消元解二元一次方程组
消元法（Elimination Method）是解决数学中最基本的二元一次方程组常用的一种解法，也被称作“消去法”。它主要是通过乘以特定的系数，从而使变量相互抵消，两个未知数可以同时被解算出来。
消元法主要有两步：第一步是消去某一未知数并化简方程，第二步是求出所有未知数的值。
首先，我们需要将二元一次方程组的各个方程按照以下层次进行归类：
接下来我们就可以根据上述层次步骤，消去其中一个未知数，化简方程，最终求出另一个未知数。
比如，解下列二元一次方程组：
2x + 5y = 7
3x + 4y = 12
我们可以将方程（1）乘以3，将方程（2）乘以2，使变量相互抵消，方程变为：
6x + 15y = 21
6x + 8y = 24
此时，二者右侧的常数项相等，可将它们相减：
7y = -3
最终，y的值就可以求出来：
y = -3/7。
回到方程（1），当y的值已经确定时，我们就可以将y的值代入方程（1），并求出x的值。
最终，我们可以求出解集：
{x = 1/7, y = -3/7}
由此可见，消元法是解决二元一次方程组常用的非常有效的一种解法。消元法的应用，不仅仅可以解决数学中的二元一次方程组，另一方面，它也可以用于多元一次方程组的求解。通过把未知数和相关的参数列在一张表里，并列出详细步骤，消元法可以很容易地将系数式中的未知数求出来。
代入消元法解二元一次方程组的步骤代入消元法是解二元一次方程组的一种有效方法，下面将介绍具体的步骤： 1. 确定两个方程中要消去的未知量 通过观察两个方程，找到其中一个未知量的系数相同的两项，以此为目标要消去的未知量。例如，方程组 2x + 3y = 7 4x - y = 1 要消去的未知量可以是y，因为第一条方程的系数为3，而第二条方程中的系数为-1。 2. 将其中一个方程针对目标未知量进行变形 以要消去的未知量为目标，将其中一个方程进行变形，使其系数与另一个方程中的系数相同。例如，对于上述方程组，可将第一条方程变形为： 6x + 9y = 21 使其y的系数和第二条方程中的一致。
3. 将变形后的方程和另一个方程组成新的方程组 将变形后的方程和另一个方程组成新的方程组，例如： 4x - y = 1 6x + 9y = 21 4. 将新方程组中的一个方程中的目标未知量代入到另一个方程中 将新方程组中的一个方程中的要消去的未知量按照目标未知量的系数代入到另一个方程中。例如，将第一条方程中y的代入到第二条方程中，有： 6x + 9(4x-1) = 21 5. 解方程得到目标未知量的值 根据新的方程，可以解出目标未知量的值，例如： 6x + 36x - 9 = 21 42x = 30 x = 30/42 = 5/7 6. 将求得的未知量的值代入到原方程中求出另一个未知量
将求得的未知量的值代入到任意一个原方程中，求出另一个未知量的值，例如： 2x + 3y = 7 2×(5/7) + 3y = 7 3y = 49/7 - 10/7 y = 39/21 7. 检验解的正确性 将求得的两个未知量的值代入到原方程组中，检验解的正确性。如果两个方程都成立，那么该解就是正确的。 通过以上步骤，可以使用代入消元法解二元一次方程组。
消元法解二元一次方程组说课稿（精选11篇） 消元法解二元一次方程组说课稿篇1 一、说教材分析 1．教材的地位和作用 二元一次方程组是初中数学的重点内容之一，是一元一次方程知识的延续和提高，又是学习其他数学知识的基础。本节课是在学生学习了一元一次方程的基础上，继续学习另一种方程及方程组，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。通过类比，让学生从中充分体会二元一次方程组，理解并掌握解二元一次方程组的基本概念，为以后函数等知识的学习打下基础。 2．教学目标 知识目标：通过实例了解二元一次方程和它的解，二元一次方程组和它的解。 能力目标：会判断一组未知数的值是否为二元一次方程及方程组的解。会在实际问题中列二元一次方程组。 情感目标：使学生通过交流、合作、讨论获取成功体验，激发学生学习知识的兴趣，增强学生的自信心。 3．重点、难点 重点：二元一次方程和二元一次方程的解，二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念。 难点：在实际生活中二元一次方程组的应用。 二、教法 现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、言道者，教学的一切活动必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给
学生留出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。 另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好发激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。 三、学法 “问题”是数学教学的心脏，活动是数学教学中的灵魂。所以我在学生思维最近发展区内设置并提出一系列问题，通过数学活动，引导学生：自主性学习，合作式学习，探究式学习等，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学思维和参与度，力求学生在“双基”数学能力和理性精神方面得到一定发展。 四、教学过程 新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节： （1）复习旧知，温故知新 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 设计意图：构建注意主张教学应从学生已有的知识体系出发，方程是本节课深入研究二元一次方程组的认知基础，这样设计有利于引导学生顺利地进入学习情境。 （2）创设情境，提出问题 这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？ 由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件： 胜的场数＋负的场数＝总场数， 胜场积分＋负场积分＝总积分。 这两个条件可以用方程 x＋y＝22
一、二元一次方程组解法总结 1、二元一次方程组解法的根本思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想. 即二元一次方程组形如：a*=b〔a，b为数〕的方程. 2、代入消元法 由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤 〔1〕从方程组中选取一个系数比拟简单的方程，把其中的*一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来. 〔2〕把〔1〕中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数. 〔3〕解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值. 〔4〕把所求得的一个未知数的值代入〔1〕中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解. 4、加减消元法
