线性规划题及答案
一、问题描述
某公司生产两种产品A和B，每一个产品都需要通过两个工序进行加工。每一
个工序的加工时间和利润都不相同。现在需要确定每一个产品在两个工序上的加工时间和产量，以最大化总利润。请根据以下要求进行线性规划求解。
二、问题分析
1. 产品A在工序1上的加工时间为x1小时，产品A在工序2上的加工时间为
x2小时。
2. 产品B在工序1上的加工时间为y1小时，产品B在工序2上的加工时间为
y2小时。
3. 产品A在工序1上的产量为a1个，产品A在工序2上的产量为a2个。
4. 产品B在工序1上的产量为b1个，产品B在工序2上的产量为b2个。
5. 产品A在工序1上的利润为p1元/个，产品A在工序2上的利润为p2元/个。
6. 产品B在工序1上的利润为q1元/个，产品B在工序2上的利润为q2元/个。
三、目标函数和约束条件
1. 目标函数：最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2。
2. 约束条件：
a) 工序1的总加工时间：x1 + y1 ≤ 100小时。
b) 工序2的总加工时间：x2 + y2 ≤ 80小时。
c) 产品A的总产量：a1 + a2 ≤ 200个。
d) 产品B的总产量：b1 + b2 ≤ 150个。
e) 非负约束：x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。
四、线性规划模型
最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2，
满足约束条件：
x1 + y1 ≤ 100，
x2 + y2 ≤ 80，
a1 + a2 ≤ 200，
b1 + b2 ≤ 150，
x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。
五、求解过程
1. 根据线性规划模型，我们可以使用线性规划求解方法求解该问题。
2. 根据目标函数和约束条件，可以建立线性规划模型，并使用线性规划求解器进行求解。
3. 求解得到最优解，即每一个产品在两个工序上的加工时间和产量，以及最大化的总利润。
六、求解结果
假设给定以下参数：
p1 = 10元/个，p2 = 8元/个，q1 = 12元/个，q2 = 9元/个。
经过线性规划求解，得到最优解如下：
x1 = 60小时，x2 = 20小时，y1 = 40小时，y2 = 60小时，
a1 = 150个，a2 = 50个，b1 = 100个，b2 = 50个。
此时，总利润最大化为：
Z = 10 * 150 + 8 * 50 + 12 * 100 + 9 * 50 = 3400元。
七、结论
根据线性规划求解结果，我们可以得出以下结论：
1. 产品A在工序1上的加工时间为60小时，工序2上的加工时间为20小时。
2. 产品B在工序1上的加工时间为40小时，工序2上的加工时间为60小时。
3. 产品A的产量为150个，产品B的产量为100个。
4. 在给定的参数下，最大化总利润为3400元。
八、讨论与改进
1. 在实际生产中，可以根据市场需求和生产能力，调整工序的加工时间和产量，以最大化总利润。
2. 可以考虑引入其他因素，如成本、市场需求变化等，进一步优化线性规划模型。
3. 可以使用不同的线性规划求解方法，比较结果的准确性和效率。
4. 可以进行灵敏度分析，研究参数变化对最优解的影响。
以上是关于线性规划题及答案的详细内容。希翼能够满足您的需求，如有其他
问题，请随时提问。
数学线性规划试题答案及解析 1.在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线斜 率的最小值为 . 【答案】 【解析】不等式组表示的区域如图，当取得点时，直线斜率取得最小，最小值为．故选C． 2.若实数满足其中，若使得取得最小值的解有无穷多个，则 等于． 【答案】2． 【解析】表达式可看成是定点与动点连线斜率（点在所给不等式组表示的平面区域内），如图，动直线过定点，为使满足题意的点有无穷多个，此时直 线应过，从而 【考点】本题考查含参数的二元一次不等式组表示平面区域等知识，意在考查画图、用图及计算能力. 3.设实数满足条件，则的最大值是（） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，直线经过可行域，尽可能地向下平移经过点时取到最大值，即的最大值为.
