浅议解决物理问题的数学方法
宝坻一中张玉强
运用数学方法解决物理问题是高中物理课要培养学生的五种能力之一。最近几年的高考不断出现了考查用数学方法解决物理问题能力的题目。尤其是现在又实施了“3＋综”的考试形式，对跨学科的综合能力的考查逐年提高。因此，教师在教学的过程中，应有意识地培养学生利用数学方法解决物理问题的能力。
所谓解决物理问题的数学方法，就是根据物理问题中所遵循的物理规律，经过推理论证、数学运算，导出表示各物理量之间关系的方程式，然后运用数学有关知识解决物理问题。下面就解决物理问题中常用的几种数学方法做如下归纳总结：
一、一般函数的应用
在分析物理问题中的动态问题时，往往需要把要分析的量（Y）与已知代表动态的量（X），通过物理规律建立起一定的函数关系y＝f（x），从而确定要分析的量的变化情况。
例1、图1所示，绳与杆均轻质，承受弹力的最大值一定，A端用铰链固定，滑轮在A点正上方（滑轮大小及摩擦均可忽略），B端吊一重物，现施拉力F，将B端缓慢上拉（均未断），在A杆达到竖直前（）
A、绳子越来越容易断
B、绳子越来越不容易断
C、AB杆越来越容易断
D、AB杆越来越不容易断
解析：设AC＝l1，AB＝l2，BC=l3，BD=a，AD=b，CD=c
由共点力平衡条件得：
⎩⎨⎧=+=G F F F F N
N αθαθcos cos sin sin 得：1222sin cos l Gl a
c l a l b G ctg G F N =⨯+=+=αθθ 故可知AB 杆受力大小不变，所以选项C 、D 都错。
1
33
12sin sin l Gl l b l b
l Gl F F N =⨯==αθ 由于l 3在逐渐减小，故F 逐渐减小，所以选项B 正确
例2、如图2所示的电路，M 、N 两端的电压U
保持恒定，R 为定值电阻，当滑动变阻器R 0
(总阻值也为R ）的滑动端p 从a 端滑向b 端
的过程中，试分析安培表的读数变化情况。
解析：设滑动变阻器ap 部分的电阻为X ，求出通过安培表的电流I 与x 的
函数关系式。
22224
5)2(1R R x UR x R Rx UR x x R Rx x R x R Rx U
I +--=-+=⨯+⨯-++= 可见当2
R x = 时，I 有最小值，故滑动端P 从a 到b 滑动过程中，安培表的读数先减小后增大。
例3、房内高处有一白炽灯s （可视为点光源），如果在s 所在位置沿着垂
直于屏的方向水平扔出一个小球A ，如图3所示，不计空气阻力，则A 在屏上
的影子的运动是（ ）
A 、 加速度逐渐增大的直线运动
B 、加速度逐渐减小直线运动
C 、匀加速直线运动
D 、匀速直线运动
解析：要想确定正确选项，只要求出A 球影子位移S 与时间t 的函数关系
式，即可得解。
设经时间t A 球运动到B 点，影子为C ：d AP =。 由平抛运动规律可知2210gt DB t
v AD ==
又 ABD ∆∽ACP ∆ PC DB AP AD ::= ∴t v gd S PC 0
2== ∴ 0
2v gd v =影 是一定值，故选项D 正确。 二、三角函数的应用
三角函数在解决物理问题中经常要用到，主要涉及到三角函数的正弦定理、
余弦定理和差化积以及积化和差等有关知识。
例4、如图4所示，某轴承厂有一条
滚珠传送带，传送带与水平面的倾角为θ ，
上方有一滚珠送料口，为使滚珠从送料口
的A 点沿光滑斜槽最快地送到传送带上，下列应采取的措施正确的是（ ）
A 、沿竖直方向的A
B 安放滑槽
B 、沿过A 点与传送带垂直的方向A
C 安放滑槽
C 、沿∠BAC 的角平分线方向A
D 安放滑槽
D 、上述三种方案均不行
解析：此题需求出滚珠沿任一与水平方向夹a 角的滑槽滚下，所需的时间
t 的函数关系，则可求出a 为何值时t 有最小值。
设滚珠沿AF 滑槽滚下，AF 长为X ，AE 长为l ， 由正弦定理得：
θθαsin )](180sin[x L =+- ∴ )
sin(sin θαθ+=L x )
2cos(cos sin 4)sin(sin sin 22αθθθθαθθ+-=+==l g L a x t 可见当 θ+2α= 180 ，即α=290θ-
时，t 有最小值
故选项C 正确。 例5、一个物体的质量为m ，放在水平面上，受到一个大小恒定的力F 的
作用，若F< mg ，物体与水平面间的动摩擦因数为μ，求力F 跟水平面的夹角是多大时物体的加速度最大？
解析：设F 与水平方向夹角为θ ，求出此时
物体加速度a 与θ的函数关系式，利用三角函数
知识即可求解。
根据牛顿第二定律得：
()μθμφφπθφπ
θπφθμφμφθμθμθθμθμarctan tan 2tan 2
21tan sin 1sin cos )sin (cos 2=∴==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-++=-+=--=
=c tg g m
F g m F m F m
F g m F m F a 时加速度最大即可见当合 三、数列知识的应用
有些题目要用到各种数列知识才能求解，这就要求学生此方面的知识的熟
练。培养学生把物理问题转化为数列计算。
例6、用一定质量的铁锤沿水平方向将长为l 的铁钉敲入木板，铁锤每次以
相同的速度击钉，随即与钉一起运动并使钉进入木板一定距离。在每次受击进入木板的过程中，钉所受到的平均阻力为前一次受击进入木板过程所受平均阻力的K 倍（k>1）若第一次敲击使钉进入木板深度为l ，问至少敲击多少次才能将钉全部敲入木板？
解析：设第一次敲击时钉受阻力为f ，需敲n 次钉全部进入木板，根据动
能定理得：
K K l l n K K K
K K l l l K
l K l K l l l
l l l l fl K fl K Kfl fl E n n n n n
n K 1
lg 111lg 111
1111111211121
