数列知识在物理解题中的应用
物理是中学阶段的一门重要学科。数列是中学数学中的重要知识点，在求解物理题目时用途巨大。文章中主要对等差数列、等比数列在物理运动学、动量等问题中的解题应用进行了分析，为数列知识在物理解题中的应用提供了参考建议。
标签：等差数列；等比数列；物理应用
新课改实施后，各学科之间开始渗透，联系日益加强。物理、数学是中学阶段中的两门重要学科。两门学科，具有很多共性，如要求学生具备良好的推算能力、思维能力等。因此中学阶段，物理和数学两门学科的渗透性最强。一般情况下，主要是将数学知识应用到物理解题中来。在运用数学知识求解物理题目时，主要有两种类型：第一将物理现象、过程等转换成数学问题进行求解；第二是运用各类数学知识如数列、不等式、几何等求解物理题目。特别是第二种，在物理解题中应用较为广泛。
数列是中学数学中的重要知识点。数列是按照一定顺序排列的数。数列中每一个数都称为数列中的项。位于第一位的数则称为第一项，第二位的称为第二项，以此类推，位于第n位的数称为第n项。一般用an表示。等差数列、等比数列、等和数列、前N项和等是数列中的常见类型。在应用数学思想求解物理题目时，数列的应用也较为广泛。近年来数列应用成为高考的必考点，也是高考热点。学生在解决物理题目时，除了掌握基本的数学应用思想外，还应重视数列知识在物理解题中的作用。
一、等差数列在物理解题中的应用
等差数列是数列中较为常见的一种数列类型。在一个数列中，如果从第二项开始，每一项和前一项的差是一样的，则说明该数列是等差数列。每一项和前一项之间的差是常数，该常数是等差数列的公差。
直线运动是物理运动学中的一种。当物体做匀速直线运动时，便可形成等差数列，利用等差数列求和公式解决匀速直线运动相关问题，能够简化解题思路和过程，提高解题效率。
例1：将相同的长方形木板整齐的放置在光滑平面上，放置方式如图1所示。长方形木板重量为1N，木板之间的动摩擦因数是0.3。从上至下，在处于奇数块的木板左侧系上绳子，处于偶数块的木板右侧系上绳子。左右两边的绳子分别系于两侧的轻质木杆上，木杆垂直于地面。向两个木杆1/3处的位置分别施加F1、F2的压力，当F1=F2=57N时，将叠加在一起的长方形木板按照均匀速度拉开。假设木板侧面具有相同的粗糙程度，求长方形木板的数量。
解析：长方形木板放置在光滑平面上，最后一块木板和平面之间不存在摩擦
力。按照均匀速度拉开木板时，第一块木板和最后一块木板，侧面都会受到动摩擦力，中间的木板两个侧面都会受到与其滑动反反向的摩擦力。
求解时，先将长方形木板从上至下进行编号，并将之按照奇数、偶数分成1组、2组。假设木板接触面为n（平面接触面除外），则长方形木板数量为n+1。在水平拉开木板时，接触的木板之间存在滑动摩擦力，摩擦力大小相同，但方向相反。因此每组木板接受的滑动摩擦力数量是相同的，即为n。从上至下，每组木板均匀拉开时受到的n各摩擦力构成了等差数列，即0.3、0.6、0.9、1.1、1.4…该等差数列中公差为0.3。根据Sn=na1+———d，0.3n+———×0.3=57，整理可得n2+n-380=0，因此（n+20）（n-19）=0，故n1=-20（舍去），n2=19。n+1=20，可求出长方形木板数量为20块。
上述题目，仔细阅读、分析题目后可知，拉开木板时所做的运动为均匀速度。每组木板受滑动摩擦力数量相同且方向相反，因此在求解该题时可运用数学思想中的等差数列进行求解。将物理题目转换成等差数列后，可简化该题解题步骤，实现题目的解答。
等差数列除了能解决运动学问题外，还能解决动量相关问题。
二、等比数列在物理解题中的应用
等比数列也是数列中较为常见的一种数列类型。在一个数列中，如果从第二项开始，每一项和前一项的比是一样的，则说明该数列是等比数列。每一项和前一项之间的比是常数，该常数是等差数列的公比。如果公比为1时，则说明该数列为常数列。
物理中的运动学问题、动量问题在求解时，经常用到等比数列。
例2：一小球做自由落体运动，从4.9米高处落下。下落过程中每次弹回的高度是下落时的一半，求小球静止所花费的时间（不考虑空气阻力和碰撞时间）。
例3：如图2所示，平板小车质量m为2kg，小车后面放了一块质量M为3kg的铁块。铁块和小车之间的动摩擦因数为μ=0.5。最初，小车和鐵块在光滑的平面上以v0=3m/s的速度向右位移，直至小车碰到右边的墙面。假设在极短的时间内小车便会撞到墙，且撞到后小车没有损失。而碰撞时只有小车碰撞到墙，铁块不会撞到墙。求小车撞到墙时所走过的路程有多少。
运用数学思想解决物理问题能够检验学生的数学应用能力，也能对学生物理知识理解能力进行验证。运用数列对物理问题进行求解，是数学思想在物理解题中最为常见的一种应用方法。在运用数列知识求解物理问题时，学生应对物理问题进行仔细阅读、理解，找出其中存在的数列关系，从而运用数列知识进行求解。
参考文献：
[1]胡佐永.应用数列知识解决物理问题[J].湖南中学物理，2012（5）.
