高中奥林匹克物理竞赛解题方法
微元法
方法简介
微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。
赛题精讲
例1：如图3—1所示，一个身高为h 的人在灯以悟空速度v 沿水平直线行走。设灯距地面高为H ，求证人影的顶端C 点是做匀速直线运动。
解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。
设某一时间人经过AB 处，再经过一微小过程
△t （△t →0），则人由AB 到达A ′B ′，人影顶端
C 点到达C ′点，由于△S AA ′=v △t 则人影顶端的 移动速度h H Hv t S h H H t S v A A t C C t C -=??-=??='→?'
→?00lim lim 可见v c 与所取时间△t 的长短无关，所以人影的顶
端C 点做匀速直线运动.
例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光滑球
面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A
端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位
长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T.
解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能
忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受
力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质
点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出
整条铁链的受力情况.
在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象，
其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态，
所以受力平衡，在切线方向上应满足： θθθθT G T T +?=?+cos θρθθcos cos Lg G T ?=?=?
由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大
△T θ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T θ的和，
即 ∑∑∑?=?=?=θρθρθcos cos L g Lg T T
观察 θcos L ?的意义，见图3—2—乙，由于△θ很小，
所以CD ⊥OC ，∠OCE=θ△Lcos θ表示△L 在竖直方向上的投影△R ，
所以 ∑=?R L θcos 可得铁链A 端受的拉力 ∑=?=gR L g T ρθρcos
例3：某行星围绕太阳C 沿圆弧轨道运行，它的近日点
A 离太阳的距离为a ，行星经过近日点A 时的速度为A v ，
行星的远日点B 离开太阳的距离为b ，如图3—3所示，
求它经过远日点B 时的速度B v 的大小.
解析：此题可根据万有引力提供行星的向心力求解.也
可根据开普勒第二定律，用微元法求解.
设行星在近日点A 时又向前运动了极短的时间△t ，由于时间极短可以认为行星在△t 时间内做匀速圆周运动，线速度为A v ，半径为a ，可以得到行星在△t 时间内扫过的面积 a t v S A a ??=2
1 同理，设行星在经过远日点B 时也运动了相同的极短时间△t ， 则也有 b t v S B b ??=2
1 由开普勒第二定律可知：S a =S b 即得 A B v b a v = 此题也可用对称法求解. 例4：如图3—4所示，长为L 的船静止在平静的水面上，
立于船头的人质量为m ，船的质量为M ，不计水的阻力，
人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？
解析：取人和船整体作为研究系统，人在走动过程中，
系统所受合外力为零，可知系统动量守恒.设人在走动过
程中的△t 时间内为匀速运动，则可计算出船的位移.
设v 1、v 2分别是人和船在任何一时刻的速率，则有 21Mv mv = ① 两边同时乘以一个极短的时间△t ， 有 t Mv t mv ?=?21 ②
由于时间极短，可以认为在这极短的时间内人和船的速率是不变的，
所以人和船位移大小分别为t v s ?=?11，t v s ?=?22
由此将②式化为 21s M s m ?=? ③
把所有的元位移分别相加有 ∑∑?=?21s M s m
④ 即 ms 1=Ms 2 ⑤ 此式即为质心不变原理. 其中s 1、s 2分别为全过程中人和船对地位移的大小， 又因为 L=s 1+s 2 ⑥
由⑤、⑥两式得船的位移 L m M m s +=2 例5：半径为R 的光滑球固定在水平桌面上，有一质量 为M 的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR ，且弹性绳圈
的劲度系数为k ，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，
使弹性绳圈水平停留在平衡位置上，如图3—5所示，若
平衡时弹性绳圈长为R π2，求弹性绳圈的劲度系数k.
解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈
不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中
每一小段△m 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.在
弹性绳圈上任取一小段质量为△m 作为研究对象，进行受力分析.但是△m 受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系.从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图3—5—甲和2—3—5—乙. 先看俯视图3—5—甲，设在弹性绳圈的平面上，△m 所对的圆心角是△θ，则每一小段的质量 M m π
θ2?=
? △m 在该平面上受拉力F 的作用，合力为 2
sin 2)2cos(2θθπ?=?-=F F T 因为当θ很小时，θθ≈sin 所以θθ?=?=F F T 22 再看正视图3—5—乙，△m 受重力△mg ，支持力N ，
二力的合力与T 平衡.即 θtan ??=mg T 现在弹性绳圈的半径为 R R r 2
222==ππ 所以 ?===4522sin θθR r 1tan =θ
因此T=Mg mg πθ2?=? ①、②联立，θπ
θ?=?F Mg 2， 解得弹性绳圈的张力为： π2Mg F =
设弹性绳圈的伸长量为x 则 R R R x πππ)12(2-=-= 所以绳圈的劲度系数为：R
Mg R Mg x F k 222)12()12(2ππ+=-== 例6：一质量为M 、均匀分布的圆环，其半径为r ，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T ，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.
解析：因为向心力F=mr ω2，当ω一定时，r 越大，向心力越大，所以要想求最大张力T 所对应的角速度ω，r 应取最大值.
如图3—6所示，在圆环上取一小段△L ，对应的圆心角
为△θ，其质量可表示为M m π
θ2?=?，受圆环对它的张 力为T ，则同上例分析可得 22
sin 2ωθmr T ?=? 因为△θ很小，所以22sin θθ?≈?，即 2222ωπθθMr T ?=?? 解得最大角速度 Mr
T πω2= 例7：一根质量为M ，长度为L 的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图3—7所示，求链条下落了长度x 时，链条对地面的压力为多大？
解析：在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上那部分链条的重力.根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力，这个力的冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化.由于各质元原来的高度不同，落到地面的速度不同，动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条（微元）作为研究对象，就可以将变速冲击变为恒速冲击.
设开始下落的时刻t=0，在t 时刻落在地面上的链条长为x ，未到达地面部分链条的速度为v ，并设链条的线密度为ρ.由题意可知，链条落至地面后，速度立即变为零.从t 时刻起取很小一段时间△t ，在△t 内又有△M=ρ△x 落到地面上静止.地面对△M 作用的冲量为
I t Mg F ?=??-)( 因为 0≈???t Mg
所以 x v v M t F ?=-??=?ρ0 解得冲力：
t x v F ??=ρ，其中t
x ??就是t 时刻链条的速度v ， 故 2v F ρ= 链条在t 时刻的速度v 即为链条下落
长为x 时的即时速度，即v 2=2g x ，代入F 的表达式中，得 gx F ρ2=
此即t 时刻链对地面的作用力，也就是t 时刻链条对地面的冲力.
所以在t 时刻链条对地面的总压力为 .332L Mgx gx gx gx N ==+=ρρρ 例8：一根均匀柔软的绳长为L ，质量为m ，对折后两端固定在一个钉子上，其中一端突然从钉子上滑落，试求滑落的绳端点离钉子的距离为x 时，钉子对绳子另一端的作用力是多大？ 解析：钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化，
由此可用微元法求解.如图3—8所示，当左边绳端离钉子
的距离为x 时，左边绳长为
)(21x l -，速度 gx v 2=， 右边绳长为).(2
1x l + 又经过一段很短的时间△t 以后， 左边绳子又有长度t V ?2
1的一小段转移到右边去了，我们就分 析这一小段绳子，这一小段绳子受到两力：上面绳子对它的拉 力T 和它本身的重力
l m g t v /(2
1=?λλ为绳子的线密度）， 根据动量定理，设向上方向为正 )21(0)21(v t v t g t v T ??--=??-λλ 由于△t 取得很小，因此这一小段绳子的重力相对于T 来说是很小的，可以忽略，
所以有 λλgx v T ==22
1 因此钉子对右边绳端的作用力为 )31(21)(21l
x mg T g x l F +=++=λ 例9：图3—9中，半径为R 的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长
但质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为M 、m.设圆盘与
绳间光滑接触，试求盘对绳的法向支持力线密度.
