线性规划经典例题
一、问题描述
某公司生产两种产品A和B，产品A每单位售价为10元，产品B每单位售价
为15元。公司有两个生产车间，分别称为车间1和车间2。每天车间1可生产产
品A 4个单位或产品B 6个单位，车间2可生产产品A 3个单位或产品B 2个单位。公司每天可提供的生产时间为8小时。每个单位产品A的生产时间为1小时，产
品B的生产时间为2小时。每天的总生产成本为生产产品A的数量乘以5元，生
产产品B的数量乘以4元。公司希望在满足生产能力和时间限制的前提下，最大
化每天的总利润。
二、数学建模
1. 定义变量
设x为每天生产的产品A的数量（单位：个），y为每天生产的产品B的数量（单位：个）。
2. 建立目标函数
目标函数为最大化每天的总利润。总利润等于每天销售产品A的收入减去生产成本，再加上每天销售产品B的收入减去生产成本。由此可得目标函数：Maximize Z = 10x + 15y - 5x - 4y
化简得：Maximize Z = 5x + 11y
3. 建立约束条件
（1）车间1每天可生产的产品A的数量为4个单位或产品B的数量为6个单位，即约束条件为：
4x + 6y ≤ 8
（2）车间2每天可生产的产品A的数量为3个单位或产品B的数量为2个单位，即约束条件为：
3x + 2y ≤ 8
（3）每天的生产时间为8小时，每个单位产品A的生产时间为1小时，产品B的生产时间为2小时，即约束条件为：
x + 2y ≤ 8
（4）生产数量不能为负数，即约束条件为：
x ≥ 0, y ≥ 0
4. 整理数学模型
综合以上信息，得到线性规划的数学模型如下：
Maximize Z = 5x + 11y
Subject to:
4x + 6y ≤ 8
3x + 2y ≤ 8
x + 2y ≤ 8
x ≥ 0, y ≥ 0
三、求解线性规划问题
可以使用线性规划求解方法，如单纯形法或内点法，求解以上线性规划问题，得到最优解。
根据求解结果，可以得到最大利润为XXX元，此时每天生产产品A的数量为XXX个，每天生产产品B的数量为XXX个。
四、灵敏度分析
灵敏度分析用于分析目标函数系数或约束条件右侧常数的变化对最优解的影响。通过改变目标函数系数或约束条件右侧常数，可以观察到最优解的变化情况。
例如，如果产品A的售价从10元增加到12元，产品B的售价从15元增加到
18元，重新求解线性规划问题，得到新的最优解。
根据新的求解结果，可以得到最大利润为XXX元，此时每天生产产品A的数
量为XXX个，每天生产产品B的数量为XXX个。
通过比较新旧最优解，可以发现目标函数系数的变化对最优解有一定的影响。五、结论
根据以上分析，通过线性规划方法求解，可以得到最优的生产方案，以最大化
每天的总利润。在满足生产能力和时间限制的前提下，确定每天生产产品A和产
品B的数量，可以帮助公司实现最大化利润的目标。同时，通过灵敏度分析，可
以了解目标函数系数或约束条件变化对最优解的影响，为公司制定决策提供参考。
例1：生产计划问题 某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如下表。若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费O.2万元。现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低。试建立模型。 解： 法1 设每个季度分别生产x1,x2,x3,x4 则要满足每个季度的需求x4≥26 x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 考虑到每个季度的生产能力 0≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10 每个季度的费用为：此季度生产费用+上季度储存费用 第一季度15.0x1 第二季度14 x2 0.2(x1-20) 第三季度15.3x3+0.2(x1+ x2-40) 第四季度14.8x4+0.2(x1+ x2+ x3-70)
