专题12 线性规划问题B
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若x ，y 满足约束条件????
?
x ≥0，x ＋y －3≥0，
x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )
A ．[0,6]
B ．[0,4]
C ．[6，＋∞)
D ．[4，＋∞)
答案 D
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z
2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选D.
2．设不等式组????
?
x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，
5x －3y ＋9≤0
表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x
的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )
A ．(1,3]
B ．[2,3]
C ．(1,2]
D ．[3，＋∞ )
答案 A
解析 画出不等式组所表示的平面区域如图．若指数函数y ＝a x 图象上存在
区域D 上的点，则y ＝a x
的图象过A 点时为一个临界位置．由?
????
3x －y ＋3＝0，
x ＋y －11＝0解
得?????
x ＝2，
y ＝9，
即A (2,9)，代入y ＝a x 满足a 2≤9即a ∈[－3,3]，又∵a >1时才符合题意，∴a ∈(1,3]．
3. 若不等式组????
?
x －y ＋5≥0，y ≥a ，
0≤x ≤2 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的
取值范围是( )
A ．(－∞，5)
B ．[7，＋∞)
C ．[5,7)
D ．(－∞，5)∪[7，＋∞) 答案 C
解析
如图，作出不等式组????
?
x －y ＋5≥0，y ≥a ，
0≤x ≤2
表示的平面区域如图所示：
当直线y ＝a 介于直线y ＝5(含该直线)与直线y ＝7(不含该直线)之间时，符合题意．所以5≤a ＜7.故选C.
4. 在平面直角坐标系中，若不等式组????
?
x ＋y －1≥0，x －1≤0，
ax －y ＋1≥0
(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( ) A ．－5 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D
解析 由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC ，则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )，且a >－1，∵S △ABC ＝2，∴1
2(1＋a )×1＝2，解得a ＝3.
5．已知某线性规划问题的约束条件是????
?
y ≤x ，3y ≥x ，
x ＋y ≤4，则下列目标函数中，在
点(3,1)处取得最小值的是( )
A ．z ＝2x －y
B ．z ＝2x ＋y
C ．z ＝－1
2x －y D ．z ＝－2x ＋y 答案 D
解析 作出不等式组对应的平面区域如图：A.由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，平移直线可得，当直线经过点A (3,1)时，截距最小，此时z 最大；B.由z ＝2x ＋y 得
y
＝－2x ＋z ，平移直线可得，当直线经过点A (3,1)时，截距最大，此时z 最大；C.由z ＝－12x －y 得y ＝－1
2x －z ，平移直线可得，当直线经过点B 时，截距最大，此时z 最小；D.由z ＝－2x ＋y 得y ＝2x ＋z ，平移直线可得，当直线经过点A (3，1)时，截距最小，此时z 最小，满足条件．故选D.
6.
已知P (m ，n )是由不等式组????
?
x ≥0，y ≥0，
x ＋y ≤2
确定的平面区域内的点，则点Q (m
＋n ，m －n )所在平面区域的面积是( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 [答案] B
[解析] 设Q (x ，y )，则?
????
x ＝m ＋n ，
y ＝m －n ，所以
???
m ＝x ＋y 2，
n ＝x －y 2.
因为点
P 1(m ，n )在不等式组????
?
x ≥0，y ≥0，
x ＋y ≤2
确定的平面区域内，所以
????
?
m ≥0，n ≥0，m ＋n ≤2，
所以?????
x ＋y
2≥0，
x －y 2≥0，
x ＋y 2＋x －y
2≤2，
即????
?
x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤2，
此不等式为Q 点所在平面区域，画出其平面区域可知为直角三角形，面积为4.
7．若实数x ，y 满足不等式组????
?
x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，
x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则
实数m ＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2 答案 C
解析 如图，设x ＋y ＝9，显然只有在x ＋y ＝9与直线2x －y －3＝0的交点处满足要求，解得此时x ＝4，y ＝5，即点(4,5)在直线x －my ＋1＝0上，代入得m ＝1.
8．已知P (x ，y )为区域?
????
y 2－x 2≤0，
0≤x ≤a
内的任意一点，当该区域的面积为4时，z ＝2x －y 的最大值是( ) A ．6 B ．0 C ．2 D ．22 答案 A
解析 画出不等式组
?