两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 〔1〕把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等； 〔2〕把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 〔3〕解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； 〔4〕把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比拟简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； 〔5〕把求出的未知数的值写成的形式. 6、二元一次方程组解的情况 假设二元一次方程组〔a 1，a 2 ，b 1 ，b 2 ，c 1 ，c 2 均为不等于0的数〕， 则 〔1〕当时，这个方程组只有唯一解；〔2〕当时，这个方程组无解；
消元法解二元一次方程组的概念、步骤与方法 湖南李琳高明生 一、概念步骤与方法： 1.由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 2.用代入消元法解二元一次方程组的步骤： （1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来. （2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数. （3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值. （4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解. 注意：⑴运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值. ⑵当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便. 3.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”. 4.用加减法解二元一次方程组的一般步骤: 第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,?可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,?可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数. 第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元. 第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,?合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,?常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑. 注意：⑴当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便. ⑵如果所给（列）方程组较复杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪种方法消元好. 5.列方程组解简单的实际问题．解实际问题的关键在于理解题意,找出数量之间的相等关系,这里的相等关系应是两个或三个,正确的列出一个(或几个)方程,再组成方程组． 6.列二元一次方程组解应用题的一般步骤： ⑴设出题中的两个未知数； ⑵找出题中的两个等量关系； ⑶根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，并组成方程组； ⑷解这个方程组，求出未知数的值. ⑸检验所得结果的正确性及合理性并写出答案. 注意：对于可解的应用题，一般来说，有几个未知数，就应找出几个等量关系，从而列
(完整版)高斯消元法解二元一次方程组专 题习题 高斯消元法解二元一次方程组专题题 题目一 已知方程组： 2x + 3y = 8 4x - y = -1 使用高斯消元法求解该方程组。 解答一 首先，我们将方程组转化为增广矩阵形式： [2 3 | 8] [4 -1 | -1] 根据高斯消元法的步骤，我们先通过第一行的倍乘使第一列的其他元素变为0： [1 3/2 | 4] [4 -1 | -1] 然后，通过第二行的倍乘使第二列的第一个元素变为0：
[1 3/2 | 4] [0 -5 | -17] 现在，我们可以得到第二个未知数`y`的值：`y = -17 / -5 = 17/5`。将其代入第一行方程，可以求得第一个未知数`x`的值： 2x + 3 * (17/5) = 8 2x + 51/5 = 8 2x = 8 - 51/5 2x = 40/5 - 51/5 2x = -11/5 x = -11/10 因此，方程组的解为：`x = -11/10`，`y = 17/5`。 题目二 已知方程组： 3x + y = 11 2x - y = 1 使用高斯消元法求解该方程组。 解答二 同样地，我们将方程组转化为增广矩阵形式：
[3 1 | 11] [2 -1 | 1] 通过高斯消元法的步骤进行计算： [1 1/3 | 11/3] [0 -5/3 | -2/3] 解得第二个未知数`y`的值：`y = -2/3 / -5/3 = 2/5`。将其代入第一行方程，可以求得第一个未知数`x`的值： 3x + (2/5) = 11 3x + 2/5 = 11 3x = 11 - 2/5 3x = 55/5 - 2/5 3x = 53/5 x = 53/15 因此，方程组的解为：`x = 53/15`，`y = 2/5`。