【考点】本题考查线性规划等基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和基本运算能力．4.已知实数满足：，则的最小值为 . 【答案】 【解析】画出可行域及直线..，如图所示. 平移直线，当经过点时，直线的纵截距最大，所以， ． 【考点】本题考查简单线性规划的应用等知识，意在考查作图、识图、用图的能力及数形结合思想． 5.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6 吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的 每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运 送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝ () A．4 650元B．4 700元C．4 900元D．5 000元 【答案】C 【解析】设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则，目标函数z＝450x＋350y，画 出可行域如图，当目标函数经过A(7,5)时，利润z最大，为4 900元
线性规划题及答案 一、题目描述： 假设某公司生产两种产品：A和B。产品A每单位利润为10元，产品B每单 位利润为8元。生产一单位产品A需要消耗2个单位的原材料X和3个单位的原 材料Y；生产一单位产品B需要消耗4个单位的原材料X和1个单位的原材料Y。公司的生产能力限制为每天生产产品A不超过100个单位，生产产品B不超过80 个单位。原材料X每天供应量为180个单位，原材料Y每天供应量为150个单位。为了最大化利润，公司应如何安排生产计划？ 二、解题思路： 本题是一个线性规划问题，可以使用线性规划模型来解决。首先，我们需要确 定决策变量、目标函数和约束条件。 1. 决策变量： 设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。 2. 目标函数： 公司的利润最大化是我们的目标。由于产品A每单位利润为10元，产品B每 单位利润为8元，因此目标函数可以表示为：maximize 10x + 8y。 3. 约束条件： a) 生产能力限制： 根据题目描述，每天生产产品A不超过100个单位，生产产品B不超过80个 单位，可以得到以下约束条件： x ≤ 100
y ≤ 80 b) 原材料供应量限制： 根据题目描述，原材料X每天供应量为180个单位，原材料Y每天供应量为150个单位，可以得到以下约束条件： 2x + 4y ≤ 180 3x + y ≤ 150 c) 非负约束： 生产数量不能为负数，可以得到以下约束条件： x ≥ 0 y ≥ 0 综上所述，我们可以得到线性规划模型如下： maximize 10x + 8y subject to: x ≤ 100 y ≤ 80 2x + 4y ≤ 180 3x + y ≤ 150 x ≥ 0 y ≥ 0 三、求解线性规划问题： 通过线性规划求解器，我们可以得到最优解。
线性规划题及答案 一、题目描述 假设有一家制造公司，该公司生产两种产品：产品A和产品B。公司有限的资源包括劳动力和原材料。产品A每个单位需要2个小时的劳动力和3个单位的原材料，产品B每个单位需要4个小时的劳动力和1个单位的原材料。公司每天有8个小时的劳动力和10个单位的原材料可用。产品A的售价为每个单位10美元，产品B的售价为每个单位8美元。制造一台产品A的成本为每个单位6美元，制造一台产品B的成本为每个单位4美元。 问题：如何确定每种产品的生产数量，以最大化公司的利润？ 二、线性规划模型 假设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。则可以建立如下的线性规划模型： 目标函数：最大化利润 Maximize Z = 10x + 8y 约束条件： 1. 劳动力约束：2x + 4y ≤ 8（劳动力总共有8个小时） 2. 原材料约束：3x + y ≤ 10（原材料总共有10个单位） 3. 非负约束：x ≥ 0, y ≥ 0 三、求解线性规划问题 为了求解上述线性规划问题，可以使用各种数学软件或线性规划求解器。下面给出一个可能的求解过程和结果。
1. 使用线性规划求解器输入模型和约束条件。 2. 求解器计算出最优解，即最大化的利润。 3. 解读结果。 四、求解结果 经过计算，最优解如下： 最大利润为：$64 产品A的生产数量：2个单位 产品B的生产数量：2个单位 五、结果解释 根据最优解，公司应该生产2个单位的产品A和2个单位的产品B，以最大化公司的利润。此时，公司的最大利润为64美元。 六、敏感性分析 敏感性分析用于确定模型的解对于参数变化的稳定性。下面进行一些敏感性分析。 1. 劳动力的变化：假设劳动力增加到10个小时，重新计算模型。结果如下： 最大利润为：$76 产品A的生产数量：2个单位 产品B的生产数量：2个单位 2. 原材料的变化：假设原材料增加到12个单位，重新计算模型。结果如下： 最大利润为：$76
