二元一次方程组乘除消元法
二元一次方程组乘除消元法
一、定义
乘除消元法，又称为除乘消元法，是一种解决方程组的算法，它通过使用除法和乘法来消除方程组中的未知量，从而得到最终的解。
二、基本步骤
1.选择一个方程组中的变量，对其中的每行进行除法，使其系数变成1；
2.选择另一个方程组中的变量，对其中的每行进行乘法，使其系数变成1；
3.将其中的乘积方程消去；
4.如果变量只有一个，则可以解决该方程，否则重复以上步骤，直到所有变量都只有一个。
- 1 -
二元一次方程组解法：消元法 代入消元法 (1)基本思路：未知数又多变少。 (2)消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 (3)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 (4)代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数(例如y)用含另一个未知数(例如x)的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变” 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用{联立起来即“联” 加减消元法 1)两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，
简称加减法。 (2)用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即"乘"。 2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即"加减"。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即"解"。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即"回代"。 5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即"联"。
消元法解二元一次方程组 消元法解二元一次方程组 一、概念步骤与： 1.由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 2.用代入消元法解二元一次方程组的步骤： （1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来. （2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数. （3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值. （4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解. 注意：⑴运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值. ⑵当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便. 3.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减
法。 用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”. 4.用加减法解二元一次方程组的一般步骤: 第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,?可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数初中历史;如果未知数的系数相等,?可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数. 第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元. 第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,?合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,?常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑. 注意：⑴当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便. 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而
消元法解二元一次方程组的概念、步骤与方法 湖南李琳高明生 一、概念步骤与方法： 1.由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 2.用代入消元法解二元一次方程组的步骤： （1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来. （2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数. （3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值. （4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解. 注意：⑴运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值. ⑵当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便. 3.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”. 4.用加减法解二元一次方程组的一般步骤: 第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,?可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,?可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数. 第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元. 第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,?合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,?常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑. 注意：⑴当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便. ⑵如果所给（列）方程组较复杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪种方法消元好. 5.列方程组解简单的实际问题．解实际问题的关键在于理解题意,找出数量之间的相等关系,这里的相等关系应是两个或三个,正确的列出一个(或几个)方程,再组成方程组． 6.列二元一次方程组解应用题的一般步骤： ⑴设出题中的两个未知数； ⑵找出题中的两个等量关系； ⑶根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，并组成方程组； ⑷解这个方程组，求出未知数的值. ⑸检验所得结果的正确性及合理性并写出答案. 注意：对于可解的应用题，一般来说，有几个未知数，就应找出几个等量关系，从而列
