三、微元法
方法简介
微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。
赛题精讲
例1：如图3—1所示，一个身高为h 的人在灯以悟空速度v 沿水平直线行走。设灯距地面高为H ，求证人影的顶端C 点是做匀速直线运动。
解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。
设某一时间人经过AB 处，再经过一微小过程Δt （Δt
→0），则人由AB 到达A ′B ′，人影顶端C 点到达C ′点，
由于ΔS AA ′= v Δt 则人影顶端的移动速度：
v C =CC t 0S lim t
'?→??=AA t 0H S H h lim t '?→?-?=H H h -v 可见v c 与所取时间Δt 的长短无关，所以人影的顶端C 点做匀速直线运动。
例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ 。试求铁链A 端受的拉力T 。
解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况。在铁链上任取长为ΔL 的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图3—2—甲所示。由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：
T θ + ΔT θ = ΔGcos θ + T θ ，ΔT θ = ΔGcos θ = ρg ΔLcos θ
由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大ΔT θ ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上ΔT θ的和，即：
T = ΣΔT θ = Σρg ΔLcos θ = ρg ΣΔLcos θ
观察ΔLcos θ的意义，见图3—2—乙，由于Δθ很小，所以CD ⊥OC ，∠OCE = θΔLcosθ表示ΔL 在竖直方向上的投影ΔR ，所以ΣΔLcos θ = R ，可得铁链A 端受的拉力： T = ρg ΣΔLcos θ = ρgR
例3：某行星围绕太阳C沿圆弧轨道运行，它的近日点A离太阳的距离为a ，行星经过近日点A时的速度为v A，行星的远日点B离开太阳的距离为b ，如图3—3所示，求它经过远日点B时的速度v B的大小。
解析：此题可根据万有引力提供行星的向心力求解。
也可根据开普勒第二定律，用微元法求解。设行星在近
日点A时又向前运动了极短的时间Δt ，由于时间极短可
以认为行星在Δt时间内做匀速圆周运动，线速度为v A，
半径为a ，可以得到行星在Δt时间内扫过的面积：
v AΔt?a
S a =1
2
同理，设行星在经过远日点B时也运动了相同的极短时间Δt ，则也有：
S b =1
v BΔt?b
2
v A
由开普勒第二定律可知：S a = S b。即得：v B =a
b
（此题也可用对称法求解。）
例4：如图3—4所示，长为L的船静止在平静的水
面上，立于船头的人质量为m ，船的质量为M ，不计
水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为
多大？
解析：取人和船整体作为研究系统，人在走动过程中，系统所受合外力为零，可知系统动量守恒。设人在走动过程中的Δt时间内为匀速运动，则可计算出船的位移。设v1、v2分别是人和船在任何一时刻的速率，则有：mv1 = Mv2①两边同时乘以一个极短的时间Δt ，有：mv1Δt = Mv2Δt ②
由于时间极短，可以认为在这极短的时间内人和船的速率是不变的，所以人和船位移大小分别为Δs1 = v1Δt ，Δs2 = v2Δt
由此将②式化为：mΔs1 = MΔs2③
把所有的元位移分别相加有：mΣΔs1 = MΣΔs2④
即：ms1 = Ms2⑤
此式即为质心不变原理。其中s1、s2分别为全过程中人和船对地位移的大小，又因为：L = s1 + s2⑥
L
由⑤、⑥两式得船的位移：s2 =m
+
M m
例5：半径为R的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为M
的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR ，且弹性绳圈的劲度系数为
k ，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停
留在平衡位置上，如图3—5所示，若平衡时弹性绳圈长为
R ，求弹性绳圈的劲度系数k 。
解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一小段Δm 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F 。在弹性绳圈上任取一小段质量为Δm 作为研究对象，进行受力分析。但是Δm 受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察。选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系。从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图3—5—甲和2—3—5—乙。
先看俯视图3—5—甲，设在弹性绳圈的平面上，Δm 所对的圆心角是Δθ ，则每一小段的质量：Δm =2?θπ
M Δm 在该平面上受拉力F 的作用，合力为： T = 2Fcos 2π-?θ= 2Fsin 2
?θ 因为当θ很小时，sin θ≈θ ，所以：T = 2F
2?θ= F Δθ ① 再看正视图3—5—乙，Δm 受重力Δmg ，支持力N ，二力
的合力与T 平衡。即：T = Δmg ?tan θ
现在弹性绳圈的半径为：R
所以：sin θ =r R ，θ = 45°，tan θ = 1 因此：T = Δmg =2?θπ
Mg ② 将①、②联立，有：
2?θπMg = F Δθ ，解得弹性绳圈的张力为：F =Mg 2π
设弹性绳圈的伸长量为x ，则：
R －π1) πR
所以绳圈的劲度系数为：k =F
x 例6：一质量为M 、均匀分布的圆环，其半径为r ，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T ，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速
度。
解析：因为向心力F = mr ω2 ，当ω一定时，r 越大，向
心力越大，所以要想求最大张力T 所对应的角速度ω ，r 应
取最大值。
如图3—6所示，在圆环上取一小段ΔL ，对应的圆心角为Δθ ，其质量可表示为Δm =2?θπ
M ，受圆环对它的张力为T ，则同上例分析可得： 2Tsin 2
?θ= Δmr ω2 因为Δθ很小，所以：sin
2?θ≈2?θ，即：2T ?2?θ=2?θπM r ω2
解得最大角速度：ω例7：一根质量为M ，长度为L 的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图3—7所示，求链条下落了长度x 时，链条对地面的压力为多大？
解析：在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地
面的“冲力”加上落在地面上那部分链条的重力。根据牛顿第三定
律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力，这个力的
冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化。由于各质元原来的高
度不同，落到地面的速度不同，动量改变也不相同。我们取某一时
刻一小段链条（微元）作为研究对象，就可以将变速冲击变为恒速
冲击。
设开始下落的时刻t = 0 ，在t 时刻落在地面上的链条长为x ，
未到达地面部分链条的速度为v ，并设链条的线密度为ρ 。由题意可知，链条落至地面后，速度立即变为零。从t 时刻起取很小一段时间Δt ，在Δt 内又有ΔM = ρΔx 落到地面上静止。地面对ΔM 作用的冲量为：
(F －ΔMg) Δt = ΔI
因为ΔMg ?Δt ≈0 ，所以：F Δt = ΔM ?v －0 = ρv Δx ，解得冲力：
F = ρv x t ??，其中x t
??就是t 时刻链条的速度v ，故F = ρv 2 ，链条在t 时刻的速度v 即为链条下落长为x 时的即时速度，即：v 2 = 2gx
代入F 的表达式中，得：F = 2ρgx