????
y 2－x 2≤0，
0≤x ≤a 所表示的平面区域如图所示，由图可知A (a ，－a )，B (a ，a )，由S △AOB ＝1
2×2a ×a ＝4，得a ＝2.∴A (2，－2)，由z ＝2x －y 化简得y ＝2x －z ，即
当y ＝2x －z 过A 点时取最大值，且z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A.
9．若变量x ，y 满足????
?
x ＋y ＋2≤0，x －y ＋4≥0，
y ≥a ，且2x －y 的最大值为－1，则a 的值为
( )
A ．1
B ．－1
C ．－2 D.1
2 答案 B
解析 作出可行域，设z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，－z 表示斜率为2的直线在
y 轴上的截距，－z 最小时，z 最大．经过?
????
y ＝a ，
x ＋y ＋2＝0，交点(－(a ＋2)，a )，－
2(a ＋2)－a ＝－1，解得a ＝－1.
10．设不等式组????
?
x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，
5x －3y ＋9≤0
表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x
的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )
A ．(1,3]
B ．[2,3]
C ．(1,2]
D ．[3，＋∞ ) 答案 A
解析 画出不等式组所表示的平面区域如图．若指数函数y ＝a x
图象上存在
区域D 上的点，则y ＝a x
的图象过A 点时为一个临界位置．由?????
3x －y ＋3＝0，
x ＋y －11＝0
解
得?
????
x ＝2，
y ＝9， 即A (2，9)，代入y ＝a x 满足a 2≤9即a ∈[－3,3]， 又∵a >1时才符合题意，∴a ∈(1,3]．
11．已知x ，y 满足约束条件????
?
x －y ≥0，x ＋y ≤2，
y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a
＝( )
A ．3
B ．2
C ．－2
D ．－3 答案 B
解析 作出不等式组表示的平面区域．如图，当－a ≥1时，z 的最大值为0；当－1<－a <1时，两直线x －y ＝0，x ＋y ＝2的交点(1,1)即为目标函数取得最大值的最优解，代入可得z max ＝a ＋1＝4，解得a ＝3，不符合条件，舍去；当－a ≤－1时，点(2,0)为目标函数取得最大值的最优解，代入可得2a ＝4，解得a ＝2，符合条件，故选B.
12.
已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2
＝1，平面区域Ω：?????
x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，
y ≥0，
若圆心
C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )
A ．5
B ．29
C ．37
D ．49 答案 C
解析 平面区域Ω为如图所示的阴影部分的△ABD ，
因圆心C (a ，b )∈Ω且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为y ＝1(－2≤x ≤6)，由图形得点C 在点N (6,1)处时，a 2＋b 2取最大值62＋12＝37，故选C.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．若x ，y 满足约束条件????
?
x －y ≥0，2x ＋y ≤6，
x ＋y ≥2，则z ＝x ＋3y 的最小值是________，
最大值是________．
答案 －2 8
解析 作出如图中阴影部分所示的可行域，易知A (2，2)，B (4，－2)，C (1,1)，目标函数表示斜率为－1
3的一组平行直线．由图可知，当直线x ＋3y －z ＝0经过点A 时，z 取得最大值，最大值为2＋3×2＝8；当直线x ＋3y －z ＝0经过点B 时，z 取得最小值，最小值为4＋3×(－2)＝－2.
14．若x ，y 满足约束条件????
?
x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，
y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．
答案 6
解析 根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由z ＝3x ＋2y 可得y ＝－32x ＋12z ，画出直线y ＝－32x ，将其上下平移，结合z
2的
几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由?
????
x －2y －2＝0，y ＝0，解得B (2,0)，
此时z max ＝3×2＋0＝6.
15.
记不等式组????
?
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4
所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)
与区域D 有公共点，则a 的取值范围是________．
答案 ????
??
12，4
解析 满足约束条件的平面区域如图所示，因为直线y ＝a (x ＋1)过定点(－1,0)，故当y ＝a (x ＋1)过点B (0,4)时，得到a ＝4，当y ＝a (x ＋1)过点A (1,1)时，得到a ＝12.又因为直线y ＝a (x ＋1)与平面区域有公共点，故1
2≤a ≤4.
16．线性目标函数z ＝3x ＋2y ，在线性约束条件????
?
x ＋y －3≥0，2x －y ≤0，
y ≤a 下取得最大
值时的最优解只有一个，则实数a 的取值范围是________．
答案 [2，＋∞)
解析 作出线性约束条件 ????
