典型数学知识在物理上的应用小集锦
杨凯 数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，也可以帮助学生把握事物的本质及其内在联系，能达到打通关卡，长驱直入地解决问题的目的。可以说物理学的发展依赖于数学，对于高中常用的典型的数学知识大概总结一下，通过归纳可以更好的理解数学和物理学的关系，以及达到能更好的利用数学知识解决物理问题的水平。
一， 利用一元二次方程求极值问题
在直线运动的追击问题当中常常可以应用一元二次方程求解极值的条件，应用时首先要明确抛物线的极值求法，有时建立的位移关系是关于时间的一元二次方程，要明确判别式“∆”大于零，等于零，小于零所对应的物理意义。
例：一辆小汽车从静止开始以3m/s 2 的加速度行驶，恰好有一自行车以6m/s 的速度从车边匀速驶过，求：小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时的距离是多少？
解析：设汽车在追上自行车之前t 时刻相距最远，2213622s s s t at t t ∆=⋅-
=-自汽自－＝ｖ 利用二次函数求极值的条件知：当62322()2
b t s s a =-=-=⨯-时，s ∆最大为2max 362262
s m m m ∆=⨯-⨯= 二， 微元的思想在瞬时速度定义，变力做功等知识上的应用
微元的思想在讲解瞬时速度，曲线运动的速度方向，大小不变方向变化的变力做功等等地方通常可以应用，使用时通常是选择极短的时间（接近是一个瞬间）、极短的位移（直线）、极小的面积等来考虑问题，微元法的使用是便于学生理解知识和物理思维的一种有效的数学方法，在讲解瞬时速度的时候，可以从平均速度x v t
=入手，选择极短的时间，从而让平均速度过度到瞬时速度。而在曲线运动当中讲到质点的运动方向时，除了可以通过实际生活当中的例子来呈现曲线运动的物体的运动方向外，我们还可以利用微元的思想把曲线分成很多小段，每一小段就接近是一条直线，这样短距离上的曲线运动就可以转变成直线运动，而直线运动的方向肯定就在该直线上，也即是直线的切线，这样便于理解。
三，辅助角公式的应用
辅助角公式通常可以在物理当中求极值，例如在力学当中和做功当中。
例，如图所示，用力F 拉着质量为m 的物体，在水平面上匀速运动，一直物体与水平面的动摩擦因素为μ，试利用解析法求拉力的最小值。
解析：物体的受力分析如左图，而辅助角相当于构造一个三角形如下右图所示
μ1
水平方向：cos ,F f α⨯=
竖直方向：sin F N G α+=
摩擦力：f N μ= 联立以上式子可得：cos sin mg F μαμα=+，要求F 的最小值即要求出分母的最大值， 22222cos sin 1(cos sin )111(sin cos cos sin )1sin()
αμαμααμμμθαθαμθα+=++++=++=++
当90θα+=︒时，cos sin αμα+的最大值为21μ+，则F 有最小值为min 21F μ=+
90αθ=︒-，而1tan θμ=
，则1arctan θμ= 所以190arctan αμ=︒-
四， 不等式在求极值上的应用
不等式在物理中一般用在求最大值、最小值、某个物理量的范围，不等式的使用可以暴露最值。
例，如图所示，长为L 的细绳系着一个质量为m 的小球在竖直平面内饶o 点做圆周运动，绳所能承受的最大拉力为小球重力的12
倍，当小球到达最高点时的速度范围是多少？ 解：根据题意小球在最高点受到两个力作用即重力和绳的拉
力，重力和拉力的合力给小球提供了向心力（显而易见绳子
的拉力大于零而小于12
mg ） mv 2/L
=mg ＋F ①
0≤F ≤2
1mg ② 方程①②联立求解
mg ≤mv 2/L ≤mg ＋ 2
1mg ③
3Lg
解之得：（Lg）1／2≤ v≤
2
利用等式解题时隐含条件不突出，甚至出现遗漏题中的隐含条件现象，对学生的影响就是死记那些临界条件。如果用不等式解这类题时，先要找出题中隐含的某个物理量的范围，先根据这个物理隐含条件构建一个不等式，再结合题中其他信息构建出所求物理量的等式。利用不等式这种方法我们教给学生就是学会如何提炼条件，通过几年教学我感到利用不等式求解最值问题和物理量范围问题条理清楚、逻辑性强、结果显而易见，不等式的引入给我们物理教学带来许多的方便同时也可以加强学科的相互滲透。
五，矢量运算转化成代数运算
在高中所学的众多矢量如：速度，位移，加速度，力等等的运算当中，不能用数学上的代数运算来进行处理，矢量的运算遵从平行四边形定则。有时候我们会遇到在一条直线上的矢量的运算，那么这个时候为了计算的方便，我们通常的做法是先规定一个正方向，与规定的正方向相同的矢量为正，与规定的方向相反的矢量为负，这样让矢量的方向通过正负来体现，然后就可以用代数运算来进行处理了，计算出的结果如果为正，则说明与正方向同向，反之亦然。例如物体受到向左的力20N，向右的力10N，你把向右作为正的，向左为负，那么物体受到的合力就是-20+10=-10，方向左，大小10，这个表示方向的符号一定要体现。还有就是如加速度问题中a是等于末速度减初速度再除以时间，一定不能交换初末速度的位置，这样算出来的结果为正，加速度方向即为你规定的正方向，反之一样。
六，控制变量法在例如讨论F，a，m等物理量的关系上的应用
正如E.T.贝尔所说：“大自然这部伟大的书是用数学符号写成的”，一个数学符号总表达了一个物理量或一定的物理意义，而控制变量法通常是在研究三个变量的关系的时候使用，通常的做法是让一个物理量保持不变，然后来研究另外两个量的关系。这种方法在物理中比较常用，它能确定一个表达式来表达几个物理量的关系，比较直观简洁。