解析：求盘对绳的法向支持力线密度也就是求盘对绳的法向单位
长度所受的支持力.因为盘与绳间光滑接触，则任取一小段绳，
其两端受的张力大小相等，又因为绳上各点受的支持力方向不同，
故不能以整条绳为研究对象，只能以一小段绳为研究对象分析求
解.在与圆盘接触的半圆形中取一小段绳元△L ，△L 所对应的
圆心角为△θ，如图3—9—甲所示，绳元△L 两端的张力均为T ，
绳元所受圆盘法向支持力为△N ，因细绳质量可忽略，法向合力为
零，则由平衡条件得： 2
sin 22sin 2sin θθθ?=?+?=?T T T N
当△θ很小时，22sin θθ?≈? ∴△N=T △θ 又因为 △L=R △θ 则绳所受法向支持力线密度为 R T R T L N n =??=??=
θθ ① 以M 、m 分别为研究对象，根据牛顿定律有 Mg －T=Ma ②
T －mg=m a ③ 由②、③解得： m M Mmg T +=
2 将④式代入①式得：R
m M Mmg n )(2+= 例10：粗细均匀质量分布也均匀的半径为分别为R 和r 的两圆环相切.若在切点放一质点m ，恰使两边圆环对m 的万有引力的合力为零，则大小圆环的线密度必须满足什么条件？
解析：若要直接求整个圆对质点m 的万有引力比较难，当若要用到圆的对称性及要求所受合力为零的条件，考虑大、小圆环上关于切点对称的微元与质量m 的相互作用，然后推及整个圆环即可求解.
如图3—10所示，过切点作直线交大小圆分别于P 、Q 两点，并设与水平线夹角为α，当α有微小增量时，则大小圆环上对应微小线元
αα??=???=?2221r L R L
其对应的质量分别为 αρρ??=?=?21111R l m
αρρ??=?=?22222r l m 由于△α很小，
故△m 1、△m 2与m 的距离可以认为分别是 αα
cos 2cos 221r r R r ==
所以△m 1、△m 2与m 的万有引力分别为 2
22222212111)cos 2(2,)cos 2(2ααρααρr m R G r m Gm F R m R G r m Gm F ??=?=???=?=? 由于α具有任意性，若△F 1与△F 2的合力为零，
则两圆环对m 的引力的合力也为零， 即 2
221)cos 2(2)cos 2(2ααρααρr m r G R m R G ??=?? 解得大小圆环的线密度之比为：r
R =21ρρ 例11：一枚质量为M 的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v ，那么火箭发动机的功率是多少？
解析：火箭喷气时，要对气体做功，取一个很短的时间，求出此时间内，火箭对气体做的功，再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率.
选取在△t 时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F ，根据动量定理，有
F △t=△m ·v 因为火箭静止在空中，所以根据牛顿第三定律和平衡条件有F=Mg
即 Mg ·△t=△m ·v △t=△m ·v/Mg
对同样这一部分气体用动能定理，火箭对它做的功为： 221mv W ?= 所以发动机的功率 MgV Mg mV mv t W P 2
1)/(212
=??=?= 例12：如图3—11所示，小环O 和O ′分别套在不动的竖直
杆AB 和A ′B ′上，一根不可伸长的绳子穿过环O ′，绳的
两端分别系在A ′点和O 环上，设环O ′以恒定速度v 向下
运动，求当∠AOO ′=α时，环O 的速度.
解析：O 、O ′之间的速度关系与O 、O ′的位置有关，即与α
角有关，因此要用微元法找它们之间的速度关系.
设经历一段极短时间△t ，O ′环移到C ′，O 环移到C ，自C ′
与C 分别作为O ′O 的垂线C ′D ′和CD ，从图中看出. ααcos ,cos D O C O OD OC ''=''= 因此OC+O ′C ′=α
cos D O OD ''+ ① 因△α极小，所以EC ′≈ED ′，EC ≈ED ，
从而OD+O ′D ′≈OO ′－CC ′ ②
由于绳子总长度不变，故 OO ′－CC ′=O ′C ′ ③
由以上三式可得：OC+O ′C ′=
αcos C O '' 即)1cos 1(-''=α
C O OC 等式两边同除以△t 得环O 的速度为 )1cos 1(0-=αv v 例13： 在水平位置的洁净的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和
表面张力的影响，水银近似呈现圆饼形状（侧面向外凸出），过圆
饼轴线的竖直截面如图3—12所示，为了计算方便，水银和玻璃的
接触角可按180°计算.已知水银密度33/106.13m kg ?=ρ，水 银的表面张力系数./49.0m N =σ当圆饼的半径很大时，试估算其厚度h 的数值大约为多少？（取1位有效数字即可）
解析：若以整个圆饼状水银为研究对象，只受重力和玻璃板的支持力，在平衡方程中，液体的体积不是h 的简单函数，而且支持力N 和重力mg 都是未知量，方程中又不可能出现表面张力系数，因此不可能用整体分析列方程求解h.现用微元法求解.
在圆饼的侧面取一个宽度为△x ，高为h 的体积元，，如图
3—12—甲所示，该体积元受重力G 、液体内部作用在面
积△x ·h 上的压力F ，x gh xh hg S P F ??=??==22
121ρρ， 还有上表面分界线上的张力F 1=σ△x 和下表面分界线上的 张力F 2=σ△x .作用在前、后两个侧面上的液体压力互相平衡，作用在体积元表面两个弯曲 分界上的表面张力的合力，当体积元的宽度较小时，这两个力也是平衡的，图中都未画出. 由力的平衡条件有：0cos 21=--F F F θ
即 0cos 2
12=?-?-?x x x gh σθσρ 解得：θρθσcos 1107.2)cos 1(23+?=+=-g
h 由于 ,2cos 11,20<+<<<θπ
θ所以 故2.7×10－3m 题目要求只取1位有效数字，所以水银层厚度h 的估算值为3×10－3m 或4×10－3m. 例14：把一个容器内的空气抽出一些，压强降为p ，容器 上有一小孔，上有塞子，现把塞子拔掉，如图3—13所示. 问空气最初以多大初速度冲进容器？（外界空气压强为p 0、 密度为ρ） 解析：该题由于不知开始时进入容器内分有多少，不知它 们在容器外如何分布，也不知空气分子进入容器后压强如 何变化，使我们难以找到解题途径.注意到题目中“最初” 二字，可以这样考虑：设小孔的面积为S ，取开始时位于小孔外一薄层气体为研究对象，令薄层厚度为△L ，因△L 很小，所以其质量△m 进入容器过程中，不改变容器压强，故此薄层所受外力是恒力，该问题就可以解决了. 由以上分析，得：F=(p 0－p)S ① 对进入的△m 气体， 由动能定理得：22 1mv L F ?=? ② 而 △m=ρS △L 联立①、②、③式可得：最初中进容器的空气速度 ρ)(20p p v -= 例15：电量Q 均匀分布在半径为R 的圆环上（如图3—14 所示），求在圆环轴线上距圆心O 点为x 处的P 点的电场 强度. 解析：带电圆环产生的电场不能看做点电荷产生的电场， 故采用微元法，用点电荷形成的电场结合对称性求解. 选电荷元 ,2R Q R q πθ?=?它在P 点产生的电场的场强的x 分量为： 22222) (2cos x R x x R R Q R k r q k E x ++?=?=?πθα 根据对称性 322322322)(2)(2)(2x R kQx x R kQx x R kQx E E x +=+=?+=?=∑∑ππθπ 由此可见，此带电圆环在轴线P 点产生的场强大小相当于带电圆环带电量集中在圆环的某一点时在轴线P 点产生的场强大小，方向是沿轴线的方向. 例16：如图3—15所示，一质量均匀分布的细圆环， 其半径为R ，质量为m.令此环均匀带正电，总电 量为Q.现将此环平放在绝缘的光滑水平桌面上，并 处于磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向竖直向下. 当此环绕通过其中心的竖直轴以匀角速度ω沿图示方向 旋转时，环中的张力等于多少？（设圆环的带电量不减 少，不考虑环上电荷之间的作用） 解析：当环静止时，因环上没有电流，在磁场中不受力，则 环中也就没有因磁场力引起的张力.当环匀速转动时，环上电 荷也随环一起转动，形成电流，电流在磁场中受力导致环中存 在张力，显然此张力一定与电流在磁场中受到的安培力有关. 由题意可知环上各点所受安培力方向均不同，张力方向也不同， 因而只能在环上取一小段作为研究对象，从而求出环中张力的 大小. 在圆环上取△L=R △θ圆弧元，受力情况如图3—15—甲所示.因转动角速度ω而形成的电流 πω2Q I =，电流元I △L 所受的安培力θπ ω?=?=?QB R LB I F 2 因圆环法线方向合力为圆弧元做匀速圆周运动所需的向心力， R m F T 22 sin 2ωθ?=?-? 当△θ很小时，R m QB R T 2222sin ωθπωθθθ?=?-??