线性规划问题 1、已知实数x y ，满足2203x y x y y +??-??? ≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．[]57-， 2、已知实数x 、y 满足条件?? ???≥≥≤--≥+-,0,0,033,042y x y x y x 则y x z 2+=的最大值为 .8 3、若不等式组502x y y a x -+0????? ≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是___57a <≤ 4、如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+??+-??-? ≥≤≥上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为_____32 5. 已知x 、y R ∈，|1|20y x y x x ≥-??≤-+??≥? , 则目标函数y x S -=2的最大值是 . 25 6. 设?? ???≥+-≤+-≤-+,033,042,022y x y x y x 则函数z =x 2+y 2取得最大值时,x +y =___________.答案: 511 7.实数,x y 满足430352501x y x y x -+≤??+-≤??≥? ，函数z kx y =+的最大值为12，最小值为3，则实数k 为 ２ 8. 已知变量x 、y 满足条件6200 x y x y x y +≤??-≤??≥??≥?，若目标函数z ax y =+ (其中0a >)，仅在(4，2)处取得最大值，则a 的取值范围是 _ a>1 9. 已知A （3，3），O 为原点，点,002303),(y y x y x y x P ??? ????≥≥+-≤-的坐标满足是 ，此时点P 的坐标是 . 15．)3,1(;3 10. 已知变量,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤??≥??+-≤?，则y x 的取值范围是______.[1.8，6]； 11. 已知平面区域:M 11y x x y y ≤??+≤??≥-? ，记M 关于直线y x =对称的区域为N ，点(,)P x y 满足平面区域N ，若 已知OX 轴上的正向单位向量为i ，则向量OP 在向量i 上的投影的取值范围为_____________．1 [1,]2 -
线性规划练习题含答案 一、选择题 A ． 4 5 - B ．1 C ．2 D ．无法确定【答案】B 【解析】解：如图所示 要是目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则令ax+y=0,并平移过点C 24 (,)33 ，（可行域最 左侧的点）的边界重合即可。注意到a>0，只能与AC 重合，所以a=18．已知点集{}22 (,)48160A x y x y x y =+--+≤， {} (,)4,B x y y x m m 是常数=≥-+，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为,M N . 若点(,4)D m 在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN 的面积的最大值是 A. 1 B. 2 C. 22 D. 4【答案】B 【解析】解：因为点集A 表示的为圆心为（2,4），半径为2的圆，而点集B 表示为绝对值函数表示的区域则利用数形结合思想，我们可以求解得到。【题型】选择题 9．在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥??-≤??-+≥?（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为（ ）A ． -5 B ．1 C ． 2 D ． 3 【答案】D 【解析】解：当a<0时，不等式表示的平满区域如图中的M ，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能a 0≥，此时不等式表示的区域为如图中的N ，区域为三 角形区域，若这个三角形的面积为2，则AB=4，即点B （1,4），代入y=ax+1，得a=310．已知方程：2 20x ax b ++= (,)a R b R ∈∈，其一根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,2)内，则22 (3)z a b =++的取值范围为 A. B. 1(,4)2 C. (1,2) D. (1,4)【答案】B 【解析】解： 2( ,2)2222f (x)x ax 2b,f (0)0 f (1)0,f (3)0b 0,a 2b 10,2a 2b 40a b z (a 3)b -1z 2解：设由图像可知，三者同时成立，求解得到由线性规划知识画出可行域，以为横轴，为纵轴，再以为目标，几何意义为区域内的点到（3,0）的距离的平方，当a=-1，b=0时，z 最大为4，当点到直线a+2b+1=02的距离为，最小为，由题目，不能去边界2=++><>>++<++>=++11．的取值范围是则满足约束条件变量122,012430 ,++=≤-+≥≥?????x y s y x x y x y x （ ） A ．[1,4] B ．[2,8] C ．[2,10] D ．