小学数学应用题解题技巧大全 小升初应用题大全，可分为一般应用题与典型应用题。 1归一问题 【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。 【数量关系】总量÷份数＝1份数量 1份数量×所占份数＝所求几份的数量 另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数 【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。 例1买5支铅笔要元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱 [ 解（1）买1支铅笔多少钱÷5＝（元） （2）买16支铅笔需要多少钱×16＝（元） 列成综合算式÷5×16＝×16＝（元）答：需要元。 例23台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷 解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷90÷3÷3＝10（公顷） （2）5台拖拉机6天耕地多少公顷10×5×6＝300（公顷） 列成综合算式90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）答：5台拖拉机6天耕地300公顷。例35辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次 解（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材100÷5÷4＝5（吨） （2）7辆汽车1次能运多少吨钢材5×7＝35（吨） 》 （3）105吨钢材7辆汽车需要运几次105÷35＝3（次）
列成综合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）答：需要运3次。 2归总问题 【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。 【数量关系】1份数量×份数＝总量 总量÷1份数量＝份数 总量÷另一份数＝另一每份数量 【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 例1服装厂原来做一套衣服用布米，改进裁剪方法后，每套衣服用布米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套 】 解（1）这批布总共有多少米×791＝（米） （2）现在可以做多少套÷＝904（套） 列成综合算式×791÷＝904（套）答：现在可以做904套。 例2小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》 解（1）《红岩》这本书总共多少页24×12＝288（页） （2）小明几天可以读完《红岩》288÷36＝8（天） 列成综合算式24×12÷36＝8（天）答：小明8天可以读完《红岩》。 例3食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天 解（1）这批蔬菜共有多少千克50×30＝1500（千克）
八年级下册数学难题精选 分式： 一：如果abc=1,求证 11++a ab +11++b bc +11 ++c ac =1 二：已知a 1+b 1=)(29b a +，则a b +b a 等于多少？ 三：一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。
四：联系实际编拟一道关于分式方程228 8 +=x x 的应用题。要求表述完整，条件充分并写出解答过程。 五：已知M ＝222y x xy -、N ＝2 22 2y x y x -+，用“+”或“－”连结M 、N,有三种不同的形 式，M+N 、M-N 、N-M ，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x ：y=5：2。 反比例函数： 一：一张边长为16cm 正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E ”图案如图1所示．小矩形的长x （cm ）与宽y （cm ）之间的函数关系如图2所示： （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）“E ”图案的面积是多少？ （3）如果小矩形的长是6≤x ≤12cm ，求小矩形宽的范围.
二：是一个反比例函数图象的一部分，点(110) A，，(101) B，是它的两个端点．（1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例． 三：如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数1 y x 的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 四：如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，1 -），且 P（1 -，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴， QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ 与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的 OPCQ周长的最小值．
小学数学应用题类型及解题方法