1132113221⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴--=++++==++++=++++=====---
这里不仅利用了等比例数列，同时又用到了对数函数。
例7、两本书AB 如图6所示，逐页交叉后叠放在一起平放在光滑的水平
桌面上，设每页书的质量为5g ，每本书均是200页，纸与纸之间的动摩擦因数为0.3，问至少要用多少水平力，才能将它们拉开？（g ＝10m/s 2）
解析：对于A 书，
第一页受摩擦力f 1=μmg
第二页受摩擦力f 2＝5μmg
第三页受摩擦力f 3＝9μmg
………
第200页受摩擦力f 200＝（1＋199×4）μmg=797 μmg
)(11972798200)
797951(20021N mg mg f f f F =⨯=++++=++=μμ
即要用1197牛的力才能将它们拉开。
这里既用到了等差数列，又用到了数学归纳法。
四、参数方程的应用
例8、设从空中某点o ，以同样大小的初速度v 0,在同一个竖直平面内,向各
个不同的方向同时抛出许多物体.试证明这些物体在任意时刻总是散在一个圆周上.(空气阻力不计)
解析:如图7所示,建立坐标系,设某物体初速度与水平X 轴夹 角,抽出后t
秒,此物体的坐标为：
⎪⎩
⎪⎨⎧-==20021sin cos gt t v y t v x θθ ⎩⎨⎧=+===θ
θsin cos 2120R b y R x gt b t v R 则有设 在某确定的时刻t ，R ＝v 0t 和b ＝2
1gt 2都有确定的值，上述方程实际上是圆的参数方程，它的半径是R ，圆心在（O ，－b ）点。
可见，在任意时刻t ，所有的物体都在同一圆周上，这个圆的半径为R ＝v 0t ，
圆心在（0，-2
1 gt 2）点，随着时间的增加，圆的半径不断增大，圆心不断下降，（实际上圆心在作自由落体运动） 。
五、微积分应用
导数、微分和积分是刚刚从大学下放到中学的内容，有了这些数学知识，
解决物理问题的思路和方法就更多了，能够解决的物理问题也就有所拓宽。因此教师在教学的过程中，不容忽视在这方面的讲解训练。
例9、如图8所示，A 船从港口P 出发，拦截正以速度v 沿直线航行的船
B ，P 与B 所在航线的垂直距离为a ，A 船起航时，B 与P 的距离为b ，如略去
A 船起动时的加速过程，认为它一起航就作匀速运动，求A 船能拦到
B 船所需的最小速率v 0。
解析：首先求出A 船沿一航道
PD 拦截到B 船所需的速度v 与航道D
长度x 的函数关系，利用v 的导数
v ‘＝0时，v 有极值，确定出x 值，从而求出v 的最小值。
设A 船沿航道PD 拦截到B 船，此航道长度为X ，此时A 船速度为v ，则：
b av v a
b ab x a x a b a x v x a x a b v v a x a b xv v CD BC x t x v 0
min 2222222
20
222220,2
22200
)1()2()2(0)
()()1(=-=∴=-+----+-=-+-=+==式得代入将
例10、真空中A 、B 两个点电荷相距为l ，所带电量分别为 A q 、-B q ，现
将A 固定，给B 一外力使A 、B 间距离增大为2l ，求此过程外力至少做多少功？
解析：根据题意，外力F 应与A 、B 之间库仑引力大小相等，方向相反，
即F ＝2
r q Kq B A 。 因为F 为变力，所以通过积分才能求功。
L
q q K
r q q k r q q K Fdr W B A L L B A L L B A L L 2222=-===⎰⎰ 此类问题过去学生无能为力，但学习了微积分知识后，便可求解，故此类
问题不容忽视。
六、判别式△=b 2-4ac 的应用
有些物理问题要通过物理规律建立一元一次方程，根据具体问题的有解与
否，利用判别式△=b 2-4ac 来确定某个物理量的范围。
例11、电源电压恒定为6伏，一个未知电阻R 1与一个R 2＝3 Ω 的
定值电阻串联后接入在该电源，则未知电阻R 1消耗的电功率可能值为（ ）
A 、4W
B 、3W
C 、2.25W
D 、4.8W
解析：设流过R 的电流为I ，消耗的功率为P ，
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=1221)(R I P R R U I 把此方程式整理为R 1的一元二次方程：
PR 12+6（P-6）R 1+9P=0
R 1应有解
△=[6（P-6）]2-4P*9P ≥0
解得P ≤3，故正确选项为B 、C
例12、细玻璃管长82厘米，开口向上竖直放置，管中有一段长为6厘米
的水银柱封闭了一定质量理想气体，在大气压为76厘米水银柱高时，封闭气体的温度为7O C ，长度为70厘米，如图所示，由于温度升高，管中水银柱缓缓上升直到全部溢出管外，求温度至少升至多少度，水银柱能全部溢出。
解析：封闭端理想气体初状态为P 1＝82 cmHg ，
l 1＝70cm ，T 1＝280K ，从这一状态开始，随
温度的升高，气体做等压膨胀直到水银柱上
表面管口相平，这时若不继续升温，设温度为
T 时管中有Xcm 高水银柱，则P 2＝（76＋x ）cmHg ，l 2＝（82－x ）cm 。
由理想气体状态方程得：
22
22111)82)(76(2807082T x x T V P T V P -+=⨯=
整理得：x 2-6x+20.5T 2-24920=0
当温度升高到一定值时，气体便不断将水银顶出，故此时X 应无解。
△=36-4（20.5T 2－24920）＜0 ， T 2 ＞304.4K
故温度至少升至304.4k 管中水银才能全部溢出。
七、不等式（a ＋b ）≥2ab 的应用
物理问题中有一些求极值的问题利用此不等式解起来更加简便，有时还要
利用由此不等式所导出两个重要结论：
1、（a ＋b ）＝c （定值），则a ＝b ＝
2C 时，ab 有极大值。 （ab ）max ＝（ 2
C ）2