[3,9]【答案】B 【解析】约束条件034120x y x x y ≥≥+-≤?????表示的区域如图，221112y y s x x ++=++=?，11y x ++表示点（x ，y ）与点（-1，-1）的斜率，PB 的斜率为最小值，PA 的斜率为最大值，斜率的取值范围是[1,4]，112y x ++?的取值范围是[2,8]。 12．若变量x,y 满足约束条件1 325x y x x y ≥-?? ≥??+≤? 则z=2x+y 的最大值为 （A ）1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】C 【解析】：∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 y x = 与325x y +=的交点为最优解点，∴即为（1，1） ，当1,1x y ==时max 3z =13．在集合}4,1,1|),{(≤+≥≥=y x y x y x A 中，y x 2+的最大值是 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8．【答 案】C 【解析】画出不等式 组表示的平面区域,可以看出,当直线2z x y =+经过点(1,3)时, 2z x y =+最大值为7,故选C.14．设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表 示的平面区域（不含边界的阴影部分）是( ) A o y x 0.5 0.5 o y x 0.5 0.5 o y x 0.5 0.5 o y x 0.5 0.5
习题： 一．人类资源分配问题 红旗商场为一中心百货商场，它对售货人员需求经过统计分析如表所示。为保证售货人员的休息（每连续工作五天后，休息两天） 问：如何安排售货人员作息，即可满足工作需要，又使配备售货人员数最少？ 答：设x1为星期一开始上班的人数，x2为星期二开始上班的人数，……，x7星期日开始上班的人数。 我们就可得到如下的数学模型： min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 x3+x4+x5+x6+x7≥28 x4+x5+x6+x7+x1≥15 x5+x6+x7+x1+x2≥24 x6+x7+x1+x2+x3≥25 x7+x1+x2+x3+ x4≥19 x1+x2+x3+x4+x5≥31 x2+x3+x4+x5+x6≥28 x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7≥0 该问题的最优解为：x1=8，x2=0，x3=12，x4=0，x5=11，x6=5，x7=0；目标函数的最小值为36。 Lingo中的调试： min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7; x1+x2+x3+x4+x5>28; x2+x3+x4+x5+x6>15; x3+x4+x5+x6+x7>24; x4+x5+x6+x7+x1>25; x5+x6+x7+x1+x2>19;
x6+x7+x1+x2+x3>31; x7+x1+x2+x3+x4>28; 二．市场应用 某公司投资3万元进行媒体广告宣传，希望吸引观众购买本公司产品。现有五种媒体供选择，相关信息如下表 对广告宣传，公司有下列要求：1.至少进行10次电视广告宣传；2.至少有5万名潜在观众被告知；3.电视广告投入不超过18000元。问：如何进行媒体组合，才使广告质量最高。 答：问题中媒体组合实际上就是要决定每种媒体的使用次数。设x1、x2、x3、x4、x5分别表示表中日间电视、夜间电视、日报、周末新闻杂志、电台广播五种媒体的使用次数。 该问题的线性规划模型为 max z = 65x1 + 90x2 + 40x3 +60x4 + 20x5 1500x1 + 3000x2 + 400x3+ 1000x4 + 100x5 ≤30000 1000x1 + 2000x2 +1500x3 + 2500x4 + 300x5≥50000
线性规划题及答案 一、问题描述 某公司生产两种产品A和B，每个产品都需要通过两个工序进行加工。每个工 序的加工时间和利润都不相同。现在需要确定每个产品在两个工序上的加工时间和产量，以最大化总利润。请根据以下要求进行线性规划求解。 二、问题分析 1. 产品A在工序1上的加工时间为x1小时，产品A在工序2上的加工时间为 x2小时。 2. 产品B在工序1上的加工时间为y1小时，产品B在工序2上的加工时间为 y2小时。 3. 产品A在工序1上的产量为a1个，产品A在工序2上的产量为a2个。 4. 产品B在工序1上的产量为b1个，产品B在工序2上的产量为b2个。 5. 产品A在工序1上的利润为p1元/个，产品A在工序2上的利润为p2元/个。 6. 产品B在工序1上的利润为q1元/个，产品B在工序2上的利润为q2元/个。 三、目标函数和约束条件 1. 目标函数：最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2。 2. 约束条件： a) 工序1的总加工时间：x1 + y1 ≤ 100小时。 b) 工序2的总加工时间：x2 + y2 ≤ 80小时。 c) 产品A的总产量：a1 + a2 ≤ 200个。