小学数学应用题类型及解题方法 1、和差问题：已知两个数的和与差，求这两个数的应用题，叫做和差问题。一般关系式有： （和－差）÷2＝较小数（和＋差）÷2＝较大数 例：甲乙两数的和是24，甲数比乙数少4，求甲乙两数各是多少？ （24＋4）÷2 ＝28÷2 ＝14 乙数（24－4）÷2 ＝20÷2 ＝10 甲数 答：甲数是10，乙数是14 2、差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题，叫做差倍问题。基本关系式是：两数差÷倍数差＝较小数 例：有两堆煤，第二堆比第一堆多40吨，如果从第二堆中拿出5吨煤给第一堆，这时第二堆煤的重量正好是第一堆的3倍。原来两堆煤各有多少吨？ 分析：原来第二堆煤比第一堆多40吨，给了第一堆5吨后，第二堆煤比第一堆就只多40－5×2吨，由基本关系式列式是： （40－5×2）÷（3－1）－5 ＝（40－10）÷2－5 ＝30÷2－5 ＝15－5 ＝10（吨）第一堆煤的重量10+40＝50（吨）→第二堆煤的重量 答：第一堆煤有10吨，第二堆煤有50吨。 3、还原问题：已知一个数经过某些变化后的结果，要求原来的未知数的问题，一般叫做还原问题。还原问题是逆解应用题。一般根据加、减法，乘、除法的互逆运算的关系。由题目所叙述的的顺序，倒过来逆顺序的思考，从最后一个已知条件出发，逆推而上，求得结果。 例：仓库里有一些大米，第一天售出的重量比总数的一半少12吨。第二天售出的重量，比剩下的一半少12吨，结果还剩下19吨，这个仓库原来有大米多少吨？ 分析：如果第二天刚好售出剩下的一半，就应是19＋12吨。第一天售出以后，剩下的吨数是（19＋12）×2吨。以下类推。 列式：[（19＋12）×2－12]×2 ＝[31×2-12]×2＝[62-12]×2＝50×2 ＝100（吨）答：这个仓库原来有大米100吨。 4、置换问题：题中有二个未知数，常常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算。其结果往往与条件不符合，再加以适当的调整，从而求出结果。 例：一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？ 分析：先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是20×100＝2000（分），比原来的总值多2000－1880＝120（分）。而这个多的120分，是把10分一张的看作是20分一张的，每张多算20－10＝10（分），如此可以求出10分一张的有多少张。 列式：（2000－1880）÷（20－10）＝120÷10 ＝12（张）→10分一张的张数 100－12＝88（张）→20分一张的张数或是先求出20分一张的张数，再求出10分一张的张数，方法同上，注意总值比原来的总值少。 5、盈亏问题（盈不足问题）：题目中往往有两种分配方案，每种分配方案的结果会出现多（盈）或少（亏）的情况，通常把这类问题，叫做盈亏问题（也叫做盈不足问题）。 解答这类问题时，应该先将两种分配方案进行比较，求出由于每份数的变化所引起的余数的变化，从中求出参加分配的总份数，然后根据题意，求出被分配物品的数量。其计算方法是： 当一次有余数，另一次不足时：每份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 当两次都有余数时：总份数＝（较大余数－较小数）÷两次每份数的差 当两次都不足时：总份数＝（较大不足数－较小不足数）÷两次每份数的差 例1、解放军某部的一个班，参加植树造林活动。如果每人栽5棵树苗，还剩下14棵树苗；如果每人栽7棵，就差4棵树苗。求这个班有多少人？一共有多少棵树苗。
浅谈中学教学中的数学猜想 摘要：通过史实的种种证明，猜想在整个数学教学过程中都起到非常重要的作用。本文从“数学猜想”的定义入手，到它的方法意义，然后到它在中学教学的指导作用，最后，深入分析它的四种分类。重在讨论如何运用数学猜想解决数学问题。 关键词：猜想，创新，中学教学，推理 一、数学猜想的定义及其特征 数学猜想是根据已经存在的数学知识和数学事实，对未知量及其关系作出的似真判断，具有科学假说性。任何数学定理或结论的形成都人模糊到确立，也就是从猜想（假说）到结论。科学家牛顿曾说：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”数学教育家波利亚也认为一个好的数学家，首先必须是一个好的猜想家，并提出：“在数学教学中必须有猜想的地位。” 数学猜想既有逻辑的成份又含有非逻辑的成份，因此，它具有科学性的同时也有很大程度的假定性，我们需要推理和论证才能最好终确立这样的猜想是否正确，而这样的推理和论证过程刚是一种创造性的思维活动，是科学发现的一种重要手段。 数学猜想具有科学性，假定性和创新性三个基本特征。 （１）、科学性数学猜想并不是凭空想像，而是以数学经验事实为基础，对未知量和相互关系作出的推测和判断。因此，数学猜想具有一定的科学性。 （２）、假定性任何猜想都需要以真实依据为先导，合情推理为手段进行论证或推翻，只要这个猜想还没被证实，那么它就是假定的，似真的。 其实，数学猜想就是科学性和假定性的统一体。 （３）、创新性创新是数学猜想的灵魂，没有创新就无所谓数学猜想。有了猜想就要去推出它，证明你的猜想是个事实，而这个证明或推理的过程就是一个思维碰撞的过程，通过这样的过程，产生了新的见解，事实或规律等。所以每个数学猜想的论证都有创新性。