[2]王伟民，苗跃，杨旭.等差数列在物理解题中的应用[J].数理化学习（高三版），2015（2）：26.
[3]席伟.无穷等比数列求和公式在物理解题中的应用三例[J].中学生理科应试，2014（11）：62-63.
[4]王杏娣，李增蔚.数列知识在物理解题中的应用[J].保定师范专科学校学报，2003（4）.
数学方法在物理学上的应用 学习数学应该要在宏观上对其有一个整体的把握，总的来说，数学可以尖子生分为8 大部分：函数、数列、立体几何、解析几何、排列组合、不等式、平面向量、二项式定理 以及统计。其中，尤其以函数和几何较为难学，同时也是重点知识内容，要弄清楚它们各 自的特点以及相互之间的联系，这些都是最基本的内容。而要做到这一点，首先就要对课 本上的一些基本的概念、定理、公式了如指掌，用的时候才能从容不迫，信手拈来。但是，这些知识往往也是最容易被忽视的——大家都忙着做一道又一道的习题，买一本又一本厚 厚的习题书，哪有时间去看课本? 有些同学可能会想，数学又不是政治、历史，书上的习题又大都极简单，何必看课本呢?殊不知，课本对于数学来说，也是很重要的。高考数学有20%的基础题目，只要花上一点点时间把课本好好看看，要拿下这些题易如反掌;反之，要是对一些基本的概念、定理 都含混不清，不但基础题会失分，难题也不可能做得很好，毕竟这些都是基础啊。数学的 逻辑性、分析性极强，可以说是一种纯理性的科学，要求思维一定要清晰明了，是不太可 能出现做出题目却不知是如何做对的情况的，因而基础知识十分重要。 其次，相当多的习题自然就是必不可少的。在认知了基本的概念以后，必须必须搞大 量的练，这样就可以稳固所学至的科学知识，增进对概念的介绍。所谓熟能生巧，数学最 能体现这句话的哲理性。数学的思维、解题的技巧，只有在做题中探索，印象才可以深刻，运用出来才可以得心应手。当然，这并不是倡导题海战术，适度就可以，习题搞得太多， 很难产生厌倦情绪。最重要的还是选题，一定可有好题、精题。在这一方面，老师的建议 就是很应该考量的，最出色卖老师所推荐的参考资料。同时搞题还要根据自己的实际情况。一般而言，必须先搞基础题，把基础踢稳固，然后再逐步增进难度，搞一些提升性的题目。每一个知识点都必须搞一定量的上时难度的精练稳固，这样就可以将其牢牢掌控略过每个 题之后，必须转头读一读(尤其就是难题)，想一想搞这一题存有什么斩获，这样，就不能 搞了很多题却没什么效果。 运算也是很重要的一个环节，与方法的重要性不相上下。培养一种发散性思维，寻求 解题的多种方法，当然非常重要。但是，有一些同学，他们具有很强的思维能力，能够从 多种角度思考问题，可是计算能力却不强，平时也不训练，考试时往往是找对了方法却算 错了答案，非常可惜。的确，繁琐的运算是令人望而生畏的，但是，在运算过程中你将发 现许多新的问题，而运算能力也就在训练中渐渐提高了。因而，学习数学方法要与计算并重。一方面，要重视做题方法的训练，从多角度、多方面去思考问题;同时，也要注意锻 炼计算能力，注重计算的精确性，而不能偏向一方。 应当注意到物理与日常生活、生产、现代科技密切联系，息息相关。在我们的身边存 有很多的物理现象，使用了很多的物理科学知识，例如骂人时，声带振动在空气中构成声波，声波传至耳朵，引发鼓膜振动，产生感官;喝开水时、喝饮料时、钢笔喷墨水时，大 气压帮忙了忙碌;走路时，脚与地面间的静摩擦力帮忙了忙碌，奔跑过程中就是由一个个 飞溅动作连贯而变成;淘米时除去米中的杂物，利用了浮力科学知识;一根直的筷子横填入
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/6319006356.html, 数学知识在物理解题中的应用 作者：孙少驰 来源：《文理导航》2018年第17期 【摘要】我们知道高中物理的抽象性、逻辑性较强的特点和数学简约性、逻辑性、精确性的优势相辅相成，因此可以说，数学是解决物理问题的一个重要的工具和方法。现代数学家陈省身教授在一次演讲中提到“物理就是几何”这六个字，巧妙的说明了物理和数学的关系。由此我们可以看出，数学和物理是紧密地联系在一起的。接下来，我将通过举例的方法把高中阶段物理题目中数学知识的运用展示给大家。 【关键词】数学思维；物理解题 物理和数学关系是非常紧密的，可以说数学为物理的解答提供了方法，而物理为数学提供了展示作用的平台。在平时解答试卷的过程中，经常要用到数学思维来解答物理问题，这样，在答题的过程中就会出现非常好的效果。 一、数学思维在物理解题中的运用 在平时解答物理题目的时候，我们经常会用到数学的知识和技巧。通过对这两年物理训练试卷做题的思路可以看出，物理題目中运用到数学技巧的题目所占比重很大，准确的运用数学方法，会起到事半功倍、节约解题时间的作用。要知道，在高考理综短短的考试期间，能够快速地解答一道题是非常重要的。下面就我总结的解答物理题中使用的一些数学方法进行举例说明。 （一）巧用对称性 对称现象在我们身边广泛存在。所谓的对称就是实物在变化的时候会具备一些不变的性质。 如题：如图所示，将一只轻质弹簧的上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量为M的木板，木板下面再挂一个质量为m的物体。当剪掉m后，发现当木板的速率再次为零时，弹簧恰好能恢复到原长，则M与m之间的关系为（） A.M>m B.M=m C.M 解析：解答该题时我们要紧紧抓住“现当木板的速率再次为零时，弹簧恰好能恢复到原长”这句话，其中引申的重点就是简谐运动的对称性。理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。“简谐运动”的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、