此即t 时刻链对地面的作用力，也就是t 时刻链条对地面的冲力。
所以在t 时刻链条对地面的总压力为：N = 2ρgx + ρgx = 3ρgx =3Mgx L
例8：一根均匀柔软的绳长为L ，质量为m ，对折后两端固定在一个钉子上，其中一端突然从钉子上滑落，试求滑落的绳端点离钉子的距离为x 时，钉子对绳子另一端的作用力是多大？
解析：钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化，
由此可用微元法求解。如图3—8所示，当左边绳端离钉子的距
离为x 时，左边绳长为1
2(l －x) ，速度12(l+x)
又经过一段很短的时间Δt 以后，左边绳子又有长度12
v Δt 的一小段转移到右边去了，我们就分析这一小段绳子，这一小段绳子受到两力：上面绳子对它的拉力T 和它本身的重力1
2v Δt λg （λ =m l 为绳子的线密度） 根据动量定理，设向上方向为正，有：(T －12v Δt λg ) Δt = 0－(－12v Δt λ?v)
由于Δt 取得很小，因此这一小段绳子的重力相对于T 来说是很小的，可以忽略，所以有：T =12
v 2λ = gx λ
因此钉子对右边绳端的作用力为：F =1
2(l + x)λg + T =12mg(1 +3x l ) 例9：图3—9中，半径为R 的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长但
质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为M 、m 。设圆盘与绳间光
滑接触，试求盘对绳的法向支持力线密度。
解析：求盘对绳的法向支持力线密度也就是求盘对绳的法向单位长
度所受的支持力。因为盘与绳间光滑接触，则任取一小段绳，其两端受
的张力大小相等，又因为绳上各点受的支持力方向不同，故不能以整条
绳为研究对象，只能以一小段绳为研究对象分析求解。在与圆盘接触的
半圆形中取一小段绳元ΔL ，ΔL 所对应的圆心角为Δθ ，如图3—9—
甲所示，绳元ΔL 两端的张力均为T ，绳元所受圆盘法向支持力为ΔN ，
因细绳质量可忽略，法向合力为零，则由平衡条件得：
ΔN = Tsin 2?θ+ Tsin 2?θ= 2T 2
?θ 当Δθ很小时，sin
2?θ≈2?θ，故ΔN = TΔθ 。又因为 ΔL = RΔθ ，则绳所受法向支持力线密度为： n =N L ??=T R ?θ?θ=T R
① 以M 、m 分别为研究对象，根据牛顿定律有：
Mg －T = Ma ②
T －mg = m a ③
由②、③解得：T =2Mmg M m
+ 将④式代入①式得：n =2Mmg (M m)R
+ 例10：粗细均匀质量分布也均匀的半径为分别为R 和r 的两圆环相切。若在切点放一
质点m ，恰使两边圆环对m 的万有引力的合力为零，则大小圆环的线密度必须满足什么条件？
解析：若要直接求整个圆对质点m 的万有引力比较难，当若要用到圆的对称性及要求所受合力为零的条件，考虑大、小圆环上关于切点对称的微元与质量m 的相互作用，然后推及整个圆环即可求解。
如图3—10所示，过切点作直线交大小圆分别
于P 、Q 两点，并设与水平线夹角为α ，当α有
微小增量时，则大小圆环上对应微小线元：
ΔL 1 = R ?2Δα ，ΔL 2 = r ?2Δα
其对应的质量分别为：
Δm 1 = ρ1Δl 1 =ρ1R ?2Δα ，Δm 2 = ρ2Δl 2 =ρ2r ?2Δα
由于Δα很小，故Δm 1 、Δm 2与m 的距离可以认为分别是：
r 1 = 2Rcos α ，r 2 = 2rcos α
所以Δm 1 、Δm 2与m 的万有引力分别为：
ΔF 1 =121Gm m r ?=12G R 2m (2R cos )ρ??αα，ΔF 2 =22
2Gm m r ?=22G R 2m (2r cos )ρ??αα 由于α具有任意性，若ΔF 1与ΔF 2的合力为零，则两圆环对m 的引力的合力也为零， 即：12G R 2m (2R cos )ρ??αα=22
G R 2m (2r cos )ρ??αα 解得大小圆环的线密度之比为：12
ρρ=R r 例11：一枚质量为M 的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v ，那么火箭发动机的功率是多少？
解析：火箭喷气时，要对气体做功，取一个很短的时间，求出此时间内，火箭对气体做的功，再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率。
选取在Δt 时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F ，根据动量定理，有：F Δt = Δm ?v
因为火箭静止在空中，所以根据牛顿第三定律和平衡条件有：F = Mg
即：Mg ?Δt = Δm ?v ，或者：Δt =m v Mg
?? 对同样这一部分气体用动能定理，火箭对它做的功为：W =12
Δmv 2
所以发动机的功率：P =W t
?=2
1mv 2mv Mg ??=12Mgv 例12：如图3—11所示，小环O 和O ′分别套在不动的竖
直杆AB 和A ′B ′上，一根不可伸长的绳子穿过环O ′，绳的
两端分别系在A ′点和O 环上，设环O ′以恒定速度v 向下运
动，求当∠AOO ′= α时，环O 的速度。
解析：O 、O ′之间的速度关系与O 、O ′的位置有关，即与α角有关，因此要用微元法找它们之间的速度关系。
设经历一段极短时间Δt ，O ′环移到C ′，O 环移到C ，自C ′与C 分别作为O ′O 的垂线C ′D ′和CD ，从图中看出。 OC =OD cos α，O ′C ′=O D cos ''α
，因此： OC + O ′C ′=
OD O D cos ''+α ① 因Δα极小，所以EC ′≈ED ′，EC ≈ED ，从而：
OD + O ′D ′≈OO ′－CC ′ ②
由于绳子总长度不变，故：OO ′－ CC ′= O ′C ′ ③
由以上三式可得：OC + O ′C ′=O C cos ''α，即：OC = O ′C ′(1cos α
－1) 等式两边同除以Δt 得环O 的速度为：v 0 = v(
1cos α－1) 例13： 在水平位置的洁净的平玻璃板上倒一些水银，由
于重力和表面张力的影响，水银近似呈现圆饼形状（侧面向外
凸出），过圆饼轴线的竖直截面如图3—12所示，为了计算方便，
水银和玻璃的接触角可按180°计算。已知水银密度ρ = ×
103kg/m 3 ，水银的表面张力系数σ = m 。当圆饼的半径很大时，
试估算其厚度h 的数值大约为多少？（取1位有效数字即可）
解析：若以整个圆饼状水银为研究对象，只受重力和玻璃板的支持力，在平衡方程中，液体的体积不是h 的简单函数，而且支持力N 和重力mg 都是未知量，方程中又不可能出现表面张力系数，因此不可能用整体分析列方程求解h 。
现用微元法求解。
在圆饼的侧面取一个宽度为Δx ，高为h 的体积元，，
如图3—12—甲所示，该体积元受重力G 、液体内部作用
在面积Δx ?h 上的压力F ，则： F =P S =12ρgh ?Δxh =12
ρgh 2?Δx
还有上表面分界线上的张力F 1 = σΔx 和下表面分界线上的张力F 2 = σΔx 。作用在前、后两个侧面上的液体压力互相平衡，作用在体积元表面两个弯曲分界上的表面张力的合力，当体积元的宽度较小时，这两个力也是平衡的，图中都未画出。
由力的平衡条件有：F －F 1cos θ－F 2 = 0 即：1
2ρgh 2?Δx －σΔx ?cos θ－σΔx = 0
解得：
= ×10－由于0＜θ＜
2π，所以：110－3m ＜h ＜×10－3m 题目要求只取1位有效数字，所以水银层厚度h 的估算值为3×10－3m 或4×10－3m 。 例14：把一个容器内的空气抽出一些，压强降为p ，容器上有一小孔，上有塞子，现把塞子拔掉，如图3—13所示。问空气最初以多大初速度冲进容器？（外界空气压强为p 0 、密度为ρ）
解析：该题由于不知开始时进入容器内分有多少，不知它们
在容器外如何分布，也不知空气分子进入容器后压强如何变化，
使我们难以找到解题途径。注意到题目中“最初”二字，可以这
样考虑：设小孔的面积为S ，取开始时位于小孔外一薄层气体
为研究对象，令薄层厚度为ΔL ，因ΔL 很小，所以其质量Δm
进入容器过程中，不改变容器压强，故此薄层所受外力是恒力，
该问题就可以解决了。
由以上分析，得：F = (p 0－p)S ①
对进入的Δm 气体，由动能定理得：F ?ΔL =12Δmv 2 ②
而 Δm = ρS ΔL ③
联立①、②、③式可得：最初中进容器的空气速度：例15：电量Q 均匀分布在半径为R 的圆环上（如
图3—14所示），求在圆环轴线上距圆心O 点为x 处的P