≈? θπ ωθπωθθπ?=?-?∴?=?2222R m QB R T m m Θ 解得圆环中张力为 )(2ωπ ωm QB R T += 例17：如图3—16所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量 为m 的金属杆，导轨间距为L ，导轨的一端连接一阻值为R 的电 阻，其他电阻不计，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于导轨平面. 现给金属杆一个水平向右的初速度v 0，然后任其运动，导轨足够 长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？ 解析：水平地从a 向b 看，杆在运动过程中的受力分析 如图3—16—甲所示，这是一个典型的在变力作用下求位 移的题，用我们已学过的知识好像无法解决，其实只要 采用的方法得当仍然可以求解. 设杆在减速中的某一时刻速度为v ，取一极短时间△t ，发 生了一段极小的位移△x ，在△t 时间内，磁通量的变化为 △φ △φ=BL △x tR x BL tR R I ??=??Φ==ε 金属杆受到安培力为tR x L B ILB F ??==22安 由于时间极短，可以认为F 安为恒力，选向右为正方向，在△t 时间内， 安培力F 安的冲量为：R x L B t F I ?-=??-=?22安 对所有的位移求和，可得安培力的总冲量为 x R L B R x L B I 2 222)(-=?-=∑ ① 其中x 为杆运动的最大距离， 对金属杆用动量定理可得 I=0－mV 0 ② 由①、②两式得：220L B R mV x = 例18：如图3—17所示，电源的电动热为E ，电容器的 电容为C ，S 是单刀双掷开关，MN 、PQ 是两根位于同 一水平面上的平行光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计， 两导轨间距为L ，导轨处在磁感应强度为B 的均匀磁场 中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面 向里的方向.L 1和L 2是两根横放在导轨上的导体小棒， 质量分别为m 1和m 2，且21m m <.它们在导轨上滑动 时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦，两小棒的电阻 相同，开始时两根小棒均静止在导轨上.现将开关S 先合向 1，然后合向2.求： （1）两根小棒最终速度的大小； （2）在整个过程中的焦耳热损耗.（当回路中有电流时，该电流所产生的磁场可忽略不计） 解析：当开关S 先合上1时，电源给电容器充电，当开关S 再合上2时，电容器通过导体小棒放电，在放电过程中，导体小棒受到安培力作用，在安培力作用下，两小棒开始运动，运动速度最后均达到最大. （1）设两小棒最终的速度的大小为v ，则分别为L 1、L 2为研究对象得： 111 1v m v m t F i i -'=? ∑=?v m t F i i 111 ① 同理得： ∑=?v m t F i i 222 ② 由①、②得：v m m t F t F i i i i )(212211+=?+?∑∑ 又因为 11Bli F i = 21i i t t ?=? 22Bli F i = i i i =+21 所以 ∑∑∑∑?=?+=?+?i i i i t i BL t i i BL t BLi t BLi )(212211 v m m q Q BL )()(21+=-= 而Q=CE q=CU ′=CBL v 所以解得小棒的最终速度 2221)(L CB m m BLCE v ++= （2）因为总能量守恒，所以热Q v m m C q CE +++=22122)(2 12121 即产生的热量 22122)(2 12121v m m C q CE Q +--=热 ) (2)()()]([2121)(2 1)(1212122212 212221212222 2122C L B m m CE m m L CB m m BLCE m m L CB CE v m m CBLv C CE +++=+++--=+--= 针对训练 1．某地强风的风速为v ，设空气的密度为ρ，如果将通过横截面 积为S 的风的动能全部转化为电能，则其电功率为多少？ 2．如图3—19所示，山高为H ，山顶A 和水平面上B 点的水平 距离为s.现在修一条冰道ACB ，其中AC 为斜面，冰道光滑， 物体从A 点由静止释放，用最短时间经C 到B ，不计过C 点 的能量损失.问AC 和水平方向的夹角θ多大？最短时间为多少？ 3．如图3—21所示，在绳的C 端以速度v 匀速收绳从而拉动低 处的物体M 水平前进，当绳AO 段也水平恰成α角时，物体M 的速度多大？ 4，如图3—22所示，质量相等的两个小球A 和B 通过轻绳绕过两个光滑的定滑轮带动C 球 上升，某时刻连接C 球的两绳的夹角为θ，设A 、B 两球此时下落的速度为v ，则C 球上升的速度多大？ 5．质量为M 的平板小车在光滑的水平面上以v 0向左匀速运动，一质量为m 的小球从高h 处自由下落，与小车碰撞后反弹上升的高度仍为h.设M>>m ，碰撞弹力N>>g ，球与车之间的动摩擦因数为μ，则小球弹起后的水平速度可能是 （ ） A ．gh 2 B ． 0 C ．gh 22 D ．v 0 6．半径为R 的刚性球固定在水平桌面上.有一质量为M 的圆环状均匀弹性细绳圈，原长 2πa ，a =R/2，绳圈的弹性系数为k （绳伸长s 时，绳中弹性张力为ks ）.将绳圈从球的正 上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平，并最后停留在某个静力平衡位置.考 虑重力，忽略摩擦. （1）设平衡时弹性绳圈长2πb ，b=a 2，求弹性系数k ；（用M 、R 、g 表示，g 为重力加 速度） （2）设k=Mg/2π2R ，求绳圈的最后平衡位置及长度. 7．一截面呈圆形的细管被弯成大圆环，并固定在竖直平面内， 在环内的环底A 处有一质量为m 、直径比管径略小的小球， 小球上连有一根穿过环顶B 处管口的轻绳，在外力F 作用 下小球以恒定速度v 沿管壁做半径为R 的匀速圆周运动， 如图3—23所示.已知小球与管内壁中位于大环外侧 部分的动摩擦因数为μ，而大环内侧部分的管内壁是光滑 的.忽略大环内、外侧半径的差别，认为均为R.试求小 球从A 点运动到B 点过程中F 做的功W F . 8．如图3—24，来自质子源的质子（初速度为零），经一 加速电压为800kV 的直线加速器加速，形成电流为1.0mA 的细柱形质子流.已知质子电荷e=1.60×10－19C.这束质子 流每秒打到靶上的质子数为 .假设分布在质子源 到靶之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距l 和4l 的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中质 子数分别为n1和n2，则n1: n 2 . 9．如图3—25所示，电量Q均匀分布在一个半径为R的细圆环上，求圆环轴上与环心相距为x的点电荷q所受的 力的大小. 10．如图3—26所示，一根均匀带电细线，总电量为Q，弯成半径为R的缺口圆环，在细线的两端处留有很小的 长为△L的空隙，求圆环中心处的场强. 11．如图3—27所示，两根均匀带电的半无穷长平行直导线（它们的电荷线密度为η），端点联线LN垂直于这 两直导线，如图所示.LN的长度为2R.试求在LN的 中点O处的电场强度. 12．如图3—28所示，有一均匀带电的无穷长直导线，其电荷线密度为η.试求空间任意一点的电场强度. 该点与直导线间垂直距离为r. 13．如图3—29所示，半径为R的均匀带电半球面，电荷面密度为δ，求球心O处的电场强度. 14．如图3—30所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽度为L的区域内，现有一个边长 为a（a 磁场边界滑过磁场后，速度变为v（v （1）线框在这过程中产生的热量Q； （2）线框完全进入磁场后的速度v′. 15．如图3—31所示，在离水平地面h高的平台上有一相距L的光滑轨道，左端接有已充电的电容器，电容为C， 充电后两端电压为U1.轨道平面处于垂直向上的磁感应 强度为B的匀强磁场中.在轨道右端放一质量为m的金 属棒，当闭合S，棒离开轨道后电容器的两极电压变为U2，求棒落在离平台多远的位置. 16．如图3—32所示，空间有一水平方向的匀强磁场，大小 为B ，一光滑导轨竖直放置，导轨上接有一电容为C 的电 容器，并套一可自由滑动的金属棒，质量为m ，释放后，求 金属棒的加速度a . 答案： 1．321v S ρ 2．θ=60°)223(2h s g h + 3．)cos 1/(x v + 4．2cos /θv 5．CD 6．（1） R Mg 22)12(π+ （2）绳圈掉地上，长度为原长 7．22v m mgR πμ+ 8．6.25×1015,2:1 9．2322)(x R Qqx K + 10．