数列知识在物理解题中的应用 物理是中学阶段的一门重要学科。数列是中学数学中的重要知识点，在求解物理题目时用途巨大。文章中主要对等差数列、等比数列在物理运动学、动量等问题中的解题应用进行了分析，为数列知识在物理解题中的应用提供了参考建议。 标签：等差数列；等比数列；物理应用 新课改实施后，各学科之间开始渗透，联系日益加强。物理、数学是中学阶段中的两门重要学科。两门学科，具有很多共性，如要求学生具备良好的推算能力、思维能力等。因此中学阶段，物理和数学两门学科的渗透性最强。一般情况下，主要是将数学知识应用到物理解题中来。在运用数学知识求解物理题目时，主要有两种类型：第一将物理现象、过程等转换成数学问题进行求解；第二是运用各类数学知识如数列、不等式、几何等求解物理题目。特别是第二种，在物理解题中应用较为广泛。 数列是中学数学中的重要知识点。数列是按照一定顺序排列的数。数列中每一个数都称为数列中的项。位于第一位的数则称为第一项，第二位的称为第二项，以此类推，位于第n位的数称为第n项。一般用an表示。等差数列、等比数列、等和数列、前N项和等是数列中的常见类型。在应用数学思想求解物理题目时，数列的应用也较为广泛。近年来数列应用成为高考的必考点，也是高考热点。学生在解决物理题目时，除了掌握基本的数学应用思想外，还应重视数列知识在物理解题中的作用。 一、等差数列在物理解题中的应用 等差数列是数列中较为常见的一种数列类型。在一个数列中，如果从第二项开始，每一项和前一项的差是一样的，则说明该数列是等差数列。每一项和前一项之间的差是常数，该常数是等差数列的公差。 直线运动是物理运动学中的一种。当物体做匀速直线运动时，便可形成等差数列，利用等差数列求和公式解决匀速直线运动相关问题，能够简化解题思路和过程，提高解题效率。 例1：将相同的长方形木板整齐的放置在光滑平面上，放置方式如图1所示。长方形木板重量为1N，木板之间的动摩擦因数是0.3。从上至下，在处于奇数块的木板左侧系上绳子，处于偶数块的木板右侧系上绳子。左右两边的绳子分别系于两侧的轻质木杆上，木杆垂直于地面。向两个木杆1/3处的位置分别施加F1、F2的压力，当F1=F2=57N时，将叠加在一起的长方形木板按照均匀速度拉开。假设木板侧面具有相同的粗糙程度，求长方形木板的数量。 解析：长方形木板放置在光滑平面上，最后一块木板和平面之间不存在摩擦
物理解题中常用的数学知识 物理解题运用的数学方法通常包括方程(组)法、比例法、数列法、函数法、几何(图形辅助)法、图象法、微元法等． <1>．方程法 物理习题中，方程组是由描述物理情景中的物理概念，物理基本规律，各种物理量间数值关系，时间关系，空间关系的各种数学关系方程组成的． 列方程组解题的步骤 ①弄清研究对象，理清物理过程和状态，建立物理模型． ②按照物理情境中物理现象发生的先后顺序，建立物理概念方程，形成方程组骨架． ③据具体题目的要求以及各种条件，分析各物理概念方程之间、物理量之间的关系，建立条件方程，使方程组成完整的整体． ④对方程求解，并据物理意义对结果作出表述或检验． <2>．比例法 比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化．应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，清楚公式的物理意义，每个量在公式中的作用，所要讨论的比例关系是否成立．同时要注意以下几点： ①比例条件是否满足：物理过程中的变量往往有多个．讨论某两个量比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例． ②比例是否符合物理意义：不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注意每个物理量的意义(例：不能据R ＝ I U 认定为电阻与电压成正比)． ③比例是否存在：讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不 变量，如果该条件不成立，比例也不能成立．(例在串联电路中，不能认为Ｐ＝R U 2 中， P 与R 成反比，因为R 变化的同时，U 随之变化而并非常量) <3>．数列法 凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、重复性的共同特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着“前后有联系的变化”．该类问题求解的基本思路为： ①逐个分析开始的几个物理过程。
数学在物理中的应用方法 虽然解高中物理题时能否将物理条件用数学式表达出来，属于应数用学处理物理问题的能力.而现在高考中所谓的难题就是要求学生有这种能力。 一、数学应用一――图像 物理状态、过程以及物理量之间的关系是研究、处理物理问题的重要方法和手段，在高中物理里有很多这方面的内容。如力学中的v-t、s-t图线，振动图线和波形图，热学中的p-V图、p-T图等，电学中的电路图、I-U图，以及根据题目自己建立坐标系作图等等。这些图像中，很多并不是我们观察到的实物图，而是一些量与量之间的关系图线、示意图。从图像中利用数学知识我们知道两个物理量用图像表达是什么函数关系，正比例函数，一次函数，二次函数或其他，图像的切线，图像的横截距、纵截距，图像的渐近线，图像的斜率，图像的交点、图像与轴所围面积等各代表什么含义。在平时学习时，一定要把它们的物理意义弄清楚。同时培养自己用图像处理物理问题的能力。 