2、若ab ＝c （定值），则当a ＝b ＝C 时，（a ＋b ）有极小值， （a ＋b ）min ＝2C 。
例13、如图10所示，一根长4m 的木杆，下端用铰链固定在地面上，杆
顶有一根水平绳子向左拉，拉力恒为F ，杆的右边用一根长度为4m 的铁丝将杆
垂直固定在地面上，为了使铁丝受到的拉力最小，其上端A 应固定在杆上离地面高度为多少的地方？
解析：设杆长为l ，AO ＝X ，OB ＝y ，铁丝长l ，铁丝与杆夹角为α 。 根据力矩平衡条件：F ‘xsin α=FL,而sin α=
L y F ∴’=xy
y x l FL xy l l FL xy FLl 22222
22+⨯=⨯= 因为x 2＋y 2 ≥2xy ，所以F ’ ≥2FL l
且当x ＝y 时，不等式取等号，即F ’ 有最小值，故x ＝y ＝m l
222=
即铁丝上端A 应固定在杆上离地面高 22m 的地方，铁丝受的拉力最小。 例14、一个连同装备总质量为M ＝100Kg 的导航员，在距离飞船s ＝45m 处与飞船处于相对静止，宇航员背着装有一定质量氧气的贮气筒，筒有一个可以使氧气以v ＝50m/s 的速度喷出的喷嘴，宇航员必须向着返回飞船的相反方向放出氧气，才能回到飞船，同时又必须保留一部分氧气供途中呼吸用，宇航员的耗氧率Q ＝2.5⨯10-4Kg/s ，不考虑喷出氧气对设备及宇航员总质量的影响，则为使总耗氧量最低，应一次喷出多少氧气？
解析：设贮气筒一次喷出质量为m 的氧气，由动量守恒定律得：mv ＝MV ， V=)/(2
s m m M mv = 宇航员飞回飞船的过程中呼吸用的氧气m
‘＝Qt ＝Q m m QS V S 2
1025.22-⨯==
总耗氧量m m m m m 2'
1025.2-⨯+=+=∆ 设a ＝m ，b ＝m
21025.2-⨯ ，可见有ab ＝2.25×10-2为一定值。故当a ＝b 时，△m ＝a ＋b 有最小值，即m ＝m
21025.2-⨯ ，m ＝0.15kg 。 故当贮气筒一次喷出0.15kg 的氧气时，总耗氧有最小值。
以上是解决物理问题经常用到的几种数学方法，学生并不善于用数学方法解决物理问题，而解决物理问题往往又离不开数学方法，因此教师有必要在此方面对学生予针对性训练，提高学生在此方面的能力，这既符合素质教育的要求，同时又为进入大学的学习做好准备。
巧用数学方法解决物理问题 数学和物理两门学科具有密切的联系。数学知识对于物理学科来说，决不仅仅是一种数量分析和运算工具；更主要的是物理概念的定义工具和物理定律、原理的推导工具；另外，运用数学方法研究物理问题本身就是一种重要的抽象思维，因此，数学也是研究物理问题进行科学抽象和思维推理的工具。运用数学方法解决物理问题的能力，是中学物理学习的目标之一。用数学变换的方法，得到解决相关问题的数学表达式，是拓宽学习者思维的重要手段之一，同时可以解决一些常规物理方法难以解决的问题。常见的方法有：比例法、极值法、极限法、函数及函数图象法、不等式法、列方程法、集合法等。下面笔者从上面所提的问题重点对极值法、极限法、还原法、相似三角形比例法、化归法讨论说明。 一、运用二次方程的根式判断巧解计算题 当在解题过程中，我们碰到一个含有两个未知数而只能列出一条方程式的时候，我们只要巧用一元二次方程式中的b2-4ac≥0这一条件就会使问题迎刃而解。 例1：电阻R1、R2串联时总电阻为20欧，则并联时的总电阻为（） A．一定小于5欧B.一定大于5欧小于10欧 C.一定小于或等于5欧 D.一定大于10欧 =202-4×1×20R≥0；R≤5欧所以选A. 二、运用极限法巧解物理题（或叫极端法） 此法是在有一个方程式中含有两个变量的时候，只要假设其中一个变量在最大与最小这两种极端的情况下，进行分析得出结论的方法。 例2：电路的滑动变阻器最大阻值R为20欧，电源的电压保持不变，R0为定值电阻。当变阻器的滑片位于最左端时，电流表的示数为0.3安,则把变阻器的滑片向右移到C点(RBC=1/5R)时,通过R0的电流大小可能是( ) A.0.28A B.0.33A C.0.39A D.0.41A 解:答案为A. 例3：电源的电压一定，R1=10欧，R2=30欧，当开关S1、S2都闭合时，电流表的示数为3．0A，电压表的读数不为零，则当开关S1闭合时，S2断开时，电流表的示数可能是（） A．4．0A B．5．0A C．3．0A D．3．6A
浅议解决物理问题的数学方法 宝坻一中张玉强 运用数学方法解决物理问题是高中物理课要培养学生的五种能力之一。最近几年的高考不断出现了考查用数学方法解决物理问题能力的题目。尤其是现在又实施了“3＋综”的考试形式，对跨学科的综合能力的考查逐年提高。因此，教师在教学的过程中，应有意识地培养学生利用数学方法解决物理问题的能力。 所谓解决物理问题的数学方法，就是根据物理问题中所遵循的物理规律，经过推理论证、数学运算，导出表示各物理量之间关系的方程式，然后运用数学有关知识解决物理问题。下面就解决物理问题中常用的几种数学方法做如下归纳总结： 一、一般函数的应用 在分析物理问题中的动态问题时，往往需要把要分析的量（Y）与已知代表动态的量（X），通过物理规律建立起一定的函数关系y＝f（x），从而确定要分析的量的变化情况。 例1、图1所示，绳与杆均轻质，承受弹力的最大值一定，A端用铰链固定，滑轮在A点正上方（滑轮大小及摩擦均可忽略），B端吊一重物，现施拉力F，将B端缓慢上拉（均未断），在A杆达到竖直前（） A、绳子越来越容易断 B、绳子越来越不容易断 C、AB杆越来越容易断 D、AB杆越来越不容易断 解析：设AC＝l1，AB＝l2，BC=l3，BD=a，AD=b，CD=c