32R l Q K ρ? 11．R k λ2 12．r k λ2 13．σπR 2 14．2),(21 0220v v v v v m +='- 15．g h m u u CBL 2)(21- 16．22L CB m mg a += 高考物理微元法解决物理试题及其解题技巧及练习题 一、微元法解决物理试题 1．超强台风“利奇马”在2019年8月10日凌晨在浙江省温岭市沿海登陆，登陆时中心附近最大风力16级，对固定建筑物破坏程度非常大。假设某一建筑物垂直风速方向的受力面积为s，风速大小为v，空气吹到建筑物上后速度瞬间减为零，空气密度为ρ，则风力F 与风速大小v关系式为( ) A．F =ρsv B．F =ρsv2C．F =ρsv3D．F=1 2 ρsv2 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 设t时间内吹到建筑物上的空气质量为m，则有： m=ρsvt 根据动量定理有： -Ft=0-mv=0-ρsv2t 得： F=ρsv2 A．F =ρsv，与结论不相符，选项A错误； B．F =ρsv2，与结论相符，选项B正确； C．F =ρsv3，与结论不相符，选项C错误； D．F=1 2 ρsv2，与结论不相符，选项D错误； 故选B。 2．估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强，小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得1小时内杯中水上升了45mm。查询得知，当时雨滴竖直下落速度约为12m/s。据此估算该压强约为（）（设雨滴撞击唾莲后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103kg/m3） A．0.15Pa B．0.54Pa C．1.5Pa D．5.1Pa 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 由于是估算压强，所以不计雨滴的重力。设雨滴受到支持面的平均作用力为F。设在△t时间内有质量为△m的雨水的速度由v=12m/s减为零。以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理有 () F t mv mv ?=--?=? 高中奥林匹克物理竞赛解题方法 微元法 方法简介 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 赛题精讲 例1：如图3—1所示，一个身高为h 的人在灯以悟空速度v 沿水平直线行走。设灯距地面高为H ，求证人影的顶端C 点是做匀速直线运动。 解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。 设某一时间人经过AB 处，再经过一微小过程 △t （△t →0），则人由AB 到达A ′B ′，人影顶端 C 点到达C ′点，由于△S AA ′=v △t 则人影顶端的 移动速度h H Hv t S h H H t S v A A t C C t C -=??-=??='→?' →?00lim lim 可见v c 与所取时间△t 的长短无关，所以人影的顶 端C 点做匀速直线运动. 例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光滑球 面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位 长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T. 解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能 忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受 力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质 点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出 整条铁链的受力情况. 在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象， 其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态， 所以受力平衡，在切线方向上应满足： θθθθT G T T +?=?+cos θρθθcos cos Lg G T ?=?=? 高中物理解题方法----微元法 一、什么是微元法： 在所研究是物理问题中，往往是针对研究对象经历某一过程或处于某一状态来进行研究，而此过程或状态中，描述此对象的物理量可能是不变的，而更多则可能是变化的。对于那些变化的物理量的研究，有一种方法是把全过程分割成很多短暂的小过程或把研究对象整体分解为很多的微小局部的研究而归纳出适用于全过程或整体的结论。这些微小的过程或微小的局部常被称为“微元”，此法也被称为：“微元法”。 二、对微元的理解：简单地说，微元就是时间、空间或其它物理量上的无穷小量，（注：在数学上我们把极限为“零”的物理量，叫着无穷小量）。当某一连续变化的事物被分割成无数“微元”（无穷小量）以后，在某一微元段内，该事物也就可以看出不变的恒量了。所以，微元法又叫小量分析法，它是微积分的理论基础。 三、微元法解题思想： 在中学物理解题中，利用微元法可将非理想模型转化为理想模型（如把物体分割成质点）；将曲面转化为平面，将一般的曲线转化为圆弧甚至直线段；将变量转化成恒量。从而将复杂问题转化为简单问题，使中学阶段常规方法难以解决的问题迎刃而解。 微元法的灵魂是无限分割与逼近。用其解决物理问题的两要诀就是取微元----无限分割和对微元做细节描述----数学逼近。所谓取微元就是对整体对象作无限分割，分割的对象可以是各种几何体，得到“体元”、“面元”、“线元”、“角元”等；分割的对象可以是一段时间或过程，得到“时间元”、“元过程”；也可以对某一物理量分割，得到诸如“元功”、“元电荷”、“电流元”、“质元”等相应元物理量，它们是被分割成的要多么小就有多么小的无穷小量，而要解决整体的问题，就得从它们下手，对微元作细节描述即通过对微元的性质做合理的近似逼近，从而在微元取无穷小量的前提下，达到向精确描述的逼近。 例1、如图所示，岸高为h ，人用不可伸长的绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为θ时，人收绳速率为υ，则该位置船的速率为多大？ 例2、如图所示，长为L 的船静止在平静的水面上，立于船头的人质量为m ，船的质量为M ，不计水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？ 例3、如图所示，半径为R ，质量为m 的匀质细圆环，置于光滑水平面上，若圆环以角 速度ω绕环心O 转动，试证明：（1）圆环的张力π ω22R m T = (2)圆环的动能2)(2 1 R m E k ω= 例4、一根质量为M ，长度为L 的匀质铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图所示，求链条下落了长度x 时，链条对地面的压力为多大？ 例5、如图所示，半径为R 的半圆形绝缘细线上、下1/4圆弧上分别均匀带电+q 和－q ，求圆心处的场强. 例6、如图所示，在离水平地面h 高的平台上有一相距L 的光滑轨道，左端接有已充电的电容器，电容为C ，充电后两端电压为U 1.轨道平面处于垂直向上的磁感应强度为B 的匀强磁场中.在轨道右端放一质量为m 的金属棒，当闭合S ，棒离开轨道后电容器的两极电压变为U 2，求棒落在离平台多远的位置. 例7、（1）试证明：质量为M 的匀质球壳，对放置在空腔内任意一点的质量为m 的质点的万有引力为零。 （2）若将上述质点移至球壳外距球心O 距离为r 处，求此时系统具有的引力势能为多少？规定∞→r 时，系统引力势能为零 微元法在高中物理中的应用 江苏省靖江市斜桥中学夏桂钱 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。它是将研究对象（物体或物理过程）进行无限细分，从其中抽取某一微小单元即“元过程”，进行讨论，每个“元过程”所遵循的规律是相同的。对这些“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法可以把一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化，从而起到巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 一、挖掘教材中微元素材，认知微元思想 微元法思想在新课标教材（人教版）上时有渗透。如在引入瞬时速度的概念时，教材从平均速度出发，提出从t到t+△t这段时间间隔内，△t越小运动快慢的差异也就越小，运动的描述就越精确。在此基础上，再提出若△t趋向于零时，就可以认为△t的平均速度就是t时刻的瞬时速度。