工厂一年的费用即为这四个季度费用之和, 得目标函数；minf=15.6 x1+14.4 x2+15.5 x3+14.8 x4-26 s.t．x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 20≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10。 法2：设第i季度生产而用于第j季度末交货的产品数量为xij吨 根据合同要求有： xll=20 x12+x22=20 x13+x23+x33=30 x14+x24+x34+x44=10 又根据每季度的生产能力有： xll+x12+x13+x14≤30 x22+x23+x24≤40 x33+x34≤20 x44≤10 第i季度生产的用于第j季度交货的每吨产品的费用cij=dj+0.2(j-i)，于是，有线性规划模型。 minf=15.Oxll+15.2x12+15.4xl3+15.6xl4+14x22+14.2x23+14.4x24+15.3 x33+15.5x34+14.8x44 s．t． xll=20， x12+x22=20， x13+x23+x13=30， x14+x24+x34+x44=10， x1l+x12+x13+x14≤30， x22+x23+x24≤40， x33+x34≤20，
第3篇 线性规划模型 线性规划通常研究资源的最优利用问题.例如，在任务确定的条件下，如何用最少的资源（如资金、原材料、人工、时间、设备等）去完成确定的任务；在资源一定的条件下，如何组织生产，使得成本最小，或者利润最大，等等.线性规划可以分为连续规划、整数规划和0-1规划. 3.1 生产计划问题 例3.1 一个奶制品加工厂用牛奶生产1A 、2A 两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3千克1A ，或者在乙车间用8小时加工成4千克2A .根据市场需求，生产出的1A 、2A 能够全部售出，且每千克1A 获利24元，每千克2A 获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲车间的设备每天至多能加工100千克1A ，乙车间的设备的加工能力可以认为没有上限限制，（即加工能力足够大），试为该厂制订一个生产计划，使得每天的获利最大. 3.2 零件配套问题 例3.2 某产品由2件甲零件和3件乙零件组装而成。两种零件必须在设备A 、B 上加工，每件甲零件在A 、B 上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A 、B 上的加工时间分别为4分钟和10分钟。现有2台设备A 和3台设备B ，每天可供加工时间为8小时。为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使得每天加工的产品的产量最大？ 3.3 背包问题 例3.3 一个旅行者的背包最多只能装20千克物品. 现有4件物品的重量分别为4千克、6千克、6千克、8千克，4件物品的价值分别为1000元，1500元, 900元, 2100元. 这位旅行者应携带哪些物品使得携带物品的总价值最大? 3.4 选择加工方式问题
线性规划题及答案 一、题目描述： 假设某公司生产两种产品：A和B。产品A每单位利润为10元，产品B每单 位利润为8元。生产一单位产品A需要消耗2个单位的原材料X和3个单位的原 材料Y；生产一单位产品B需要消耗4个单位的原材料X和1个单位的原材料Y。公司的生产能力限制为每天生产产品A不超过100个单位，生产产品B不超过80 个单位。原材料X每天供应量为180个单位，原材料Y每天供应量为150个单位。为了最大化利润，公司应如何安排生产计划？ 二、解题思路： 本题是一个线性规划问题，可以使用线性规划模型来解决。首先，我们需要确 定决策变量、目标函数和约束条件。 1. 决策变量： 设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。 2. 目标函数： 公司的利润最大化是我们的目标。由于产品A每单位利润为10元，产品B每 单位利润为8元，因此目标函数可以表示为：maximize 10x + 8y。 3. 约束条件： a) 生产能力限制： 根据题目描述，每天生产产品A不超过100个单位，生产产品B不超过80个 单位，可以得到以下约束条件： x ≤ 100
y ≤ 80 b) 原材料供应量限制： 根据题目描述，原材料X每天供应量为180个单位，原材料Y每天供应量为150个单位，可以得到以下约束条件： 2x + 4y ≤ 180 3x + y ≤ 150 c) 非负约束： 生产数量不能为负数，可以得到以下约束条件： x ≥ 0 y ≥ 0 综上所述，我们可以得到线性规划模型如下： maximize 10x + 8y subject to: x ≤ 100 y ≤ 80 2x + 4y ≤ 180 3x + y ≤ 150 x ≥ 0 y ≥ 0 三、求解线性规划问题： 通过线性规划求解器，我们可以得到最优解。
