微专题41
1.答案:5.
解析:如图,设z =2x -y ,则y =2x -z ,当x =4,y =3时,z max =5.
2.答案:[4
3,8].
解析:如图,作出可行域,则得到x +
y ∈[4
3
,8].
3.答案:6.
解析:作出可行域,可知z =3x +2y 的最大值为6.
4.答案:9.
解析:作出可行域,可知z =x +y 的最大值为9.
5.答案:(1,3
2].
解析:作出不等式组表示的平面区域如图所示,若a >1,当对数函数的图象经过点A 时,满足条件,此时
??
?y -3=0,
2x +y -7=0,
解得???x =2,y =3,
即A (2,3),
则log a 2=3,解得a =3
2,
所以当1 2时,满足条件,即实数a 的取值范围是(1,3 2]. 6.答案: 55 . 解析:(x +2y -1)(x -y +3)≤0?? ?x -y +3≥0, x +2y -1≥0, 或 ? ????x -y +3≤0,x +2y -1≤0;如图,作出可行域图象,即可知d min =11+4 =5 5 . 7.答案:(23,3 2). 解析:由题得?????a 0,b >0,c >0,令x =b a ,y =c a ,则上述不等式组可化为?????1 出可行域得23 取值范围为(23,3 2 ). 8.答案:5. 解析:由f (a ,b )=a 2-2ab +b 2+4a -4b =(a -b )2+4(a -b );又点(a ,b )在两直线y =x -1和y =x -3之间的带状区域内(含边界),得1≤a -b ≤3,根据二次函数知f (a ,b )=a 2-2ab +b 2+4a -4b 的最小值为5. 第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题.基本不等式主要考查求最值问题,线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题,以选择、填空题的形式呈现,属中档题. 1.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2 +bx +c >0(a ≠0),再求相应一元二次方程ax 2 +bx +c =0(a ≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0); ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时,a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x ); ②当0a g (x ) ?f (x ) 考虑如下线性规划问题: Min z=60 x+402x+803x 1 . 3 x+22x+3x≥2 1 4 x+2x+33x≥4 1 2 x+22x+23x≥3 1 x,2x,3x≥0 1 要求:(1)写出其对偶问题; (2)用对偶单纯形法求解原问题; (3)用单纯形法求解其对偶问题; (4)对比(2)与(3)中每步计算得到的结果。 解:(1)设对应于上述约束条件的对偶变量分别为 y,2y,3y;则 1 由原问题和对偶问题,可以直接写出对偶问题为: Max Z’=2 y+42y+33y 1 3 y+42y+23y≤60 1 2 y+2y+23y≤40 1 y+32y+23y≤80 1 y,2y,3y≥0 1 (2)用对偶单纯形法求解原问题(添加松弛变量 x,5x,6x) 4 MaxZ= -60 x-402x-803x+04x+05x+06x 1 -3 x-22x-3x+4x=-2 1 -4 x-2x-33x+5x=-4 1 -2 x-22x-23x+6x=-3 1 1x ,2x ,3x ≥0 建立此问题的初始单纯形表,可见: 从表中可以看到,检验数行对应的对偶问题的解是可行解。因b 列数字为负,故需进行迭代运算。 换出变量的确定,计算min (-2,-4,-3)=-4,故5x 为换出变量。 换入变量的确定,计算得15,40,80/3,故1x 为换入变量。 由表可知,6x 为换出变量。2x 为换入变量。然后继续画单纯形表: 可得4x 为换出变量,3x 为换入变量。继续做单纯形表: 所以此问题的最优解为X=(11/10,19/30,1/10),此对偶问题的最优解为Y=(16,12,30),原问题的最小值为118/3. (3)MaxZ ’=21y +42y +33y +04y +05y +06y 31y +42y +23y +4y =60 21y +2 y +23y +5y =40 1y +32y +23y +6y =80 1y ,2y ,3y ,4y ,5y ,6y ≥0 然后建立单纯形表,可得 i 专题12 线性规划问题B 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若x ,y 满足约束条件???? ? x ≥0,x +y -3≥0, x -2y ≤0,则z =x +2y 的取值范围是( ) A .[0,6] B .[0,4] C .[6,+∞) D .[4,+∞) 答案 D 解析 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示. 由题意可知,当直线y =-12x +z 2过点A (2,1)时,z 取得最小值,即z min =2+2×1=4.所以z =x +2y 的取值范围是[4,+∞).故选D. 2.设不等式组???? ? x +y -11≥0,3x -y +3≥0, 5x -3y +9≤0 表示的平面区域为D ,若指数函数y =a x 的图象上存在区域D 上的点,则a 的取值范围是( ) A .(1,3] B .[2,3] C .(1,2] D .[3,+∞ ) 答案 A 解析 画出不等式组所表示的平面区域如图.若指数函数y =a x 图象上存在 区域D 上的点,则y =a x 的图象过A 点时为一个临界位置.由? ???? 