正是这种无限分割的方法，可以使原来较为复杂的过程转化为较简单的过程。再如，我们要推导匀变速直线运动的位移公式，显然不能直接用s=vt，原因就在于速度本身是变化的，不能直接套用匀速直线运动的公式。但是我们可以想象，如果我们把整个过程的时间分成无数微小的时间间隔，我们分得愈密，每一份的时间间隔也就愈小，此间隔内，速度的变化亦就愈小，如果分得足够细，就可以认为速度几乎不变，此时就可将每一份按匀速直线运动来处理，完毕之后，再累加即可。 必修2第五章第四节《重力势能》中，计算物体沿任意路径向下运动时重力所做的功时，先将物体运动的整个路径分成许多很短的间隔，由于每一段都很小很小，就可以将每一段近似地看做一段倾斜的直线，从而就能利用功的定义式计算出每一小段内重力的功，再累加得到整个过程重力的总功。第五节《弹性势能》中关于在求弹簧弹力所做的功时，先将弹簧拉伸的整个过程分成很多小段，在足够小的情况下，每一小段位移中可以认为拉力是不变的，从而也能直接利用功的定义式来计算每一小段内拉力所做的功，再累加得到整个过程拉力的总功。这两个功的计算，前者的难点在于物体运动的路径是曲线，后者的难点在于力的大小在变化。教材中的处理方法是前者采用了“化曲为直”的思想，后者采用了“化变为恒”的思想。 高考物理专题汇编物理微元法解决物理试题(一)含解析 一、微元法解决物理试题 1．如图甲所示，静止于光滑水平面上的小物块，在水平拉力F 的作用下从坐标原点O 开始沿x 轴正方向运动，F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线右半部分为四分之一圆弧，则小物块运动到2x 0处时的动能可表示为（ ） A ．0 B ． 1 2 F m x 0（1+π） C ． 1 2F m x 0（1+2π） D ．F m x 0 【答案】C 【解析】 【详解】 F -x 图线围成的面积表示拉力F 做功的大小，可知F 做功的大小W =1 2F m x 0+14 πx 02，根据动能定理得，E k =W =12F m x 0+14πx 02 =01122m F x π?? + ?? ?，故C 正确，ABD 错误。 故选C 。 2．对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质．正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为 m ，单位体积内粒子数量n 为恒量，为简化问题，我们假定粒子大小可以忽略；其速率均 为v ，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂 直，且速率不变．利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f 与m n 、和v 的关系正确的是（ ） A ． 21 6 nsmv B ．2 13 nmv C ． 21 6 nmv D ．2 13 nmv t ? 【答案】B 【解析】 【详解】 一个粒子每与器壁碰撞一次给器壁的冲量2I mv ?=，如图所示， 以器壁上面积为S 的部分为底、v t ?为高构成柱体，由题设可知，其内有1 6 的粒子在t ?时间内与器壁上面积为S 的部分发生碰撞，碰撞粒子总数1 6 N n Sv t = ??，t ?时间内粒子给器壁的冲量21·3I N I nSmv t =?=?，由I F t =?可得21 3 I F nSmv t ==?，21 3 F f nmv S ==，故选B ． 3．为估算雨水对伞面产生的平均撞击力，小明在大雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得10分钟内杯中水位上升了45mm ，当时雨滴竖直下落速度约为12m/s 。设雨滴撞击伞面后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为3 3 110kg/m ?，伞面的面积约为0.8m 2，据此估算当时雨水对伞面的平均撞击力约为（ ） A ．0.1N B ．1.0N C ．10N D ．100N 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 对雨水由动量定理得 Ft mv Shv ρ=?= 则 0.72N 1.0N Shv F t ρ= =≈ 所以B 正确，ACD 错误。 故选B 。 高考物理微元法解决物理试题解题技巧及练习题 一、微元法解决物理试题 1．如图所示，半径为R 的1/8光滑圆弧轨道左端有一质量为m 的小球，在大小恒为F 、方向始终与轨道相切的拉力作用下，小球在竖直平面内由静止开始运动，轨道左端切线水平，当小球运动到轨道的末端时，此时小球的速率为v ，已知重力加速度为g ，则( ) A 2FR B ．此过程拉力做功为 4 FR π C ．小球运动到轨道的末端时，拉力的功率为1 2Fv D 2Fv 【答案】B 【解析】 【详解】 AB 、将该段曲线分成无数段小段，每一段可以看成恒力，可知此过程中拉力做功为 11 44 W F R FR ππ=?=，故选项B 正确，A 错误； CD 、因为F 的方向沿切线方向，与速度方向平行，则拉力的功率P Fv =，故选项C 、D 错误。 2．“水上飞人表演”是近几年来观赏性较高的水上表演项目之一，其原理是利用脚上喷水装置产生的反冲动力，使表演者在水面之上腾空而起。同时能在空中完成各种特技动作，如图甲所示。为简化问题。将表演者和装备与竖直软水管看成分离的两部分。如图乙所示。已知表演者及空中装备的总质量为M ，竖直软水管的横截面积为S ，水的密度为ρ，重力加速度为g 。若水流竖直向上喷出，与表演者按触后能以原速率反向弹回，要保持表演者在空中静止，软水管的出水速度至少为（ ） A 2Mg S ρB Mg S ρC 2Mg S ρD 4Mg S ρ【答案】C 【解析】 【详解】 设出水速度为v ，则极短的时间t 内，出水的质量为 m Svt ρ= 速度由竖起向上的v 的变为竖起向下的v ，表演者能静止在空中，由平衡条件可知表演者及空中装备受到水的作用力为Mg ，由牛顿第三定律可知，装备对水的作用力大小也为 Mg ，取向下为正方向，对时间t 内的水，由动量定理可得 22()()Mgt mv m v v Sv t S t ρρ--=--= 解得 2Mg v S ρ= 故C 正确，A 、B 、D 错误； 故选C 。 3．2019年8月11日超强台风“利奇马”登陆青岛，导致部分高层建筑顶部的广告牌损毁。台风“利奇马”登陆时的最大风力为11级，最大风速为30m/s 。某高层建筑顶部广告牌的尺寸为：高5m 、宽20m ，空气密度3 1.2kg/m ρ=，空气吹到广告牌上后速度瞬间减为0，则该广告牌受到的最大风力约为（ ） A ．33.610N ? B ．51.110N ? C ．41.010N ? D ．49.010N ? 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 广告牌的面积 S =5×20m 2=100m 2 设t 时间内吹到广告牌上的空气质量为m ，则有 高考物理微元法解决物理试题技巧(很有用)及练习题 一、微元法解决物理试题 1．如图所示，某个力F＝10 N作用在半径为R＝1 m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F做的总功为（） A．0 B．20π J C．10 J D．10π J 【答案】B 【解析】 本题中力F的大小不变，但方向时刻都在变化，属于变力做功问题，可以考虑把圆周分割为很多的小段来研究.当各小段的弧长足够小时，可以认为力的方向与弧长代表的位移方向一致，故所求的总功为W＝F·Δs1＋F·Δs2＋F·Δs3＋…＝F(Δs1＋Δs2＋Δs3＋…）＝F·2πR＝20πJ，选项B符合题意.故答案为B． 【点睛】本题应注意，力虽然是变力，但是由于力一直与速度方向相同，故可以直接由 W=FL求出． 2．如图所示，半径为R的1/8光滑圆弧轨道左端有一质量为m的小球，在大小恒为F、方向始终与轨道相切的拉力作用下，小球在竖直平面内由静止开始运动，轨道左端切线水平，当小球运动到轨道的末端时，此时小球的速率为v，已知重力加速度为g，则( ) A．此过程拉力做功为 2 2 FR B．此过程拉力做功为 4FR C．小球运动到轨道的末端时，拉力的功率为1 2 Fv D．小球运动到轨道的末端时，拉力的功率为 2 2 Fv 【答案】B 【解析】【详解】 AB 、将该段曲线分成无数段小段，每一段可以看成恒力，可知此过程中拉力做功为1144 W F R FR ππ=?=，故选项B 正确，A 错误； CD 、因为F 的方向沿切线方向，与速度方向平行，则拉力的功率P Fv =，故选项C 、D 错误。 3．为估算雨水对伞面产生的平均撞击力，小明在大雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得10分钟内杯中水位上升了45mm ，当时雨滴竖直下落速度约为12m/s 。