由共点力平衡条件得： ⎩⎨⎧=+=G F F F F N N αθαθcos cos sin sin 得：1222sin cos l Gl a c l a l b G ctg G F N =⨯+=+=αθθ 故可知AB 杆受力大小不变，所以选项C 、D 都错。 1 33 12sin sin l Gl l b l b l Gl F F N =⨯==αθ 由于l 3在逐渐减小，故F 逐渐减小，所以选项B 正确 例2、如图2所示的电路，M 、N 两端的电压U 保持恒定，R 为定值电阻，当滑动变阻器R 0 (总阻值也为R ）的滑动端p 从a 端滑向b 端 的过程中，试分析安培表的读数变化情况。 解析：设滑动变阻器ap 部分的电阻为X ，求出通过安培表的电流I 与x 的 函数关系式。 22224 5)2(1R R x UR x R Rx UR x x R Rx x R x R Rx U I +--=-+=⨯+⨯-++= 可见当2 R x = 时，I 有最小值，故滑动端P 从a 到b 滑动过程中，安培表的读数先减小后增大。 例3、房内高处有一白炽灯s （可视为点光源），如果在s 所在位置沿着垂 直于屏的方向水平扔出一个小球A ，如图3所示，不计空气阻力，则A 在屏上
物理解题中的数学方法 《考试说明》中对学生的能力要求有五个方面，其中第四种能力即为应用数学方法处理物理问题的能力。 所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测。可以说每一物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程。下面介绍几种处理中学物理问题，常用的数学方法。 一、图像法 中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当引入物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化。 【例1】一蚂蚁离开巢沿直线爬行，已知它的速度与蚁巢中心的距离成反比。当蚂蚁爬到离巢中心L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm/s。试问蚂蚁从A点爬到离巢中心L2=2m的B点时所需要的时间为多少？ 【解析】此题中蚂蚁的速度随时间的变化是非线性的，不能用匀速运动公式求解。由题意蚂蚁的速度与蚁巢中心的距离成反比，可知速度的倒数与蚁巢中心的距离成正比。我们作出与L的关系图像，这个图象是一条过原点的直线。 由图可知，直线下阴影部分的“面积”在数值上就等于所求的时间。 【小结】本题巧妙地采用了-L图像解答，不仅把速度与距离成反比（图像为曲线）转化为速度的倒数与距离成反比（图像为直线），而且同时用它的“面积”能够表示运动的时间，使原来较为复杂的运动求解变得很容易。 二、几何法 利用几何法解物理题时，常用到的是“对称点的性質”、“两点间的直线距离最短”、“全等、相似三角形的性质”等相关知识。 【例2】一带电质点，质量为m、电量为q，以平行于ox轴的速度v从y 轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这个圆形区域的最小半径。（重力忽略不计） 【解析】质点在磁场中做半径为R= 的圆周运动。根据题意，质点在磁场区域中的轨迹是半径等于R的圆上的一段圆弧。这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。过a点作x轴的平行线，过b点作y轴的平行线，则与这
高中物理：运用数学方法来解决物理问题 一、几何方法 把物理问题转化为几何问题，利用几何关系来研究物理问题． 例1、用细绳AO、BO悬挂一重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上．悬点A固定不动，将悬点B从图1所示位置逐渐移动到C点的过程中，分析OA绳和OB绳中的拉力变化情况． 分析：本题是静力学中的动态平衡问题，即物体在三力作用下处于平衡状态，任意两个力的合力与第三个力是平衡力．求解本题的关键为：一是完成由物理问题向几何问题的转换，画出对应的矢量三角形；二是利用三角形的性质来讨论力的变化问题． 解析：依据题意分析可知，在B点沿圆弧BC由B移动到C的过程中，虽然绳BO对O点的拉力F B、AO对D点的拉力F A都发生变化，但两个拉力的合力F却保持不变（三力作用下物体处于平衡状态，任意两个力的合力与第三个力大小相等，方向相反，即F=－G）．
依据题意作出F A、F B及其合力F的矢量三角形如图2所示，当B点沿圆弧BC由B向C移动时，BO与竖直方向的夹角逐渐减小．如图2所示，随着角的减小，作出的三角形依次为①、②、③、④ 依据三角形的边角关系可知：在B点沿圆弧BC由B移动到C的过程中，BO绳对O点的拉力F B先减小后增大，AO对O点的拉力F A逐渐减小． 二、函数方法 运用数学中的函数知识，将物理问题转化为函数问题，然后将函数问题注入物理意义，从而达到解决物理问题． 例2、如图3所示，在人向右运动的过程中，物体A缓慢的上升．若人对地面的压力为F1，人受到的摩擦力为F2，人拉绳的力为F3，则 A.F1、F2、F3均增大 B.F1、F2增大，F3不变 C.F1、F2、F3均减小 D.F1增大，F2减小，F3不变
巧妙运用数学思想解决物理问题 物理学是自然科学领域中最为基础的学科之一，它研究物体的运动、形态、性质以及 物质与能量之间的相互关系，解决了很多人类生活中的实际问题。物理学与数学息息相关，数学思想经常被运用到物理学中，通过巧妙地应用数学方法，可以解决很多物理问题。下面，我们就来看看几个数学思想在物理学中的应用。 1.微积分 微积分是数学中的一个重要分支，也是物理学中的一个基础工具。在物理学中，微积 分可以用来解决以下问题： （1）速度和加速度的关系 速度和加速度都是描述物体运动状态的重要物理量。它们之间的关系可以用微积分的 知识解决。根据加速度的定义，即a=dv/dt，可以得到速度v是加速度a对时间t的积分，即v=∫adt。同样地，位移与速度的关系也可以利用微积分求解，即s=∫vdt。 （2）积分面积的物理意义 在许多物理问题中，积分面积具有特殊的物理意义。