点的电场强度。
解析：带电圆环产生的电场不能看做点电荷产生的
电场，故采用微元法，用点电荷形成的电场结合对称性
求解。选电荷元Δq = R Δθ
Q 2R π，它在P 点产生的电场的场强的x 分量为：
ΔE x = k
2q r ?cos α = k 22R Q 2R(R x )?θπ+?根据对称性：E = ΣΔE x
Σθ?2π
由此可见，此带电圆环在轴线P 点产生的场强大小相当于带电圆环带电量集中在圆环的某一点时在轴线P 点产生的场强大小，方向是沿轴线的方向。
例16：如图3—15所示，一质量均匀分布的细圆环，其半径
为R ，质量为m 。令此环均匀带正电，总电量为Q 。现将此环
平放在绝缘的光滑水平桌面上，并处于磁感应强度为B 的均匀磁
场中，磁场方向竖直向下。当此环绕通过其中心的竖直轴以匀角
速度ω沿图示方向旋转时，环中的张力等于多少？（设圆环的带
电量不减少，不考虑环上电荷之间的作用）
解析：当环静止时，因环上没有电流，在磁场中不受力，则
环中也就没有因磁场力引起的张力。当环匀速转动时，环上电荷也随环一起转动，形成电流，电流在磁场中受力导致环中存在张力，显然此张力一定与电流在磁场中受到的安培力有关。由题意可知环上各点所受安培力方向均不同，张力方向也不同，因而只能在环上取一小段作为研究对象，从而求出环中张力的大小。在圆环上取ΔL = RΔθ圆弧元，受力情况如图3—15—甲所示。因转动角速度ω而形成的电流：I =
Q 2ωπ
，电流元I ΔL 所受的安培力：ΔF = I ΔLB =R 2ωπQB Δθ 圆环法线方向合力为圆弧元做匀速圆周运动所需的向心力，故： 2Tsin 2
?θ－ΔF = Δm ω2R 当Δθ很小时，sin
2?θ≈2?θ，故有： T Δθ－R QB 2ωπ
Δθ = Δm ω2R ∵Δm =m 2πΔθ ，∴T Δθ－R QB 2ωπΔθ =2m R 2ωπ
Δθ 解得圆环中张力为：T =R 2ωπ
(QB + m ω) 例17：如图3—16所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一
质量为m 的金属杆，导轨间距为L ，导轨的一端连接一阻值为R
的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于导轨
平面。现给金属杆一个水平向右的初速度v 0 ，然后任其运动，导
轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？
解析：水平地从a 向b 看，杆在运动过程中的受力分析如图
3—16—甲所示，这是一个典型的在变力作用下求位移的题，用我
们已学过的知识好像无法解决，其实只要采用的方法得当仍
然可以求解。
设杆在减速中的某一时刻速度为v ，取一极短时间
Δt ，发生了一段极小的位移Δx ，在Δt 时间内，磁通量的变化为：
Δφ = BL Δx ，I =R ε=R t ?Φ?=BL x R t
?? 金属杆受到安培力为：F 安 = BIL =22B L x R t
?? 由于时间极短，可以认为F 安为恒力，选向右为正方向，在Δt 时间内，安培力F 安的冲量为：
ΔI =－F 安Δt =－22B L x R
? 对所有的位移求和，可得安培力的总冲量为：
I = Σ (－22B L x R ?) =－22B L R
x ① 其中x 为杆运动的最大距离，对金属杆用动量定理可得：
I = 0－mv 0 ②
由①、②两式得：x =022
mv R B L 例18：如图3—17所示，电源的电动热为E ，电
容器的电容为C ，S 是单刀双掷开关，MN 、PQ 是
两根位于同一水平面上的平行光滑长导轨，它们的电
阻可以忽略不计，两导轨间距为L ，导轨处在磁感应
强度为B 的均匀磁场中，磁场方向垂直于两导轨所在
的平面并指向图中纸面向里的方向。L 1和L 2是两根横
放在导轨上的导体小棒，质量分别为m 1和m 2 ，且
m 1＜m 2 。它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦，两小棒的电阻相同，开始时两根小棒均静止在导轨上。现将开关S 先合向1 ，然后合向2 。求：
（1）两根小棒最终速度的大小；
（2）在整个过程中的焦耳热损耗。（当回路中有电流时，该电流所产生的磁场可忽略不计）
解析：当开关S 先合上1时，电源给电容器充电，当开关S
再合上2时，电容器通过导体小棒放电，在放电过程中，导体小
棒受到安培力作用，在安培力作用下，两小棒开始运动，运动速
度最后均达到最大。（1）设两小棒最终的速度的大小为v ，则分
别为L 1 、L 2为研究对象得：
F i Δt i = m 11v '－m 1v 1 ，有：ΣF i1Δt i1 = m 1v ①
同理得：ΣF i2Δt i2 = m 2v ②
由①、②得：ΣF i1Δt i1 + ΣF i2Δt i2 = (m 1 + m 2)v
又因为 F i1 = Bli 1 ，F i1 = Bli 1 ，Δt i1 =Δt i2 ，i 1 + i 2 = i
所以：ΣBLi 1Δt i1 + ΣBLi 2Δt i2 = BL Σ (i 1 + i 2) Δt i = BL Σi Δt i = BL(Q －q) = (m 1 + m 2)v 而Q = CE ，q = CU ′= CBLv
所以解得小棒的最终速度：v =22
12BLCE (m m )CB L ++ （2）因为总能量守恒，所以：12CE 2 =12?2q C +12
( m 1 + m 2)v 2 + Q 热 即产生的热量：Q 热 =12CE 2－12?2q C －12
( m 1 + m 2)v 2 =12CE 2－
12?1C (CBLv)2－12( m 1 + m 2)v 2 =1
2CE 2－12［CB 2L 2－(m 1 + m 2)］
2212BLCE (m m )CB L ++ =2122212(m m )CE 2(m m B L C)+++
例1：沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A ， 抛出点离水平地面的高度为h ，距离墙壁的水平距离为s ， 小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为2s ，如图7—1所示. 求小球抛出时的初速度. 解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞， 故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性， 碰撞后小球的运 动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称，如图7—1—甲所示，所以小球的运动可以转换为平抛运动处理， 效果上相当于小球从A ′点水平抛出所做的运动. 根据平抛运动的规律：?? ? ??==2 021gt y t v x 因为抛出点到落地点的距离为3s ，抛出点的高度为h 代入后可解得：h g s y g x v 2320 == 例2：如图7—2所示，在水平面上，有两个竖直光滑墙壁A 和B ，间距为d ， 一个小球以初速度0v 从两墙正中间的O 点斜向上抛出， 与A 和B 各发生一次碰撞后正好落回抛出点O ， 求小球的抛射角θ. 解析：小球的运动是斜上抛和斜下抛等三段运动组成， 若按顺序求解则相当复杂，如果视墙为一平面镜， 将球与墙的弹性碰撞等效为对平面镜的物、像移动，可利用物像对称的规律及斜抛规律求解. 物体跟墙A 碰撞前后的运动相当于从O ′点开始的斜上抛运动，与B 墙碰后落于O 点相当于落到O ″点，其中O 、O ′关于A 墙对称，O 、O ″对于B 墙对称，如图7—2—甲所示，于是有 ? ??==?? ???-==0221sin cos 200y d x gt t v y t v x 落地时θθ 代入可解得2 202arcsin 2122sin v dg v dg == θθ 所以抛射角 例3：A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A 犬想追捕B 犬，B 犬 想追捕C 犬，C 犬想追捕A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？ 解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线，但根据对称性，三只猎犬最后相交于 三角形的中心点，在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，以绕点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可. 由题意作图7—3， 设顶点到中心的距离为s ，则由已知条件得 a s 3 3 = 由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为 v v v 2330cos = =' 由此可知三角形收缩到中心的时间为 v a v s t 32='= 此题也可以用递推法求解，读者可自己试解. 例4：如图7—4所示，两个同心圆代表一个圆形槽，质量为m ，内外半径几乎同为R. 槽内A 、B 两处分别放有一个质量也为m 的小球，AB 间的距离为槽的直径. 不计一切摩擦. 现将系统置于光滑水平面上，开始时槽静止，两小球具有垂直于AB 方向的速度v ，试求两小球第一次相距R 时，槽中心的速度0v . 解析：在水平面参考系中建立水平方向的x 轴和y 轴. 由系统的对称性可知中心或者说槽整体将仅在x 轴方向上 运动。设槽中心沿x 轴正方向运动的速度变为0v ，两小球相对槽心做角速度大小为ω的圆周运动，A 球处于