二、数学应用二――空间想象力 学习立体几何要求有空间想象力，同时有把空间图形转成平面图的能力。同样物理也要求把一立体图转化成侧视、俯视、仰视等利于自己解题的平面图。掌握了这方面能力，对理解这道题意有相当大的帮助。高中物理中如斜面上的力学题，电磁学中涉及v、B、F、I等物理量方向的`题，一般题目中给出的都是实物立体图，如在练习中加强自己对空间想象力的培养，那处理这类题目就不会手足无措了。 三、数学应用三――最值问题 数学中的二次函数求极值，基本不等式求极值在高中物理中应用得非常普遍。比如热学中经常求温度至少升高到多少可以使管内水银全部溢出等题就用到了二次函数求极值，而很多学生看到列式中的P、V就不会求极值了，一旦把他们转成X、Y就会了，说明学生对于数学在物理学科中的应用能力还相当缺乏。所以要学会举一反三，培养自己数学知识渗透物理解题的能力。 四、数学应用四――公式灵活运用 解某数学些物理题目时进行适当的数学处理可以使题目简单化，比如矢量和向量的对比转化，正弦定理、余弦定理的应用，相似三角形的应用等。但经数学处理后得到的结果，在物理上是否合理、是否合乎实际以及所得结果的物理意义如何，都需要进行讨论和判断，这种能力和素养对学生是很重要的。
浅析数学知识在高中物理解题中的运用 高中物理作为一门科学，与其他领域的学科一样，需要一定的数学知识才能解决问题。数学知识在高中物理解题中的应用非常广泛，从基础的代数知识到微积分和概率论，都会与物理知识有着千丝万缕的联系。在本文中，我们将对数学知识在高中物理解题中的运用进行浅析，以便更好地理解两个学科之间的关系。 一、代数知识 代数知识是高中数学中最基础并且最重要的一个部分，它也是高中物理中解决大多数问题的重要基础。在高中物理中，代数知识主要体现在以下几个方面： 1.单位换算 许多物理量都需要进行单位换算，这就需要使用代数知识。例如，将千克转换为牛顿，将米转换为光年，或者将秒转换为小时等等。这些换算都需要用到数学公式和算式，因此代数知识是非常必要的。 2.求解方程 高中物理中经常涉及到求解方程，也称为解析解。例如，求解自由落体的时间、速度、加速度等。这些问题都需要通过代数方法求得方程的根。因此，对于高中物理学生来说，掌握代数知识是非常必要的。 3.函数关系 高中物理中的许多概念和理论都涉及到函数关系，这就需要掌
握函数的概念和性质，例如线性函数、二次函数、反比例函数等等。这些知识能够帮助学生更好地理解物理原理和概念，同时也能够有效地解决物理问题。 二、微积分知识 微积分是高中数学的一个重要分支，在高中物理中有着广泛的应用。微积分主要有两个方面的应用：求速度和加速度，以及求解物理量的变化率。 1.求解速度和加速度 在高中物理中，速度和加速度是非常重要的概念。利用微积分可以求解物体的速度和加速度，例如匀速直线运动、匀加速直线运动以及运动学曲线等等。这些运动问题需要利用微积分工具来求解导数和积分，因此掌握微积分知识是非常必要的。 2.求解物理量的变化率 另外一个重要的微积分应用是求解物理量的变化率。例如，物理中经常涉及到电流、热量、功率等物理量的变化率，通过微积分可以求出这些物理量的变化速率和大小，以便更好地理解物理问题。 三、概率论知识 概率论是高中数学中另外一个重要的分支，在高中物理中也有着广泛的应用。概率论主要应用于物理实验和普遍规律的验证上，例如统计分析、误差分析以及概率分析等等。 1.统计分析
数学知识在高中物理解题中的应用研究 二、数学在高中物理中的应用 1. 数学在力学中的应用 力学是物理学的一个重要分支，涉及到力、运动、能量等概念。在力学中，数学知识的应用十分广泛，牛顿的运动定律中涉及到速度、加速度、质量等物理量的计算和分析，这就需要学生具备相应的数学能力才能正确理解和运用。在弹簧振子、力的合成、动量守恒等问题中，也需要运用一定的数学工具进行分析和推理。 2. 数学在电磁学中的应用 电磁学是现代物理学的重要组成部分，涉及到电场、磁场、电磁感应等现象。在电磁学中，数学工具的应用尤为重要，比如在求解电场强度、电势、电流分布等问题时，需要利用高中所学的数学知识进行计算和分析。在电磁感应、电磁波传播等问题中，也会运用到数学方法进行建模和求解。 3. 数学在热力学中的应用 热力学是研究能量转化和热现象的学科，涉及到温度、热量、热力学过程等概念。在热力学中，数学工具的应用也是不可或缺的，例如在热力学循环、热传导等问题中，需要利用数学方法进行分析和计算。在理想气体定律、热容量、热平衡等问题中，也需要通过数学手段进行推导和求解。 三、数学对高中物理学习的影响和作用 1. 提升物理问题的解决能力 数学知识的掌握能够帮助学生更好地理解和解决物理问题，特别是在复杂物理现象的解释和计算中，数学工具往往起到关键作用。通过数学方法的运用，学生可以更加深入地理解各种物理规律和定律，从而提升自己的物理问题解决能力。 2. 培养抽象思维和逻辑推理能力 数学知识的学习过程中，往往需要进行抽象思维和逻辑推理，这也是物理学习中所需要的能力。通过数学训练，学生可以逐渐提高自己的抽象思维能力和逻辑推理能力，从而更好地应对物理问题的解决和分析。 3. 增强物理学习的整体性和综合性
数列在物理学领域的应用 物理学是研究自然现象的科学。它是研究物质、能量、空间和 时间等基本要素、研究自然规律的一门科学。数学则是研究数量、结构、变化等概念和符号的科学。两者看似没有太多的交叉点， 但在物理学中，数学特别是数列的运用却具有重要的意义。接下来，我将阐述数列在物理学领域的应用。 第一、数列在质点运动中的应用 在物理学中，对于经过某个长度、某个时间等不断变化的物理量，人们可以用数列进行描述。一般来说，对于质点运动，我们 会用位移、速度、加速度等物理量进行描述。其中，速度可表示 为位移的一阶导数，即v = dx / dt；加速度则可表示为速度的一阶 导数，即a = dv / dt。 根据以上公式，我们可以使用数列的思想，将时间作为自变量，位移、速度和加速度作为因变量，从而将质点的运动过程表示为 数列的形式。