例如，在力与位移之间的关系中，当力F是变化的时候，用F关于s的积分可以求出力所做的功W，即W=∫Fds。同样地，压强与体积的关系中，积分面积表示的是气体做功的大小。 2.微分方程 微分方程是微积分的一个分支，是物理学研究的基础之一。在物理学中，常常用微分 方程描述物体的运动状态，并求解解析解或者数值解。 （1）谐振动的微分方程 谐振动是一个周期性的振动过程，例如弹簧振子、摆振等。在物理学中，谐振动可以 用微分方程来描述。例如，弹簧振子的微分方程为mx''+kx=0，其中m是弹簧振子的质量，k是弹簧的劲度系数，x是弹簧振子的位移。通过求解这个微分方程，可以得到振子的运动状态，从而了解振子的周期、频率、振幅等。 热传导是物理学中的一个重要问题，是描述热传递的过程。在热传导的过程中，温度 分布是随时间和位置而变化的，可以用微分方程来描述。例如，一维热传导的微分方程为∂u/∂t=k∂²u/∂x²，其中u是温度分布函数，k是热传导系数。通过求解这个微分方程，可以得到材料的温度分布和热传导速率。 3.矩阵方程
物理学中的数学方法数学方法在物理学中的 应用 物理学中的数学方法——数学方法在物理学中的应用 数学方法在物理学中起着举足轻重的作用。物理学的研究离不开数 学的支持，而数学方法则为物理学研究提供了理论基础和计算工具。 本文将讨论在物理学中应用的数学方法，并探讨它们在解决物理问题 中的重要性。 1.微积分：解析几何和微分几何的基础 微积分是物理学中最为基础和常用的数学方法之一。它包括微分学 和积分学，用于描述物体运动、力和能量等物理量的变化。微分学通 过求解导数，可以计算物体在某一瞬间的速度和加速度，以及各种变 化率。积分学通过求解定积分，可以计算物体在一段时间、一段距离 或一定区域内的总量，如位移、速度、质量等。微积分为物理学提供 了计算和分析的工具，使得研究者可以更深入地理解物理现象。 2.线性代数：解析线性方程组和矩阵运算 线性代数是研究向量空间和线性映射的数学分支。在物理学中，线 性代数广泛应用于描述和解决线性方程组、矩阵运算以及对称性等问题。线性方程组在物理学中的应用非常广泛，如电路分析、矩阵力学 和量子力学中的Schrödinger方程等。矩阵运算在物理学中也无处不在，如描述转动、变换和对称性等问题。线性代数为解决形形色色的物理 问题提供了一种强大而广泛适用的工具。
3.微分方程：描述物理现象的数学语言 微分方程是研究含有导数或微分的方程。它在物理学中的应用非常 广泛，常被用于描述物理现象和规律。很多物理学中的基本方程和物 理定律都可以通过微分方程来表示，如运动学中的牛顿第二定律和电 磁学中的麦克斯韦方程组等。通过求解微分方程，物理学家可以推导 出系统的行为和演化规律，从而进一步理解和研究物理现象。 4.概率论和统计学：解决物理系统的随机性问题 概率论和统计学是研究随机事件和随机过程的数学分支。在物理学中，许多物理系统都具有随机性，无法被确定性的方法完全描述和预测。概率论和统计学为解决这些问题提供了一种强大的工具。概率论 和统计学的方法被广泛应用于统计力学、量子力学、热力学等领域。 通过统计分析和概率计算，物理学家可以刻画和预测物理系统的行为，从而对其进行深入研究和理解。 总结起来，数学方法在物理学中是不可或缺的。微积分提供了分析 和计算物理量变化的工具，线性代数解决线性方程组和矩阵运算，微 分方程描述物理现象和规律，概率论和统计学处理物理系统的随机性 问题。这些数学方法相互支持、相互补充，为物理学研究提供了坚实 的理论基础和计算工具。物理学和数学的密切联系使得物理学家能够 更好地理解和解释自然界中的现象和规律。 总的来说，数学方法在物理学中的应用是不可忽视的。正是因为数 学方法的运用，物理学家能够研究和解决各种复杂的物理问题，推动 科学的发展和进步。我们对物理学的认识和理解离不开数学，而丰富
巧妙运用数学思想解决物理问题 数学和物理是紧密相关的学科，数学思想的运用可以帮助我们更好地理解和解决物理问题。本文将通过具体例子来展示如何巧妙运用数学思想解决物理问题。 一、运用微积分求解物理问题 微积分是数学中非常重要的分支，它在物理学中有着广泛的应用。一个常见的问题是求解一个物体的速度、加速度和位移随时间的变化关系。这是一个典型的运用微积分的问题。 假设一个物体的运动轨迹可以用函数表示为 s(t)，表示物体在时间 t 时的位移。那么速度 v(t) 和加速度 a(t) 分别可以表示为 s(t) 的一阶和二阶导数。通过对位移函数s(t) 求导，我们可以得到速度函数 v(t)，再对速度函数求导，就可以得到加速度函数a(t)。 通过以上方法，我们可以通过微积分求解物体的运动规律，这种方法在解决物理问题时非常有用。 二、利用线性代数解决力学问题 线性代数是数学中的一个分支，它在物理学中也有着广泛的应用。力学中常见的刚体平衡问题就可以通过线性代数来解决。 假设一个系统中有多个受力的刚体，我们可以将每个刚体所受的力表示为一个力的矢量，那么整个系统的平衡状态可以用线性方程组来表示。通过求解这个线性方程组，我们可以得到系统的平衡解，从而解决力学问题。 概率论是数学中非常重要的分支，它在解决热力学问题时也有着重要的应用。热力学中经常涉及到粒子的运动状态和分布，这就可以用概率论来描述。 假设有一个系统中的粒子遵循玻尔兹曼分布，我们可以利用概率论的方法来求解系统的热力学性质，例如系统的熵、内能等。通过计算粒子在不同状态下的概率分布，我们可以得到系统的宏观性质，从而解决热力学问题。 数学思想在物理问题中的应用是非常广泛的。通过巧妙运用数学思想，我们可以更好地理解和解决物理问题，这对于推动物理学的发展具有重要的意义。希望今后能够有更多的科学家和研究者在物理问题中继续运用数学思想，为我们提供更多的新知识和新发现。