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/aa9031745.html, 物理方法在数学解题中的应用 作者：李光才 来源：《考试周刊》2013年第01期 摘要：数学方法和物理有着不解之缘.用数学方法去解物理问题似乎理所当然（因为数学是工具），但是反过来用物理方法去解数学问题（它有时巧妙与简洁），也许不太为人们所重视.本文谈谈物理方法在解数学问题中的应用. 关键词：物理方法数学问题应用 早在两千多年以前，古希腊学者阿基米德就曾用物体的平衡定律解一些几何问题，数学家庞加莱也说过：物理学不仅给数学工作者一个解题的机会，而且帮助我们发现解题的方法，其方式有二：它引导我们预测解答及提示适合的论证方法. 我们首先来看物理方法在解几何问题上的应用. 例1：如图，G是△ABC的重心，l是△ABC外一直线，若自A﹑B﹑C﹑G各向l作垂 线，垂足分别是A′﹑B′﹑C′﹑G′，则AA′+BB′+CC′=3GG′. 这个问题直接用几何方法可以证明，只是稍嫌麻烦（还要作辅助线），但若从力学的角度考虑，结论几乎是显然的. 证明：今在A﹑B﹑C各置一个单位质点，则整个质点系质量为3单位，且重心恰好在G. 若重力方向视为与l垂直方向，则质点组{A，B，C}对l的力矩为：l·AA′+l·BB′+l·CC′，它恰好等于质心G（质量为3个单位）对于l的力矩，而这个力矩正好是3GG′. 例2：三个乡村要联合办一所小学，其中甲村有50名，乙村庄有学生70名，丙村有学生90名.问这所学校办在什么地方可以使学生所走路程总和最小？ 这个问题从数学的角度出发属于求函数的极值问题，现在我们用物理的方法来解决. 解：如图，在一块木板上画好三个村位置，然后在标有三村位置的点处各钻一孔，再把三条系在一起的绳子分别穿过三个孔，绳子下段各挂有重量比是5：7：9的三个重物，当它们平衡时，绳子结点所在位置，即为所求学校的位置.（利用位能最小原理） 最后我们来看一个求三角函数的例子. 例3：求sin18°的值.
小学数学应用题及解答方法大全 超人资讯 百家号06-0921:40 小学数学除了简单的计算，到了小学高年级阶段，开始出现应用题。应用题是把含有数量关系的实际问题用文字叙述出来所形成的题目。下面是小编为大家整理的小学数学应用题大全。 1归一问题 【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。 【数量关系】总量÷份数＝1份数量 1份数量×所占份数＝所求几份的数量 另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数 【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例1、买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？ 例2、3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？ 例3、5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？ 2归总问题 【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。 【数量关系】1份数量×份数＝总量总量÷1份数量＝份数
总量÷另一份数＝另一每份数量 【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 例1、服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？ 例2、小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？ 例3、食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？ 3 和差问题 【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。 【数量关系】大数＝（和＋差）÷ 2 小数＝（和－差）÷ 2 【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。 例1、甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？ 例2、长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。 例3、有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。 例4、甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？ 4 和倍问题 【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。 【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数
专题：猜想、探索规律型 一、选择题 1．(2009年四川省内江市)如图，小陈从O 点出发，前进5米后向右转20O ， 再前进5米后又向右转20O ，……，这样一直走下去， 他第一次回到出发点O 时一共走了（ ） A ．60米 B ．100米 C ．90米 D ．120米 2．（2009年贵州黔东南州）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子数（ ）粒。A 、12+n B 、12-n C 、n 2 D 、2+n 3．（2009年江苏省）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-?? -+ ??? ； 第2个数： 23 11(1)(1)1113234????---??-+++ ??? ??????? ； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456???????? -----??-++ +++ ??????? ??????????? ； …… 第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -???? ?? ----??-++++ ??? ? ?+?????? ?? ． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ） A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个数 4．（2009年孝感）对于每个非零自然数n ，抛物线2 211(1) (1) n n n n n y x x +++=-+ 与x 轴交于A n 、B n 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B ++ +的值是 A ． 20092008 B ． 20082009 C ． 20102009 D ． 20092010 5．（2009年重庆）观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ） A ．22n + B ．44n + C ．44n - D ．4n 6．(2009年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1 ） A ．13 = 3+10 B ．25 = 9+16 C ．36 = 15+21 D ．49 = 18+31 二、填空题 1．(2009年四川省内江市)把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么2007，2008，2009，2010这四个数中______________可能是剪出的纸片数 2．（2009仙桃）如图所示，直线y ＝x ＋1与y 轴相交于点A 1，以OA 1为边作正方形OA 1B 1C 1，记作第一个正方形；然后延长C 1B 1与直线y ＝x ＋1相交于点A 2，再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2，记作第二个正方形；同样延长C 2B 2与直线y ＝x ＋1相交于点A 3，再以C 2A 3为边作正方形C 2A 3B 3C 3，记作第三个正方形；…依此类推，则第n 个正方形的边长为________________． 3．（2009年泸州）如图1，已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥A B ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则CA 1= ， =5 55 4C A A C …… 第1个 第2个 第3个 4=1+3 9=3+6 16=6+10 图7 … O 20o 20o
猜想验证的数学方法在小学教学中的探索与运用 【摘要】猜想验证是一种重要的数学思想方法，正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说：“真正的数学家常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。”因此，数学教学中，教师要重视猜想验证思想方法的渗透，以增强学生主动探索和获取数学知识的能力。 【关键词】小学数学教学；猜想验证；数学思想方法；数学知识；主动探索 conjecture validation of mathematical methods in elementary teaching exploration and utilization liu jian 【abstract】conjecture verification is an important mathematical way of thinking， as the dutch mathematics educators freudenthal said：“the real mathematicians often made ？？with a variety of mathematical intuition conjecture， and then to be confirmed.” therefore，mathematics teaching ， teachers should pay attention to the penetration of conjecture verify thinking to enhance the students’ initiative to explore and acquire mathematical knowledge. 【key words】primary mathematics teaching； conjecture verification； mathematical thinking； mathematical
小学典型应用题 具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。 解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。 算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。 加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。 数量关系式（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。 差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。 数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得数最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。 例：一辆汽车以每小时100 千米的速度从甲地开往乙地，又以每小时60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。 分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为100 ，所用的时间 为 1 100，汽车从乙地到甲地速度为60 千米，所用的时间是 1 60，汽车共行的时间为 1 100 +1 60= 2 75, 汽车的平均速度为2 ÷ 2 75=75 （千米） （2）归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。 根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。