习题： 一．人类资源分配问题 红旗商场为一中心百货商场，它对售货人员需求经过统计分析如表所示。为保证售货人员的休息（每连续工作五天后，休息两天） 问：如何安排售货人员作息，即可满足工作需要，又使配备售货人员数最少？ 答：设x1为星期一开始上班的人数，x2为星期二开始上班的人数，……，x7星期日开始上班的人数。 我们就可得到如下的数学模型： min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 x3+x4+x5+x6+x7≥28 x4+x5+x6+x7+x1≥15 x5+x6+x7+x1+x2≥24 x6+x7+x1+x2+x3≥25 x7+x1+x2+x3+ x4≥19 x1+x2+x3+x4+x5≥31 x2+x3+x4+x5+x6≥28 x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7≥0 该问题的最优解为：x1=8，x2=0，x3=12，x4=0，x5=11，x6=5，x7=0；目标函数的最小值为36。 Lingo中的调试： min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7; x1+x2+x3+x4+x5>28; x2+x3+x4+x5+x6>15; x3+x4+x5+x6+x7>24; x4+x5+x6+x7+x1>25; x5+x6+x7+x1+x2>19;
x6+x7+x1+x2+x3>31; x7+x1+x2+x3+x4>28; 二．市场应用 某公司投资3万元进行媒体广告宣传，希望吸引观众购买本公司产品。现有五种媒体供选择，相关信息如下表 对广告宣传，公司有下列要求：1.至少进行10次电视广告宣传；2.至少有5万名潜在观众被告知；3.电视广告投入不超过18000元。问：如何进行媒体组合，才使广告质量最高。 答：问题中媒体组合实际上就是要决定每种媒体的使用次数。设x1、x2、x3、x4、x5分别表示表中日间电视、夜间电视、日报、周末新闻杂志、电台广播五种媒体的使用次数。 该问题的线性规划模型为 max z = 65x1 + 90x2 + 40x3 +60x4 + 20x5 1500x1 + 3000x2 + 400x3+ 1000x4 + 100x5 ≤30000 1000x1 + 2000x2 +1500x3 + 2500x4 + 300x5≥50000
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩ 则22 x y +的最小值是 。 3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩ ，则 y x 的取值范围是（ ）. A. [95，6] B.（－∞，9 5 ]∪[6，＋∞） C.（－∞，3]∪[6，＋∞） D. [3，6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≤≥+-≥-.112,932, 22115x y x y x 则1010z x y =+的最大 值是 。 四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ，y 满足约束条件14 22x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处 取得最大值，则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪ -+≤⎨⎪≤⎩ ，使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的 值为（ ） A. －3 B. 3 C. －1 D. 1 五、求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪ +-≤⎨⎪≤⎩ 表示的平面区域的面积为 （ ） A. 4 B. 1 C. 5 D. 无穷大