七，几何知识在物理上的应用
1，关于能否构成三角形的条件在求三力的合力上的应用
根据平行四边形法则演变出了更加简洁的三角形法则，而由三角形法则我们可以知道在求解三个力的合力的时候，关于合力是否可以为零的判断就是依赖表示三个力的矢边是否满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的条件，这个在数学上的条件在判断三力的合力的时候可以说非常方便。
2，矢量三角形和几何三角形相似的应用求极值
在物体的平衡当中，根据物体平衡的受力特点，作出力的矢量图，如果物体只受三个力，则这三个力能构成封闭的矢量三角形，如果在对力的利用平行四边形定则（或三角形定则）运算的过程中，力的三角形与几何三角形相似，则可以根据相似三角形对应边成比例的性质和动态分析求解最值，这种方法很简便，直观。
例，如图所示，水平面上固定一光滑半球，球心O的正上方固定一个
小滑轮，绳上拴一小球，小球置于半球面上的A点，绳绕过定滑轮，
另一端用力F拉，现缓慢地将小球从B点释放到A点，则此过程中，
小球对半球面的压力N以及细线拉力T的大小变化情况是怎样的？
解：以小球为研究对象，分析小球受力情况：重力G，细线的拉力T
和半球面的支持力N，作出N、T的合力F，由平衡条件得知G′=G．
由△NFA ∽△AO 2O 1得1122
n F G F AO O O AO '== ， 可得：112n AO F G O O =，212
AO F G O O = 由题缓慢地将小球拉动顶端的过程中，O 1O 2，AO 1不变，O 2A 变小
可见F 变小；F n 不变．
3，利用三角形法则求解小船渡河时（v 水大于v 船）位移的最小值
等极值
在讲速度的合成于分解的时候，小船渡河可以说是实际生活当中关于运动的合成与分解的典型事例，而在研究渡河问题的渡河时间和渡河位移的时候，可以说不遗余力的用到了几何知识，通过三角形法则可以很快的通过作图找出当v 合⊥v 船的时候位移最小。另外关于物体在动态平衡的时候求某个最小的力，通过三角形作图也能很迅速的找到结果。可以说三角形在力学、运动学方面的应用是相当广泛的，同样在解物体的平衡的时候我们还有时将菱形转化为直角三角形来求解，是一种很有效的方法。
数学是物理学的表述形式，数学高度的抽象性，使它能够概括物理运动的所有空间形式和一切量的关系。数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，惟有数学才能以最终的，精确的和便于讲授的形式表达自然规律，惟有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中。所以掌握常见的数学知识在物理中的应用是学好高中物理的一个重要的环节，只有将其归纳然后各个击破才能最终实现数学与物理学的真正融合，才能使物理思维有更进一步的提高。
数学在物理中的应用 现代数学在物理中的应用越来越广泛，使得物理需要依附数学发展——人们需要更先进的数学手段来解决关于M 理论的很多问题；而更早以前，物理中的对称性就需要群论做基础。为了打好基础将来为数学物理界做贡献，从现在起，我就开始努力运用数学眼光，看待并解决周围的物理问题。本文将由浅入深，逐步描述一些我今年独立或通过学习更高难度的数学，解决的小物理问题。 例1．（密度计问题）简易密度计刻度疏密问题。 问题概述：柱体密度计在液体中配重对密度疏密的影响。 思路：F 浮=ρ液gV 排，不断使用浮力公式，通过比较法得出结论。 解题：设有两种密度不同液体ρ1,ρ2 ，不妨设ρ1<ρ2底面积相同S 、足够长的两个密度计分别配重G 和G ’(G ’>G)，分别放入液体ρ1 ρ2 中，浸在液体下的高度分别为H,h,H ’,h ’，由F 浮=ρ液gV 排得： G=SHg ρ1…………………………① G=Shg ρ2…………………………② G ’=SH ’g ρ1…………………………③ G ’=Sh ’g ρ2…………………………④ ①- ②：SH ρ1g=Sh ρ2g ，故H= 2 1 h ρρ>h ③- ④：SH ’ρ1g=Sh ’ ρ2g ，故H ’= 2 1 'h ρρ>h ’ ①- ③：(H-H ’)S ρ1g=G ’-G …………………………⑤ ②- ④：(h-h ’)S ρ2g=G ’-G …………………………⑥ 做到这里⑤⑥一相减就完了，什么结论也得不出，因为G 和G ’两个关键的未知量不见了，此处要变形：⑤’：H-H ’=(G ’-G)÷(S ρ1g)(∵S,ρ1,g 均不为零) ⑥’：h-h ’=(G ’-G)÷(S ρ2 g) ⑤’-⑥’： (H-h)-(H ’-h ’)=12 G'G 11 ()Sg -⨯-ρρ ∵ρ1<ρ 2 ∴ 1 1 12ρρ> , 111 02 ρρ->, 又G ’-G>0,Sg>0 ∴(H-h)-(H ’-h ’)= 12 G'G 11 ()Sg -⨯-ρρ>0， 因此得出结论，简易密度计配重的增加会使得密度计刻度变疏。 推论：用类似的方法，可以得出：简易密度计底面积的减小会使得密度计刻度变疏。