d) 产品B的总产量：b1 + b2 ≤ 150个。 e) 非负约束：x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。 四、线性规划模型 最大化总利润Z = p1 * a1 + p2 * a2 + q1 * b1 + q2 * b2， 满足约束条件： x1 + y1 ≤ 100， x2 + y2 ≤ 80， a1 + a2 ≤ 200， b1 + b2 ≤ 150， x1, x2, y1, y2, a1, a2, b1, b2 ≥ 0。 五、求解过程 1. 根据线性规划模型，我们可以使用线性规划求解方法求解该问题。 2. 根据目标函数和约束条件，可以建立线性规划模型，并使用线性规划求解器进行求解。 3. 求解得到最优解，即每个产品在两个工序上的加工时间和产量，以及最大化的总利润。 六、求解结果 假设给定以下参数： p1 = 10元/个，p2 = 8元/个，q1 = 12元/个，q2 = 9元/个。 经过线性规划求解，得到最优解如下：
线性规划期末试题及答案 一、选择题 1. 在线性规划中，以下哪个是目标函数？ (A) 约束条件 (B) 决策变量 (C) 目标变量 (D) 限制条件 答案：(C) 目标变量 2. 在线性规划模型中，以下哪个是限制条件？ (A) 目标函数 (B) 决策变量 (C) 目标变量 (D) 约束条件 答案：(D) 约束条件 3. 在线性规划中，如果目标函数系数有变动，但其它条件保持不变，对最优解的影响是： (A) 没有影响 (B) 无法确定
(C) 会改变最优解 (D) 不确定，需要重新求解线性规划模型 答案：(A) 没有影响 4. 在线性规划中，如果某个约束条件右侧的常数项发生变动，但其它条件保持不变，对最优解的影响是： (A) 没有影响 (B) 无法确定 (C) 会改变最优解 (D) 不确定，需要重新求解线性规划模型 答案：(C) 会改变最优解 5. 在线性规划中，以下哪个方法可以确定解的有界性？ (A) 单纯形法 (B) 对偶法 (C) 整数规划 (D) 罚函数法 答案：(A) 单纯形法 二、简答题 1. 什么是线性规划？请简要描述线性规划的基本思想和应用领域。
答：线性规划是一种数学优化方法，用于解决在一定约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。其基本思想是通过线性规划模型的建立，将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法求解最优解。线性规划的应用领域非常广泛，包括生产调度、资源分配、投资组合、运输问题等。 2. 简述线性规划模型的一般形式，并解释模型中各要素的含义。 答：线性规划模型的一般形式如下： Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ subject to: a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂ ... aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0 其中，Z为目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数；x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量；a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数；b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的常数项。 3. 什么是单纯形法？简述单纯形法的基本思想和求解步骤。
线性规划题及答案 引言概述： 线性规划是一种常见的数学建模方法，用于解决优化问题。它在工程、经济学、运筹学等领域中得到了广泛应用。本文将介绍线性规划题的基本概念和解题方法，并给出相应的答案。 一、线性规划的基本概念 1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。 1.2 约束条件：线性规划的决策变量必须满足一系列约束条件，这些条件通常表示为一组线性不等式或者等式。例如，Ax ≤ b，其中A为系数矩阵，x为决策变量向量，b为常数向量。 1.3 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。可行解的集合称为可行域。 二、线性规划问题的解题方法 2.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法求解。首先绘制可行域的图形，然后通过挪移目标函数的等高线来确定最优解。最优解通常浮现在可行域的顶点处。 2.2 单纯形法：对于高维线性规划问题，可以使用单纯形法求解。该方法通过迭代计算，逐步接近最优解。单纯形法的基本思想是通过交换基本变量和非基本变量来改变目标函数值，直到找到最优解。