设雨滴撞击伞面后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为33 110kg/m ?，伞面的面积约为0.8m 2，据此估算当时雨水对伞面的平均撞击力约为（ ） A ．0.1N B ．1.0N C ．10N D ．100N 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 对雨水由动量定理得 Ft mv Shv ρ=?= 则 0.72N 1.0N Shv F t ρ= =≈ 所以B 正确，ACD 错误。 故选B 。 4．水柱以速度v 垂直射到墙面上，之后水速减为零，若水柱截面为S ，水的密度为ρ，则水对墙壁的冲力为（ ） A ．12ρSv B ．ρSv C ．12ρS v 2 D ．ρSv 2 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 设t 时间内有V 体积的水打在钢板上，则这些水的质量为： 微元法 方法简介 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 例1：如图3—1所示，一个身高为h 的人在灯以恒定速度v 沿水平直线行走。设灯距地面高为H ，求证人影的顶端C 点是做匀速直线运动。 解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。 设某一时间人经过AB 处，再经过一微小过程 △t （△t →0），则人由AB 到达A ′B ′，人影顶端 C 点到达C ′点，由于△S AA ′=v △t 则人影顶端的 移动速度h H Hv t S h H H t S v A A t C C t C -=??-=??='→?' →?00lim lim 可见v c 与所取时间△t 的长短无关，所以人影的顶 端C 点做匀速直线运动. 例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光滑球 面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位 长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T. 解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能 忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受 力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质 点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出 整条铁链的受力情况. 在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象， 其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态， 所以受力平衡，在切线方向上应满足： θθθθT G T T +?=?+cos θρθθc o s c o s Lg G T ?=?=? 由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 △T θ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T θ的和， 即 ∑∑∑?=?=?=θρθ ρθc o s c o s L g Lg T T 观察 θcos L ?的意义，见图3—2—乙，由于△θ很小， 所以CD ⊥OC ，∠OCE=θ△Lcos θ表示△L 在竖直方向上的投影△R ， 所以 ∑=?R L θ c o s 可得铁链A 端受的拉力 ∑=?=gR L g T ρθρcos 高中物理易错题专题三物理微元法解决物理试题(含解析) 一、微元法解决物理试题 1．雨打芭蕉是我国古代文学中重要的抒情意象．为估算雨天院中芭蕉叶面上单位面积所承受的力，小玲同学将一圆柱形水杯置于院中，测得10分钟内杯中雨水上升了15mm ，查询得知，当时雨滴落地速度约为10m ／s ，设雨滴撞击芭蕉后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103kg ／m 3，据此估算芭蕉叶面单位面积上的平均受力约为 A ．0.25N B ．0.5N C ．1.5N D ．2.5N 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 由于是估算压强，所以不计雨滴的重力．设雨滴受到支持面的平均作用力为F ．设在△t 时间内有质量为△m 的雨水的速度由v =10m/s 减为零．以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理：F △t =0-（-△mv ）=△mv ．得：F = mv t V V ；设水杯横截面积为S ，对水杯里的雨水，在△t 时间内水面上升△h ，则有：△m =ρS △h ；F =ρSv h t V V ．压强为：33 22151011010/0.25/1060 F h P v N m N m S t ρ-?===???=?V V ，故A 正确，BCD 错误． 2．我国自主研制的绞吸挖泥船“天鲲号”达到世界先进水平．若某段工作时间内，“天鲲号”的泥泵输出功率恒为4110kW ?，排泥量为31.4m /s ，排泥管的横截面积为20.7 m ，则泥泵对排泥管内泥浆的推力为（ ） A ．6510N ? B ．7210N ? C ．9210N ? D ．9510N ? 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 设排泥的流量为Q ，t 时间内排泥的长度为： 1.4 20.7 V Qt x t t S S = === 输出的功： W Pt = 排泥的功： W Fx = 输出的功都用于排泥，则解得： 6510N F =? 故A 正确，BCD 错误． 高考物理微元法解决物理试题常见题型及答题技巧及练习题 一、微元法解决物理试题 1．如图所示，某个力F ＝10 N 作用在半径为R ＝1 m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F 做的总功为（ ） A ．0 B ．20π J C ．10 J D ．10π J 【答案】B 【解析】 本题中力F 的大小不变，但方向时刻都在变化，属于变力做功问题，可以考虑把圆周分割为很多的小段来研究.当各小段的弧长足够小时，可以认为力的方向与弧长代表的位移方向一致，故所求的总功为W ＝F ·Δs 1＋F ·Δs 2＋F ·Δs 3＋…＝F (Δs 1＋Δs 2＋Δs 3＋…）＝F ·2πR ＝20πJ ，选项B 符合题意.故答案为B ． 【点睛】本题应注意，力虽然是变力，但是由于力一直与速度方向相同，故可以直接由W =FL 求出． 2．解放前后，机械化生产水平较低，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用．如图，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F ，方向与磨杆始终垂直，作用点到轴心的距离为r ，磨盘绕轴缓慢转动，则在转动一周的过程中推力F 做的功为 A ．0 B ．2πrF C ．2Fr D ．-2πrF 【答案】B 【解析】 【分析】 cos W Fx α=适用于恒力做功，因为推磨的过程中力方向时刻在变化是变力，但由于圆周 运动知识可知，力方向时刻与速度方向相同，根据微分原理可知，拉力所做的功等于力与路程的乘积； 【详解】 由题可知：推磨杆的力的大小始终为F ，方向与磨杆始终垂直，即其方向与瞬时速度方向相同，即为圆周切线方向，故根据微分原理可知，拉力对磨盘所做的功等于拉力的大小与拉力作用点沿圆周运动弧长的乘积，由题意知，磨转动一周，弧长2L r π=，所以拉力所 三、微元法 方法简介 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 赛题精讲 例1：如图3—1所示，一个身高为h 的人在灯以悟空 速度v 沿水平直线行走。设灯距地面高为H ，求证人影的 顶端C 点是做匀速直线运动。 解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。 设某一时间人经过AB 处，再经过一微小过程Δt （Δt →0），则人由AB 到达A ′B ′，人影顶端C 点到达C ′点， 由于ΔS AA ′= v Δt 则人影顶端的移动速度： v C =CC t 0S lim t '?→??=AA t 0H S H h lim t '?→?-?=H H h -v 可见v c 与所取时间Δt 的长短无关，所以人影的顶端C 点做匀速直线运动。 例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ 。试求铁链A 端受的拉力T 。 