?
x ＋y －3≥0，2x －y ≤0，y ≤a
所表示的可行域(如右图所示)．因为取得最大值时的最优解
只有一个，所以目标函数对应的直线与可行域的边界线不平行，根据图形可得实数a 的取值范围是[2，＋∞)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设x ，y 满足条件????
?
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3.
(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝y
x －5
的最大值与最小值．
解 画出满足条件的可行域如图所示，
(1)x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u 最大值＝73，u 最小值＝0.
(2)v ＝y x －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图可知，k BD
最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，
所以v 最大值＝－33－5＝32，v 最小值＝8
3－5
＝－4.
18．(本小题满分12分)已知实数x ，y 满足条件????
?
x ≥0，y ≥x ，
3x ＋4y ≤12，
求
x ＋2y ＋3
x ＋
1
的最大值．
解 作出可行域．
令z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1，y ＋1x ＋1可以看成点B (－1，－1)
与点(x ，y )连线的斜率，当然点(x ，y )在可行域之内，结合图形可知，点B (－1，－1)与可行域内的点A (0,3)连线的斜率最大，
即y ＋1x ＋1最大，最大值为y ＋1x ＋1＝3＋1
0＋1＝4，所以z max ＝9. 19．(本小题满分12分)设不等式组????
?
x －y ＋8≥0，x ＋y ≥0，
x ≤4表示的平面区域是Q .
(1)求Q 的面积S ；
(2)若点M (t,1)在平面区域Q 内，求整数t 的取值的集合．
解 (1)作出平面区域Q ，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．
由?????
x ＋y ＝0，x ＝4，
解得A (4，－4)，
由?
????
x －y ＋8＝0，x ＝4， 解得B (4,12)，由?????
x －y ＋8＝0，x ＋y ＝0，
解得C (－4,4)．
于是可得|AB |＝16，AB 边上的高d ＝8. ∴S ＝1
2×16×8＝64.
(2)由已知得?????
t －1＋8≥0，
t ＋1≥0，
t ≤4，
t ∈Z ，
即?????
t ≥－7，
t ≥－1，
t ≤4，t ∈Z .
亦即?????
－1≤t ≤4，
t ∈Z ，
得t ＝－1,0,1,2,3,4.
故整数t 的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}．
20．(本小题满分12分)若点(1，－2)与点(－2,0)在直线x ＋y ＋a ＝0的两侧，同时点(1，－2)和点(－1，－4)都在不等式bx ＋y ＋2<0所表示的区域内，求a ＋b 与a －b 的取值范围．
解 据题意，点(1，－2)与点(－2,0)在直线x ＋y ＋a ＝0的两侧，则有 (1－2＋a )(－2＋0＋a )<0，即(a －1)(a －2)<0. 解得1 又点(1，－2)与点(－1，－4)都在不等式bx ＋y ＋2<0所表示的区域内，则有 ? ???? 1×b －2＋2<0， －1×b －4＋2<0，解得－2 又0<－b <2.③ 由①，③得1 21．(本小题满分12分)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( ) C ．17万元 D ．18万元 答案 D 解析 据已知设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x ，y 吨，则 ????? 3x ＋2y ≤12， x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0， 其中z ＝3x ＋4y ，作出不等式组表示的平面区域，如图，易知 两直线3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8的交点A (2,3)为目标函数取得最大值的最优解，代入可得z max ＝3×2＋4×3＝18，故选D. 22．(本小题满分12分)要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截成三种规格小钢板的块数如下表： 每张钢板的面积，第一种1平方单位，第二种2平方单位，今需要A、B、C 三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得到所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小？ 解设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为z平方单位，则 ???? ? x ＋y ≥12， 2x ＋y ≥15，x ＋3y ≥27，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ， 目标函数z ＝x ＋2y ，作出一组平行线x ＋2y ＝z ，作出不 等式组表示的可行域． 由? ???? x ＋3y ＝27，x ＋y ＝12.解得x ＝92，y ＝152，点A ? ????92，152不是可行区域内整点，在可 行区域内的整点中，点(4,8)和(6,7)使目标函数取最小值20. 答：符合题意要求的钢板截法有两种，第一种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张．第二种截法是截第一种钢板6张，第二种钢板7张，两种方法都最少要截两种钢板20平方单位． 