a b θ O N F N F 1F mg mg 3 图2 数学知识在物理解题中的应用 数学是解决物理问题的基本工具和途径，应用数学知识处理物理问题是新课标高考《考试大纲》中要求考查的五种能力之一。《考试大纲》中明确要求学生能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。因此，培养学生熟练地运用数学工具解决物理问题是中学物理教学的任务之一，教师在平时的教学工作中要特别注意物理问题和数学方法的有机结合，让学生能够熟练利用数学工具解决实际问题。 利用数学解决物理问题的流程图如下： 本文梳理了一下数学知识在解决物理问题的具体应用，与各位同仁商榷。 一、三角形知识在解决物理问题中的应用 1、正弦定理的应用 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即 C c B A sin sin b sin a == 例1.（2008年四川延理综考卷）两个可视为质点的小球a 和b ，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图1所示。己知小球a 和b 的质量之比为3，细杆长度是球面半径的2倍。两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是 A ．450 B ．300 C ．22.50 D ．150 解析：由题目中的数据可以得出，abO 三点组成一个等腰直角三角形。所以两底角都为?45。对两球进行受力分析，由于球2F 面光滑，所以两球都只受到3个力， 如图2所示：重力、球面的支持力、刚性细杆的弹力。由于是刚性细 杆，所以刚性细杆对两球的弹力均沿着杆方向，且对两球的弹力大小相等。两球处于平衡状态是，两球受到的合力都为零。两球受到的三个 力都组成一个封闭的力的矢量三角形。再由正弦定理列出等式。 对球a ：)45sin(45sin 3θοο-=N F mg ，对球b ：) 45sin(45sin θοο+=N F mg ，所以：)45sin()45sin(300θθ+=-，即3)45tan(0=+θ，所以015=θ。答案D 正确。 2、余弦定理的应用 物理问题 建立数学模型 数学模型的解 物理问题的解 分析、联想、抽象概括 推 理 演 算 还原说明 图1
《高等数学》中得积分在物理学中得应用 积分得应用(力学,磁场,速度。) 分析 利用积分得概念与运算,可解决一些关于某个区域累积量得求解问题。求物体得转动惯量、求电场强度等问题都就是典型得求关于某个区域累积量得问题。在求解这类问题时,应结合问题得物理意义,明确就是在对哪个变量,在哪个区域上进行累积。并应充分利用区域得对称性,这样可将复杂得积分问题简化,降低积分得重数,较简捷地解决具体问题。 例1 一半径为R 得非均质圆球,在距中心r 处得密度为:),1(22 0R r αρρ-= 式中0ρ与α都就是常数。试求此圆球饶直径转动时得回转半径。 解:设dm 表示距球心为r 得一薄球壳得质量,则 dr R r r dr r dm )1(22 2 02 απρρπ-==, 所以此球对球心得转动惯量为 .3557)1(50220 4 002 α πραπρ-=-==? ?R dr R r r dm r I R R (1) 在对称球中,饶直径转动时得转动惯量为 I I 3 2 = ', (2) 又因球得质量为 ?? -=-==R R R dr R r r dm m 030220 2 0.1535)1(α πραπρ (3) 又饶直径得回转半径 ,m I k ' = (4) 由(1)-(4),得.21351014R k α α --= 例 2 试证明立方体饶其对角线转动时得回转半径为2 3d k =,式中d 为对角 线得长度。 解:建立坐标系,设O 为立方体得中心,轴,Ox ,Oy Oz 分别与立方体得边平行。
由对称性知,,Ox ,Oy Oz 轴即立方体中心惯量得主轴。设立方体得边长为.a 由以上所设,平行于Ox 轴得一小方条得体积为adydz ,于就是立方体饶Ox 得转动惯量为 .6 )(2 2222 22 a m dydz z y a I a a a a x = +=? ? --ρ 根据对称性得:.6 2 a m I I I z y x = == 易知立方体得对角线与,Ox ,Oy Oz 轴得夹角都为,θ且,3 1cos =θ故立方体 饶对角线得转动惯量为 .6 cos cos cos 2 222a m I I I I z y x = ++=θθθ (1) 又由于 a d 3=, (2) 饶其对角线转动时得回转半径为 ,m I k = (3) 由(1)-(3)得.2 3d k = 例 3 一个塑料圆盘,半径为,R 电荷q 均匀分布于表面,圆盘饶通过圆心垂直盘面得轴转动,角速度为ω,求圆盘中心处得磁感应强度。 解:电荷运动形成电流,带电圆盘饶中心轴转动,相当于不同半径得圆形电流。圆盘每秒转动次数为 πω2,圆盘表面上所带得电荷面密度为2R q πσ=,在圆盘上取一半径为r ,宽度为dr 得细圆环,它所带得电量为rdr dq πσ2?=,圆盘转动时,与细圆环相当得圆环电流得电流强度为 rdr rdr dI ωσπ ω πσ?=? ?=22, 它在轴线上距盘心x 处得P 点所产生得磁感应强度为 rdr x r r x r dI r dB ωσμμ2 3222 02 32220)(2)(2+= +=