高中奥林匹克物理竞赛解题方法 微元法 方法简介 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 赛题精讲 例1：如图3—1所示，一个身高为h 的人在灯以悟空速度v 沿水平直线行走。设灯距地面高为H ，求证人影的顶端C 点是做匀速直线运动。 解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。 设某一时间人经过AB 处，再经过一微小过程 △t （△t →0），则人由AB 到达A ′B ′，人影顶端 C 点到达C ′点，由于△S AA ′=v △t 则人影顶端的 移动速度h H Hv t S h H H t S v A A t C C t C -=??-=??='→?' →?00lim lim 可见v c 与所取时间△t 的长短无关，所以人影的顶 端C 点做匀速直线运动. 例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光滑球 面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位 长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T. 解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能 忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受 力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质 点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出 整条铁链的受力情况. 在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象， 其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态， 所以受力平衡，在切线方向上应满足： θθθθT G T T +?=?+cos θρθθcos cos Lg G T ?=?=?
高考物理微元法解决物理试题及其解题技巧及练习题 一、微元法解决物理试题 1．超强台风“利奇马”在2019年8月10日凌晨在浙江省温岭市沿海登陆，登陆时中心附近最大风力16级，对固定建筑物破坏程度非常大。假设某一建筑物垂直风速方向的受力面积为s，风速大小为v，空气吹到建筑物上后速度瞬间减为零，空气密度为ρ，则风力F 与风速大小v关系式为( ) A．F =ρsv B．F =ρsv2C．F =ρsv3D．F=1 2 ρsv2 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 设t时间内吹到建筑物上的空气质量为m，则有： m=ρsvt 根据动量定理有： -Ft=0-mv=0-ρsv2t 得： F=ρsv2 A．F =ρsv，与结论不相符，选项A错误； B．F =ρsv2，与结论相符，选项B正确； C．F =ρsv3，与结论不相符，选项C错误； D．F=1 2 ρsv2，与结论不相符，选项D错误； 故选B。 2．估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强，小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得1小时内杯中水上升了45mm。查询得知，当时雨滴竖直下落速度约为12m/s。据此估算该压强约为（）（设雨滴撞击唾莲后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103kg/m3） A．0.15Pa B．0.54Pa C．1.5Pa D．5.1Pa 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 由于是估算压强，所以不计雨滴的重力。设雨滴受到支持面的平均作用力为F。设在△t时间内有质量为△m的雨水的速度由v=12m/s减为零。以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理有 () F t mv mv ?=--?=?
高中奥林匹克物理竞赛解题方法 十、图像法 方法简介 图像法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性地表示成物理图像，将物理量间的代数关系转变为几何关系，运用图像直观、形象、简明的特点，来分析解决物理问题，由此达到化难为易，化繁为简的目的，图像法在处理某些运动问题，变力做功问题时是一种非常有效的方法。 赛题精讲 例1：一火车沿直线轨道从静止发出由A 地驶向B 地，并停止在B 地。AB 两地相距s ，火 车做加速运动时，其加速度最大为a 1，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为a 2，由此可可以判断出该火车由A 到B 所需的最短时间为 。 解析：整个过程中火车先做匀加速运动，后做匀减速运动，加速度最大时，所用时间最短，分段运动可用图像法来解。 根据题意作v —t 图，如图11—1所示。 由图可得1 1t v a = vt t t v s t v a 21)(21212 2=+== 由①、②、③解得2 121)(2a a a a s t += 例2：两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度为v 0，若前车突然以恒定 的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行的距离为s ，若要保证两辆车在上述情况中不相碰，则两车在做匀速行驶时保持的距离至少为 （ ） A ．s B ．2s C ．3s D ．4s 解析：物体做直线运动时，其位移可用速度——时间图像 中的面积来表示，故可用图像法做。 作两物体运动的v —t 图像如图11—2所示，前车发 生的位移s 为三角形v 0Ot 的面积，由于前后两车的刹车 加速度相同，根据对称性，后车发生的位移为梯形的面积 S ′=3S ，两车的位移之差应为不相碰时，两车匀速行驶 时保持的最小车距2s. 所以应选B 。 ① ② ③ 图11—2
例11：如图13—11所示，用12根阻值均为r的相同的电阻丝构成正立方体框架。试求AG两点间的等效电阻。 解析：该电路是立体电路，我们可以将该立体电路“压扁”，使其变成平面电路，如图13—11—甲所示。 考虑到D、E、B三点等势，C、F、H三点等势，则电路图可等效为如图13—11—乙所示的电路图，所以AG间总电阻为
r r r r R 6 5363=++= 例12：如图13—12所示，倾角为θ的斜面上放一木 制圆制，其质量m=0.2kg ，半径为r ，长度L=0.1m ，圆柱 上顺着轴线OO ′绕有N=10匝的线圈，线圈平面与斜面 平行，斜面处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度 B=0.5T ，当通入多大电流时，圆柱才不致往下滚动？ 解析：要准确地表达各物理量之间的关系， 最好画出正视图，问题就比较容易求解了。如 图13—12—甲所示，磁场力F m 对线圈的力矩 为M B =NBIL ·2r ·sin θ，重力对D 点的力矩为： M G =mgsin θ，平衡时有：M B =M G 则可解得：A NBL mg I 96.12== 例13：空间由电阻丝组成的无穷网络如图13—13 所示，每段电阻丝的电阻均为r ，试求A 、B 间的等效 电阻R AB 。 解析：设想电流A 点流入，从B 点流出，由对称 性可知，网络中背面那一根无限长电阻丝中各点等电 势，故可撤去这根电阻丝，而把空间网络等效为图13—13—甲所示的电路。