常见的数列包括等差数列和等比数列。在质点的运动过程中， 当质点处于匀速运动状态时，我们可以使用等差数列进行描述； 当质点处于匀加速运动状态时，我们则可以使用等比数列进行描述。具体而言，等差数列指的是一个数列中每个数与它的前一个 数之差都相等的数列；等比数列则指的是一个数列中每个数与它 的前一个数之比都相等的数列。 比如，当质点匀加速运动时，我们可以用等比数列来描述它的 位置变化情况。假设质点在时刻t0的位置为x0，速度为v0，在此基础上它受到了一个加速度a，那么在时刻t1，它的位移为x1 = x0 + v0*t1 + 1/2*a*t1^2。同理，在时刻t2，它的位移为x2 = x0 + v0*t2 + 1/2*a*t2^2。我们可以将这些位移表示成等比数列的形式，即x0, x1, x2,…, xn，其中每两项之间的比值都为一个定值k。这个定值就是加速度a所对应的比值，即k = (x2-x1) / (x1-x0) = (t2-t1) / (t1-t0) = a。 第二、数列在波动学中的应用 波动学是研究波动现象的学科。波动即指由一些物理量在空间 中的传播过程，有电磁波、声波、水波等。对于波动学而言，我
数列与函数的关系与应用知识点总结数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列，函数则是将 一个集合的数值与另一个集合相关联的规则。数列和函数在数学中具 有重要的作用，广泛应用于各个领域，包括物理、经济、工程等。本 文将总结数列与函数的关系以及它们在实际应用中的重要性。 一、数列与函数的关系 1. 数列是函数的一种特殊形式 数列可以看作是一种离散的函数，它将正整数集合映射到实数集合。数列通常用通项公式来表示，其中通项公式是函数关系的一种特殊形式。例如，斐波那契数列可以表示为f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(n)为 第n个斐波那契数。 2. 函数的图像可以展示数列的规律 通过绘制函数的图像，我们可以直观地展示数列中数值的规律。例如，通过绘制等差数列的图像，可以看出数值之间的等差关系；通过 绘制等比数列的图像，可以看出数值之间的等比关系。函数图像的分 析有助于更好地理解数列的性质和规律。 二、数列与函数的应用 1. 数列和函数在数学中的应用 （1）数列的求和公式
求和是数列中常见的操作，数列的求和公式能够帮助我们更快地计 算数列的总和。例如，等差数列的求和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn为前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。 （2）数列的递推关系 递推关系是数列中的一种重要性质，它用于表示数列中每一项与前 面一项的关系。通过观察数列的递推关系，我们可以预测数列中的其 他项。递推关系的研究有助于理解数列的规律并解决与数列相关的问题。 2. 数列和函数在实际应用中的应用 （1）物理学中的运动规律 数列和函数在描述物理运动规律时起到重要作用。例如，在匀速运 动中，物体的位置随时间的变化可以表示为一个等差数列；在自由落 体运动中，物体的高度随时间的变化可以表示为一个等差数列。 （2）经济学中的增长模型 数列和函数在经济学中用于描述经济增长模型。例如，经济增长模 型可以使用等比数列来刻画，其中每一项代表某一时期的经济增长率。通过研究经济增长模型，我们可以预测和优化经济发展趋势。 （3）工程学中的信号处理
浅析数列知识在普通物理解题中的应用 关键词：在解决物理问题的过程中正确合理的运用数学知识是非常重要的， 也是非常有效的。在平时的教学活动中，培养学生的数学思维，使学生能正确使 用数学工具，提高其表达、逻辑、推演、计算等方面的能力。将物理概念和规律 通过简洁的数学表达式表现出来，实现物理与数学的紧密结合，对于学生树立正 确的科学思维和有效使用研究方法具有非常重要的意义。 关键词：高中物理教学；数列知识；应用；策略 数学是物理学的基础，物理学也是应用数学知识最多，应用数学 知识最成功的学科。在高中物理中，经常会运用到大量数学知识，如 二次函数、三角函数、数学归纳法、极限、参数方程、圆、立体几何等。至于运用这些知识的方法和技巧，大量刊物和杂志都有一些论述，近几年来为了考查学生对于解决物理问题的过程中对数学知识的掌握 与运用，采取了数学模型与物理模型相结合的方式，数列的应用己成 为高考的热点。等比数列和等差数列是中学数学中最主要的数列知识，以下就这两方面问题展开分析。 高中物理解题中，数列知识的应用分为：1．判断物理过程的特征；2．用通 项公式求未知量；3．用求和公式求未知量等三个方面的问题。 一般地，按一定规律变化的多个子过程问题，大都具有类似性、反复性的特点。随着子过程的反复进行，某个物理变量即可逐步生成几个形式类似、而内涵（如大小、正负、幂次等）却不同的表达式，由此得某种数列的前几项，应用归 纳法（或递推原理），把这几项“融合”在一起，从而求出数列的通项公式，以 描述对应物理量的变化规律(这是解题的关键)。因此，我们即可用数列的通项公 式求出某一项。若欲求数列前项之和，则常用对应的求和公式来解决。 解答此类问题的基本思路：