第五节 线性规划应用举例 例1 生产计划问题 某工厂可以生产n A A A 、、、 21共n 种产品，生产中需要消耗m B B B 、、、 21共m 种资源。生产每单位产量的A j 产品需要消耗B i 种资源的数量为a ij ，各种产品每单位的利润分别为n c c c 、、、 21。工厂的资源是有限的，每种资源的数量分别为 m b b b 、、、 21。 上述情况可表示在如下生产情况表中。 解： 设：n A A A 、、 、 21的产量分别为n x x x 、、、 21。 问题的线性规划模型为： ,,,z max 21221122222121112121112211≥≤+++≤+++≤++++++=n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c 例2．货运问题 某企业租用了一节火车车皮运送甲、乙两种货物到外地销售。这两种货物每箱的重量分别为：甲—0.2吨，乙—0.3吨；每箱的体积分别为：甲—1米3，乙—0.6米3；每箱可获得的利润分别为：甲—500元，乙—400元。一节车皮的有效载重为56吨，有效容积为180米3。问：为获得最大利润，甲、乙各应运载多少箱？ 可将该问题视为一个生产计划问题，产品为甲、乙，资源为载重量和容积，可列出相应的生产情况表如下：
解：设甲、乙货物的运送两分别为x 1、x 2。 模型为： ,1805.0563.02.0400500z max 2121212 1≥≤+≤++=x x x x x x x x 解得：x 1＝130，x 2＝100，z ＝105000 例3：混合配料问题 某饲养厂每天需要1000公斤饲料，其中至少要含7000克蛋白质、300克矿物质、1000毫克维生素。现有五种饲料可供使用，各种饲料每公斤营养含量及价格如下表所示： 解：设每天各种饲料的选用量依次为：54321,,,,x x x x x 。 模型为： ,,,,100010008.022.05.03005.022.05.07000182638.03.04.07.02.0min 543215432154321543215432154321≥=++++≥++++≥++++≥++++++++=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 求解得：X=[438.6,0,0,276.3,285.1]，z=398.7 例4：下料问题 现需要90根3米长和90根4米长的钢筋，现有一种10米长的钢筋，问：如何切割这种10米长的钢筋，才能使所切割的钢筋数量最少？
线性规划经典例题 引言概述： 线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。本文将介绍几个经典的线性规划例题，以匡助读者更好地理解和应用线性规划的原理和方法。 一、问题一：生产计划问题 1.1 生产目标：某公司希翼最大化其利润。 1.2 生产约束：公司有两种产品A和B，每周生产时间有限，每一个产品的生产时间和利润有限制。 1.3 数学建模：设产品A和B的生产时间分别为x和y，利润分别为p和q，则目标函数为Maximize p*x + q*y，约束条件为x + y ≤ 40，3x + 2y ≤ 120，x ≥ 0，y ≥ 0。 二、问题二：资源分配问题 2.1 目标：某公司希翼最大化其销售额。 2.2 约束：公司有三个部门，每一个部门需要的资源不同，且资源有限。 2.3 建模：设三个部门分别为A、B和C，资源分别为x、y和z，销售额为p、q和r，则目标函数为Maximize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ 100，2x + y + 3z ≤ 240，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。 三、问题三：投资组合问题 3.1 目标：某投资者希翼最大化其投资组合的收益。
3.2 约束：投资者有多个可选的投资项目，每一个项目的收益和风险不同，且投资金额有限。 3.3 建模：设投资项目分别为A、B和C，收益分别为p、q和r，风险分别为 a、b和c，投资金额为x、y和z，则目标函数为Maximize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ 100，a*x + b*y + c*z ≤ 50，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。 四、问题四：运输问题 4.1 目标：某物流公司希翼最小化运输成本。 4.2 约束：公司有多个供应地和多个销售地，每一个供应地和销售地之间的运输成本和需求量不同，且供应量和销售量有限。 4.3 建模：设供应地和销售地分别为A、B和C，运输成本为p、q和r，需求量为x、y和z，供应量为a、b和c，则目标函数为Minimize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ a + b + c，x ≤ a，y ≤ b，z ≤ c，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。 