二元一次方程组的概念及解法 二元一次方程组是含有两个未知数，且未知数的指数都是 1的方程。当把两个二元一次方程合在一起时，就组成了一个 二元一次方程组。方程组的解是使得两个方程的未知数相等的值。公共解是指两个方程的解都相同的值。例如，在方程组中，是一个二元一次方程组的例子。另外，已知二元一次方程2x －y＝1，当x＝2时，y＝3；当y＝1时，x＝3. 消元解法是解二元一次方程组的一种方法。代入消元法是将一个方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程中进行消元。加减消元法是将两个方程相加或相减，消去一个未知数，然后解出另一个未知数。例如，方程 2x－y－5＝0可以表示为x＝(y+5)/2，y＝2x-5.另外，方程组 可以用消元解法来解，例如，方程组(2x+3y=40.x-y=-5)可以用 加减消元法解出x=11，y=6. 举例来说，如果有一个两位数，其个位和十位数字之和为11，将其个位数字和十位数字对调后得到的数比原数大63， 那么可以用代数式表示原数为(10y+x)，对调后的数为(10x+y)，
则可以列出方程组(10y+x+63=10x+y。x+y=11)。解方程组可 以得到x=8，y=3，因此原数为83. 鸡兔同笼”问题是另一个例子，可以用二元一次方程组表示。题目中给出了总共30个头和94只脚，因此可以列出方程组(2x+4y=30.2x+2y=94)，其中x表示鸡的数量，y表示兔的数量。解方程组可以得到x=12，y=9，因此鸡的数量为12，兔 的数量为9. 综上所述，二元一次方程组是含有两个未知数和未知数的指数都是1的方程组。解二元一次方程组可以使用消元解法，包括代入消元法和加减消元法。实际问题可以用二元一次方程组来表示，然后解方程组得出答案。 1.在方程y=-3x-2中，若x=2，则y=-8.若y=2，则x=-4. 2.若方程2x-y=3写成用含x的式子表示y的形式：y=2x-3；写成用含y的式子表示x的形式：x=(y+3)/2. 3.已知43=2x-3y+1，4x-15y-17=0，6x-25y-23=0，则x=3，y=-2. 4.二元一次方程3x-my=4和mx+ny=3有一个公共解，则 m=-4，n=3.
二元一次方程组解法详解 一、二元一次方程组解法总结 1、二元一次方程组解法的基本思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化 为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未 知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想. 即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数）的方程. 2、代入消元法 由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代 入法. 3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤 （1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一 个未知数的代数式表示出来. （2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数. （3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值. （4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解. 4、加减消元法 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法， 简称加减法. 5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 （1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的
两个方程中一个 未知数的系数互为相反数或相等； （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方 程； （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出 另一个未知数的值； （5）把求出的未知数的值写成的形式. 6、二元一次方程组解的情况 若二元一次方程组（a1，a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则 （1）当时，这个方程组只有唯一解； （2）当时，这个方程组无解； （3）当时，这个方程组有无穷多个解. 二、重难点知识归纳 二元一次方程组的解的理解，二元一次方程组的解法，运用有关概念解决相关数学问 题． 三、典型例题讲解 例1、（1）下列方程中是二元一次方程的有（） ①②③ ④mn＋m=7 ⑤x＋y=6 A．1个B．2个C．3个D．4个 （2）在方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k的值为（） A．2 B．－2 C．±2 D．以上都不对 分析： 一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三
核心考点：加减消元法解二元一次方程组 考点1 直接加减消元 1．用加减消元法解方程组{ 2x −3y =5，①2x −8y =3②时，①﹣②得（ ） A ．5y ＝2 B ．﹣11y ＝8 C ．﹣11y ＝2 D ．5y ＝8 思路引领：根据等式的性质，①﹣②，得2x ﹣3y ﹣（2x ﹣8y ）＝5﹣3；根据整式的运算法则，化简即可得到答案． 解：由题意可得①﹣②，得， 2x ﹣3y ﹣（2x ﹣8y ）＝5﹣3， 化简得，5y ＝2． 故选：A ． 总结提升：本题考查了二元一次方程组的解法，掌握等式的性质是解题的关键． 2．（2022春•内江期末）用加减消元法解方程组{2x −3y =5①2x −8y =3② 时，则①﹣②得（ ） A ．5y ＝2 B ．﹣11y ＝8 C ．﹣11y ＝2 D ．5y ＝8 思路引领：方程组两方程相减得到结果，即可作出判断． 解：用加减消元法解方程组{2x −3y =5①2x −8y =3② 时，则①﹣②得5y ＝2． 故选：A ． 总结提升：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 3．用加减消元法解二元一次方程组{ 3x +2y =7①4x −y =13②时，下列方法中能消元的是（ ） A ．①+②×2 B ．①﹣②×2 C ．①×2+② D ．①×2﹣② 思路引领：②×2后字母y 的系数为﹣2，①的字母y 的系数为2，两者相加即可消去字母y ． 解：①+②×2得：11x ＝33， 故选：A ． 总结提升：本题考查了二元一次方程组，掌握加减消元法是解决问题的关键． 4．方程组{2x −3y =12x +5y =−2中，x 的系数的特点是 ，方程组{5x +4y =87x −4y =6 中，y 的系数的特点是 ，这两个方程组用 消元法解较简便 思路引领：解二元一次方程组最常用的方法是加减消元法和代入消元法．当方程组中两方程的未知数互