巧用数学知识妙解物理题 篇一： 巧用数学知识妙解物理题是指在物理学研究中,运用数学知识来解决物理问题的方法。数学是一门抽象的科学,能够帮助我们描述和预测自然现象,因此在物理学研究中广泛应用数学是非常普遍的。本文将介绍一些巧用数学知识解决物理问题的方法和技巧,并进一步拓展相关内容。 正文: 1. 基本数学公式 在解决物理问题时,使用一些基本数学公式是非常有帮助的。例如,在描述运动的规律时,可以使用牛顿第二定律和第三定律、加速度公式、速度公式、位移公式等。这些公式可以帮助我们快速准确地计算出物体的运动状态和速度、位移等物理量。 2. 微积分 微积分是数学中的一个重要分支,在物理学中也有很高的应用价值。微积分可以帮助我们描述和预测物体在微小尺度上的运动,例如微分方程、导数和积分法可以用来求解曲线和微分方程。 3. 线性方程组 线性方程组是物理学中一个非常重要的概念,可以帮助我们解决许多复杂的物理问题。线性方程组是由一组线性方程组成的方程组,其中每个方程都是关于一些未知数的线性方程。解决线性方程组需要使用消元法和求根公式等方法。 4. 概率论 概率论在物理学中也有广泛的应用。例如,在描述随机事件的概率时,可以使
用概率分布、条件概率等概念。概率论还可以帮助我们预测物理实验的结果,例如可以使用概率分布来预测实验数据的平均值和标准差。 拓展: 除了以上介绍的基本数学公式和技巧外,还有一些其他的数学知识也可以在解决物理问题时提供帮助。例如,代数学可以用来解决方程和函数问题,数学变换可以用来改变物理问题中的量纲和符号,数学分析可以用来研究物理问题的结构和性质等。 数学知识在解决物理问题中发挥着重要的作用。掌握一些基本数学公式和技巧,并结合物理实验和理论分析,可以帮助我们深入理解物理问题的本质,并有效地解决问题。 篇二： 巧用数学知识妙解物理题是指在物理问题中,运用数学知识来解决问题的方法。数学是一门广泛应用于物理学科的语言,通过运用数学方法,我们可以更好地理解物理现象和规律。 正文: 在解决物理问题时,巧用数学知识可以帮助我们快速找到答案。以下是一些具体的方法和技巧: 1. 建立坐标系:在解决物理问题时,建立坐标系可以帮助我们更好地理解物理量的位置和方向。例如,在解决运动问题时,我们可以将物体的运动状态表示为一组坐标,以x轴、y轴和z轴来表示。 2. 使用三角函数:三角函数是数学中用于描述角度和距离的函数,在解决物理问题时,可以帮助我们计算出物体的速度、加速度等物理量。例如,在解决圆周
浅议巧用数学知识解决物理学习中的问题 学习物理是一项挑战性的任务，因为它涉及到许多抽象的概念和复杂的计算。在学习 物理的过程中，数学知识是至关重要的，因为物理是一门基于数学的科学。巧用数学知识 可以帮助我们更好地理解物理概念、解决物理问题。下面将浅议一些巧用数学知识解决物 理学习中的问题的方法。 一、巧用代数知识解决物理问题 在物理学习中，代数知识是非常重要的，因为许多物理问题可以通过代数方程式来描 述和解决。在运动学中，我们可以通过代数方程式来描述运动物体的位移、速度和加速度。在力学中，牛顿运动定律可以通过代数方程式来表达。掌握代数知识可以帮助我们更好地 理解和解决物理问题。 举个例子，假设有一辆汽车以匀速行驶，初始速度为v_0，加速度为a，时间间隔为t，那么汽车的位移可以通过代数方程式s=v_0t+\frac{1}{2}at^2来描述。通过代数方程式，我们可以计算出汽车在任意时间点的位置，从而更好地理解汽车的运动轨迹。 几何知识在物理学习中也非常重要，因为许多物理问题涉及到空间和形状。在光学中，我们需要了解光线的传播路径和反射规律，这就需要运用几何知识来解决问题。在静电学中，我们需要了解电场的分布和电荷的作用，也需要借助几何知识来解决问题。 举个例子，假设有一束光线从空气中入射到玻璃中，我们可以通过几何知识来计算光 线的折射角，从而了解光线在玻璃中的传播路径。又在电场中，我们需要通过几何知识来 描述电场的分布和电荷的作用，从而解决与电场有关的问题。 举个例子，假设有一个物体以变速度运动，我们可以通过微积分来计算物体的位移、 速度和加速度随时间的变化规律。又在电磁学中，我们可以通过微积分来计算电场和磁场 的分布规律，从而解决与电磁场有关的问题。 概率论在物理学习中也扮演着重要的角色，因为物理世界中存在着许多随机现象和不 确定性。在热力学中，我们需要通过概率论来描述分子运动的规律。在量子力学中，我们 需要通过概率论来描述微观粒子的运动和行为。 举个例子，在热力学中，我们可以通过概率论来描述气体分子的运动状态，从而解决 与气体热力学性质有关的问题。又在量子力学中，我们可以通过概率论来描述微观粒子的 位置和动量分布规律，从而了解微观世界的规律。 巧用数学知识可以帮助我们更好地理解和解决物理学习中的问题。代数知识可以帮助 我们描述和解决运动问题，几何知识可以帮助我们描述和解决空间和形状问题，微积分可 以帮助我们描述和解决变化和积分问题，概率论可以帮助我们描述和解决随机和不确定性
物理学习的神奇技巧用数学方法解决难题 物理学习的神奇技巧：用数学方法解决难题 物理学习是一门需要深入思考和解决复杂问题的科学。在学习物理 过程中，我们经常会遇到一些困扰和难题。然而，通过运用数学方法，我们可以找到一些非常有效的技巧来解决这些物理问题。本文将介绍 一些神奇的技巧和方法，帮助你在物理学习中更加游刃有余地解决难题。 第一部分：数学是物理学的基础 在理解物理学概念和解决物理问题时，数学起着至关重要的作用。 数学为物理学提供了精确的工具，通过数学的符号、运算和推理，我 们能够准确地描述和分析物理现象。因此，学好数学对于物理学的学 习至关重要。 第二部分：代数和方程的应用 代数是物理学中广泛使用的一种数学工具。通过代数，我们能够将 物理问题转化为方程的形式，从而更加清晰地理解问题并找到解决方法。例如，当我们需要计算一个物体的速度时，可以使用速度的定义 公式 V = S / T，其中 V 代表速度，S 代表位移，T 代表时间。通过解 方程，我们可以根据已知条件计算出所需的速度。 第三部分：微积分的应用