“消元──二元一次方程组的解法”（第1课时）教学设计 一、内容和内容解析 内容解析 本课是在认识二元一次方程组的基本概念之后，进一步研究其解法．本课教学的核心是“消元”，在围绕“消元”展开的解法教学中，要关注化归思想的渗透以及方程解法的程序化问题． 1．化归的基本思想是化未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化困难为容易．化归思想广泛的适用于数学问题的解决过程，就初中学段而言，这一思想在解方程的过程中体现得尤为明显．在初中学段，学生依次认识一元一次方程、二元（或多元）一次方程组、分式方程、一元二次方程，这是一个由简单到复杂的过程，也是一个应用化归思想逐步解决更复杂问题的过程．其中通过对一元一次方程解法的学习，学生认识到解一元一次方程的核心思想就是将其向着“x=a”的形式去转化，转化的手段有“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等．后续对于二元一次方程组、分式方程和一元二次方程的学习，又使学生认识到解方程的关键是将其通过“消元、整式化、降次”等手段向着一元一次方程去转化，这是解所有方程的通性通法．就本课而言，二元方程组的解法教学承载着多元一次方程组的解法渗透，具有代表性，通过本课的学习，学生对化归思想的领悟及对“消元”方法的掌握程度决定着这种渗透的效果． 化归是重要的数学思想，思想的形成不能通过教师的灌输和学生的模仿来实现，而需要学生在适当的数学情境中去体会，并自我感悟．学生在一元一次方程的解法中初次体验化归思想，意识还比较模糊，而本课的学习是学生对这一思想的再次体验，通过情境的创设、过程的引领及适当的小结归纳，应力图使学生对化归思想具有更清晰的认识，并在之后的学习中初步具备应用化归思想解决问题的意识． 2．解方程属于中学数学的基本技能，学生能否快速准确的求出方程的解对后续学习的诸多问题都有很关键的影响．解方程是“自动化的程序性知识”，自动化的程序性知识有以下特征：第一，运作速度快，启用时人几乎毫无意识；第二，有惊人的准确性，几乎总能产生正确的预期行为；第三，人对这类知识一般不能施加有意的影响；第四，人们一般不能对这类知识进行描述． 若使学生的解方程达到“自动化”的程度，首先要关注方程解法的程序化，即明确解题程序中的每一个步骤以及在各个步骤中的具体任务，使学生有法可循．其次要安排学生依照已经明确的解题程序进行一定量的练习，在练习中进一步熟悉和掌握解题程序，从而逐步达到自动化的解题水平． 强调解法的程序化，有利于提升学习的有效性、积极性，但同时也应关注两个问题：第一，程序化的解题不能是盲目的，在强化解题步骤的同时，要重视让学生理解每一步骤背后的理论依据，使学生“知其然亦知其所以然”，从而提高学生应用程序化解题的自觉性；第二，程序化解题不应成为一种机械的操作，应提倡在相应的思想方法指导下简约而灵活的解决问题，所以对解题程序的制定、描述不应过于具体． 综合以上分析，确定本课的教学重点是： 化归思想的渗透，消元解二元一次方程组的解题程序． 二、目标和目标解析 教学目标 （1）会用代入消元法解二元一次方程组，初步体会解方程组过程中的程序化思想．（2）经历化归过程，体会化归思想，完善方程求解的认知体系． 目标解析
《消元-—解二元一次方程组》教案1 第一课时 ★新课标要求 （一）知识与技能 1．知道代入法的概念． 2．会用代入消元法解二元一次方程组． (二）过程与方法 1．通过探索,了解解二元一次方程的“消元"思想，初步体会数学的化归思想． 2．培养探索、自主、合作的意识，提高解题能力． （三）情感、态度与价值观 1．在消元的过程中体会化未知为已知、化复杂为简单的化归思想，从而享受数学的化归美,提高学习数学的兴趣． 2．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神． ★教学重点 用代入法解二元一次方程组,基本方法是消元化二元为一元． ★教学难点 用代入法解二元一次方程组的基本思想是化归——化陌生为熟悉． ★教学方法 1．关于检验方程组的解的问题．教学时要强调代入“原方程组”和“每一个”这两点．2．教学时，应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元"．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法，这样，学生就能有较强的目的性． 3．教师讲解例题时要注意由简到繁，由易到难,逐步加深．随着例题由简到繁,由易到难，要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易．这样不仅可以求解迅速,而且可以减少错误．教师启发、引导，学生观察、试验、比较、思考，讨论、交流学习成果． ★教学过程 一、引入新课 教师活动：请同学们回忆上节课我们讨论的篮球联赛的问题．大家可以得到两种方程﹙组﹚．设此篮球队胜场，负场． 方法一：； 方法二： 方法一得到的方程是我们学过的一元一次方程．大家很容易解得．所以该篮球队胜18场，负场． 二、进行新课 1．代入消元法的概念 方法二得到的是二元一次方程组,怎样求解二元一次方程组呢？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么联系？ 学生活动：思考、讨论、发现二元一次方程组中第1个方程说明，将第2个方程的换为，这个方程就化为一元一次方程． 教师活动：介绍消元思想，师生共同归纳代入消元法的概念． 归纳：
消元法解二元一次方程组
消元法解二元一次方程组 消元法解二元一次方程组 一、概念步骤与： 1.由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 2.用代入消元法解二元一次方程组的步骤： （1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来. （2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数. （3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值. （4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解. 注意：⑴运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值. ⑵当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便. 3.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减
法。 用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”. 4.用加减法解二元一次方程组的一般步骤: 第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的 系数互为相反数,•可以把这两个方程的两边分别相加,消 去这个未知数初中历史;如果未知数的系数相等,•可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数. 第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍, 该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元. 第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母, 去括号,•合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,•常数项在方程的右边的形式,再作 如上加减消元的考虑. 注意：⑴当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便. ⑵如果所给（列）方程组较复杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪种方法消元好.