.用代入消元法解二元一次方程组的步骤： （1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来. （2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数. （3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值. （4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解. 注意：⑴运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值 代入消元法导学案(第1课时) 托克逊县第一中任晓兰 一、学习目标： 1、会用代入消元法解二元一次方程组。（重点） 2、体会解二元一次方程组的基本思想——消元。（难点） 3、通过研究解决问题的方法，培养合作交流意识与探索精神。 学法指导：结合教材和学案，先独立思考，疑难问题与同伴进行交流。 二、预习指导：内容：课本96页——97页例1。 （一）尝试变形 1、把下列方程写成用含x的式子表示y的形式。 （1）2x－y=3 （2）3x＋y－1=0 2、把上面方程写成用含y的式子表示x的形式。
（二）新知探究： 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 在上述问题中， 如果我们设这个队胜x场，列出一元一次方程得＿＿＿＿＿＿ 如果我们设出两个未知数，设胜数x场，负y场，列出二元一次方程组得＿＿＿＿＿＿ 那么怎样解二元一次方程组x＋y＝22 呢？ 2x＋y＝40 思考探究： 上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？能否把二元一次方 程组转化为一元一次方程来解？如何转化？ （三）学习新知 学习97页例1。 温馨提示：认真学习例题完成思考中提出的3个问题 思考：
二元一次方程组的常见解法（一） 二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法． 一、代入法即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求解．一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算． 2x+5y=－21① 例1、解方程组 x+3y=8 ② 解由②得：x=8－3y ③ 把③代入①得 2（8－3y）+5y=－21 解得：y=37 把y=37 代入③得：x=8－3×37=－103 x=－103 所以这个方程组的解是 y=37 二、整体代入法当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时，用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程． 3x－4y=9① 例2、解方程组 9x－10y=3② 解由①得3x=4y+9 ③ 把③代入②得 3(4y+9)－10y=3 解得 y=－12
把y=－12代入③得 3x=4×(－12)+9 解得 x=－13 x=－13 所以方程组的解是 y=－12 三、加减消元法即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两个方程相减．如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减．消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法． 2x+3y=14 ① 例3、解方程组 4x－5y=6② 解由①×2得 4x+6y=28 ③ ③－②得：11y=22 解得 y=2 把y=2代入②得 4x－5×2=6 解得 x=4 x=4 所以方程组的解为 y=2 四、整体运用加减法即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去． 3(x+2)+(y－1)=4 ① 例4 解方程组 3(x+2)+(1－y)=2 ② 解①－②得 (y－1)－ (1－y)＝4－2 整理得 2y=4 解得 y=2 把 y=2 代入①得3(x+2)+(2－1)=4
消元法解二元一次方程组
消元法解二元一次方程组 消元法解二元一次方程组 一、概念步骤与： 1.由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 2.用代入消元法解二元一次方程组的步骤： （1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来. （2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数. （3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值. （4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解. 注意：⑴运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值. ⑵当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便. 3.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减
法。 用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”. 4.用加减法解二元一次方程组的一般步骤: 第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的 系数互为相反数,•可以把这两个方程的两边分别相加,消 去这个未知数初中历史;如果未知数的系数相等,•可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数. 第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍, 该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元. 第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母, 去括号,•合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,•常数项在方程的右边的形式,再作 如上加减消元的考虑. 注意：⑴当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便. ⑵如果所给（列）方程组较复杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪种方法消元好.