物理解题中的数学应用 数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效方法.为物理学的数量分析和计算提供有力工具.中学物理教学大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求. ●难点磁场 1.(1998年上海)用质量为M 的铁锤沿水平方向将质量为m 、长为L 的铁钉敲入木板，铁锤每次以相同的速度v ０击钉，随即与钉一起运动并使钉进入木板一定距离.在每次受击进入木板的过程中，钉所受到的平均阻力为前一次受击进入木板过程所受平均阻力的k 倍(k ＞1). (1)若敲击三次后钉恰好全部进入木板，求第一次进入木板过程中钉所受到的平均阻力. (2)若第一次敲击使钉进入木板深度为L １，问至少敲击多少次才能将钉全部敲入木板?并就你的解答讨论要将钉全部敲入木板，L １必须满足的条件. 2.(1999年全国)图24-1中，虚线MN 是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直纸面向外.O 是MN 上的一点，从O 点可以向磁场区域发射电量为＋ｑ、质量为m 、速率为v 的粒子.粒子射入磁场时的速度可在纸面内向各个方向.已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P 点相遇，P 到O 的距离为L ，不计重力及粒子间的相互作用. (1)求所考查的粒子在磁场中的轨道半径. (2)求这两个粒子从O 点射入磁场的时间间隔. ●案例探究 ［例1］（★★★★）一弹性小球自ｈ０＝５ m 高处自由下落，当它与水平地面每碰撞一次后，速度减小到碰前的7/9，不计每次碰撞时间，计算小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间. 命题意图：考查综合分析、归纳推理能力.B 级要求. 错解分析：考生不能通过对开始的几个重复的物理过程的分析，归纳出位移和时间变化的通项公式致使无法对数列求和得出答案. 解题方法与技巧：（数列法） 设小球第一次落地时速度为v ０，则： v ０＝02gh ＝１０ m/s 那么第二，第三，……，第n ＋１次落地速度分别为： v １＝ 97v ０，v ２＝（97）２v ０，…，v n ＝（9 7 ）n v ０ 小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为ｈ０＝５ m ，小球第一次与地相碰 到第二次与地相碰经过的路程是： L １＝２×g v 22 1＝２× g 2)97(2 v ０２＝１０×（97)２ 小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L ２， L ２＝２×g v 22 2＝１０×（97）４ 图24-1
数列知识在物理中的应用 数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，能到达打通关卡、长驱直入地解决问题的目的．中学物理《考试大纲》中对学生应用数学方法解决物理问题的能力作出了明确的要求，要求考生有“应用数学处理物理问题”的能力。 所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测．可以说，任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程．本专题中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比)数列求和法等。 数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等．1．利用三角函数求极值 y＝acos θ＋bsin θ ab＝a＋b(θsin θ) a＋ba＋bab令sin φ，cos φ＝ a＋ba＋b 那么有：y＝a＋b(sin φcos θ＋cos φsin θ) ＝a＋bsin (φ＋θ) π所以当φ＋θ＝y有最大值，且ymax＝a＋b． 2 2．利用二次函数求极值 2bb2b2b24ac－b22二次函数：y＝ax ＋bx＋c＝a(x＋x＋)＋c－＝a(x＋)＋(其中a、b、ca4a4a2a4a 4ac－b2b为实常数)，当x＝－时，有极值ym＝(假设二次项 系数a>0，y有极小值；假设a<0，2a4a y有极大值)．
3．均值不等式 对于两个大于零的变量a、b，假设其和a＋b为一定值p，那么当a＝b时，其积ab取得极p2 大值 a、b、c，假设其和a＋b＋c为一定值q，那么当a＝b＝c 时，4 q3 其积abc取得极大值． 27 利用几何方法求解物理问题时，常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识，如：带电粒子在有界磁场中的运动类问题，物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等．与圆有关的几何知识在力学局部和电学局部的解题中均有应用，尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多，此类问题的难点往往在圆心与半径确实定上，确定方法有以下几种． 1．依切线的性质确定．从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点作 切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径． 2．依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，且平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)确定． 2 由EB＝CE·ED ＝CE·(2R－CE) EB2CE得：R＝＋ 2CE2
