学知识解决实际问题的能力．另外，概率问题可以与其他模块知识交汇形成不同背景的综合问题，提高学生分析问题、解决问题的能力，因此本节的内容起到了新旧知识相互迁移、融会贯通的重要作用；并且通过本节内容的教学还为培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合、等价转化的数学思想方法提供了重要的素材． 二、教学目标设置 新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：通过具体实例，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别；理解古典概型及其概率计算公式；初步体会几何概型的意义．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标： 1.在具体情景中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别和联系，培养良好的思维品质． 2.通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式，提高分析实际问题的能力，增强数学
2019-2020年高中数学第三章概率3.3.1几何概型教案新人教A版必修3 一、教学内容解析 本节课是人教A版《普通高目中课程标准实验教科书·数学》必修3中的第三章第三节第一课时的内容。本课主要学习几何概型的相关内容，包括几何概型的概念及概率计算公式。本节内容紧接古典概型之后，是第二类概率模型，也是对古典概型内容的进一步拓展。因而本课的重点把握在几何概型的判断，古典概型及几何概型的区别，以及如何利用几何概型的概率公式解题。 因此本课开始以回顾古典概型的概念及特点作为课前导入，结合一个概型判断的选择题，引导学生发现几何概型及古典概型的区别，进而对比引出几何概型的概念。紧接着结合生活中的几个案例加深学生对几何概型的理解。接着对比案例，引导学生通过古典概型的概率计算公式推出几何概型概率计算公式，然后通过例题分别从长度、面积、体积三个方面解决对应的生活中的几何概型问题。 （一）知识与技能： （1）体会几何概型的意义。 （2）了解几何概型的基本特点与古典概型的异同点、会进行简单的几何概型计算。 （二）过程与方法： 学生通过自主探究，讨论交流，经历概念产生与发展的过程，进一步培养学生观察、分析、类比等逻辑推理能力，通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，渗透化归、数形结合等思想方法。 （三）情感、态度与价值观： 本节课选材取例均来源于生活，学生积极参与探究，进一步树立数学是来源于生活而又服务于生活的意识，让学生感受生活中处处有数学，体会数学对自然与社会所产生的作用，使学生充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的问题。 为了达到上面的教学目标和根据课程标准的要求，因此把学生能够正确区分几何概型及古典概型两者的区别和学生初步掌握并运用几何概型解决有关概率的基本问题作为教学重点。教学难点是在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。 2.学情分析： 从学生的思维特点看，很容易把本节内容与古典概型的特点，计算方法等方面进行类比因此两者有联系这是积极因素，应因势利导，但是几何概型的计算方法与古典概型有本质的区别，这对学生