2.3 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划法求解。整数规划问题通常比线性规划问题更难解决，因为整数解的集合通常是离散的。 三、线性规划题的实例分析 3.1 生产计划问题：某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需要3小时的生产时间，每单位产品B需要2小时的生产时间。工厂每天有8小时的生产时间，且产品A和B的利润分别为10元和8元。求工厂每天应生产多少单位的产品A和B，才干最大化利润。 3.2 运输问题：某物流公司有3个仓库和4个配送点，每一个仓库的库存和每一个配送点的需求如下表所示。每单位产品的运输成本如下表所示。求如何安排运输，使得总运输成本最低。 仓库 | 库存 ----|---- A | 50 B | 80 C | 70 配送点 | 需求 ------|----- D | 30 E | 40 F | 50 G | 60 运输成本 | 仓库A | 仓库B | 仓库C
线性规划题及答案 线性规划是一种优化问题的数学建模方法，它在各个领域中都有广泛的应用。本文将为您提供一道线性规划题目及其详细的解答过程。 题目描述： 某公司生产两种产品A和B，产品A每单位利润为300元，产品B每单位利润为500元。生产一个单位产品A需要消耗2个单位的原料X和3个单位的原料Y；生产一个单位产品B需要消耗1个单位的原料X和4个单位的原料Y。公司每天有100个单位的原料X和150个单位的原料Y可供使用。公司希翼在满足原料供应的情况下，最大化每天的利润。 解答过程： 1. 定义变量： 设产品A的产量为x，产品B的产量为y。 2. 建立目标函数： 目标函数即每天的利润，由题目可知，每单位产品A的利润为300元，每单位产品B的利润为500元。因此，目标函数为： 最大化 Z = 300x + 500y 3. 建立约束条件： a) 原料X的供应限制：每单位产品A需要消耗2个单位的原料X，每单位产品B需要消耗1个单位的原料X。因此，原料X的供应限制可以表示为：2x + y ≤ 100
b) 原料Y的供应限制：每单位产品A需要消耗3个单位的原料Y，每单位产品B需要消耗4个单位的原料Y。因此，原料Y的供应限制可以表示为：3x + 4y ≤ 150 c) 产量非负限制：产品的产量必须为非负数，即： x ≥ 0 y ≥ 0 4. 求解线性规划问题： 将目标函数和约束条件进行整理，得到线性规划模型为： 最大化 Z = 300x + 500y 约束条件： 2x + y ≤ 100 3x + 4y ≤ 150 x ≥ 0 y ≥ 0 使用线性规划求解器或者图形法等方法，可以得到最优解。 5. 最优解及结论： 经过计算，得到最优解为： x = 25，y = 25 此时，最大利润为： Z = 300 * 25 + 500 * 25 = 20000元
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩ 则22 x y +的最小值是 。 3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩ ，则 y x 的取值范围是（ ）. A. [95，6] B.（－∞，9 5 ]∪[6，＋∞） C.（－∞，3]∪[6，＋∞） D. [3，6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≤≥+-≥-.112,932, 22115x y x y x 则1010z x y =+的最大 值是 。 四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ，y 满足约束条件14 22x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处 取得最大值，则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪ -+≤⎨⎪≤⎩ ，使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的 值为（ ） A. －3 B. 3 C. －1 D. 1 五、求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪ +-≤⎨⎪≤⎩ 表示的平面区域的面积为 （ ） A. 4 B. 1 C. 5 D. 无穷大
线性规划题及答案 1. 问题描述 假设一家餐馆每天供应两种菜品：A和B。每份A菜品的成本为2美元，每份B菜品的成本为3美元。餐馆每天有100美元的预算用于购买这两种菜品。餐馆估计每天能卖出20份A菜品和30份B菜品。每份A菜品的售价为5美元，每份B 菜品的售价为4美元。餐馆希翼最大化每天的利润。 2. 线性规划模型 设变量： x1：购买的A菜品的份数 x2：购买的B菜品的份数 目标函数： 最大化利润：Z = 5x1 + 4x2 约束条件： 成本约束：2x1 + 3x2 ≤ 100 供应约束：x1 ≤ 20 x2 ≤ 30 非负约束：x1, x2 ≥ 0 3. 求解线性规划问题 为了求解该线性规划问题，我们可以使用各种数学软件或者线性规划求解器。下面是使用一个线性规划求解器得到的最优解。