《消元——解二元一次方程组》教案1 第一课时 ★新课标要求 (一）知识与技能 1．知道代入法的概念． 2．会用代入消元法解二元一次方程组． （二）过程与方法 1．通过探索,了解解二元一次方程的“消元”思想，初步体会数学的化归思想． 2．培养探索、自主、合作的意识，提高解题能力． (三）情感、态度与价值观 1．在消元的过程中体会化未知为已知、化复杂为简单的化归思想，从而享受数学的化归美，提高学习数学的兴趣． 2．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神． ★教学重点 用代入法解二元一次方程组，基本方法是消元化二元为一元． ★教学难点 用代入法解二元一次方程组的基本思想是化归——化陌生为熟悉． ★教学方法 1．关于检验方程组的解的问题．教学时要强调代入“原方程组”和“每一个”这两点． 2．教学时,应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元”．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法，这样，学生就能有较强的目的性． 3．教师讲解例题时要注意由简到繁,由易到难，逐步加深．随着例题由简到繁，由易到难，要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易．这样不仅可以求解迅速，而且可以减少错误．教师启发、引导,学生观察、试验、比较、思考，讨论、交流学习成果． ★教学过程 一、引入新课 教师活动：请同学们回忆上节课我们讨论的篮球联赛的问题．大家可以得到两种方程﹙组﹚．设此篮球队胜x 场，负y 场． 方法一:2(22)40x x +-=； 方法二：22 240x y x y +=⎧⎨+=⎩ 方法一得到的方程是我们学过的一元一次方程．大家很容易解得18x =．所以该篮球队胜18场，负 22184-=场． 二、进行新课 1．代入消元法的概念 方法二得到的是二元一次方程组,怎样求解二元一次方程组呢？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么联系？ 学生活动：思考、讨论、发现二元一次方程组中第1个方程20x y +=说明20y x =-，将第2个方程 238x y +=的y 换为20x -，这个方程就化为一元一次方程2(20)38x x +-=． 教师活动：介绍消元思想，师生共同归纳代入消元法的概念． 归纳：
二元一次方程组加减消元法 二元一次方程组是初中数学中常见的一种形式，通常表示为这样的 形式： ax + by = c dx + ey = f 其中a、b、c、d、e、f都是已知数，而x、y则是未知数。解这样的方 程组相当于找到满足所有方程的x、y值。其中一种方法是使用加减消 元法。 加减消元法的思路很简单，就是通过加减法将两个方程相加或相减， 从而消去一个未知数。然后将消去的未知数带入另外一个方程中求解。下面我们详细介绍如何使用加减消元法解二元一次方程组。 第一步，将两个方程按照相应的未知数排列，如下所示： ax + by = c dx + ey = f 第二步，通过加减法消去一个未知数。这里我们以消去y为例，相当 于将第一个方程乘以e，第二个方程乘以b，然后将它们相减。式子如下：
aex + bey = ce dbx + bey = bf (ae-db)x = ce-bf 这样，我们成功消去了y这个未知数。由于ae-db是已知数，所以可以 直接计算出x是多少： x = (ce-bf) / (ae-db) 第三步，将x带回到原来的任意一个方程中，求解y的值。为了方便，我们选择第一个方程。式子如下： ax + by = c a((ce-bf)/(ae-db)) + by = c ay = c - a((ce-bf)/(ae-db)) y = (c(ae-db) - a(ce-bf)) / (b(ae-db)) 最终，我们就求得了这个二元一次方程组的解。 当然，实际使用加减消元法解题时，可能会遇到某个未知数的系数相
同，或者两个方程中都没有一个未知数的系数相同的情况。此时，我们需要通过倍数变换将其中一个方程的某个未知数系数变成与另一个方程相同的系数，然后再进行加减消元法。 需要注意的是，加减消元法只适用于二元一次方程组。如果方程组中的未知数个数大于二，或者方程中出现了非一次项或非线性项，那么就无法使用加减消元法进行求解。 总之，加减消元法是解决二元一次方程组的一种有效方法。掌握了这种方法，就能轻松地解决各种与二元一次方程组有关的问题。
用加减法解二元一次方程组教学设计 1．教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：本小节的重点是使学生学会用加减法解二元一次方程组.这也是一种全新的知识，与在一元一次方程两边都加上、减去同一个数或同一个整式，或者都乘以、除以同一个非零数的情况是不一样的，但运用这项知识（这里也表现为一种方法），有时可以简捷地求出二元一次方程组的解，因此学生同样会表现出一种极大的兴趣.必须充分利用学生学会这种方法的积极性.加减（消元）法是解二元一次方程组的基本方法之一，因此要让学生学会，并能灵活运用.这种方法同样是解三元一次方程组和某些二元二次方程组的基本方法，在教学中必须引起足够重视. 难点：灵活运用加减法的技巧，以便将方程变形为比较简单和计算比较简便，这也要通过一定数量的练习来解决. 2．教法建议 （1）本节是通过一个引例，介绍了加减法解方程组的基本思想和解题过程.教学时，要引导学生观察这个方程组中未知数系数的特点.通过观察让学生说出，在两个方程中y的系数互为相反数或在两个方程中x的系数相等，让学生自己动脑想一想，怎么消元比较简便，然后引出加减消元法. （2）讲完加减法后，课本通过三个例题加以巩固，这三个例题是由浅入深的，讲解时也要先让学生观察每个方程组未知数系数的特点，然后让学生说出每个方程组的解法，例题1老师自己板书，剩下的两个例题让学生上黑板板书，然后老师点评. （3）讲解完本节后，教师应引导学生比较代入法与加减法这两种方法，这两种方法虽有不同，但实质都是消元，即通过消去一个未知数，把“二元”转化为“一元”.也就是说：
这时学生对解题方法比较熟悉，但还没有上升到理论的高度，这时教师应及时点拨、渗透化归转化的思想，并指出这是具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法. 教学设计示例 （第一课时） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤． 2．能运用加减法解二元一次方程组． （二）能力训练点 1．培养学生分析问题、解决问题的能力． 2．训练学生的运算技巧． （三）德育渗透点 消元，化未知为已知的转化思想． （四）美育渗透点 渗透化归的数学美． 二、学法引导 1．教学方法：谈话法、讨论法． 2．学生学法：观察各未知量前面系数的特征，只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值后即可利用加减法进行消元，同时在运算中注意归纳解题的技巧和解题的方法． 三、重点、难点、疑点及解决办法 （－）重点 使学生学会用加减法解二元一次方程组．