五、问题五：资源分配问题 5.1 目标：某学校希翼最大化学生的满意度。 5.2 约束：学校有多个专业和多个课程，每一个专业的学生人数和课程的学分和难度不同，且学生人数和学分有限。 5.3 建模：设专业和课程分别为A、B和C，学生人数为x、y和z，课程学分为p、q和r，课程难度为a、b和c，则目标函数为Maximize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ 100，a*x + b*y + c*z ≤ 50，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。 结论： 通过以上几个经典的线性规划例题，我们可以看到线性规划在生产计划、资源分配、投资组合、运输和学校资源分配等问题中的广泛应用。通过合理建模和求
线性规划经典例题 一、问题描述 某公司生产两种产品A和B，每个产品的单位利润分别为10元和15元。公司有两个生产部门，分别为部门X和部门Y。部门X每天能生产产品A和产品B各100个，部门Y每天能生产产品A和产品B各80个。公司每天的销售需求是产品A和产品B各120个。为了最大化公司的利润，应该如何安排生产部门的生产量？ 二、问题分析 该问题可以转化为一个线性规划问题。线性规划是一种优化问题，目标是在给定的约束条件下，寻找使目标函数达到最大（或最小）值的变量取值。 三、数学建模 1. 定义变量： 设部门X生产的产品A数量为x1，产品B数量为x2； 设部门Y生产的产品A数量为y1，产品B数量为y2。 2. 建立目标函数： 目标函数为最大化利润，即 max Z = 10x1 + 15x2 + 10y1 + 15y2 3. 建立约束条件： a) 部门X每天能生产产品A和产品B各100个，部门Y每天能生产产品A 和产品B各80个，即 x1 + y1 ≤ 100
x2 + y2 ≤ 80 b) 公司每天的销售需求是产品A和产品B各120个，即 x1 + x2 + y1 + y2 ≥ 120 c) 非负约束条件，即 x1, x2, y1, y2 ≥ 0 4. 求解线性规划问题： 将目标函数和约束条件代入线性规划模型，使用线性规划求解方法求解得到最优解。 四、数学求解 将目标函数和约束条件代入线性规划模型，得到如下数学模型： max Z = 10x1 + 15x2 + 10y1 + 15y2 s.t. x1 + y1 ≤ 100 x2 + y2 ≤ 80 x1 + x2 + y1 + y2 ≥ 120 x1, x2, y1, y2 ≥ 0 使用线性规划求解方法，例如单纯形法，求解上述线性规划问题，得到最优解为： x1 = 80，x2 = 40，y1 = 20，y2 = 40 最大利润为： Z = 10 * 80 + 15 * 40 + 10 * 20 + 15 * 40 = 2900元
线性规划练习题 1．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为 A.10 B.8 C.3 D.2 2．已知正方形ABCD，其中顶点A、C坐标分别是(2，0)、(2，4)，点P(x，y)在正方形内部(包括边界)上运动， 则的最大值是 A.10 B.8 C.12 D.6 3．不等式组表示的平面区域的面积为A.1B.2C.5D.4 4．已知不等式组表示的平面区域恰好被圆C：所覆盖，则实数k的值是 A.3 B.4 C.5 D.6 5．已知变量，满足约束条件，若目标函数仅在点处取到最大值,则实数的取值 范围 A. B. C. D. 6．变量满足线性约束条件,目标函数仅在点取得最小值，则k的取值范围是 A. B. C. D. 7．已知满足，则的最大值等于 A. B. C. D. 8．已知a>0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，a= A. B. C.1 D.2 9．设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a= A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3 10．实数x,y满足条件,目标函数z=4x+y的最小值为3,则该目标函数的最大值为() A.9 B.12 C. D.17 参考答案 1.B【解析】本题考查简单的线性规划问题.画出可行域(如图 所示)；当过点时，z取得最大值.选B.