（1）其中竖直线电阻r ′分别为两个r 串联和一个r 并联后的电阻值， 所以 r r r r r 3 232=?=' 横线每根电阻仍为r ，此时将立体网络变成平面网络。 （2）由于此网络具有左右对称性，所以以AB 为轴对折，此时网络变为如图13—13—乙所示的网络。 其中横线每根电阻为21r r = 竖线每根电阻为32r r r ='= '' AB 对应那根的电阻为r r 32 =' 此时由左右无限大变为右边无限 大。 （3）设第二个网络的结点为CD ，此后均有相同的网络，去掉AB 时电路为图13—13—丙所示。再设R CD =R n －1（不包含CD 所对应的竖线电阻） 则N B A R R ='，网络如图13—13—丁所示。
物理学中微元法的应用 【高考展望】 随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具。教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力。高考试题屡屡出现“微元法” 的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、难度较大的计算题。在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必不可少的内容。 【知识升华】 “微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。 【方法点拨】 应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程； （2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。 【典型例题】 类型一、微元法在运动学、动力学中的应用 例1、设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物 体的位移与时间的关系式为2 012 x v t at =+ ，试推导。 【思路点拨】把物体的运动分割成若干个微元，t ?极短，写出v t -图像下微元的面积的表 达式，即位移微元的表达式，最后求和，就等于总的位移。 【解析】作物体的v t -图像，如图甲、乙，把物体的运动分割成若干个小元段（微元），由于每一个小元段时间t ?极短，速度可以看成是不变的，设第i 段的速度为i v ，则在t ?时间内第i 段的位移为i i x v t =?，物体在t 时间内的位移为i i x x v t =∑=∑?，在v t -图像上则为若干个微小矩形面积之和。
八、作图法 方法简介 作图法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性的表示成物理图像，将物理 问题转化成一个几何问题，通过几何知识求解，作图法的优点是直观形象，便于定性分析，也可定性计算，灵活应用作图法会给解题带来很大方便。 赛题精析 例1 如图8—1所示，细绳跨过定滑轮，系住一个 质量为m 的球，球靠在光滑竖直墙上，当拉动细绳使球 匀速上升时，球对墙的压力将（ ） A ．增大 B ．先增大后减小 C ．减小 D ．先减小后增大 图8—1 解析 球在三个力的作用下处于平衡，如图8—1—甲所示.当球上升时，θ角 增大，可用动态的三角形定性分析，作出圆球的受力图（如图8—1—甲）.从图可见，当球上升时，θ角增大，墙对球的支持力增大，从而球对墙的压力也增大. 故选A 正确. 图8—1—甲 图8—2 图8—2—甲 例2 用两根绳子系住一重物，如图8—2所示.绳OA 与天花板间夹角θ不变，
当用手拉住绳子OB ，使绳OB 由水平方向转向竖直方向的过程中，OB 绳所受的拉力将（ ） A ．始终减小 B ．始终增大 C ．先减小后增大 D ．先增大后减小 解析 因物体所受重力的大小、方向始终不变，绳OA 拉力的方向始终不变，又 因为物体始终处于平衡状态，所受的力必然构成一个三角形，如图8—2—甲所示，由图可知OB 绳受的拉力是先减小后增大. 可知答案选C 例3 如图8—3所示，质量为m 的小球A 用细绳拴在天花板上， 悬点为O ，小球靠在光滑的大球上，处于静止状态.已知：大球的球心 O ′在悬点的正下方，其中绳长为l ，大球的半径为R ，悬点到大球最 高点的距离为h.求对小球的拉力T 和小球对大球的压力. 解析 力的三角形图和几何三角形有联系，若两个三角形相似， 则可以将力的三角形与几何三角形联系起来，通过边边对应成比例求解. 图8—3 以小球为研究对象，进行受力分析，如图8—3—甲所示，小球 受重力mg 、绳的拉力T 、大球的支持力F N ，其中重力mg 与拉力T 的 合力与支持力F N 平衡.观察图中的特点，可以看出力的矢量三角形 ABC 与几何三角形AOO ′相似，即： R h mg l T += R h mg R F N += 图8 —3—甲 所以绳的拉力：T= mg R h l + 小球对大球的压力mg R h R F F N N +==' 例4 如图8—4所示，质点自倾角为α的斜面上方定点O 沿
高中物理解题方法----微元法 一、什么是微元法： 在所研究是物理问题中，往往是针对研究对象经历某一过程或处于某一状态来进行研究，而此过程或状态中，描述此对象的物理量可能是不变的，而更多则可能是变化的。对于那些变化的物理量的研究，有一种方法是把全过程分割成很多短暂的小过程或把研究对象整体分解为很多的微小局部的研究而归纳出适用于全过程或整体的结论。这些微小的过程或微小的局部常被称为“微元”，此法也被称为：“微元法”。 二、对微元的理解：简单地说，微元就是时间、空间或其它物理量上的无穷小量，（注：在数学上我们把极限为“零”的物理量，叫着无穷小量）。当某一连续变化的事物被分割成无数“微元”（无穷小量）以后，在某一微元段内，该事物也就可以看出不变的恒量了。所以，微元法又叫小量分析法，它是微积分的理论基础。 三、微元法解题思想： 在中学物理解题中，利用微元法可将非理想模型转化为理想模型（如把物体分割成质点）；将曲面转化为平面，将一般的曲线转化为圆弧甚至直线段；将变量转化成恒量。从而将复杂问题转化为简单问题，使中学阶段常规方法难以解决的问题迎刃而解。 微元法的灵魂是无限分割与逼近。用其解决物理问题的两要诀就是取微元----无限分割和对微元做细节描述----数学逼近。所谓取微元就是对整体对象作无限分割，分割的对象可以是各种几何体，得到“体元”、“面元”、“线元”、“角元”等；分割的对象可以是一段时间或过程，得到“时间元”、“元过程”；也可以对某一物理量分割，得到诸如“元功”、“元电荷”、“电流元”、“质元”等相应元物理量，它们是被分割成的要多么小就有多么小的无穷小量，而要解决整体的问题，就得从它们下手，对微元作细节描述即通过对微元的性质做合理的近似逼近，从而在微元取无穷小量的前提下，达到向精确描述的逼近。 例1、如图所示，岸高为h ，人用不可伸长的绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为θ时，人收绳速率为υ，则该位置船的速率为多大？ 例2、如图所示，长为L 的船静止在平静的水面上，立于船头的人质量为m ，船的质量为M ，不计水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？ 例3、如图所示，半径为R ，质量为m 的匀质细圆环，置于光滑水平面上，若圆环以角 速度ω绕环心O 转动，试证明：（1）圆环的张力π ω22R m T = (2)圆环的动能2)(2 1 R m E k ω= 例4、一根质量为M ，长度为L 的匀质铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图所示，求链条下落了长度x 时，链条对地面的压力为多大？ 例5、如图所示，半径为R 的半圆形绝缘细线上、下1/4圆弧上分别均匀带电+q 和－q ，求圆心处的场强. 例6、如图所示，在离水平地面h 高的平台上有一相距L 的光滑轨道，左端接有已充电的电容器，电容为C ，充电后两端电压为U 1.轨道平面处于垂直向上的磁感应强度为B 的匀强磁场中.在轨道右端放一质量为m 的金属棒，当闭合S ，棒离开轨道后电容器的两极电压变为U 2，求棒落在离平台多远的位置. 例7、（1）试证明：质量为M 的匀质球壳，对放置在空腔内任意一点的质量为m 的质点的万有引力为零。 （2）若将上述质点移至球壳外距球心O 距离为r 处，求此时系统具有的引力势能为多少？规定∞→r 时，系统引力势能为零