3x -y +3=0, x +y -11=0解 得????? x =2, y =9, 即A (2,9),代入y =a x 满足a 2≤9即a ∈[-3,3],又∵a >1时才符合题意,∴a ∈(1,3]. 3. 若不等式组???? ? x -y +5≥0,y ≥a , 0≤x ≤2 表示的平面区域是一个三角形,则实数a 的 取值范围是( ) A .(-∞,5) B .[7,+∞) C .[5,7) D .(-∞,5)∪[7,+∞) 答案 C 解析 如图,作出不等式组???? ? x -y +5≥0,y ≥a , 0≤x ≤2 表示的平面区域如图所示: 当直线y =a 介于直线y =5(含该直线)与直线y =7(不含该直线)之间时,符合题意.所以5≤a <7.故选C. 4. 在平面直角坐标系中,若不等式组???? ? x +y -1≥0,x -1≤0, ax -y +1≥0 高考数学专题练习:不等式与线性规划 1.若不等式(-2)n a -3n -1-(-2)n <0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???1,43 B.? ???? 12,43 C.? ? ???1,74 D.? ?? ??12,74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1-a )<3n -1恒成立, 即1-a <13× ? ????32n 恒成立,只需1-a <13×? ????321,解得a >1 2; 当n 为偶数时,要满足2n (a -1)<3n -1恒成立, 即a -1<13× ? ????32n 恒成立,只需a -1<13×? ????322,解得a <7 4. 综上,12<a <7 4,故选D. 2.已知a >0,b >0,且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A.(a -1)(b -1)<0 B.(a -1)(a -b )>0 C.(b -1)(b -a )<0 D.(b -1)(b -a )>0 答案 D 解析 取a =2,b =4,则(a -1)(b -1)=3>0,排除A ;则(a -1)(a -b )=-2<0,排除B ;(b -1)(b -a )=6>0,排除C,故选D. 3.设函数f (x )=??? x 2-4x +6,x ≥0, x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)=3.由题意得??? x ≥0,x 2-4x +6>3或??? x <0, x +6>3, 解得-3 专题七不等式 第二十讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题 1.(2018天津)设变量x,y满足约束条件 5, 24, 1, 0, x y x y x y y + ? ?- ? ? -+ ? ?? ≤ ≤ ≤ ≥ 则目标函数35 z x y =+的最大值为 A.6 B.19 C.21 D.45 2.(2017新课标Ⅱ)设x,y满足约束条件 2330 2330 30 x y x y y +- ? ? -+ ? ?+ ? ≤ ≥ ≥ Error! Digit expected.,则 2 z x y =+的最小值是 A.B.C.D. 3.(2017天津)设变量,x y满足约束条件 20, 220, 0, 3, x y x y x y + ? ?+- ? ? ? ?? ≥ ≥ ≤ ≤ 则目标函数z x y =+的最大值 为 A.2 3 B.1 C. 3 2 D.3 4.(2017山东)已知x,y满足 30 350 30 x y x y x -+ ? ? ++ ? ?+ ? ≤ ≤ ≥ ,则2 z x y =+的最大值是 A.0 B.2 C.5 D.6 5.(2017北京)若x,y满足 3 2 x x y y x ? ? + ? ? ? ≤ ≥ ≤ 则2 x y +的最大值为 A.1 B.3 C.5 D.9 6.(2017浙江)若x,y满足约束条件 30 20 x x y x y ? ? +- ? ?- ? ≥ ≥ ≤ ,则2 z x y =+的取值范围是 A .[0,6] B . [0,4] C .[6,)+∞ D .[4,)+∞ 7.(2016年山东)若变量x ,y 满足2, 239,0,x y x y x 则22x y +的最大值是 A .4 B .9 C .10 D .12 8.(2016浙江)在平面上,过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.由 区域200340x x y x y -≤??+≥??-+≥? ,中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ,则 ||AB = A .2 B .4 C .2 D .6 9.(2016天津)设变量x ,y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥??+-≥??+-≤? ,则目标函数25z x y =+的最小值 为 A .4- B .6 C .10 D .17 10.(2015陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用,A B 两种原料,已知生产1吨每种产品 需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为 甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨) 1 2 8 A .12万元 B .16万元 C .17万元 D .18万元 11.(2015天津)设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥??-+≥??+-≤? ,则目标函数6z x y =+的最大 值为 A .3 B .4 C .18 D .40 12.(2015福建)若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +??-??-+? ≥≤≥ 则2z x y =-的最小值等于 线性规划题型及解法 一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题 2x -y _2 例1、设变量x、y满足约束条件x 一y _ _1,则z =2x ? 3y的最大值为__________ 。 x y _1 二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题 \ >1, 例2、已知」x-y+1兰0,则x2+y2的最小值是_」“(x-1)2+(y+2『”值域? 2x - y - 2 <0 三、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题。 Zf x _0 例3、在约束条件y_0 下,当3乞s乞5时,目标函数Z=3x?2y的最大值的变化范围是() |y x _s y 2x^4 A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 四、已知平面区域,逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线x2-y2 =4的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是() fx-yZ0 「x-yX0 『x-y^0 "x-y 兰0 (A) x y _ 0 (B) x y 乞0 (C) x y 乞0 (D) x y _ 0 0 _x _3 0 _x _3 0 _x _3 0 _x _3 五、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题。 (1 ::: x :「v ‘::4 例5已知变量x,y满足约束条件若目标函数ax y (其中a 0)仅在 [―2 兰x—y 兰2 点(3,1)处取得最大值,则a的取值范围为 __________ 。 六、设计线性规划,探求平面区域的面积问题 丄x y _ 2 _ 0 _ 例6在平面直角坐标系中,不等式组x_y,2_0表示的平面区域的面积是()(A)4、、2 (B)4 [八0 (C) 2.2 (D)2 七、研究线性规划中的整点最优解问题 ”5x-11y —22, 例7、某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y须满足约束条件<2x+3yX9, 则 、2x 兰11. z =10x 10y 的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如z =-—a时,可把z看作是动点P x, y与定点Q b, a连线的斜率,这样目 x —b 标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。 x—y+ 2W 0,V 简单的线性规划问题 高考要求: 能用平面区域表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以 解决。 知识梳理: 1.线性规划的基本概念: (1)二元一次不等式组是一组对变量y x ,的约束条件,这组约束条件都是关于y x ,的一次不等式,所以又 称为线性约束条件。 (2)by ax z +=),(R b a ∈是欲达到最大值或最小值所涉及的变量y x ,的解析式,叫做目标函数。由 于 by ax z +=又是y x ,的一次解析式,所以又叫线性目标函数。 (3)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条 件的解),(y x 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别使目标函数by ax z +=取得最大值或 最小值的可行解叫做这个问题的最优解。 2.基本思想:数形结合 高考热点: 热点1:平面区域问题 1.设集合A ={),(y x |x ,y ,y x --1是三角形的三边长},则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是 ( ) 热点2:目标函数的最值问题 2.若变量y x ,满足不等式组?? ? ??≥+≥-≥+-0203052y x x y x ,求下列目标函数的最值: (1)y x z 2+= (2)y x z +=3 (3)y x z -=3 (4)1 1 ++=x y z (5)22)1()1(+++=y x z 小结: 拓展延伸: (6)若),(y x M 为D 上的动点,点A 的坐标为)1,3(-,则z OM OA =? 的最大值为 (7)已知向量)3,(z x +=,),2(z y -=,且b a ⊥,则z 的取值范围是 (8)y x z 2+= (9)y x z 2+= (10)若y x ,在上述不等式组所表示的区域内变动,且t x y +=2,则实数t 的取值范围是 热点3:已知最优解逆向求解参数值或范围 3.(2010. 浙江理7)若实数x ,y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥?? --≤??-+≥? 且x y +的最大值为9,则实 数m =( ) (A )2- (B )1- (C )1 (D )2 变式1:若上述不等式组中1=m ,使目标函数y ax z +=取最大值的最优解有无穷多个时,a 的值为 。若最优解只有一个时,a 的取值范围是 。 变式2:若原题中不等式组不变,且目标函数y mx z +=的最大值为9,则a 的值为 。高考数学二轮复习专题突破训练一第2讲不等式与线性规划理含2014年高考真题
考虑如下线性规划问题
专题12 线性规划问题B
高考数学专题练习:不等式与线性规划
专题七 不等式 第二十讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 (1)
线性规划题及答案
线性规划讲义
微专题41 简单线性规划问题答案