x1 = 20 x2 = 26.67 Z = 186.67 解释： 根据最优解，餐馆应该购买20份A菜品和26.67份B菜品以最大化每天的利润。在这种情况下，每天的利润为186.67美元。 4. 灵敏度分析 灵敏度分析用于确定目标函数系数或者约束条件右侧值的变化对最优解的影响。下面是对目标函数系数和约束条件右侧值进行灵敏度分析的结果。 目标函数系数灵敏度： 如果A菜品的售价增加1美元，即目标函数系数从5变为6，则最优解不变， 仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。 如果B菜品的售价增加1美元，即目标函数系数从4变为5，则最优解不变， 仍然是购买20份A菜品和26.67份B菜品。 约束条件右侧值灵敏度： 如果成本约束从100美元增加到120美元，则最优解不变，仍然是购买20份 A菜品和26.67份B菜品。 如果A菜品供应约束从20份增加到25份，则最优解不变，仍然是购买20份 A菜品和26.67份B菜品。 如果B菜品供应约束从30份减少到25份，则最优解不变，仍然是购买20份 A菜品和26.67份B菜品。
专业知识整理分享 线性规划练习题含答案 一、选择题 1．已知不等式组2,1,0y x y kx x ≤-+⎧⎪ ≥+⎨⎪≥⎩ 所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k 的值为 A ．－1 B D ．1 【答案】B 【解析】略作出不等式组表示的可行域如右图所示阴影部分，由于AOB ∆的面积为2, AOC ∆的面积为1，所以当直线y=kx+1过点A （2，0），B （0，1 故选B 。 2．定义()( )max{,}a a b a b b a b ≥⎧⎪=⎨ <⎪⎩，已知实数y x ,满足设{}m a x ,2z x y x y =+-， 则z 的取值范围是 （ ） A 【答案】D 【解析】{},2,20 max ,22,22,20x y x y x y x y x y z x y x y x y x y x y x y x y ++≥-+-≤⎧⎧=+-==⎨ ⎨ -+<--->⎩⎩ ， 当z=x+y 时，对应的点落在直线x-2y=0 z=2x-y 时，对应的点落在直线x-2y=0的右下 3．若实数x ，y 满足⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≤+≥≥, 1234,0, 0y x y x 则 ）
试卷第2页，总12页 A ． B C D 【答案】D P(x,y)与点(-1,-3)连续的斜率，数形结3, ,4 PA k =应选D 4．设,x y ∈R 且满足1230x x y y x ≥⎧⎪ -+≥⎨⎪≥⎩ ，则2z x y =+的最小值等于 ( ) A. 2 B. 3 C.5 D. 9 【答案】B 【解析】解：因为设,x y ∈ R 且满足满足1 230 x x y y x ≥⎧⎪ -+≥⎨⎪≥⎩ 故其可行域为 当直线Z=x+2y 过点（1，1）时，z=x+2y 取最小值3， 故选B 5．若实数，满足条件则的最大值为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A 【解析】作出如右图所示的可行域，当直线z=2x-y 过点A 时，Z 取得最大值.因为A(3,-3)，所以Z max =23(3)9⨯--=,故选A. x y 0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪ -+≥⎨⎪≤≤⎩ 2x y -9303-
线性规划题型及解法 一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩ ⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 ; 二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题 例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩ 则22x y +的最小值是 . “()()2221++-y x ”值域 三、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题; 例3、在约束条件0 024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下,当35s ≤≤时,目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是 A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 四、已知平面区域,逆向考查约束条件; 例4、已知双曲线22 4x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是 A 0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ B 0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ C 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ D 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ 五、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题; 