第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2 ＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x )； ②当0a g (x ) ?f (x ) 线性规划模型及其举例 摘要：在日常生活中，我们常常对一个问题有诸多解决办法，如何寻找最优方案，成为关键，本文提出了线性规划数学模型及其举例，在一定约束条件下寻求最优解的过程，目的是想说明线性规划模型在生产中的巨大应用。 关键词：资源规划；约束条件；优化模型；最优解 在工农业生产与经营过程中，人们总想用有限的资源投入，获得尽可能多的使用价值或经济利益。如：当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多，利润最大）。 一.背景介绍 如果产出量与投入量存在（或近似存在）比例关系，则可以写出投入产品的线性函数式： 1()n i ij j j f x a x ==∑，1,2,,,1i m m =+ (1) 若将（1）式中第（1m +）个线性方程作为待求的目标函数，其余m 个线性方程作为资源投入的限制条件（或约束条件），则（1）式变为： OPT. 1()n j j j f x c x ==∑ ST. 1 n ij j j a x =∑> ( =, < )i b , 1,2,,i m = (2) 0,j x ≥ 1,2,,j n =… （2）式特点是有n 个待求的变量j x （1,2,,j n =…）；有1个待求的线性目标函数()f x ，有m 个线性约束等式或不等式，其中i b （1,2,,i m =…）为有限的资源投入常量。将客观实际问题经过系统分析后，构建线性规划模型，有决策变量，目标函数和约束条件等构成。 1．决策变量（Decision Variable,DV ）在约束条件范围内变化且能影响（或限定）目标函数大小的变量。决策变量表示一种活动，变量的一组数据代表一个解决方案，通常这些变量取非负值。 2．约束条件（Subject To,ST ）在资源有限与竞争激烈的环境中进行有目的性的一切活动，都 考虑如下线性规划问题： Min z=60 x+402x+803x 1 . 3 x+22x+3x≥2 1 4 x+2x+33x≥4 1 2 x+22x+23x≥3 1 x,2x,3x≥0 1 要求：（1）写出其对偶问题； （2）用对偶单纯形法求解原问题； （3）用单纯形法求解其对偶问题； （4）对比（2）与（3）中每步计算得到的结果。 解：(1)设对应于上述约束条件的对偶变量分别为 y,2y,3y；则 1 由原问题和对偶问题，可以直接写出对偶问题为： Max Z’=2 y+42y+33y 1 3 y+42y+23y≤60 1 2 y+2y+23y≤40 1 y+32y+23y≤80 1 y,2y,3y≥0 1 (2)用对偶单纯形法求解原问题（添加松弛变量 x,5x,6x） 4 MaxZ= -60 x-402x-803x+04x+05x+06x 1 -3 x-22x-3x+4x=-2 1 -4 x-2x-33x+5x=-4 1 -2 x-22x-23x+6x=-3 1 1x ,2x ,3x ≥0 建立此问题的初始单纯形表，可见： 从表中可以看到，检验数行对应的对偶问题的解是可行解。因b 列数字为负，故需进行迭代运算。 换出变量的确定，计算min （-2，-4，-3）=-4，故5x 为换出变量。 换入变量的确定，计算得15,40，80/3,故1x 为换入变量。 由表可知，6x 为换出变量。2x 为换入变量。然后继续画单纯形表： 可得4x 为换出变量，3x 为换入变量。继续做单纯形表： 所以此问题的最优解为X=（11/10,19/30，1/10），此对偶问题的最优解为Y=（16,12,30），原问题的最小值为118/3. （3）MaxZ ’=21y +42y +33y +04y +05y +06y 31y +42y +23y +4y =60 21y +2 y +23y +5y =40 1y +32y +23y +6y =80 1y ,2y ,3y ,4y ,5y ,6y ≥0 然后建立单纯形表，可得 i 专题12 线性规划问题B 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若x ，y 满足约束条件???? ? x ≥0，x ＋y －3≥0， x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0,6] B ．[0,4] C ．[6，＋∞) D ．[4，＋∞) 答案 D 解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示． 由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z 2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选D. 2．设不等式组???? ? x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0， 5x －3y ＋9≤0 表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( ) A ．(1,3] B ．[2,3] C ．(1,2] D ．[3，＋∞ ) 答案 A 解析 画出不等式组所表示的平面区域如图．若指数函数y ＝a x 图象上存在 区域D 上的点，则y ＝a x 的图象过A 点时为一个临界位置．由? ???? 3x －y ＋3＝0， x ＋y －11＝0解 得????? x ＝2， y ＝9， 即A (2,9)，代入y ＝a x 满足a 2≤9即a ∈[－3,3]，又∵a >1时才符合题意，∴a ∈(1,3]． 3. 若不等式组???? ? x －y ＋5≥0，y ≥a ， 0≤x ≤2 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的 取值范围是( ) A ．(－∞，5) B ．[7，＋∞) C ．[5,7) D ．(－∞，5)∪[7，＋∞) 答案 C 解析 如图，作出不等式组???? ? x －y ＋5≥0，y ≥a ， 0≤x ≤2 表示的平面区域如图所示： 当直线y ＝a 介于直线y ＝5(含该直线)与直线y ＝7(不含该直线)之间时，符合题意．所以5≤a ＜7.故选C. 4. 