消元法解二元一次方程组 在数学中，解方程组是一个常见的问题。其中，二元一次方程组是 一个包含两个未知数和两个方程的方程组。为了解决这样的方程组， 数学家们发展出了各种求解方法。其中之一就是消元法。 消元法是一种通过逐步消去未知数，从而求解方程组的方法。本文 将详细介绍如何使用消元法解决二元一次方程组的问题。 首先，考虑一个二元一次方程组： ax + by = c (方程1) dx + ey = f (方程2) 我们的目标是找到一组数值（x，y），使得方程1和方程2同时成立。为了简化问题，我们假设ad-bc不等于0，这样方程组就有唯一解。如果ad-bc等于0，那么方程组要么没有解，要么有无穷多解。 接下来，我们使用消元法来解决这个问题。按照以下步骤进行操作：步骤1：通过乘以适当的倍数，使得方程1和方程2的系数a和d 相等。 adx + bdy = cd (方程1 乘以d) adx + ady = af (方程2 乘以a) 步骤2：将方程2的结果等式减去方程1的结果等式。 adx + bdy - (adx + ady) = cd - af
化简上述方程，我们得到： adx + bdy - adx - ady = cd - af bdy - ady = cd - af 进一步化简，我们得到： (bd - ad)y = cd - af (方程3) 步骤3：通过乘以适当的倍数，使得方程1和方程2的系数b和e 相等。 adx + bey = cf (方程1 乘以e) adx + bex = bf (方程2 乘以b) 步骤4：将方程2的结果等式减去方程1的结果等式。 adx + bey - (adx + bex) = cf - bf 化简上述方程，我们得到： adx + bey - adx - bex = cf - bf bey - bex = cf - bf 进一步化简，我们得到： (be - ab)x = cf - bf (方程4) 现在，我们有了两个新的方程（方程3和方程4）。我们可以通过解这两个方程来找到未知数x和y的值。
消元二元一次方程组的解 二元一次方程组是一类非常常见的数学问题，其简单形式为两个未知数和两个方程。这种方程组的求解过程往往涉及到若干基本的数学方法和技巧，人们在应用中对这些方法的熟练掌握对于其实际意义至关重要。 一、消元法是解决二元一次方程组的首选方法之一 二元一次方程组中有2个未知数，因此就必须有两个方程。二元一次方程组的求解最基本的办法是使用消元法。消元法的基本思路是通过适当的方式把一个未知数消去，然后只考虑一个未知数的方程，从而求出这个未知数，再将求出的值代入另一个方程中，解出第二个未知数。 二、变量代换法也可以用于消元二元一次方程组的解 变量代换法是消元法中的一个重要技巧，可以用于更复杂的方程组中。例如以下这个方程组： 4*x + 3*y = 18 -2*x + 5*y = 5 通过变量代换法，我们可以将一个方程中的一个未知量转化为另一个未知量的倍数的形式，例如让 y = 2x，则第一个方程变为： 4*x + 3*(2x) = 18 10x = 18 − 6
x = 3/5 将x = 3/5带入第二个方程则可求出y = 17/5。 三、行列式法也是求解二元一次方程组的重要方法 行列式法是解二元一次方程组的另一种方法。在行列式法中，利用矩阵的迹和行列式的运算可以求出方程组的解。实现方法如下： 1、将方程组变成线性方程组的形式，用矩阵表示。 2、计算行列式。 3、分别用行列式的每一列代替系数向量，并加上常数向量，计算行列式。 4、用行列式积分并对每个子值求和，得到未知数的值。 四、解二元一次方程组的几个注意点 在解二元一次方程组时，需要注意以下几点： 1、在使用消元法时，如果两个方程的系数具有相同的分母，则可以通过两个方程的乘法消去分母。 2、在使用行列式法时，行列式必须为非零数。如果行列式的值为零，则表示方程组无解。
二元一次方程组解法：消元法
二元一次方程组解法：消元法 代入消元法 (1)根本思路：未知数又多变少。 (2)消元法的根本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 (3)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 (4)代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比拟简单的方程，将这个方程中的一个未知数(例如y)用含另一个未知数(例如x)的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变〞 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代〞。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解〞。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代〞 5、把x、y的值用{联立起来即“联〞 加减消元法 1)两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，