典型数学知识在物理上的应用小集锦 杨凯 数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，也可以帮助学生把握事物的本质及其内在联系，能达到打通关卡，长驱直入地解决问题的目的。可以说物理学的发展依赖于数学，对于高中常用的典型的数学知识大概总结一下，通过归纳可以更好的理解数学和物理学的关系，以及达到能更好的利用数学知识解决物理问题的水平。 一， 利用一元二次方程求极值问题 在直线运动的追击问题当中常常可以应用一元二次方程求解极值的条件，应用时首先要明确抛物线的极值求法，有时建立的位移关系是关于时间的一元二次方程，要明确判别式“∆”大于零，等于零，小于零所对应的物理意义。 例：一辆小汽车从静止开始以3m/s 2 的加速度行驶，恰好有一自行车以6m/s 的速度从车边匀速驶过，求：小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时的距离是多少？ 解析：设汽车在追上自行车之前t 时刻相距最远，2213622s s s t at t t ∆=⋅- =-自汽自－＝ｖ 利用二次函数求极值的条件知：当62322()2 b t s s a =-=-=⨯-时，s ∆最大为2max 362262 s m m m ∆=⨯-⨯= 二， 微元的思想在瞬时速度定义，变力做功等知识上的应用 微元的思想在讲解瞬时速度，曲线运动的速度方向，大小不变方向变化的变力做功等等地方通常可以应用，使用时通常是选择极短的时间（接近是一个瞬间）、极短的位移（直线）、极小的面积等来考虑问题，微元法的使用是便于学生理解知识和物理思维的一种有效的数学方法，在讲解瞬时速度的时候，可以从平均速度x v t =入手，选择极短的时间，从而让平均速度过度到瞬时速度。而在曲线运动当中讲到质点的运动方向时，除了可以通过实际生活当中的例子来呈现曲线运动的物体的运动方向外，我们还可以利用微元的思想把曲线分成很多小段，每一小段就接近是一条直线，这样短距离上的曲线运动就可以转变成直线运动，而直线运动的方向肯定就在该直线上，也即是直线的切线，这样便于理解。 三，辅助角公式的应用 辅助角公式通常可以在物理当中求极值，例如在力学当中和做功当中。 例，如图所示，用力F 拉着质量为m 的物体，在水平面上匀速运动，一直物体与水平面的动摩擦因素为μ，试利用解析法求拉力的最小值。 解析：物体的受力分析如左图，而辅助角相当于构造一个三角形如下右图所示 μ1
数学在物理学中的应用 数学和物理学是两门相辅相成的学科，数学提供了数理逻辑和计算工具，而物理学则利用数学模型解释和预测自然现象。在物理学研究中，数学扮演着重要的角色，为我们深入理解和探索物理世界提供了坚实的基础。本文将介绍数学在物理学中的应用。 一、微积分 微积分是数学的一个分支，被广泛应用于物理学中。微积分的两个主要分支是微分学和积分学，用于描述和研究物体运动、力的作用以及变化率等问题。 首先，微积分可以用来描述物体的运动。通过对位移、速度和加速度之间的关系进行积分，我们可以求解出物体的运动轨迹、速度和加速度的变化规律。这对于理解和预测物体在空间中的运动非常重要。 其次，微积分还可以应用于力学问题。牛顿的运动定律是描述物体运动的基本原理，而微积分为我们解决力学问题提供了有效的工具。通过运用微积分，我们可以求解出物体所受到的力、重力加速度以及其他与力有关的物理量。 总之，微积分在物理学中的应用非常广泛，为我们解决物理问题提供了有力的数学工具。 二、线性代数
线性代数是数学的一个分支，研究向量空间和线性变换等概念。在 物理学中，线性代数被广泛应用于描述和研究各种物理量之间的关系。 首先，线性代数可以用来描述向量和矩阵。在物理学中，许多物理 量都可以表示为向量或矩阵的形式，比如力、速度、位移等。通过运 用线性代数的工具和方法，我们可以对这些向量和矩阵进行运算，从 而深入研究它们之间的关系和性质。 其次，线性代数还可以应用于量子力学领域。量子力学是研究微观 粒子和能量的理论，而线性代数为我们描述和计算量子力学中的波函 数和算符提供了重要的数学工具。通过线性代数的方法，我们可以求 解出粒子的能级、状态和测量结果等物理量。 总之，线性代数在物理学中的应用非常广泛，为我们深入理解和研 究物理现象提供了重要的数学支持。 三、微分方程 微分方程是研究函数和它的导数之间关系的数学方程，被广泛应用 于物理学中的动力学、电磁学等领域。微分方程可以帮助我们建立物 理模型，并解决与系统动态行为、波动和振动等现象相关的问题。 首先，微分方程可以用来描述和求解动力学问题。动力学是研究物 体运动的学科，通过运用微分方程，我们可以建立物体的运动模型， 并求解出与位置、速度和加速度等相关的物理量。
数学方法在物理学中的应用 数学是物理学的基础和重要工具，其在物理学中的应用范围非常广泛。数学以其精密的逻辑性和严密的推理能力，为物理学提供了数值计算、模 型构建、物理定律的表达和推导等方面的技术支持。下面将介绍数学方法 在物理学中的几个典型应用。 一、微积分 微积分作为数学的分支之一，是最早与物理学结合起来的数学方法之一、微积分提供了求解速度、加速度、路径长度等运动问题的工具，进一 步推广为求解变化率、面积、体积等问题的数学方法。 在经典力学中，微积分的几何解释为运动问题提供了数学工具。例如，对于一个物体在一条直线上做匀加速运动的问题，我们可以通过微积分的 概念来描述和求解。利用速度和加速度的定义，我们可以推导出速度和位 置之间的关系，进而得到物体在时间t内所走过的路径长度。同样，对于 不同形状的曲线，我们可以通过定积分的概念求解路径长度、曲面面积等 问题。 二、线性代数 线性代数在物理学中的应用主要体现在量子力学领域。量子力学是描 述原子和分子系统的理论，其数学基础是线性代数。量子态可以用矢量表示，并且可以通过向量的线性组合和内积进行运算，而这些都是线性代数 的概念。 量子力学中的哈密顿算符、测量算符等都是线性代数运算的具体体现。通过求解线性方程组，我们可以得到量子态的特征值和特征向量，进而得