例谈数学知识在物理中的应用 陈思梅 新的物理学科的考试说明对学生的能力考核从五个方面提出了具体的要求：一是理解能力，二是推理能力，三是分析综合能力，四是应用数学知识处理物理问题的能力，五是实验能力，尤其是创新实验能力。其中对应用数学知识处理物理问题的能力具体说明是：要求学生能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行相关推导和求解，并根据计算结果得出物理结论；必要时能灵活运用几何图形、图像或函数关系式进行表达、分析。 数学是与物理联系最为紧密的学科之一。随着高考改革的深入及素质教育的全面推开。各学科之间的渗透不断加强，作为对理解能力和演绎推理能力及运算能力都有很高要求的物理学科，在平时的教学中，及时灵活地渗透数学知识，培养学生运用数学知识解决物理问题的能力尤为重要。我们在平时的教学中要随时注重数学知识和物理内容的整合。 运用数学工具解决物理问题的能力，主要指两个方面。一是从物理现象与过程出发，经过概括、抽象，把物理问题转化为数学问题；二是综合运用数学知识，例如比例关系、函数关系、不等式关系、几何关系、极值关系等，正确、简洁地进行有关问题的求解。 1、运用数学语言和方法表述物理概念、物理规律，便于理解。 物理中有大量的物理概念和物理规律，其中有很多概念的引入，就是通过数学语言来描述的。例如，金属导体两端的电压与其流过的电流成正比。为了描述它们的比例系数，引入了电阻R的概念。同类的概念还有，电容器的电容C、电场强度E、物体运动的速度v、加速度a等。不过，物理知识毕竟与数学知识不同，所以教师在教授这类物理概念和物理规律时，要特别强调它们的物理含义和成立条件，不能进行简单的数学类推。例如：对于电阻的定义式R=U/I，我们就不能说成R与U成正比，与I成反比。 物理规律是对各种物理现象或物理变化的精辟概括。是人类智慧的结晶。为了便于表述或理解，有许多规律使用了数学方法。例如在研究理想气体状态参量间的制约关系时，使用了P-V、V-T、P-T图像。又如为了分析线圈在匀强磁场中匀角速转动过程中，线圈中的磁通量、瞬时感应电动势、感应电流随时间的变化规律，采用了正弦波图像的数学方法。除了图像描述外，物理中几乎所有的规律都可以写成数学解析式的公式。 2、恰当选用数学工具解决各类物理问题，化繁为简。 中学物理中，除了大量用到初等数学的各种基本运算和方程、恒等变换等数学知识外，在许多问题中，还可以灵活运用数学中的其他知识，另辟捷径，化繁为简。
数列知识在物理中的应用 凡涉与数列求解的物理问题,都具有多过程、重复性的共同特点。但每一个重复过程均不是原来的完全重复,是一种变化了的重复。随着物理过程的重复,某些物理量逐步发生着"前后有联系的变化"。而该类问题求解的关键是确立相关物理量的数列关系,在此过程中涉与到的基本方法有两种： 方法一、数学归纳法： 〔1〕逐个分析开始的几个物理过程； 〔2〕利用数学归纳法从中找出物理量的变化通项公式； 方法二、递推公式法： 〔1〕分析物理过程,确立物理过程的重复特点； 〔2〕利用相关量第n项与第〔n-1〕项的递推关系找出物理量的变化通项公式。 有些物理问题中还需要用到等差数列求和、等比数列求和公式进行计算 题1：〔07全国i〕24〔18分〕如图所示,质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为m=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放,下摆后在最低点处与金属球发
生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用,金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。 方法一：数学归纳法 设：小球m的摆线长度为l,小球m在下落过程中与m相碰之前满足机械能守恒：① m和m碰撞过程满足：② ③ 联立②③得：④ 说明小球被反弹,而后小球又以反弹速度和小球m发生碰撞,满足： ⑤ ⑥ 解得：⑦ 整理得：⑧ 所以：,即⑨ 而偏离方向为450的临界速度满足：⑩
联立①⑨⑩代入数据解得,当n=2时, 当n=3时, 所以,最多碰撞3次。 评析：本题有重复碰撞的过程,且每次碰撞的前后均满足动量守恒和机械能守恒,每次碰撞后速度逐渐变小,利用两个守恒式推出两球碰撞后的速度的大小,通过数学归纳找到各次碰后速度大小的 联系,从而得出碰后速度的通项公式,再利用上摆过程机械能守恒建立碰撞次数与摆角的关系进行求解。 方法二：递推公式法 解：设在第n次碰撞前绝缘球的速度为vn-1,碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为vn、vn。由于碰撞过程中动量守恒、碰撞前后动能相等,设速度向左,则： 解得： 依题〔公比为的等比数列〕 第n次碰撞后绝缘球的动能为： e0为第1次碰撞前的动能,即初始能量 绝缘球在θ=θ0=60°与θ=45°处的势能之比为： 经n次碰撞后有：