简称加减法。 (2)用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即"乘"。 2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即"加减"。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即"解"。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即"回代"。 5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即"联"。
第八章二元一次方程组 知识概念图 8.2消元——解二元一次方程组 教材精华剖析 知识点1 1、代入消元法解二元一次方程组 拓展 1、消元思想：二元一次方程组有两个未知数，如果消去一个未知数，那么就把二元一次方 程组转化为我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个未知数，再求另外一个未知数，这种将未知数的个数由多转化为少、逐一解决的思想，叫做消元思想。 2、代入消元法：把二元一次方程组一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。 3、代入消元法法解二元一次方程组的步骤： 步骤名称具体做法目的注意 1 变形用含一个未知数的式子表示另 外一个未知数得到的方程 变形为y=ax+b（或x=ay+b） 的形式 选系数简单的方 程变形 2 代入把y=ax+b（或x=ay+b）代入另 外一个没有变形的方程中去消去一个未知数，将二元一 次方程组转化为一元一次 方程 代入时要“只代不 算” 3 求解解代入后的一元一次方程求出一个未知数去括号时不漏乘， 移项时要变号 4 回代把求得的未知数的值代入步骤 1中变形后的方程中求出另外一个未知数代入变形后的方 程 5 写出解把两个未知数的值用大括号联 立起来表示为像“ 4 1 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ ”的形式 用“｛”将x、y的 值联立起来
练习： 1、用代入法解方程组 592 24 x y x y -= ⎧ ⎨ -= ⎩ 最好是先把方程__ ____•变形为___ _____， •再代入方程_______求得_______的值，最后再求______的值，最后写出方程组的解． 2、用代入法解方程组（1） 1 235 x y x y -= ⎧ ⎨ += ⎩ ．（2） 4 1 32 x y x y x += ⎧ ⎪ + ⎨ -= ⎪⎩ 知识点2 1、加减消元法解二元一次方程组 当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或者相同时，把这两个方程的两边分别相加或者是相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法。 2、加减消元法解二元一次方程组的步骤： 步骤名称具体做法目的注意 1 变形根据绝对值较小的未知数 （同一个未知数）的系数的 最小公倍数，用适当的数去 乘方程的两边 使两个方程某一个 未知数的系数相等 或者变成相反数 A、选准消元对象：当某个未 知数的系数相等或互为相反 数或有倍数关系时，选择消去 该元较简单。B、方程两边同 乘某个数不要漏乘 2 加减当未知数的系数相等时，将 两个方程相减；当未知数的 系数互为相反数时，将两个 方程相加消去一个未知数， 将二元一次方程组 转化为一元一次方 程 尽量避免出现未知数的系数 为负的情况 3 求解解消元后的一元一次方程求出一个未知数 4 回代把求得的未知数的值代入方 程组中的某个较简单的方程 中求出另外一个未知 数 回代时选择系数较为简单的 方程 5 写出解把两个未知数的值用大括号 联立起来表示为像“ 4 1 x y = ⎧ ⎨ = ⎩ ” 的形式练习： 1、用加减消元法解方程组 3415 2410 x y x y += ⎧ ⎨ -= ⎩ 较简便的消元方法是:将两个方程_______，消去未 知数_______． 2、方程组 24 1 x y x y += ⎧ ⎨ += ⎩ 的解_________． 3、方程23 53 x y x -+ ==3的解是_________．