到量子系统的性质和定律。线性代数为量子力学的数学表达提供了强有力 的工具和语言。 三、偏微分方程 偏微分方程是物理学中常用的数学方法，它描述物理现象中涉及多个 变数的关系。很多物理问题都可以用偏微分方程建模，例如扩散方程、波 动方程、热传导方程等。偏微分方程的解可以提供物理问题的解析解或近 似解，进而对问题的特性和性质进行分析。 以波动方程为例，它描述的是波的传播和振动。通过求解波动方程， 我们可以得到波的传播速度、相速度、群速度等特征，用于解释和预测地 震波、声波、光波等的传播行为。 四、概率论与统计学 概率论和统计学是描述不确定性和随机性现象的数学工具，也是物理 学研究中常用的数学方法。 在统计物理学中，概率论和统计学被广泛应用于描述微观粒子的行为 和性质。通过概率论的方法，可以建立统计物理学中的分布函数、密度矩 阵等概率模型，从而描述粒子的统计性质和系统的热力学性质。 在实验物理学中，概率论和统计学可以用于数据分析和误差分析。通 过概率分布模型和统计推断方法，可以得到实验结果的可靠性和确定性。 总而言之，数学方法在物理学中的应用非常重要和广泛。通过微积分、线性代数、偏微分方程、概率论和统计学等数学方法，可以建立物理模型、解决物理问题、预测物理现象，并深入理解和探索宇宙的奥秘。
物理学中的数学应用 物理学作为自然科学的一门重要学科，与数学密不可分。数学在物 理学中扮演着重要的角色，为物理学的研究和实践提供了强大的支持。本文将探讨物理学中的数学应用，着重介绍数学在力学、电磁学和量 子力学等领域的应用。 一、力学中的数学应用 力学是物理学的基础学科，研究物体的运动和受力情况。数学在力 学中扮演着不可或缺的角色，主要涉及到微分方程、向量和微积分等 数学工具的应用。 1. 微分方程 微分方程是研究物体运动和受力的重要数学工具。在力学中，经常 会遇到涉及到物体运动状态的微分方程。比如，经典力学中的牛顿第 二定律可以用二阶微分方程来描述。此外，刚体运动、振动和波动等 问题也都可以通过微分方程的求解来得到定量的结果。 2. 向量 向量是力学中常用的数学工具，用于描述物体的位置、速度和加速 度等。在力学中，经常会使用到向量的加法、减法、点积和叉积等运算。例如，在分析质点运动时，利用速度向量可以得到质点的速度大 小和方向。 3. 微积分
微积分是力学中最为重要的数学工具之一，主要应用在对速度、加 速度和力等的研究中。通过对物体运动的时间、位置和速度等参数的 微分和积分运算，可以获得物体的加速度和受力情况。微积分的运用 使得物理学家能够更深入地研究物体的运动和受力机制。 二、电磁学中的数学应用 电磁学是研究电和磁现象的学科，包括电场、磁场以及它们之间的 相互作用。数学在电磁学中起到了至关重要的作用，主要涉及到电场、磁场和电磁波等的数学描述。 1. 向量分析 向量分析是电磁学中常用的数学工具，用于研究电场和磁场的特性。通过向量分析的方法，可以方便地描述电场和磁场的强度、方向和分 布情况。例如，通过电场的散度和旋度可以得到电场的特征参数，进 而研究电场如何相互作用和影响物体。 2. 微分方程和波动方程 微分方程和波动方程在电磁学中有着广泛的应用。通过对电磁力学 规律的建模，可以建立电磁波的微分方程和波动方程。这些方程的求 解可以得到电磁波的传播速度、能量传递和偏振状态等关键信息，对 于通信和电磁现象的研究非常重要。 三、量子力学中的数学应用
数学在现代物理学中的应用 数学作为一门学科，不仅仅是人们在学校中学习的一种工具，更是 一种思维方式和分析问题的工具。在现代物理学中，数学的应用不可 忽视。本文将探讨数学在现代物理学中的应用，并展示数学是如何为 物理学的研究提供重要的工具和支持。 一、微积分在运动学中的应用 运动学是物理学的重要分支，研究物体的运动规律。微积分作为数 学中重要的一部分，为运动学提供了强大的工具。通过微积分的方法，可以求解物体的位移、速度和加速度，进而揭示出物体运动的规律。 例如，当我们知道物体的速度随时间的变化率时，可以通过微积分求 解出物体的位移，进一步研究物体的运行轨迹和运动状态。 二、线性代数在量子力学中的应用 量子力学是现代物理学中最重要的分支之一，研究微观粒子的行为 和规律。线性代数作为数学的一个分支，为量子力学提供了强有力的 工具。在量子力学中，粒子的波函数可以用复数表示，而线性代数的 向量空间理论正好可以描述波函数的性质。线性代数的矩阵运算也广 泛应用于量子力学的研究中，例如求解能量本征值和本征函数等问题。因此，线性代数在量子力学中发挥着至关重要的作用。 三、微分方程在热力学中的应用 热力学是研究物体热学性质和能量转化规律的学科。微分方程作为 数学中的一个分支，为热力学提供了重要的工具。在热力学中，物体
的温度随时间的变化可以通过微分方程来描述。通过求解微分方程，可以得到物体的温度分布以及热量传导的规律。微分方程的应用还可以研究物体的相变过程和热力学循环等问题，从而深入理解和应用热力学知识。 四、概率论在统计物理学中的应用 统计物理学是研究大量微观粒子集体行为的学科，而概率论作为数学中研究随机现象的工具，为统计物理学的研究提供了必要的支持。在统计物理学中，概率论的方法广泛应用于粒子分布的建模和统计性质的分析。通过概率论，可以研究大量微观粒子的宏观行为，例如温度、压力等宏观物理量的统计规律。因此，概率论在统计物理学中具有不可或缺的地位和作用。 综上所述，数学在现代物理学中的应用是不可忽视的。微积分在运动学中的应用揭示了物体运动的规律，线性代数在量子力学中的应用描述了微观粒子的性质，微分方程在热力学中的应用揭示了能量转化和热学过程的规律，概率论在统计物理学中的应用分析了大量微观粒子的宏观行为。数学为物理学的研究提供了重要的工具和支持，为我们理解和探索自然界的规律提供了重要的帮助。