高中物理竞赛方法集锦微元法针对训练 例18：如图3—17所示，电源的电动热为E ，电容器的 电容为C ，S 是单刀双掷开关，MN 、PQ 是两根位于同 一水平面上的平行光滑长导轨，它们的电阻能够忽略不计， 两导轨间距为L ，导轨处在磁感应强度为B 的平均磁场 中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面 向里的方向.L 1和L 2是两根横放在导轨上的导体小棒， 质量分不为m 1和m 2，且21m m <.它们在导轨上滑动 时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦，两小棒的电阻 相同，开始时两根小棒均静止在导轨上.现将开关S 先合向 1，然后合向2.求： 〔1〕两根小棒最终速度的大小； 〔2〕在整个过程中的焦耳热损耗.〔当回路中有电流时，该电流所产生的磁场可忽略不计〕 解析：当开关S 先合上1时，电源给电容器充电，当开关S 再合上2时，电容器通过导体小棒放电，在放电过程中，导体小棒受到安培力作用，在安培力作用下，两小棒开始运动，运动速度最后均达到最大. 〔1〕设两小棒最终的速度的大小为v ，那么分不为L 1、L 2为研究对象得： 111 1v m v m t F i i -'=? ∑=?v m t F i i 111 ① 同理得： ∑=?v m t F i i 222 ② 由①、②得：v m m t F t F i i i i )(212211+=?+?∑∑ 又因为 11Bli F i = 21i i t t ?=? 22Bli F i = i i i =+21 因此 ∑∑∑∑?=?+=?+?i i i i t i BL t i i BL t BLi t BLi )(212211 v m m q Q BL )()(21+=-= 而Q=CE q=CU ′=CBL v 因此解得小棒的最终速度 2221)(L CB m m BLCE v ++= 〔2〕因为总能量守恒，因此热Q v m m C q CE +++=22122)(2 12121 即产生的热量 22122)(2 12121v m m C q CE Q +--=热
第3讲运动的关联 温馨寄语 前面我们讨论了物理量以及物理量之间的关系，尤其是变化率变化量的关系。我们还学习了非常牛的几个方法：相对运动法，微元法，图像法。 然而，物理抽象思想除了物理量之外，还有一大块就是模型，而各种模型都有自己的一些特点，根据这些特点，决定了这些模型的运动学性质。探究这些性质就成了我们今天的主要任务。 知识点睛 一、分速度和合速度 首先速度作为矢量是可以合成和分解的。但是同样的作为矢量，速度的合成和分解，和力这个矢量有一点不同。这个不同在于，两个作用在同一个物体上的力，可以直接合成。但是同一个物体，已经知道在两个方向上的速度，最后的总速度，并不一定是这两个速度的矢量和。 （CPhO选讲）例如： （这里面速度是通过两个速度各自从矢量末端做垂线相交得到的） 第二个原则就是：合速度=真实的这个物体的运动速度矢量。
这里力和速度的区别是：我们看到的多个力，不见得是“合力”在各个方向上的投影；但是我们看到的多个速度，就是“合速度”在各个方向上的分速度。所以，当且仅当两个分速度相互垂直的时候，合速度等于两个分速度的矢量和。 这个东西大家可以这样想。遛狗的时候，每个狗的力是作用在一起的，所以遛狗越多，需要的力越大。但是每个狗都有个速度，最后遛狗人的速度和狗的速度大小还是差不多的，不会因为遛狗个数越多就速度越快…… 二、体现关联关系的模型 1．绳（杆）两端运动的关联：实际运动时合运动，由伸缩运动与旋转运动合成。 实际运动=旋转运动+伸缩运动 【例】吊苹果逗小孩儿有两种逗法，一种是伸缩，一种是摆动。 不难总结： 一段不可伸长的细绳伸缩运动速度相等——沿绳（杆）速度相等，转速无论多大不可改变绳子长度。 2．叠加运动的关联 先举个例子：如图的定滑轮，两边重物都在竖直运动，并且滑轮也在竖直运动，设两边重物位移分别沃为x 1x 2，轮中心的位移为x 。 不难由绳子长度不变得位移关系： 12 2x x x += 对应的必然有速度关系： 12 2v v v += 加速度关系： 12 2 a a a += 我们用运动关联的目的是为了使未知量变少。 物理学中非常重要的思想就是把现实中的物体抽象成为理想的模型，然后用物理原理以及模型对应的牵连关系来解决问题．常见的模型有杆，绳，斜面，等等． 3.轻杆 杆两端，沿着杆方向的速度相同\ 4.轻绳 绳子的两端也是沿着绳子的方向速度相同\．绳子中的力是可以突变的，突变的条件是剪断或者是突然绷紧等等． 5.斜面
微元法 方法简介 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 赛题精讲 例1：如图3—1所示，一个身高为h 的人在灯以悟空速度v 沿水平直线行走。设灯距地面高为H ，求证人影的顶端C 点是做匀速直线运动。 解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。 设某一时间人经过AB 处，再经过一微小过程 △t （△t →0），则人由AB 到达A ′B ′，人影顶端 C 点到达C ′点，由于△S AA ′=v △t 则人影顶端的 移动速度h H Hv t S h H H t S v A A t C C t C -=??-=??='→?' →?00lim lim 可见v c 与所取时间△t 的长短无关，所以人影的顶 端C 点做匀速直线运动. 例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光滑球 面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位 长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T. 解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能 忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受 力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质 点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出 整条铁链的受力情况. 在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象， 其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态， 所以受力平衡，在切线方向上应满足： θθθθT G T T +?=?+cos θρθθcos cos Lg G T ?=?=? 由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 △T θ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T θ的和， 即 ∑∑∑?=?=?=θρθρθcos cos L g Lg T T
初中物理竞赛方法指导 我们知道，物理知识生活实际和，是人类在生活、生产、社会实践中获得的的总结。所以学习物理知识若只局限于课堂上书本的学习是不够的，必须到生活、社会实际的大课堂中去学习物理、应用物理，才能把知识学活、用活。 在日常生活和社会实践中存在着大量的各种各样的物理问题，如日、月的东升西落，冰、水的相互转化，水电站、内燃机、轮船、电动机、人造卫星、核能发电、光纤通信、及各种家用电器等等;而应用物理知识就是以生活、生产、社会中常见的现象为背景提出的问题，可见，解答应用物理知识题的基础和关键在于平时生活中要善于观察、勤于思考。如果我们对日常生活中的物理现象熟视无睹，或者虽然观察了，但未深入思考，那就等于脱离了“物”而学“理”，最终只能记住一些物理定律、公式。相反，如果日常生活中善于观察各种物理现象，并自己多问几个“是什么”、“为什么”，并积极利用所学的物理知识去分析、思考，设法得出问题的答案，这样不仅可以为解答应用物理知识题奠定必要的基础，同时这些丰富的感性材料，还有利用于我们透彻解物理概念和规律，这样才能将活、用活，才能不断提高分析解决问题的能力。 总之，应用物理知识题就像在我们周围的生活和社会的一些常见事物上面画了个“?”，给我们提出了具体的观察对象和思考的方