根据求知单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。 一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。” 两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。” 正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。 反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。 解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。 数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一） 总数量÷单一量=份数（反归一） 例一个织布工人，在七月份织布4774 米，照这样计算，织布6930 米，需要多少天？ 分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。693 0 ÷（477 4 ÷31 ）=45 （天） （3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。 特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。 数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量= 另一个单位个数 单位数量×单位个数÷另一个单位个数= 另一个单位数量。 例修一条水渠，原计划每天修800 米， 6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？
谈中学数学中的猜想方法及其作用 天津市塘沽六中 高宝红 数学
谈中学数学中的猜想方法及其作用 内容摘要数学猜想是人的思维在探索数学规律、本质时的一种方法．它是建立在已有的事实经验基础上，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合理推理．在数学领域中，猜想是合理的，是值得尊重的，是负责任的态度．数学猜想能缩短解决问题的时间；能锻炼数学思维，激发学生的学习兴趣；能更快捷地寻找解题思路，更为透彻地理解和掌握数学知识；还能培养学生的创造性思维和创新意识，掌握研究数学的一般方法． 关键词数学猜想；操作方法；教学作用 科学的发展离不开创新，高素质人才最重要的是要有丰富的想像力，有善于提出问题、解决问题的能力，有发现和创新新东西的能力．引导学生进行猜想是发展学生个体、培养学生创新精神的一种有效方法，是培养创造性人才的重要手段． 所谓数学猜想，是指根据某些已知的事实、材料和数学知识，以已有的数学理论和方法为指导，对未知的量及其关系所作的一种预测性的推断．它是数学研究常用的一种科学方法，又是数学发展的一种重要形式．猜想作为一种手段，目的是为了验证猜想的正确性．对于未给出结论的数学问题，猜想的形成有利于解题思路的正确诱导；对于已有结论的问题，猜想也是寻求解题思维策略的重要手段．可见探讨数学猜想及其在中学数学学习中的作用具有重要作用．本文拟对此做一探讨． 一、数学中的猜想方法 1、探索性方法猜想
探索性猜想指的是根据教材的特点组织一些有趣的实验，让学生在实验中探索事物表面的、外部联系的知识，取得感性材料，在对这些材料加工整理，使知识结构发现变化，从中发现新知识，作出猜想，然后再从理论上予以证明，使学生较好的掌握新知识． 例1 平面上的n 条直线最多可以把平面分成几部分？ 分析：我们可从同学感兴趣的意大利馅饼（pizza ）谈起：Primo’s pizzeria 的职员喜欢将pizza 饼切成形状各异的一块块．他们发现每切一定数量的刀数，就可产生一个最多的块数，讲到这里，教师提问：同学们，你们是否也想操刀一试身手？是否也想知道其中奥妙？在教师的煽情、鼓动下，学生已显得有些按捺不住、跃跃欲试，探索的欲望非常迫切．这时，教师要求学生每6人为一个小组，以合作探究的形式进行“切饼”的实验探索． 每个学生小组基本上都是按照切1刀、2刀、3刀、4刀、5刀来进行观察的，具体的结果如图1所示． 图1 在这切的过程中，学生感知最多块数与切口直线的位置关系有关，要想块数最多，切口直线的位置关系应满足条件：其中任何两条不平行，任何三条不过同一点。再注意到 1221112+?=+=,1232134+?=+=,1243167+?=+=,12 5411011+?=+=, 126511516+?= +=，……，学生运用不完全归纳法，就会发现规律．于是学生提出了下面的猜想：平面上有n 条直线，其中任何两条都不平行，并
盘点数学史上24道智力经典名题同学们，你们知道数学史上有哪些经典名题吗?查字典数学网为大家推荐的数学史上24道智力经典名题，小朋友们不妨开动脑筋，动手做一做吧! 1.遗嘱传说，有一个古罗马人临死时，给怀孕的妻子写了一份遗嘱：生下来的如果是儿子，就把遗产的2/3给儿子，母亲拿1/3;生下来的如果是女儿，就把遗产的1/3给女儿，母亲拿2/3。结果这位妻子生了一男一女，怎样分配，才能接近遗嘱的要求呢? 2.公主出题古时候，传说捷克的公主柳布莎出过这样一道有趣的题：“一只篮子中有若干李子，取它的一半又一个给第一个人，再取其余一半又一个给第二人，又取最后所余的一半又三个给第三个人，那么篮内的李子就没有剩余，篮中原有李子多少个?” 3.王子的数学题传说从前有一位王子，有一天，他把几位妹妹召集起来，出了一道数学题考她们。题目是：我有金、银两个手饰箱，箱内分别装自若干件手饰，如果把金箱中25%的手饰送给第一个算对这个题目的人，把银箱中20%的手饰送给第二个算对这个题目的人。然后我再从金箱中拿出5件送给第三个算对这个题目的人，再从银箱中拿出4件送给第四个算对这个题目的人，最后我金箱中剩下的比分掉的多10件手饰，银箱中剩下的与分掉的比是2∶1，请问谁能算出我