数学在物理中的应用 数学一直是物理学中不可或缺的工具，被广泛应用于各种科学领域，尤其在物理学中，其应用更是不可替代。在物理学中，数学可以用来解释自然现象，预测未知的行为，探索新领域等。本篇文章将会探讨数学在物理中的应用。 1.微积分 微积分是物理学中一种非常重要的数学工具。它被用来解决许多物理学问题，例如速度与加速度的计算、曲线的斜率、以及在流体力学和电动力学领域中的许多问题。微积分的概念在牛顿力学中得到了广泛应用，它们被用来描述天体力学中的行星轨道。微积分也被用来计算电场与磁场中的电荷分布，并解决粒子的运动问题。 2.线性代数 线性代数是应用在物理学中的常用数学工具。它被用来建立和分析物理模型，并解决矩阵和向量的问题。在量子物理学中，线
性代数被用来描述原子结构和它们的行为。矩阵计算则被用来探 究量子力学中的波函数，并进行相应的数值计算。 3.微分方程 微分方程是物理学中广泛应用的数学工具。它被用于描述物理 系统、控制系统和以动态形式描述其他过程的方程。这些方程可 以用于解决电路问题、热力学问题、光学问题等。在物理领域中，微分方程还被广泛应用于描述体系的振动、波浪、和流体流量等 问题。 4.概率论 在现代物理中，概率论被广泛应用于描述微观量子世界的行为。量子力学中的波粒二象性被认为是概率的实现。概率论不仅应用 于计算物理学中随机事件的概率，还可以用于建立统计物理学中 的可能性模型。例如，它可以被用来描述气体分子的速度和位置，并推导出气体特性的平均值。 5.微分几何
微分几何是用解析几何方法研究微分流形的分支。它是物理学中许多领域的基础，例如相对论、粒子运动学、以及弦理论。在相对论中，微分几何被用来描述时空的曲率，并解释引力现象。 总结： 本文简要介绍了数学在物理学中的应用。微积分、线性代数、微分方程、概率论、和微分几何等不同的数学分支都被广泛使用于物理学的各个领域中。这些领域的物理学家仍在继续探索更多领域，以便更好地理解自然现象，并推进现代科学的发展。数学是这一进展的关键。
数学在物理学中的应用 引言 数学作为一门精确的科学，广泛应用于各个领域。而在物理学中，数学更是起着举足轻重的作用。本文将探讨数学在物理学中的应用，并从几个具体的领域进行深入的分析。 一、微积分在力学中的应用 微积分是数学中的一门重要分支，广泛应用于力学领域。以牛顿力学为例，运用微积分的概念，可以推导出牛顿第一、第二、第三定律，并解决力学中的运动问题。通过对位移、速度和加速度的关系进行微积分运算，我们可以准确地描述和预测物体的运动轨迹和行为。 二、线性代数在量子力学中的应用 线性代数是数学中的另一个重要分支，其应用也十分广泛。在量子力学中，线性代数起着至关重要的作用。通过线性代数的工具，我们可以描述和分析微观粒子的量子态、哈密顿算符以及相应的本征值和本征函数等。线性代数的概念也帮助我们理解量子纠缠以及薛定谔方程等复杂的物理现象。 三、概率论在统计物理中的应用 概率论是数学中的一门应用广泛的分支，也在统计物理中发挥着重要作用。统计物理是研究大量微观粒子的行为和性质的学科，而概率论则提供了一种描述这些微观粒子集体行为的数学工具。通过概率论的概念和方法，我们可以理解气体分子的运动和分布规律，以及固体和液体的热力学性质等。 四、偏微分方程在场论中的应用
偏微分方程是数学中一个重要的分支，其应用范围广泛。在场论中，偏微分方 程的方法被广泛用于描述和研究各种物理场的行为。例如，通过用偏微分方程描述电场、磁场和引力场等场的分布和演化，我们可以研究和解决电磁学和引力学中的复杂问题。 五、数学方法在宇宙学中的应用 宇宙学是研究宇宙的起源、结构和演化等问题的学科。数学在宇宙学中扮演着 重要的角色。通过数学方法，我们可以理解宇宙的膨胀和演化模型，并预测宇宙的终极命运。数学的工具还可以帮助我们研究黑洞的形成和性质，以及宇宙微波背景辐射等一系列的宇宙现象。 结束语 综上所述，数学在物理学中的应用不可忽视。微积分、线性代数、概率论和偏 微分方程等数学分支为物理学家解决和理解各种物理问题提供了强大的工具。同时，数学也推动了物理学的发展，推动了我们对自然世界的认识和理解。因此，学习和掌握数学知识对于从事物理学研究的人来说是非常重要的。
物理学中的数学应用 物理学是一门自然科学，研究物体的运动、力学、能量以及与宇宙 间相互作用等现象。数学是物理学的重要工具，通过数学的应用，我 们可以更深入地理解和研究物理学的各个领域。本文将探讨物理学中 数学的应用。 一、微积分在物理中的应用 微积分是数学的一个分支，研究函数的变化率与面积、体积的关系。在物理学中，微积分的应用非常广泛。 1. 导数与速度、加速度 在运动学中，我们研究物体的运动状态，其中速度和加速度是非常 重要的概念。通过对位置函数求导，我们可以得到速度函数，再对速 度函数求导，我们可以得到加速度函数。通过微积分的概念，我们可 以计算物体在不同时间点的速度和加速度。 2. 积分与位移、力的计算 在运动学中，我们也关注物体的位移，通过速度函数与时间的积分，我们可以计算物体在一段时间内的位移。此外，在力学中，力的大小 可以看作是物体所受的加速度与质量的乘积，通过对加速度函数与时 间的积分，我们可以计算物体所受的力的大小。 二、线性代数在物理中的应用