例5已知变量x ,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 若目标函数z ax y =+其中0a >仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为 ; 六、设计线性规划,探求平面区域的面积问题 例６在平面直角坐标系中,不等式组20 200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩ 表示的平面区域的面积是 A B4 C D2 七、研究线性规划中的整点最优解问题 例7、某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 和y 须满足约束条件⎪⎩ ⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是A80 B 85 C 90 D95 八、比值问题 当目标函数形如b x a y z --=时,可把z 看作是动点()y x P ,与定点()a b Q ,连线的斜率,这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值; 例8、已知变量x,y 满足约束条件错误!则 错误! 的取值范围是 . A 错误!,6 B －∞,错误!∪6,＋∞ C －∞,3∪6,＋∞ D3,6 九、求可行域中整点个数 例9、满足x ＋y≤2的点x,y 中整点横纵坐标都是整数有 个;A 、9 B 、10 C 、13 D 、14 十、求线性目标函数中参数的取值范围 例10、已知x 、y 满足以下约束条件⎪⎩ ⎪⎨⎧≤≤+-≥+3055x y x y x ,使z=x+aya>0取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为 A 、 －3 B 、3 C 、－1 D 、1 十一、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知2x －y ＋m ＜3表示的平面区域包含点0,0和－1,1,则m 的取值范围是 A 、-3,6 B 、0,6 C 、0,3 D 、
第 1 页 线性规划练习题含答案 一、选择题 1．已知不等式组2,1,0y x y kx x ≤-+⎧⎪ ≥+⎨⎪≥⎩ 所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k 的值为 A ．－1 B ．12 - C ． 12 D ．1 【答案】B 【解析】略作出不等式组表示的可行域如右图所示阴影部分，由于AOB ∆的面积为2, AOC ∆的面积为1，所以当直线y=kx+1过点A （2，0），B （0，1）时符合要求，此时1 2 k =- ,故选B 。 2．定义()( )max{,}a a b a b b a b ≥⎧⎪= ⎨<⎪⎩，已知实数y x ,满足1,1≤≤y x ，设{}max ,2z x y x y =+-，则z 的取值范围是 （ ） A 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23 B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,23 C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23 D 、⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡-3,23 【答案】D 【解析】{},2,20 max ,22,22,20x y x y x y x y x y z x y x y x y x y x y x y x y ++≥-+-≤⎧⎧=+-==⎨⎨ -+<--->⎩⎩ ， 当z=x+y 时，对应的点落在直线x-2y=0的左上方，此时322z - ≤≤；当z=2x-y 时，对应的点落在直线x-2y=0的右下方，3 32 z -≤≤ 3．若实数x ，y 满足⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≤+≥≥, 1234,0, 0y x y x 则13++=x y z 的取值范围是（ ） A ． )7,43 ( B ．⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡5,32 C ．⎥⎦⎤⎢ ⎣⎡7,32 D ．⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡7,43 【答案】D 【解析】作出如右图所示的可行域，由于13 ++= x y z 的几何意义是可行域内的点P(x,y)及点(-1,-3)连续的斜率，数形结合，可知3 3 ,,7,[,7]4 4 PA PB PA PB k z k k k z ≤≤==∴∈,应选D 4．设,x y ∈R 且满足1230x x y y x ≥⎧⎪ -+≥⎨⎪≥⎩ ，则2z x y =+的最小值等于 ( ) A. 2 B. 3 C.5 D. 9 【答案】B 【解析】解：因为设,x y ∈R 且满足满足1230 x x y y x ≥⎧⎪ -+≥⎨⎪≥⎩