《高中物理思维方法集解》参考系列——物理解题中的数学方 法 专题：物理解题中的数学方法 物理学中常用的数学方法 数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透、贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效的方法，为物理学中的数量分析和计算提供有力工具．中学物理《考试大纲》中对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求，要求考生有“应用数学处理物理问题的能力”． 高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识考查数学能力是高考命题的永恒主题．可以说，任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题再经过求解还原为物理结论的过程． 所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测．可以说，任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程．本专题中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法．处理中学物理问题，常用的数学方法有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比)数列求和法等．
一、极值法 数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等． 1．利用三角函数求极值 2．利用二次函数求极值 3．均值不等式． 二、几何法、 利用几何方法解物理题时，常用到的是“对称点的性质”、“两点间的直线距离最短”、“三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识．如带电粒子在有界磁场中的运动类问题、物体的变力分析时经常要用到的相似三角形法、作图法等．与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用，尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多，其难点往往在圆心与半径的确定上．判定方法有以下几种． 依切线的性质确定．从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应
高中物理解题技巧 数学方法 泸县九中黄坤继 知识概要 中学物理考试大纲明确要求考生必须具备：“应用数学处理物理问题的能力能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。” 物理解题运用的数学方法通常包括估算法、函数法、数列法、比例法、微元法等。 1．估算法 估算题，是指根据日常生活和生产中的一些物理数据对所求物理量的数值和数量级大致推算的一种近似方法。其特点是在“理”不在“数”。在求解估算题时，要抓住事物的本质特征和影响事物发展的主要因素，忽略次要因素，不要求精确严密地求解，一般只要求一位或两位有效数字，但数量级必须准确，推算方法必须简易合理，使估算值有较高的可信度。 解决估算题的一般思路：通过审题挖掘隐含条件，寻找相关规律建立物理模型，理顺简明思路，合理选取解题数据进行求解。 常见估算问题包括：不可接近的物体，微观量（如对液体、固体来说，微观模型是分子紧密排列，可将物质分子看作小立方体或小球．气体分子不是紧密排列的，所以上述微观模型对气体不适用，但上述微观模型可用来求气体分子间的距离．阿伏加德罗常数N A=6.02×1023 mol-1是联系微观世界和宏观世界的桥梁），宏观量（如天体的质量、密度或者天体之间的距离、轨道半径等），功和能，力等等。 运用物理知识对具体问题进行合理的估算，是考生数学能力、科学素质的重要体现. 2、微元法 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。具体地说微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元，或将复杂的物理过程分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”都遵循相同的规律，再从研究对象或过程上选取某一微元或某一“元过程”运用必要的数学方法或物理思想加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量，使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决。使用此方法求解物理问题能加强我们对已知规律的再思考和再认识，从而提高学科思维能力。 3、数列法： 数列按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每个数都叫做这个数列的项,数列的分有穷数列、无穷数列、等差数列、等比数列等等. 数列法是用数列知识分析、解决物理问题中的常用方法。用数列求解的物理问题具有多过程、重复性的共同特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着“前后有联系的变化”.该类问题求解的基本思路为：先分析开始的几个物理过程，再利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式(是解题的关键)，最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律（求和公式等）解决物理问题。 热点题型 题型1 估算法 【例题1】已知金刚石的密度 ＝3500kg／m3。现有一块体积v＝5.7×10－8m3的金刚石，它含有多少个碳原子？假如金刚石中碳原子是紧密地堆在一起的，试估算碳原子的直径。