线性代数是数学的一个分支，研究向量空间和线性变换。在物理学中，线性代数的应用主要体现在以下几个方面。 1. 向量与力的分解 力是物体所受的外界作用，可以用向量来表示。通过线性代数中向 量的加法和乘法运算，我们可以将力分解为平行和垂直于某个轴线的 分力，从而更方便地进行计算和分析。 2. 矩阵与力的平衡 力的平衡是物体保持静止或匀速直线运动的重要条件。通过将力表 示为矩阵形式，我们可以通过矩阵方程解来求解物体的平衡条件，从 而得到物体所处的平衡位置。 三、微分方程在物理中的应用 微分方程是数学中研究函数与其导数之间关系的方程。在物理学中，微分方程的应用非常广泛。 1. 动力学中的牛顿第二定律 牛顿第二定律描述了物体受力所引起的加速度的关系。通过建立物 体的受力方程，并应用微分方程的求解方法，我们可以确定物体在不 同时间点的速度和位置。 2. 指数衰减和增长
数学分析在物理学中的应用 数学作为一门基础学科，不仅是学习自身的知识，也在众多学 科中扮演着重要的角色。其中，物理学是最为重要的一门学科之一。物理学作为一门研究物质运动规律的学科，离不开数学分析 的支持。因此，在物理学中，数学分析被广泛应用，成为分析和 解决实际问题的重要工具。 1. 微积分在物理学中的应用 微积分被广泛应用于物理学中。例如，牛顿的力学理论就是基 于微积分的，能够描述物体在运动中所受到的力和它们的运动状态。另外，在电磁学和热力学中，微积分也是一种必不可少的工具。例如，用微积分可以解决各种问题，比如所谓的热传导方程、波动方程等等。 2. 微分方程在物理学中的应用 微分方程是微积分的重要组成部分，是描述物理现象的一种数 学工具。在物理学中，微分方程被广泛应用于解决热力学、天文学、物理化学等学科中的问题。例如，无论是解决物体的运动问
题，还是讨论空气中气体的运动状态，微分方程都是必要的数学 工具。 3. 偏微分方程在物理学中的应用 偏微分方程是微分方程的进一步延伸，对于许多物理学问题的 分析和解决具有非常重要的作用。例如在流体力学和统计物理中，偏微分方程可以描述流动的速度和压强，研究物质的性质等等。 并且，偏微分方程在物质的输运、传热和辐射等方面也有着广泛 的应用。 4. 矩阵理论在物理学中的应用 矩阵理论的应用涵盖非常多的物理学问题，例如在量子力学中 所涉及的矩阵运算。矩阵理论能够描述物质体在不同状态之间的 转换，包括电子、核子、粒子等，以及这些系统在不同状态中的 相互作用。因此，矩阵理论不仅能够应用于解决物理学问题，同 时也在航空航天、电力电子等领域中得到了广泛使用。
数学在物理中的应用方法 数学在物理中的应用方法 虽然解高中物理题时能否将物理条件用数学式表达出来，属于应数用学处理物理问题的能力.而现在高考中所谓的难题就是要求学生 有这种能力。 一、数学应用一——图像 学习立体几何要求有空间想象力，同时有把空间图形转成平面图的能力。同样物理也要求把一立体图转化成侧视、俯视、仰视等利 于自己解题的平面图。掌握了这方面能力，对理解这道题意有相当 大的'帮助。高中物理中如斜面上的力学题，电磁学中涉及v、B、F、I等物理量方向的题，一般题目中给出的都是实物立体图，如在练 习中加强自己对空间想象力的培养，那处理这类题目就不会手足无 措了。 三、数学应用三——最值问题 数学中的二次函数求极值，基本不等式求极值在高中物理中应用得非常普遍。比如热学中经常求温度至少升高到多少可以使管内水 银全部溢出等题就用到了二次函数求极值，而很多学生看到列式中 的P、V就不会求极值了，一旦把他们转成X、Y就会了，说明学生 对于数学在物理学科中的应用能力还相当缺乏。所以要学会举一反三，培养自己数学知识渗透物理解题的能力。 四、数学应用四——公式灵活运用 解某数学些物理题目时进行适当的数学处理可以使题目简单化，比如矢量和向量的对比转化，正弦定理、余弦定理的应用，相似三 角形的应用等。但经数学处理后得到的结果，在物理上是否合理、 是否合乎实际以及所得结果的物理意义如何，都需要进行讨论和判断，这种能力和素养对学生是很重要的。
由此可见，用数学处理物理问题的能力是一种非常重要的能力。高考中中出现这种学科间相互渗透的题目，更能考查学生学习水平和学习能力，所以作为高三学子在高考前更应重视、加强这方面的训练。
数学在物理中的应用 前言 物理要创新，不仅仅光靠物理实验，还要有数学做为理论基础。象著名的物理学家——牛顿，谁都可能看到苹果落地，也可想到引力作用，你推导不出规律，而他可以推导出万有引力定律，正因为他有深厚的数学功底，并且会运用数学解决物理问题，而一般人没有。象著名的物理学家——爱因斯坦，由于他有高深莫测数学理论，导出了质能能方程，提出了相对论。他们既是物理学家，又是数学家。 第一章、几何与物理 一、三角形与矢量 矢量，因有三角形而精彩，三角形，因有矢量而实用。在矢量的合成和分解中，我们应用平行四边形定则进行运算，其实在运算过程中，主要是运用三角形性质，解决问题。那么，三角形在矢量中，除了直角三角形外，其他任意三角形，有哪些应用？ 两个三角形相似比的应用 例1如图所示，绳与杆均不计重力，所承受弹力的最大值一定，A点正上方（滑轮大小及摩擦均可忽略），B端吊一重物P。现施拉力T将B端缓慢上拉（绳、杆均未断），在杆达到 竖直前，下列说法中正确的是
A、绳子越来越容易断 B、绳子越来越不容易断 C、杆越来越容易断 D、杆越来越不容易断 分析：OB绳子的拉、物体的重力、AB杆的弹力共点在B 点，设OB=S（变小），AO=H（定量），AB=L（定量）。滑轮大小不计，对B点受力分析，如图可知△AB O∽△PCB，得出对应边成比例，则 T/G=S/H 即 T=SG/H 变小 N/G=L/H 即 N=LG/H=恒量 可得：B答案正确。 余弦定理的应用 例2、物体受到夹角为120°的两个共点力作用，它们的大小分别为10N、20N，则物体合力的大小为多少？ 分析：根据平行四边形定则，合外力平分的两个三角形，不可能是直角三角形，只能运用余弦定理求解，这两个三角形中，其中的一个角为180°-120°=60°，则有