O x y x + y +6=0 3x-y -6=0 x -y +k =0 2. A 【解析】本题考查线性规划问题.作出可行域(如图阴影部分).作 出直线：，平移，由图可知当过B(4,2) 时，z 取最大 值10.选A. 3.A 【解析】本题考查简单的线性规划问题.作出约束条件所表示的 平区域(如图)，.所以三角形面积 为.选A. 4.D 【解析】本题考查简单的线性规划，直线与直线的位置关系.由于 圆心(3,3，)在直线3x-y-6=0上，又由于直线x-y+k=0与直线x+y+6=0 互相垂直其交点为,由于可行域恰好被圆所覆盖，及 三角形为圆的内接三角形圆的半径为 ，所以可得 ，解得 (舍去) .选D. 5. C 【解析】本题考查线性规划问题 .如图，画出不等式组所表示 的区域，即可行域，作直线：，平移直线，则由 题意可得： ，即实数的取值范围是 .选C. 6.C 【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域(如图三角形ABC ).由题意得目 标函数仅在点 取得最 小值，所以 的斜率介于 与 的斜率之间，即 .选 C. 【备注】线性规划问题，关键要画出图形，一般在可行域围成 的三角形的顶点处取得最值 .体会数形结合的思想. 7.C 【解析】本题考查线性规划问题。作出约束条件所表示的平面区 域(如图 ) .而 表示 点和 的连线的斜率，由图知， 点和 连线的斜率最大，所以 。选C. 8. B 【解析】本题考查简单的线性规划问题.如图所示，画出可行域 (如图△BCD 内部).目标函数可化为 ；当直线 经过 时，取到最小值，则 ，
线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ⎧ ⎪ ≤ ⎨ ⎪+≥ ⎩ ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ⎧ ⎪ +-≤ ⎨ ⎪≤ ⎩ 表示的平面区域的面积为 （） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯 形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ⎧ ⎪-≤≥ ⎪ ⎨ -+≤≥⎪ ⎪--≤ ⎩ 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D
四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪ -+≤⎨⎪≤⎩ ，使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取 得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x 、y 满足以下约束条件220 240330x y x y x y +-≥⎧⎪ -+≥⎨⎪--≤⎩ ，则z=x 2+y 2的最大值和最小 值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13， 4 5 D 、 解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的 距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为 4 5 ，选C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域 包含点 （0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、 （-3,3）
线性规划常见题型及解法 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪ ≤⎨⎪+≥⎩ ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将 l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪ +-≤⎨⎪≤⎩ 表示的平面区域的面积为 （ ） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于2 (0,0)2(0,0) 2(0,0)2 (0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪ ⎨ -+≤≥⎪⎪--≤⎩ 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪ -+≤⎨⎪≤⎩ ，使z=x+a y(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值 的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D
简单的线性规划典型例题 篇一：典型例题：简单的线性规划问题 典型例题 【例1】求不等式｜某－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积. 【例2】某矿山车队有4辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低 参考答案 例1： 【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积. 【解】｜某－1｜+｜y－1｜≤2可化为 或其平面区域如图： 或或 ∴面积S=某4某4=8 【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界. 例2： 【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.
【解】设每天派出甲型车某辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么 z=252某+160y， 作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图 作出直线l0：252某+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可 行域上的整点，且使在y轴上的截距最小. 观察图形，可见当直线252某+160y=t经过点（2，5）时，满足上述 要求. 此时，z=252某+160y取得最小值，即某=2，y=5时， zmin=252某2+160某5=1304. 答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低. 【点拨】用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图 精度要求较高，平行直线系f（某，y）=t的斜率要画准，可行域内的整 点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点. 篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析 线性规划讲义 【考纲说明】 （1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二 元线性规划问题的解法． （3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用 画网格的方法求解整数线性规划问题．
简单的线性规划典型例题 例1 画出不等式组⎪⎩ ⎪⎨⎧≤+-≤-+≤-+-.0330402y x y x y x ，， 表示的平面区域． 分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分． 解：把0=x ，0=y 代入2-+-y x 中得0200<-+- ∴ 不等式02≤-+-y x 表示直线02=-+-y x 下方的区域（包 括边界）， 即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表 示的区域如图所示． 说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法． 例2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ． 分析：原不等式等价于⎩ ⎨ ⎧≤->.3, 32y x y 而求正整数解则意味着x ，y
有限制条件，即求⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≤->∈∈>>. 3,32, ,,0,0y x y z y z x y x ． 解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知332≤<-y x 表示的区域如下图： 对于332≤<-y x 的正整数解，先画出不等式组．⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≤->∈∈>>. 3,32, ,, 0,0y x y z y z x y x 所表示的平面区域，如图所示． 容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(． 说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来． 例3 求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+≥1 1 1x y x y 所表示的平面区域的面积． 分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够