解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况。在铁链上任取长为ΔL的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图3—2—甲所示。由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足： Tθ + ΔTθ = ΔGcosθ + Tθ，ΔTθ = ΔGcosθ = ρgΔLcosθ 由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大ΔTθ，所以整个铁链对A端的拉力是各段上ΔTθ的和，即： T = ΣΔTθ = ΣρgΔLcosθ = ρgΣΔLcosθ 观察ΔLcosθ的意义，见图3—2—乙，由于Δθ很小，所以CD⊥OC ，∠OCE = θΔLcosθ表示ΔL在竖直方向上的投影ΔR ，所以ΣΔLcosθ = R ，可得铁链A端受的拉力：T = ρgΣΔLcosθ = ρgR 例3：某行星围绕太阳C沿圆弧轨道运行，它的近日点A离太阳的距离为a ，行星经过近日点A时的速度为v A，行星的远日点B离开太阳的 距离为b ，如图3—3所示，求它经过远日点B时的速度 v B的大小。 解析：此题可根据万有引力提供行星的向心力求解。 也可根据开普勒第二定律，用微元法求解。设行星在近 日点A时又向前运动了极短的时间Δt ，由于时间极短 可以认为行星在Δt时间内做匀速圆周运动，线速度为v A，半径为a ，可以得到行星在Δt时间内扫过的面积： 高中物理学中的微元法习题训练 一、微元法在关联速度中的运用 1、如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳子与 水平方向成θ角时，求物体A 的速度。 【答案】0 cos A v v θ = 【解析】设物体A 在θ角位置t ?时间向左行驶x ?距离，滑轮右侧绳长缩短L ?，如图， 当绳水平方向的角度变化很小时，有cos L x θ?=?，两边同除以t ?得 cos L x t t θ??=??，当这一小段时间趋于零时，收绳的平均速率就等于瞬时速率 即收绳速率0cos A v v θ= 所以物体A 的速率为0 cos A v v θ =. 二、微元法在运动学、动力学中的应用 2、设某个物体的初速度为0v ，做加速度为a 的匀加速直线运动，经过时间t ，则物体的位移与时间的关系式为2 012 x v t at =+ ，试推导。 【思路点拨】把物体的运动分割成若干个微元，t ?极短，写出v t -图像下微元的面积的表达式，即位移微元的表达式，最后求和，就等于总的位移。 【解析】作物体的v t -图像，如图甲、乙，把物体的运动分割成若干个小元段（微元），由于每一个小元段时间t ?极短，速度可以看成是不变的，设第i 段的速度为i v ，则在t ?时间内第i 段的位移为i i x v t =?，物体在t 时间内的位移为i i x x v t =∑=∑?，在v t -图像上则为若干个微小矩形面积之和。 当把运动分得非常非常细，若干个矩形合在一起就成了梯形OAPQ ，如图丙所示。图线与轴所夹的面积，表示在时间t 内物体做匀变速直线运动的位移。 面积12S S S =+，又0P v v at =+，所以2 012 x v t at =+ 3、加速启动的火车车厢内的一桶水，若已知水面与水平面的夹角为θ，则火车加速行驶的加速度大小为（ ） A.cos g θ B. tan g θ C. cos g θ D. tan g θ 【答案】B 【解析】如图所示，取水面上质量为m ?的水元为研究对象，其受力如图所示， 应用正交分解或平行四边形定则，可求得质量为m ?的水元受到的合力为 =tan F mg θ?合，根据牛顿第二定律可知 =F ma ?合， 则tan a g θ=，方向与启动方向相同。 1 “微元法”在高中物理中的妙用 “微元法”是历年高考考查的重点和热点之一，也是《考纲》中应用数学知识处理物理问题能力要求的一个重要方面，它不仅与新课程标准联系紧密，而且与大学知识相衔接，同时又是同学们在学习过程中比较头疼的问题，因此本文将做具体分析. “微元法”就是把研究对象或物理过程分解成无限多个“微小部分”或“极短过程”， 然后加以研究的方法，其中每一个“微小部分”或“极短过程”就是一个“微元”.“微元法”是一种科学的抽象的思维方法，也是一种数学应用的技巧（其思想与数学中的极限和微积分的思想是一致的）.采用这种方法，往往可以将曲线转化为直线，将曲面转化为平面，将变量转化为常量，将非理想模型转化为理想模型，使复杂问题变得简单，有助于培养同学们的微观观察力和宏观驾驭力. 中学物理中渗透“微元”思想有两个方面内容：一是变化率；二是无限小变化量.如：平均速度t s v ??=，t s ??为位移变化率，当t ?取无限小时，v 就理解为某一时刻的速度，即瞬时速度；加速度t v a ??=，t v ??就是速度的变化率，当t ?取无限小时，加速度a 就可理解为某一时刻加速度，类似的还有t ??φ、t i ??等. 至于无限小的变化量（微元），通常选取的有时间微元、长度微元、质量微元、面积微元、体积微元、角度微元、电荷微元等.另外，数学中的某些近似公式也体现了微元法的思想，如：x 很小时，有sinx ≈tanx ≈x,cosx ≈1, （1+x ）a ≈1+ax 等，这类问题也叫小角度近似、微小量的计算，实质就是微元思想. 1.时间微元法：极短时间内物体的速度、加速度、电流、受力等物理量可视为定值. 例1 如图1所示，在光滑的水平面上，有垂直向下 的匀强磁场分布在宽度为s 的区域内，一个边长为L （L ＜s ）的闭合线圈以初速度0v 垂直磁场边界进入磁场， 通过磁场后速度变为1v .设线圈完全进入磁场中速度为 v ，则： A.v ＞012v v + B. v =012v v + C. v ＜012 v v + D.不能确定 解析：设线圈进、出磁场安培力的冲量及通过回路的电量分别为21I I 、、'q q 、.取极 短时间1t 、2t 、3t …n t ，且∞→n ，（也可把整个时间等分成n 份），在任一极短时间i t 内，安培力i F 可视为定值，安培力的冲量为i i t F =i i Lt Bi ，则线圈进入磁场全过程安培力的冲量就可以用很多恒力冲量来表示，即： BLq BLq BLq BLq BLq Lt Bi Lt Bi Lt Bi Lt Bi I n n n =++++=++++=......3213322111同理，线圈离开磁场全过程安培力的冲量为：'2BLq I =， 取向左为正方向，由动量定理得： ()01mv mv I ---=， 高中物理专题汇编物理微元法解决物理试题(一)含解析 一、微元法解决物理试题 1．解放前后，机械化生产水平较低，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用．如图，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F ，方向与磨杆始终垂直，作用点到轴心的距离为r ，磨盘绕轴缓慢转动，则在转动一周的过程中推力F 做的功为 A ．0 B ．2πrF C ．2Fr D ．-2πrF 【答案】B 【解析】 【分析】 cos W Fx α=适用于恒力做功，因为推磨的过程中力方向时刻在变化是变力，但由于圆周 运动知识可知，力方向时刻与速度方向相同，根据微分原理可知，拉力所做的功等于力与路程的乘积； 【详解】 由题可知：推磨杆的力的大小始终为F ，方向与磨杆始终垂直，即其方向与瞬时速度方向相同，即为圆周切线方向，故根据微分原理可知，拉力对磨盘所做的功等于拉力的大小与拉力作用点沿圆周运动弧长的乘积，由题意知，磨转动一周，弧长2L r π=，所以拉力所做的功2W FL rF π==，故选项B 正确，选项ACD 错误． 【点睛】 本题关键抓住推磨的过程中力方向与速度方向时刻相同，即拉力方向与作用点的位移方向时刻相同，根据微分思想可以求得力所做的功等于力的大小与路程的乘积，这是解决本题的突破口． 2．下雨天，大量雨滴落在地面上会形成对地面的平均压强。某次下雨时用仪器测得地面附近雨滴的速度约为10m/s 。查阅当地气象资料知该次降雨连续30min 降雨量为10mm 。又知水的密度为3 3 110kg/m ?。假设雨滴撞击地面的时间为0.1s ，且撞击地面后不反弹。则此压强为（ ） A ．0.06Pa B ．0.05Pa C ．0.6Pa D ．0.5Pa 【答案】A 【解析】 【详解】 取地面上一个面积为S 的截面，该面积内单位时间降雨的体积为 31010m 3060s h V S S t -?=?=?? 则单位时间降雨的质量为 高考物理微元法解决物理试题解题技巧和训练方法及练习题 一、微元法解决物理试题 1．雨打芭蕉是我国古代文学中重要的抒情意象．为估算雨天院中芭蕉叶面上单位面积所承受的力，小玲同学将一圆柱形水杯置于院中，测得10分钟内杯中雨水上升了15mm ，查询得知，当时雨滴落地速度约为10m ／s ，设雨滴撞击芭蕉后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103kg ／m 3，据此估算芭蕉叶面单位面积上的平均受力约为 A ．