的金箱、银箱中原来各有多少件手饰? 4.国王的重赏传说，印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人——大臣西萨班达依尔。这位聪明的大臣跪在国王面敢说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧?”国王说：“你的要求不高，会如愿以偿的”。说着，他下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了。……还没到第二十小格，袋子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不了他对象棋发明人许下的语言。算算看，国王应给象棋发明人多少粒麦子? 5.哥德巴赫猜想哥德巴赫是二百多年前德国的数学家。他发现：每一个大于或等于6的偶数，都可以写成两个素数的和(简称“1+1”)。如：10=3+7，16=5+11等等。他检验了很多偶数，都表明这个结论是正确的。但他无法从理论上证明这个结论是对的。1748年他写信给当时很有名望的大数学家欧拉，请他指导，欧拉回信说，他相信这个结论是正确的，但也无法证明。因为没有从理论上得到证明只是一种猜想，所以就把哥德巴赫提出的这个问题称为哥德巴赫猜想。世界上许多数学家为证明这个猜想作了很大努力，他们由
小学数学应用题解题思路及方法30类典型应用题： 1、归一问题 【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。 【数量关系】 总量÷份数＝1份数量1份数量×所占份数＝所求几份的数量另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数 【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。 1、买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少元 2、3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？ 3、5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？ 2、归总问题 【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。 【数量关系】 1份数量×份数＝总量 总量÷1份数量＝份数 总量÷另一份数＝另一每份数量 【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 4、服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？ 5、小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？ 6、食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？ 3、和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。 【数量关系】 大数＝（和＋差）÷2 小数＝（和－差）÷2 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。
【假设思路】在自然科学领域内，一些重要的定理、法则、公式等，常常是在“首先提出假设、猜想，然后再进行检验、证实”的过程中建立起来的。数学解题中，也离不开假设思路，尤其是在解比较复杂的题目时，如能用“假设”的办法去思考，往往比其他思路简捷、方便。我们把先提出假设、猜想，再进行检验、证实的解题思路，叫假设思路。 例1 中山百货商店，委托运输队包运1000只花瓶，议定每只花瓶运费0.4元，如果损坏一只，不但不给运费，而且还要赔偿损失5.1元。结果运输队获得运费382.5元。问：损坏了花瓶多少只？ 分析（用假设思路考虑）： （1）假设在运输过程中没有损坏一个花瓶，那么所得的运费应该是多少？ 0.4×1000=400（元）。 （2）而实际只有383.5元，这当中的差额，说明损坏了花瓶，而损坏一只花瓶，不但不给运费，而且还要赔偿损失5.1元，这就是说损坏一只花瓶比不损坏一只花瓶的差额应该是多少元？ 0.4＋5.1=5.5（元） （3）总差额中含有一个5.5元，就损坏了一只花瓶，含有几个5.5元，就是损坏了几只花瓶。由此便可求得本题的答案。 例2 有100名学生在车站准备乘车去离车站600米的烈士纪念馆搞活动，等最后一人到达纪念馆45分钟以后，再去离纪念馆900米的公园搞活动。
现在有中巴和大巴各一辆，它们的速度分别是每分钟300米和150米，而中巴和大巴分别可乘坐10人和25人，问最后一批学生到达公园最少需要多少时间？ 分析（用假设思路思索）； 假设从车站直接经烈士纪念馆到公园，则路程为（600＋900）米。把在最后1人到达纪念馆后停留45分钟，假设为在公园停留45分钟，则问题将大大简化。 （1）从车站经烈士纪念馆到达公园，中巴、大巴往返一次各要多少时间？ 中巴：（600+900）÷300×2=10（分钟） 大巴：（600+900）÷150×2=20（分钟） （2）中巴和大巴在20分钟内共可运多少人？ 中巴每次可坐10人，往返一次要10分钟，故20分钟可运20人。 大巴每次可坐25人，往返一次要20分钟，故20分钟可运25人。 所以在20分钟内中巴、大巴共运45人。 （3）中巴和大巴20分钟可运45人，那么40分钟就可运45×2=90（人），100人运走90人还剩下10人，还需中巴再花10分钟运一次就够了。 （4）最后可求出最后一批学生到达公园的时间：把运90人所需的时间，运10人所需的时间，和在纪念馆停留的时间相加即可。