微积分是物理学中另一个重要的数学分支。它主要用于描述物理量 的变化以及求解变化率和曲线下的面积。对于解决一些与变化有关的 物理问题，如速度和加速度的计算以及计算物体运动过程中的面积、 体积等，微积分提供了非常有力的工具。例如，当我们需要计算一个 物体的加速度时，可以通过求解速度关于时间的导数来得到所需的加 速度。 第四部分：几何与向量的应用 在物理学中，我们经常需要以几何和向量的方式来描述和分析物体 的运动。通过运用几何和向量的概念，我们可以更加清晰地理解和解 决这些问题。例如，当我们需要计算一个物体在平面上的位移和速度时，可以使用向量的概念和运算来进行计算。通过将物理问题转化为 几何和向量的问题，我们能够更加直观地理解和解决问题。 第五部分：统计与概率的应用 统计学和概率论在物理学中也有广泛的应用。它们帮助我们处理和 分析随机性和不确定性的物理现象。通过运用统计学和概率论的知识，我们能够更好地处理测量误差、不确定性和随机过程等问题。 结论 物理学习中运用数学方法解决难题是一种非常有效和神奇的技巧。 通过代数、微积分、几何、向量、统计和概率等数学工具，我们能够 更加深入地理解物理学概念，解决复杂的物理问题。因此，学好数学
高中物理教研论文用数学方法解决物理问题 桦甸市第八中学李晶 数学是与物理联系最为紧密的学科之一，数学知识对物理学科来说，绝不仅仅是数量分析和运算的工具，更是物理概念的量化表达及物理定理的推导工具。运用数学方法解物理问题的能力是提高物理学习的目标之一，既能依照具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导、求解。下面笔者就谈谈几种常见的解决物理问题的数学方法。 一、 在物理学习中会常见到求解极值问题，而这种问题通常会用到数学的三 角函数、二次函数及均值不等式。 1、三角函数法 例：如下图，在粗糙水平面上的物体m ，受到斜向上 的拉力F,做匀速直线运动。物体与水平面的动 摩擦因数u ，问：F 最小值为多少？ 解析：对受力分析，列平衡方程得 a F a F mg u cos )sin (=- a u a umg F sin cos += 设u 1tan =θ 11)sin() sin(1)sin cos cos (sin 12min 22+==+++=++= u umg F a a u umg a a u umg F 时，当θθθ θ 2、二次函数法 例：如图2所示，光滑半圆轨道竖直固定放置，半径为R ，一水平光滑轨道与半圆轨道相切，物块A 在光滑轨道上以4m/s 的速度向右运动，然后从轨道最高点水平抛出。分析当半圆轨道半径R 多大时，平抛水平位移最大，并
求出最大植。g 取10m/s 2 解析：物体的运动过程分成两部分，一个是运动到最高点，一个是平抛过程。 运动到最高点过程： 设物体到最高点速度v ，依照动能定理得 m x m a b R R R R g R v x gt R vt x mgR mv mv 8.02.02164.616421222 121max 22 22202==-= -=-== =-=-时，竖直：水平：平抛过程： 3、均值不等式法 例：如图3所示，电源电动势为E ，内阻为r ，可变电阻R ，当R 为何值时，电源输出功率最大？ 解析：电源的输出功率 r E R r r R E r R R E P 42)(2 222 2≤++= += 当R r R 2=时，取等号，即r R =时，r E P 42 max =
巧妙运用数学思想解决物理问题 物理问题中有很多需要数学思想来解决的难题，下面我来介绍一些例子。 1. 误差分析 在进行实验测量时，由于测量器材的精度、人为因素等原因，测量值往往存在误差。 误差分析是通过数学方法来对测量误差进行分析，从而得到准确的实验结果。其中，最常 用的方法是数组处理。首先，将多组数据进行平均，得到平均值。然后，求出每个数据点 与平均值的差值，即残差。最后，通过残差的平方进行加权平均，就可以得到标准误差。 这个方法不但可以用于实验测量，也可以应用于其他的数据处理中。 2. 运动分析 在物理学中，运动分析是一个重要的方向。通过数学方法，我们可以分析物体的运动 状态，得到它的速度、加速度等参数。其中，最常用的方法是微积分。通过对位移、速度、加速度等物理量进行微积分分析，我们可以得到物体在不同时刻的状态，为问题的解决提 供了很大的便捷。 3. 堆砌模型 堆砌模型是指将多个物体堆砌在一起，通过计算来确定它们相互之间的力和受力情况。这个问题既是机械学的基础问题，也是应用数学的重要问题，可以运用到许多领域。其中，最常用的方法是向量分析。我们可以将所有的力和受力情况表示为向量，并通过向量分析 来解决问题。 4. 热传递 热传递是物理学中的一个经典问题。它描述的是热量从一个物体传递到另一个物体的 过程。在热传递问题中，最常用的方法是微积分。通过对热传递过程中温度的微小变化进 行微积分分析，我们可以得到热量的传递情况，为问题的解决提供了很大的便捷。 总之，数学思想在物理学中有非常重要的应用。通过巧妙运用数学思想，我们可以解 决许多看似困难的问题，得出更精确和准确的结果。
巧用数学方法解决物理问题作者：*** 来源：《广东教学报·教育综合》2021年第72期
【摘要】物理学中的数学方法是物理思维和数学思维高度融合的产物，借助数学方法可以使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，达到快速简捷地解决问题的目的。高考物理试题的求解过程离不开数学知识和方法的应用，随着近几年全国卷物理高考对数学要求越来越高，让学生掌握必备的数学物理方法势在必行。 【关键词】数学方法;解决;物理问题 数学方法在物理解题中的应用是非常普遍的，从近几年的高考可以看出，明显加强了数学方法解决物理问题的考查。我们在物理教学中不仅要培养学生的基本运算能力，同时也要学生掌握几种常见的数学方法。例如，通过图像提取物理信息，函数求极值，不等式求极值，几何法分析三力平衡等。下面笔者谈谈几种常见的数学方法在物理解题中的应用。 一、用图像法解决物理问题。 图像在解决物理问题中经常用到，比如，运动学里面的V-t图，S-t图，a-t图等。