0.25N B ．0.5N C ．1.5N D ．2.5N 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 由于是估算压强，所以不计雨滴的重力．设雨滴受到支持面的平均作用力为F ．设在△t 时间内有质量为△m 的雨水的速度由v =10m/s 减为零．以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理：F △t =0-（-△mv ）=△mv ．得：F = mv t V V ；设水杯横截面积为S ，对水杯里的雨水，在△t 时间内水面上升△h ，则有：△m =ρS △h ；F =ρSv h t V V ．压强为：33 22151011010/0.25/1060 F h P v N m N m S t ρ-?===???=?V V ，故A 正确，BCD 错误． 2．如图所示，半径为R 的1/8光滑圆弧轨道左端有一质量为m 的小球，在大小恒为F 、方向始终与轨道相切的外力作用下，小球在竖直平面内由静止开始运动，轨道左端切线水平，当小球运动到轨道的末端时立即撤去外力，此时小球的速率为v ，已知重力加速度为g ，则( ) A ．此过程外力做功为FR B ．此过程外力做功为 C ．小球离开轨道的末端时，拉力的功率为 D ．小球离开轨道末端时，拉力的功率为Fv 【答案】B 【解析】 电磁感应中的“微元法”和“牛顿第四定律” 江苏省特级教师 江苏省丰县中学 戴儒京 所谓“微元法”，又叫“微小变量法”，是解物理题的一种方法。 1.什么情况下用微元法解题？在变力作用下做变变速运动（非匀变速运动）时，可考虑用微元法解题。 2. 关于微元法。在时间t ?很短或位移x ?很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，运动图象中的梯形可以看作矩形，所以x t v ?=?，s x l t lv ?=?=?。微元法体现了微分思想。 3. 关于求和 ∑ 。许多小的梯形加起来为大的梯形，即 ∑?=?S s ， （注意：前面的s 为小写，后面的S 为大写），并且0v v v -=?∑，当末速度 0=v 时，有∑=?0v v ，或初 速度00=v 时，有 ∑=?v v ，这个求和的方法体现了积分思想。 4. 无论物理规律用牛顿定律，还是动量定理或动能定理,都可以用微元法. 如果既可以用动量定理也可以用动能定理解。对于使用老教科书的地区，这两种解法用哪一种都行，但对于使用课程标准教科书的地区就不同了，因为课程标准教科书把动量的内容移到了选修3-5，如果不选修3-5，则不能用动量定理解，只能用动能定理解。 微元法解题，体现了微分和积分的思想，考查学生学习的潜能和独创能力。 电磁感应中的微元法 一些以“电磁感应”为题材的题目。可以用微元法解，因为在电磁感应中，如导体切割磁感线运动，产生感应电动势为BL v E =，感应电流为R B L v I = ，受安培力为v R L B B I L F 2 2==，因为是变力问题，所以可以用微元法. 1.只受安培力的情况 例1. 如图所示，宽度为L 的光滑金属导轨一端封闭，电阻不计，足够长，水平部分有竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中。质量为m 、电阻为r 的导体棒从高度为h 的斜轨上从静止开始滑下，由于在磁场中受安培力的作用，在水平导轨上滑行的距离为S 而停下。 （1） 求导体棒刚滑到水平面时的速度0v ； （2） 写出导体棒在水平导轨上滑行的速度v 与在水平导轨上滑行的距离x 的函数关 系，并画出x v -关系草图。 （3）求出导体棒在水平导轨上滑行的距离分别为S/4、S/2时的速度1v 、2v ； 高考物理微元法解决物理试题题20套(带答案) 一、微元法解决物理试题 1．如图所示，半径为R 的1/8光滑圆弧轨道左端有一质量为m 的小球，在大小恒为F 、方向始终与轨道相切的拉力作用下，小球在竖直平面内由静止开始运动，轨道左端切线水平，当小球运动到轨道的末端时，此时小球的速率为v ，已知重力加速度为g ，则( ) A ．此过程拉力做功为2 FR B ．此过程拉力做功为 4 FR π C ．小球运动到轨道的末端时，拉力的功率为1 2Fv D ．小球运动到轨道的末端时，拉力的功率为2Fv 【答案】B 【解析】 【详解】 AB 、将该段曲线分成无数段小段，每一段可以看成恒力，可知此过程中拉力做功为 11 44 W F R FR ππ=?=，故选项B 正确，A 错误； CD 、因为F 的方向沿切线方向，与速度方向平行，则拉力的功率P Fv =，故选项C 、D 错误。 2．一条长为L 、质量为m 的均匀链条放在光滑水平桌面上，其中有三分之一悬在桌边，如图所示，在链条的另一端用水平力缓慢地拉动链条，当把链条全部拉到桌面上时，需要做多少功（ ） A ． 1 6 mgL B ． 19 mgL C ． 1 18 mgL D ． 1 36 mgL 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 悬在桌边的13 l 长的链条重心在其中点处，离桌面的高度： 111236 h l l =?= 它的质量是1 3 m m '= 当把它拉到桌面时，增加的重力势能就是外力需要做的功，故有 111 3618 P W E mg l mgl =?=?= A ． 1 6mgL ，与结论不相符，选项A 错误； B ．1 9mgL ，与结论不相符，选项B 错误； C ．1 18 mgL ，与结论相符，选项C 正确； D ． 1 36mgL ，与结论不相符，选项D 错误； 故选C ． 【点睛】 如果应用机械能守恒定律解决本题，首先应规定零势能面，确定初末位置，列公式时要注意系统中心的变化，可以把整体分成两段来分析． 3．如图所示，有一连通器，左右两管的横截面积均为S ，内盛密度为ρ的液体，开始时两管内的液面高度差为h ．打开底部中央的阀门K ，液体开始流动，最终两液面相平．在这一过程中，液体的重力加速度为g 液体的重力势能（ ） A ．减少 21 4 gSh ρ B ．增加了21 4gSh ρ C ．减少了 21 2 gSh ρ 高中物理微元法解决物理试题专项训练及答案及解析 一、微元法解决物理试题 1．如图所示，长为l 均匀铁链对称挂在一轻质小滑轮上，由于某一微小扰动使铁链向一侧滑动，则铁链完全离开滑轮时速度大小为（ ） A 2gl B gl C 2 gl D 1 2 gl 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 铁链从开始到刚脱离滑轮的过程中，链条重心下降的高度为 244l l l H = -= 链条下落过程，由机械能守恒定律，得： 2142 l mg mv ? = 解得： 2 gl v = 2gl A 项与题意不相符； gl B 项与题意不相符； 2 gl 与分析相符，故C 项与题意相符； D. 1 2 gl D 项与题意不相符． 2．对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质．正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为 m ，单位体积内粒子数量n 为恒量，为简化问题，我们假定粒子大小可以忽略；其速率均 为v ，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂 直，且速率不变．利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f 与m n 、和v 的 关系正确的是（ ） A ． 21 6 nsmv B ．2 13 nmv C ． 21 6 nmv D ．2 13 nmv t ? 【答案】B 【解析】 【详解】 一个粒子每与器壁碰撞一次给器壁的冲量2I mv ?=，如图所示， 以器壁上面积为S 的部分为底、v t ?为高构成柱体，由题设可知，其内有1 6 的粒子在t ?时间内与器壁上面积为S 的部分发生碰撞，碰撞粒子总数1 6 N n Sv t = ??，t ?时间内粒子给器壁的冲量21· 3I N I nSmv t =?=?，由I F t =?可得213I F nSmv t ==?，21 3 F f nmv S ==，故选B ． 3．“水上飞人表演”是近几年来观赏性较高的水上表演项目之一，其原理是利用脚上喷水装置产生的反冲动力，使表演者在水面之上腾空而起。同时能在空中完成各种特技动作，如图甲所示。为简化问题。将表演者和装备与竖直软水管看成分离的两部分。如图乙所示。已知表演者及空中装备的总质量为M ，竖直软水管的横截面积为S ，水的密度为ρ，重力加速度为g 。若水流竖直向上喷出，与表演者按触后能以原速率反向弹回，要保持表演者在空中静止，软水管的出水速度至少为（ ）高考物理微元法解决物理试题及其解题技巧及练习题
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