向。事实上我们天天生活在物理世界中，身边到处都有物理问题值得我们去研究。如：为什么水会流动?为什么空调器要装在高处?什么是?天上为什么会打雷?什么是温室效应?等等，这些决不止“?”。只有我们平时多观察，勤思考，才能真正学到有“物”的物理，才能为解答应用物理知识题打下良好的基础。 应用物理知识题都是生活和社会技术中的实际问题。它的显著特点是用生活中的语言来表述实际问题的具体情境，而不是用物理名词、术语直接给出的物理模型。它把物理知识隐蔽在实际事物之中，巳知条件或待求的实质问题常处于隐蔽状态，一般不能直接套用物理公式求解。这些都是与平时的练习题和试题的不同之处。所以，解应用物理知识题，首先要将实际问题转化为物理问题，用物理名词术语显现出它的物理真面目，再找出这个物理问题与哪些物理概念、规律有关系，即找准解题的理论依据，问题就迎刃而解了。例如：夏天，冰棍周围冒“白气”;水缸外壁“出汗”;卫生球日久变小。这些现象是否是升华?冒“白气”、“出汗”等都是生活语言。首先要转化成物理术语，与物理概念、名词联系起来冒“白气”实质是冰棍周围空气中的水蒸气遇冷“液化”成小水珠;水缸“出汗”是水蒸气遇冷“液化”成露。卫生球日久变小，是从固态直接变成气态跑掉了，这就是升华现象。
微元法在高中物理中的应用 江苏省靖江市斜桥中学夏桂钱 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。它是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从其中抽取某一微小单元即“元过程”，进行讨论，每个“元过程”所遵循的规律是相同的。对这些“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法可以把一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化，从而起到巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 一、挖掘教材中微元素材，认知微元思想 微元法思想在新课标教材（人教版）上时有渗透。如在引入瞬时速度的概念时，教材从平均速度出发，提出从t到t+△t这段时间间隔内，△t越小运动快慢的差异也就越小，运动的描述就越精确。在此基础上，再提出若△t趋向于零时，就可以认为△t的平均速度就是t时刻的瞬时速度。正是这种无限分割的方法，可以使原来较为复杂的过程转化为较简单的过程。再如，我们要推导匀变速直线运动的位移公式，显然不能直接用s=vt，原因就在于速度本身是变化的，不能直接套用匀速直线运动的公式。但是我们可以想象，如果我们把整个过程的时间分成无数微小的时间间隔，我们分得愈密，每一份的时间间隔也就愈小，此间隔内，速度的变化亦就愈小，如果分得足够细，就可以认为速度几乎不变，此时就可将每一份按匀速直线运动来处理，完毕之后，再累加即可。 必修2第五章第四节《重力势能》中，计算物体沿任意路径向下运动时重力所做的功时，先将物体运动的整个路径分成许多很短的间隔，由于每一段都很小很小，就可以将每一段近似地看做一段倾斜的直线，从而就能利用功的定义式计算出每一小段内重力的功，再累加得到整个过程重力的总功。第五节《弹性势能》中关于在求弹簧弹力所做的功时，先将弹簧拉伸的整个过程分成很多小段，在足够小的情况下，每一小段位移中可以认为拉力是不变的，从而也能直接利用功的定义式来计算每一小段内拉力所做的功，再累加得到整个过程拉力的总功。这两个功的计算，前者的难点在于物体运动的路径是曲线，后者的难点在于力的大小在变化。教材中的处理方法是前者采用了“化曲为直”的思想，后者采用了“化变为恒”的思想。
物理学中微元法的应用 编稿：李传安 审稿：张金虎 【高考展望】 随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具。教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力。高考试题屡屡出现“微元法” 的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、难度较大的计算题。在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必不可少的内容。 【知识升华】 “微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的。微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题得到求解。利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”、“化变为恒”的思想。 【方法点拨】 应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程； （2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3）在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量。微元法是采用分割、近似、求和、取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的。 【典型例题】 类型一、微元法在运动学、动力学中的应用 例1、设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物 体的位移与时间的关系式为2 012 x v t at =+ ，试推导。 【思路点拨】把物体的运动分割成若干个微元，t ?极短，写出v t -图像下微元的面积的表 达式，即位移微元的表达式，最后求和，就等于总的位移。 【解析】作物体的v t -图像，如图甲、乙，把物体的运动分割成若干个小元段（微元），由于每一个小元段时间t ?极短，速度可以看成是不变的，设第i 段的速度为i v ，则在t ?时间内第i 段的位移为i i x v t =?，物体在t 时间内的位移为i i x x v t =∑=∑?，在v t -图像上则为若干个微小矩形面积之和。
小量近似方法应用两则 小量近似处理在高中物理学习中经常遇到，掌握一些重要的方法，在解决问题时是非常有用的。这里以两则应用为例，介绍常用的小量近似方法——对一个小角量θ来说，有 θθ=sin ，1cos =θ；在研究一个普通量时，可以忽略小量。 一、欧拉公式 十八世纪著名数学家欧拉，曾经确定了摩擦力跟绳索绕在桩子上的圈数之间的关系： μθe F F 12=，其中F 1代表我们所用的力，F 2代表我们所要对抗的力，e 代表数2.718…（自 然对数的底），μ代表绳和桩子之间的摩擦系数，θ代表绕转角，也就是绳索绕成的弧的长度跟弧的半径的比。 若取2.0=μ，πθ12=，则 200018811 2 ≈=F F 。所以，就是一个小孩子，只要能把绳索在一个不动的辘轳上绕三四圈，然后抓住绳头，他的力量就能平衡一个极大的重物。 下面就欧拉公式作一证明： 取一小段弧l ?为研究对象，受力分析如图所示，F 和F F ?+为小弧两端所受张力， N F 为柱体对绳的压力，f 为静摩擦力。根据平衡方程，得： ()2 sin 2sin θ θ??++?=F F F F N （1） ()f F F F +?=??+2cos 2cos θθ （2） 临界情况 N F f μ= （3） θ?很小，有 22sin θ θ?=?，12 cos =?θ 所以 θ?=F F N f F =? 即 θμ?=?F F 或 θμ?=?F F 两边求和 θμ?∑=?∑ F F θμ∑?=∑?F ln θ ?F f F F ?+N F
μθ=-12ln ln F F 或 μθ=1 2 ln F F 故 μθ e F F 12= 即两张力之比按包角呈指数变化。 儒勒·凡尔纳在《马蒂斯·桑多尔夫》这部小说里，叙述竞技大力士马蒂夫用手拉住一条正在下水的船“特拉波科罗”号这件事，使读者印象最深：突然出现了一个人，他抓住了挂在“特拉波科罗”号前部的缆索，用力地拉，几乎把身子弯得接近了地面。不到一分钟，他已经把缆索绕在钉在地里的铁桩上。他冒着被摔死的危险，用超人的气力，用手拉住缆索大约有十秒钟。最后，缆索断了。可是这十秒钟时间已经很足够：“特拉波科罗”号进水以后，只轻微地擦了一下快艇，就向前驶了开去。 理解了欧拉公式，我们明白：原来在这里帮助他们的，并不是马蒂夫异常的臂力，而是绳和桩子之间的摩擦力。 二、重力场中光子频率变化 已知：光子有质量，但无静止质量，在重力场中也有重力势能。若从地面上某处将一束频率为ν的光射向其正上方相距为d 的空间站，d 远小于地球半径，令空间站接收到的光的频率为'ν，则差νν-' =__ ，已知地球表面附近的重力加速度为g 。（第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷第二大题第8小题） 参考答案：ν2c gd - 解析：d 远小于地球半径，由能量守恒得 mgd h h +='νν 而 '2 νh mc = 则 gd c h h h 2' 'ννν+ = ''2νννc gd -=- 这与题给参考答案似乎有点矛盾：ννν2 'c gd - =-！ 其实只要注意到 () 1107100.3104.610''12284 2<