电学实验中经常使用到U-I图，我们通过图像可以直观地得出物理规律。一些复杂的物理问题很快就可以迎刃而解。比如通过V-t图分析追及相遇问题，使多次相遇问题可以通过图像直观展现出来。 教学案例1用图像法解决交变电场问题。 例1.如图1（a）所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图（b）所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处。若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上则t0可能属于的时间段是（） 问题分析，此题是一道交变电场题，如果按照常规思维则学生会去研究粒子的具体运动过程，但是题目没有给出明确的释放粒子时刻，因此没法分析粒子具体的运动过程。我们如果画出某些特殊时刻开始释放粒子的V-t图，我们就可以直观地看出图像是如何变化的。 具体解题过程如下：设粒子的速度方向、位移方向向右为正，依题意知，粒子的速度方向时而为正，时而为负，最终打在A板上时位移为负，速度方向为负。分别作出t0=0、、、时粒子运动的V-t图象，如图2所示，由于v-t图线与时间轴所围面积表示粒子通过的位移，则由图象知，0T时情况类似。因粒子最终打在A板上，则要求粒子在每个周期内的总位移应小于零，对照各项可知B正确。 二、用数学函数解决物理极值问题 1.用二次函数求某些物理量的最值 教学案例2 用二次函数求极值解决平抛水平距离最大问题。
浅议巧用数学知识解决物理学习中的问题 物理学是一门涵盖广泛的学科，涉及到许多数学知识。在物理学的学习过程中，掌握 一定的数学知识能够帮助学生更好地理解和掌握物理学的概念和原理。本文将从三个方面 浅议巧用数学知识解决物理学习中的问题。 一、运用数学工具解决物理问题 物理学是一门实验性科学，其中有许多问题可以用数学方法求解。例如，通过对物体 位置、速度、加速度等物理量的数学描述，可以运用微积分求解物体的运动轨迹和速度加 速度等问题。又如，通过运用牛顿第二定律F=ma，可以制定出描述物体运动状态的常微分方程，进而求解物体运动状态的具体表现。此外，掌握傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学 工具，能够更好地理解电磁场、天体物理等领域的问题。 二、掌握统计学知识解决物理实验中的误差问题 物理实验中，数据的不确定性和误差往往是不可忽视的问题。因此，掌握统计学知识，对于准确测量物理学中各种物理量尤为重要。例如，通过对数据的平均值的分析，可以正 确估计测量值的误差范围，从而进行合理的误差分析。再如，运用正态分布理论，可以判 断测量数据是否满足正态分布规律，从而进一步评估测量的精度和可靠性。 物理学中的许多问题可以用数学模型来解决。例如，光的传播可以用折射率和反射率 等概念（数学模型）来描述和计算。又如，利用电学模型，可以解决电路中电流、电势和 电阻等物理量的关系。此外，利用数学模型还可以对物理学中许多复杂的现象进行理论研 究和预测，为实验研究提供指导和支持。 综上所述，数学与物理学是密不可分的学科，物理学的学习需要掌握一定的数学知识。通过巧妙地运用数学方法、掌握统计学知识以及利用数学模型，能够更好地解决物理学习 中遇到的种种问题。因此，我们应该认真学习数学知识，不断深化对数学与物理学的交融 理解，进一步提高物理学的学习效果。
运用数学知识解决物理问题的几种方法 数学是一门基础学科，它为其它学科的学习与研究提供了理论依据。物理学是一门建立在观察和实验基础上的学科，要学好物理，需要有较好的数学基础知识。 数学知识对于物理学科来说，绝不仅仅是一种数量分析和运算工具，更主要的是它是物理概念的定义工具和物理定律、原理的推导工具，物理学中有大量的概念和定律、原理都是用数学式来表达和定量的，所以要学好物理离不开数学知识的运用。 另外，数学也是研究物理问题进行科学抽象与思维推理的工具，运用数学方法研究物理问题本身就是一种重要的抽象思维，因此，物理学中对学生运用数学分析和解决物理问题的能力提出了较高要求。下面是我从多年的教学经验中总结的几种解决物理问题的数学方法： 一、三角函数与物理极值问题的结合 如图a所示，一物体以一定的速度v 沿足够长的固 定斜面向上运动，此物体在斜面上的最大位移与斜面倾 角的关系如图b所示．设各种条件下，物体与斜面间的动摩擦因数不变，取g＝10 m/s2.试求： (1)物体与斜面之间的动摩擦因数及物体的初速度大小； (2)θ为多大时，x值最小？求出x的最小值． 答案(1) 5 m/s (2) m 解析(1)当θ为90°时，由运动学知识可得：v＝2gh 设动摩擦因数为μ，当θ＝0°时摩擦力大小为：F ＝μmg f
F f ＝ma 1 由运动学公式可得：v＝2a 1x 联立以上各式解得：μ＝，v ＝5 m/s (2)对于任意角度，根据动能定理可得，物体对应的最大位移x满足的关系式： mv＝mgx sin θ＋μmgx cos θ 上式变形可得：x＝＝＝ μ＝tan φ，则x的最小值为x min ＝＝h＝ m 对应的θ＝－φ＝－＝ 二、物理问题与几何知识的结合 如图所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中OA杆竖直放置，OB 杆与OD杆等长，OC杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个小滑环 (图中未画出)，四个环分别从O点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD滑 到斜面上所用的时间依次为t 1、t 2 、t 3 、t 4 .下列关系不正确的是( ) A．t 1>t 2 B．t 1 ＝t 3[来源:学科网] C．t 2＝t 4 D．t 2
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