专题十 计数原理 第三十讲 排列与组合 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥 德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112 B ．114 C ．115 D ．118 2．（2017新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人 完成，则不同的安排方式共有 A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 3．（2017山东）从分别标有1，2，???，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取 1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A ．518 B ．49 C ．59 D ．79 4．(2016年全国II)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A ．24 B ．18 C ．12 D ．9 5．（2016四川）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A ．24 B ．48 C ．60 D ．72 6．（2015四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的 偶数共有 A ．144个 B ．120个 C ．96个 D ．72个 7．（2014新课标1）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 A ． 18 B ．38 C ．58 D ．78 8．（2014广东）设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中
谈“猜想”在数学教学中的渗透 德江县合兴中学冉茂文（565212） 摘要： 实施素质教育的一个重要方面就是要提高学生的创新意识和创新能力，在数学教学中，数学猜想是一个重要的组成部分。猜想验证是一种重要的数学思想方法，在教学中重视猜想验证思想方法的渗透，不但有利于学生迅速发现事物的规律，获得探索知识的线索和方法，而且能增强学好数学的信心，激发学习数学的主动性和参与性，从而更好地发展创造性思维，提高学生自主学习与分析解决问题的能力。 关键字：探索数学猜想美化思维能力 科学家牛顿说过：“没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发明和发现。”在数学教学过程中，猜想验证是一种重要的数学思想方法，将猜想引放到数学之中，将有助于学生开阔视野，活跃思维、培养创新意识，促进能力的整体提高。数学猜想是根据已知数学条件的数学原理对未知的量及其关系的似真推断，它既有逻辑成份，又含有非逻辑的成分。因此它具有一定的科学性和很大程度的假定性，这样的假定性命题是否正确，尚需通过验证和论证，虽然数学猜想的结论不一定正确，但它作为一种创造性的思维活动，猜想是有一定根据的、科学的、合理的推测，它不是空想，更不是胡思乱想。猜想是瞬间的跃进，不仅能培养学生的想象能力，还能培养学生的估计判断能力。在数学教学中正确引导学生猜想，培养猜想能力，不但有利于培养学生的创造性思维，而且还有利于培养学生将来在社会实践中驾驭生活的能力。因此，在数学教学中，合理正确引发学生的猜想是教
好数学这一门学科的最佳方式。那么在数学教学中如何引导学生展开猜想呢？这里我谈一下我的认识。 一、营造宽松活泼的教学环境，激发学生的求知欲望。 在教学过程中，首先要营造一个和谐的气氛，要以学生为主，教师为辅，让学生在轻松的学习环境中吸收知识。从引入新课时，教师如能提出一些趣味性、探索性的问题，就会诱发学生对本节新课内容的好奇心和求知欲，例如，在教学中心对称图形时，教师向学生提出一些趣味性的问题：木匠师傅在设计花窗时是怎样想的？怎样才能画一个标准的正六边形呢？一组感性学习材料的提供和适当启发，学生的思维有了一定的指向和集中。学生凭着对学习材料的直接反应，很有预见性地作出大胆的设想，这样，在学生的大脑中就形成了一个凝问，想急于知道答案，课堂气氛就活跃了，学生都也开始思考了，同时为引入新课作一个很好的铺垫。 二、挖掘问题的源头，诱发学生对问题的猜想。 在数学课堂教学中，如能提出探索性、挑战性问题，并从这些问题的源头着手，引发一个新的结论，这样，很容易诱发学生的猜想。例如，在教学“圆面积计算公式”时，首先可以从长方形、正方形、三角形等面积公式导入。问：你们还记得这些平面图形的面积公式的推导方法吗？既然圆也是平面图形，我们能否利用转化方式，化圆为方，将它转化为已学过的平面图形来推导面积公式呢？学生立即就活跃起来了，会有同学说把圆割成长方形再来求面积；也有的说，把它拼成三角形来求面积．．．．．．。最后老师来逐一总结每一种办法的可能性，通过验证让学生感受到成功的喜悦。这样即激发了学生的求知欲，又充分提高了学生的想象能力。