微元法 方法简介 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 赛题精讲 例1：如图3—1所示，一个身高为h 的人在灯以悟空速度v 沿水平直线行走。设灯距地面高为H ，求证人影的顶端C 点是做匀速直线运动。 解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。 设某一时间人经过AB 处，再经过一微小过程 △t （△t →0），则人由AB 到达A ′B ′，人影顶端 C 点到达C ′点，由于△S AA ′=v △t 则人影顶端的 移动速度h H Hv t S h H H t S v A A t C C t C -=??-=??='→?' →?00lim lim 可见v c 与所取时间△t 的长短无关，所以人影的顶 端C 点做匀速直线运动. 例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光滑球 面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位 长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T. 解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能 忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受 力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质 点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出 整条铁链的受力情况. 在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象， 其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态， 所以受力平衡，在切线方向上应满足： θθθθT G T T +?=?+cos θρθθcos cos Lg G T ?=?=? 由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 △T θ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T θ的和， 即 ∑∑∑?=?=?= θρθρθcos cos L g Lg T T
第16讲初中物理竞赛中常用解题方法一【知识梳理】 （1）等效法：把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的物理规律、物理过程来研究和处理的思维方法叫做等效法。 （2）极端法：根据已知的条件，把复杂的问题假设为处于理想的极端状态，站在极端的角度去分析考虑问题，从而迅速的做出正确的判断的思维方法叫极端法。 （3）整体法：一种吧具有多个物体的变化过程组合为一个整体加以研究的思维方法叫整体法。 （4）假设法：对于待求解的问题，在与原题所给的条件不违背的前提下，人为的加上或减去某些条件，以使原题方便求解的思维方法叫假设法。 （5）逆推法：运用逆向思维的将问题倒过来思考的思维方法叫做逆推法。 （6）图像法：根据题意表达成物理图像，再将物理问题转化成一个几何问题，通过几何知识求解的思维方法叫做图像法。 （7）对称法：根据对称性分析和处理问题的方法叫做对称法。 （8）赋值法：在探究中只选择个别有代表性的数值进行讨论，然后再将讨论的结果推回到一般性问题上的思维方法叫赋值法。 （9）代数法：根据条件列出数学方程式，然后再利用方程式的一些基本法则和运算方法求解方程的思维方法叫代数法。 二【例题解析】
题型一：等效法 应用等效法研究问题时，要注意并非指事物的各个方面效果都相同，而是强调某一方面的效果。例如：力学中合力与分力是等效替代、运动学中合运动与分运动的等效替代、电学中的电路是等效等。例1：某空心球，球体积为V，球强的容积是球体积的一半，当它漂浮在水面上时，有一半露出水面。如果在求腔内注满水，那么（） A 球仍然漂浮在水面上，但露出水面的部分减少 B 球仍然漂浮在水面上，露出水面的部分仍为球体积的一半 C 球可以停留在水中任意深度的位置 D 球下沉直至容器底 【解析】把空心球等效看成一个1/2的实心球和另一个不计重力的体积为1/2的空气球。因为球在水中静止，且有V/2的体积在水中，固可以看成V/2的实心球恰好悬浮，另一个V/2飞空气球则露出水面，如图16-1所示，固将空气球注满水，再投入水中，将悬浮。整个大球悬浮。 1 例2：有一水果店，所用的称是吊盘式杆秤，如图16-2所示，量程为十千克。现在有一个超大的西瓜，超过此秤的量程。店员找到另一秤砣，与此秤砣完全相同，把它和原秤砣接在一起作为秤砣经行称量。平衡时，双秤砣位于6.5刻度处。他将此西瓜以13千克作为西瓜的质量卖给顾客。店员乙对这种称量方法表示怀疑。为了检验，他取另一个西瓜，用单秤砣正常称量得8千克，用双秤砣称量读数为3千克，乘以2得6千克。这证明了店员甲的办法是不可靠的。试问：店员甲卖给顾客的西瓜实际重量是多少？ 【解析】根据杠杆的平衡条件，动力*动力臂=阻力*阻力臂。由于同一只
高考物理专题汇编物理微元法解决物理试题(一)含解析 一、微元法解决物理试题 1．如图甲所示，静止于光滑水平面上的小物块，在水平拉力F 的作用下从坐标原点O 开始沿x 轴正方向运动，F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线右半部分为四分之一圆弧，则小物块运动到2x 0处时的动能可表示为（ ） A ．0 B ． 1 2 F m x 0（1+π） C ． 1 2F m x 0（1+2π） D ．F m x 0 【答案】C 【解析】 【详解】 F -x 图线围成的面积表示拉力F 做功的大小，可知F 做功的大小W =1 2F m x 0+14 πx 02，根据动能定理得，E k =W =12F m x 0+14πx 02 =01122m F x π?? + ?? ?，故C 正确，ABD 错误。 故选C 。 2．对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质．正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为 m ，单位体积内粒子数量n 为恒量，为简化问题，我们假定粒子大小可以忽略；其速率均 为v ，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂 直，且速率不变．利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f 与m n 、和v 的关系正确的是（ ） A ． 21 6 nsmv B ．2 13 nmv C ． 21 6 nmv D ．2 13 nmv t ? 【答案】B 【解析】 【详解】 一个粒子每与器壁碰撞一次给器壁的冲量2I mv ?=，如图所示，
以器壁上面积为S 的部分为底、v t ?为高构成柱体，由题设可知，其内有1 6 的粒子在t ?时间内与器壁上面积为S 的部分发生碰撞，碰撞粒子总数1 6 N n Sv t = ??，t ?时间内粒子给器壁的冲量21·3I N I nSmv t =?=?，由I F t =?可得21 3 I F nSmv t ==?，21 3 F f nmv S ==，故选B ． 3．为估算雨水对伞面产生的平均撞击力，小明在大雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得10分钟内杯中水位上升了45mm ，当时雨滴竖直下落速度约为12m/s 。设雨滴撞击伞面后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为3 3 110kg/m ?，伞面的面积约为0.8m 2，据此估算当时雨水对伞面的平均撞击力约为（ ） A ．0.1N B ．1.0N C ．10N D ．100N 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 对雨水由动量定理得 Ft mv Shv ρ=?= 则 0.72N 1.0N Shv F t ρ= =≈ 所以B 正确，ACD 错误。 故选B 。