在平面直角坐标系中，若不等式组???? ? x ＋y －1≥0，x －1≤0， ax －y ＋1≥0 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1.若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???1，43 B.? ???? 12，43 C.? ? ???1，74 D.? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4. 综上,12＜a ＜7 4,故选D. 2.已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A.(a －1)(b －1)＜0 B.(a －1)(a －b )＞0 C.(b －1)(b －a )＜0 D.(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D. 3.设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A.(－3,1)∪(3,＋∞) B.(－3,1)∪(2,＋∞) C.(－1,1)∪(3,＋∞) D.(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3.由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 六种经典线性规划例 题 求线性目标函数的取值范围 x y [3,6] y 2 i O x=2 求可行域的面积 y y C 5 \ M O ) 13 x y x x O x y ) D y =2 x , 个 2 2 x + y -3 = 0s D 、无穷大 2 2 2 2 () y y y y 三、求可行域中整点个数 y x B A 2x + y =5 旦y =2 解：如图，作出可行域，△ OMBC 的面积减去梯 x L ' x + y =2 D 、( 3,5] ABC 的面积即为所求，由梯形 OMAC 的面积即可，选 B (x (x (xp 0 (xp 0 中整点(横纵坐标都是整数)有 、14个 A 、[2,6] B 、[2,5] C 解：如图，作出可行域，作直线 l 向右上方平移，过点 A ( 2,0 2，过点B ( 2,2 )时，有最大值 线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标 函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 例1、若x 、y 满足约束条件 例3、满足|x| + |y| <2的点 A 、9 个 B 、10 个 C 、 ，则z=x+2y 的取值范围是 2 0,y 0) 0, y p 0) y 0) yp 0) 作出可行域如右图，是正方形内部(包括边界)，容易得 到整点个数为 13个，选D () A 、 4 B 、 1 x 解：凶+ |y| <2等价于 y 6 y 3 0表示的平面区域的面积为 2 2x 例2、不等式组 x x+2y = 0，将 时，有最小值 6，故选A 专题七不等式 第二十讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题 1．(2018天津)设变量x，y满足约束条件 5, 24, 1, 0, x y x y x y y + ? ?- ? ? -+ ? ?? ≤ ≤ ≤ ≥ 则目标函数35 z x y =+的最大值为 A．6 B．19 C．21 D．45 2．（2017新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件 2330 2330 30 x y x y y +- ? ? -+ ? ?+ ? ≤ ≥ ≥ Error! Digit expected.，则 2 z x y =+的最小值是 A．B．C．D． 3．（2017天津）设变量,x y满足约束条件 20, 220, 0, 3, x y x y x y + ? ?+- ? ? ? ?? ≥ ≥ ≤ ≤ 则目标函数z x y =+的最大值 为 A．2 3 B．1 C． 3 2 D．3 4．（2017山东）已知x，y满足 30 350 30 x y x y x -+ ? ? ++ ? ?+ ? ≤ ≤ ≥ ，则2 z x y =+的最大值是 A．0 B．2 C．5 D．6 5．（2017北京）若x，y满足 3 2 x x y y x ? ? + ? ? ? ≤ ≥ ≤ 则2 x y +的最大值为 A．1 B．3 C．5 D．9 6．（2017浙江）若x，y满足约束条件 30 20 x x y x y ? ? +- ? ?- ? ≥ ≥ ≤ ，则2 z x y =+的取值范围是 A ．[0，6] B ． [0，4] C ．[6,)+∞ D ．[4,)+∞ 7．(2016年山东)若变量x ，y 满足2, 239,0,x y x y x 则22x y +的最大值是 A ．4 B ．9 C ．10 D ．12 8．(2016浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由 区域200340x x y x y -≤??+≥??-+≥? ，中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则 ||AB = A ．2 B ．4 C ．2 D ．6 9．(2016天津)设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥??+-≥??+-≤? ，则目标函数25z x y =+的最小值 为 A ．4- B ．6 C ．10 D ．17 10．（2015陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用,A B 两种原料，已知生产1吨每种产品 需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为 甲 乙 原料限额 A （吨） 3 2 12 B （吨） 1 2 8 A ．12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元 11．（2015天津）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥??-+≥??+-≤? ，则目标函数6z x y =+的最大 值为 A ．3 B ．4 C ．18 D ．40 12．（2015福建）若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +??-??-+? ≥≤≥ 则2z x y =-的最小值等于 线性规划题型及解法 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 2x -y _2 例1、设变量x、y满足约束条件x 一y _ _1，则z =2x ? 3y的最大值为__________ 。 x y _1 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 \ >1, 例2、已知」x-y+1兰0,则x2+y2的最小值是_」“(x-1)2+(y+2『”值域？ 2x - y - 2 <0 三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 Zf x _0 例3、在约束条件y_0 下，当3乞s乞5时，目标函数Z=3x?2y的最大值的变化范围是() |y x _s y 2x^4 A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线x2-y2 =4的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是() fx-yZ0 「x-yX0 『x-y^0 "x-y 兰0 (A) x y _ 0 (B) x y 乞0 (C) x y 乞0 (D) x y _ 0 0 _x _3 0 _x _3 0 _x _3 0 _x _3 五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。 (1 ：：: x ：「v ‘：：4 例5已知变量x，y满足约束条件若目标函数ax y (其中a 0)仅在 [―2 兰x—y 兰2 点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为 __________ 。 六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题 丄x y _ 2 _ 0 _ 例6在平面直角坐标系中，不等式组x_y，2_0表示的平面区域的面积是()(A)4、、2 (B)4 [八0 (C) 2.2 (D)2 七、研究线性规划中的整点最优解问题 ”5x-11y —22, 例7、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件<2x+3yX9, 则 、2x 兰11. z =10x 10y 的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如z =-—a时，可把z看作是动点P x, y与定点Q b, a连线的斜率，这样目 x —b 标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。 x—y+ 2W 0，V 简单的线性规划问题 高考要求： 能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以 解决。 知识梳理： 1．线性规划的基本概念： (1)二元一次不等式组是一组对变量y x ,的约束条件,这组约束条件都是关于y x ,的一次不等式,所以又 称为线性约束条件。 (2)by ax z +=),(R b a ∈是欲达到最大值或最小值所涉及的变量y x ,的解析式，叫做目标函数。由 于 by ax z +=又是y x ,的一次解析式，所以又叫线性目标函数。 (3)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条 件的解),(y x 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别使目标函数by ax z +=取得最大值或 最小值的可行解叫做这个问题的最优解。 2．基本思想：数形结合 高考热点： 热点1：平面区域问题 1．设集合A ＝{),(y x |x ，y ，y x --1是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是 ( ) 热点2：目标函数的最值问题 2．若变量y x ,满足不等式组?? ? ??≥+≥-≥+-0203052y x x y x ，求下列目标函数的最值： （1）y x z 2+= （2）y x z +=3 （3）y x z -=3 （4）1 1 ++=x y z （5）22)1()1(+++=y x z 小结： 拓展延伸： （6）若),(y x M 为D 上的动点，点A 的坐标为)1,3(-，则z OM OA =? 的最大值为 （7）已知向量)3,(z x +=，),2(z y -=，且b a ⊥，则z 的取值范围是 （8）y x z 2+= （9）y x z 2+= （10）若y x ,在上述不等式组所表示的区域内变动，且t x y +=2，则实数t 的取值范围是 热点3：已知最优解逆向求解参数值或范围 3．（2010. 浙江理7）若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥?? --≤??-+≥? 且x y +的最大值为9，则实 数m =（ ） （A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2 变式1：若上述不等式组中1=m ，使目标函数y ax z +=取最大值的最优解有无穷多个时，a 的值为 。若最优解只有一个时，a 的取值范围是 。 变式2：若原题中不等式组不变，且目标函数y mx z +=的最大值为9，则a 的值为 。高考数学二轮复习专题突破训练一第2讲不等式与线性规划理含2014年高考真题
线性规划模型及其举例
考虑如下线性规划问题
专题12 线性规划问题B
高考数学专题练习：不等式与线性规划
六种经典线性规划例题培训资料
专题七 不等式 第二十讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 (1)
线性规划题及答案
线性规划讲义
微专题41 简单线性规划问题答案