猜想在初中数学教学中的运用 发表时间：2012-07-04T10:28:34.623Z 来源：《学习方法报·语数教研周刊》2012年第28期供稿作者：杨奇龙 [导读] 数学学习应当是现实的、有意义的、富有挑战性的, 有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动. 江苏江都市第三中学杨奇龙 现行新课标提出：“数学学习应当是现实的、有意义的、富有挑战性的, 有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动.动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”．在数学教学中，把猜想作为一种手段，充分发挥它的效用，使学生积极参与学习的过程，主动地获取知识，从而使教学产生意想不到的效果．培养学生的猜想意识，引导学生进行积极的猜想，正是培养学生进行知识再发现和再创造的良好开端．学生的合理猜想中融合了直觉思维、联想等要素，是较复杂的思维过程，让学生根据已有的知识或直觉进行猜想，既能调动学生的各种思维能力，在猜想的过程中能更好地获取知识，又能展现他们的创新才智，提高学习的自信心．那么，我们在平时的教学实践中如何运用猜想来促进学生思维的发展，来引导学生积极主动地参与学习的全过程呢？我们应根据不同的教学内容，抓住不同的时机，创设猜想的情景，让学生去大胆猜想． 一、新课之前猜想，激发学习动机 猜想，最常运用于对新知识的探索起步阶段，因为这个阶段的猜想可以激活学生的思维，有利于架起已知与未知的桥梁，并且正如波利亚所说，这样做，更利于学生积极主动地参与到学习过程中来． 例如，在教学《探索三角形全等的条件》中，我首先要求学生画出有一条边长是5CM的三角形，引导学生观察，实践，得出只有一条边对应相等的三角形不一定全等，随后要求学生画出有一个角为38°的三角形，同样得出只有一个角对应相等的三角形不一定全等，在学生立足未稳之际我提出“有两个元素对应相等的两个三角形全等吗？”．由于一组感性学习材料的提供和适当启发，学生的思维有了一定的指向和集中，凭着对学习材料的直接反应，很有预见性地作出了大胆的设想：不一定．实践是检验真理的唯一标准，学生通过小组合作，很快验证了自己的猜想．最后我进一步组织实验进行点拨：两个元素对应还不够，三个行不行，比如两个边和一个角对应相等的两个三角形是否全等？学生茫然，……这一节课下来，学生是积极的，动态的，充分感受到求知的喜悦． 学生有了这种猜想，并且已验证猜想的正确性，就使接下来的探索过程有了方向和目标，使学生对解决问题充满了自信．所以我们要充分挖掘教材中可供猜想的因素，引导学生积极猜想，为学习活动作好良好的准备． 二、教学中猜想，培养学习动机 在学生学习数学知识的过程中，加入“猜想”这一“催化剂”，可以促进学生多角度思维，加快大脑中表象形成的速度，抓住事物的本质特征． 在教《三角形的中位线》时，是这样设计的，先出示直角、锐角、钝角三种不同的三角形，让学生画出其中位线，并比较中位线和第三边的大小关系，学生使用刻度尺进行度量，得出结论，三角形的中位线等于第三边的一半，然后，猜想中位线和第三边的位置关系，平行！最后进行验证，通过验证，证实三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 这种设计非常巧妙，它启动了学生思维的闸门，使其思维处于亢奋状态，发展了学生的潜在能力．数学的学习，对学生来说如同科学发现的过程，所以在学习过程中不断演绎着猜想、验证、再猜想、再验证的循环，从而使学生从对数学认识的模糊到清晰，从知之甚少到知之较多，最终使学生学会学习的方法． 三、小结延伸处猜想，强化学习动机 学习新内容后，可以让学生猜想以后会学习什么内容，今天学习的内容有什么作用．如学习指数是正整数的同底数幂的除法后，学生自然会猜想到接下来要学习指数是零和负整数的同底数幂的除法，这样有利于激起学生对后学知识的兴趣．还可以让学生在学习新知识后猜想知识的运用，如学习三角形的中位线之后可以让学生猜想梯形的中位线的性质．这样的猜想有利于培养学生将所学知识运用于未知的能力． 我们要鼓励学生去猜想，这样有助与培养学生的创造性思维，要在学生的猜想中发挥“主导作用”，引导他们去合理甚至求异地猜想，使学生更具信心地猜想，更好地发展他们的创造性思维． 1．教学中应提高学生猜想的有效度． 猜想可分为正向猜想与反向猜想．正向猜想就是学生根据已有的知识经验，按照常规有序的思考得到新知识，是学生利用迁移学习新知识的一种重要方法．如掌握平行四边形的性质推导过程以后，让学生猜想矩形和菱形以及正方形的性质该怎样推导，学生很容易做出正向猜想．引导学生在已有知识的基础上再作新的猜想，长此以往学生对正向猜想会比较自觉地进行． 反向猜想指的是换个角度甚至从常规角度相反的方向猜想，如教学“由两组解写出一个二元一次方程”，学生按常规很难猜想到规律，在学生有了几次失败的猜想以后，让学生运用待定系数法，看结果怎么样，再引导猜想．这两种猜想，对学生来说，前者是基础，后者是创新的灵魂，我们应重点扶持前者，精心设计后者． 2．教学中应督促学生猜想与验证相结合． 任何猜想都要经过验证，才能确定其普遍意义，猜想验证的过程，也就是学生主动参与数学知识的探索过程．只有猜想没有验证，那只能是空想，把猜想与验证紧密结合，可以产生猜想的良性循环．有的猜想通过简单计算和操作马上就可以验证．如猜想周长相同的长方形和圆的面积谁大，学生随机举例计算，就可以得出正确的结果． 3．教学中应尽可能用鼓励性评价对待学生的猜想． 学生的猜想不可能都是正确的，而且往往是荒诞的．作为教师，对待任何猜想，始终应该保持一条原则，那就是进行鼓励性评价，保护学生积极猜想的精神．教师对错误猜想不能简单地否定，而要引导学生仔细分析，然后再作新的猜想．猜想作为数学思维的一个极小组成部分，却可以发挥较大的辐射作用，培养学生的猜想能力可以促进学生创造性思维的形成，可以促使学生主动地进行学习，增强学生爱数学的情感．我们要对教材中的猜想因素深入挖掘，恰当处理，引导学生进行正向、反向猜想，使学生的创新意识、主体意识在想中得到发展． 猜想，已经成为学生当今学习数学的一种重要方式．从心理学角度看，是一项思维活动，是学生有方向的猜测与判断，包含了理性的思考和直觉的推断；从学生的学习过程来看，猜想是学生有效学习的良好准备，它包含了学生从事新的学习或实践的知识准备、积极动机