数学在物理学中的应用 数学和物理学一直以来都被称为近乎无法分离的双胞胎学科。事实上，数学为 物理学提供了强大的工具和方法，让我们能够更深入地理解和解释自然现象。在本文中，我们将讨论数学在物理学中的应用，展示数学是如何为物理学的发展和研究提供支持的。 在物理学中，数学最常见的应用之一是建立模型和方程。物理学家通过观察和 实验收集数据，并使用数学方法将这些数据转化为可被物理学理论解释的形式。例如，在经典力学中，牛顿定律描述了运动物体的受力和加速度之间的关系。这个定律可以用微分方程的形式表示，其中包含了物体的质量、加速度和力的关系。 在量子力学中，数学的应用更加深入和抽象。量子力学研究的对象是微观世界 中的粒子和系统，这些系统的行为往往不符合经典力学的规律。通过波函数和算符的概念，量子力学提供了一种数学框架，用于描述粒子的位置、动量、能量和其他性质。在量子力学中，波函数的演化可以通过薛定谔方程来描述，这是一个偏微分方程，通过解方程可以获得系统的状态和特性。 除了方程和模型的建立，数学在物理学中的应用还包括数据分析和实验设计。 物理学家常常需要处理大量的实验数据，分析数据的分布和趋势，以寻找规律和验证理论。这就需要运用统计学和概率论的知识，对数据进行处理和分析。此外，数学还能帮助物理学家设计实验流程，确定测量方法和精度，以确保实验结果的可靠性。 物理学中另一个重要的数学应用领域是数值计算和模拟。有些物理问题无法用 解析的方法求解，需要借助计算机和数值算法。例如，对于复杂的流体动力学问题，数值方法可以模拟流体的运动和变化，帮助物理学家提取有用的信息和洞察力。另外，数值计算还在天体物理学领域得到广泛应用，用于模拟星体的运动和演化，以及宇宙大尺度结构的形成。
数学在物理学中的应用 物理学是研究自然现象和规律的一门科学。在这个科学领域中，数学是一种不可或缺的工具。从牛顿的经典力学到现代的量子力学，都依赖于数学的工具和方法，包括微积分、变换、张量等等。本文将从几个方面介绍数学在物理学中的应用。 微积分 微积分是数学中的一个重要分支，它研究连续变化的量，包括 变化率、极值、积分等。在物理学中，微积分被广泛应用。 例如在牛顿力学中，物体的位移可以表示为速度的积分。加速 度是速度的变化率，加速度的积分就是速度。同样，速度的变化 率就是加速度，所以加速度的积分就是位移。通过微积分，我们 可以更深入地理解物体的运动规律。 在电磁学中，安培环路定理和法拉第电磁感应定律都涉及积分。安培环路定理描述了任意闭合曲线上的磁场强度与曲线内部电流 的关系。其中，曲线上的积分可以看作对磁场强度的总和。同样
地，法拉第电磁感应定律描述了磁场的变化率与感应电动势的关系，其中的积分也是针对时间的总和。 变换 变换是将一个数学对象变换为另一个数学对象的操作，例如将一个函数在数轴上平移、旋转、缩放等等。在物理学中，变换也是一种常见的数学操作，特别是在坐标系变换中。 例如在相对论中，时间和空间是相互绑定的，并且与观察者的状态有关。洛伦兹变换就是将一个惯性参考系变换为另一个惯性参考系的操作，描述了时间和空间的变换关系。这个变换包括时间的缩短、长度的收缩、同时性的相对性等等。 在量子力学中，波函数描述了一个物理系统的状态，而波函数的形式在不同的参考系下是不同的。麦克斯韦方程组中也存在坐标系变换的问题。因此，变换在现代物理学中有着广泛的应用。 张量
张量是数学中的一种多维数组，它描述了多个向量或者矩阵之间的关系。在物理学中，张量是一种常见的物理量，例如磁场张量、应力张量等等。 磁场张量描述了磁场的强度和方向。在相对论理论中，能动张量描述了引力的物理量。在流体力学中，应力张量描述了流体的应力和切割率。 总结 总之，数学在物理学中的应用是广泛的。微积分、变换、张量是物理学中不可或缺的数学工具和方法。通过对数学的深入研究和应用，我们可以更加深入地理解物理世界的本质和规律。
数学在物理中的应用 数学作为一门重要的学科，不仅在纯粹的数学研究中起着举足轻重的作用，同 时也在其他学科中发挥着重要的应用价值。其中，数学在物理学中的应用尤为突出。物理学作为自然科学的一门重要分支，研究的是探索自然界中各种物质的性质及其相互关系。而物理学的研究过程中，数学所提供的理论模型以及分析工具，则为物理学家们解开自然奥秘、探索物质本质提供了重要的支持。 在经典力学中，数学的运用尤为广泛。力学的基础是牛顿力学，它描述了物体 运动的规律和力的作用。其中，牛顿三定律是力学的核心原理。其数学公式的使用使得我们能够准确地描述物体在外力作用下的运动轨迹，并能预测物体的未来运动。另外，在热学中，研究的是物体的热力学性质，数学在这个领域的应用一直是探究能量的传输和转化以及温度变化的重要手段。 而在电磁学中，数学的运用尤其巧妙。电磁学研究的是电荷、电场和磁场之间 的相互作用。麦克斯韦方程组，是描述电磁场的物理定律。这套方程组的数学推导和解析使得电磁波的存在和传播得以证明，并揭示了关于电磁波传播速度的重要结果。除了麦克斯韦方程组，电磁学中的电荷分布、电流密度等概念，也都需要使用到数学中的高斯定理、斯托克斯定理等形式来进行计算和分析。 此外，在现代物理学中，数学发挥的作用更为出色。量子力学的发展使得我们 能够更深层次地理解微观世界。而量子力学中的波函数、薛定谔方程等数学描述，使得我们能够精确地描述和预测微观粒子的性质和行为。同时，在相对论中，狭义相对论的矩阵计算和广义相对论的时空曲率模型，也离不开数学的加持。 除了在上述物理学领域的应用，数学在数据处理、信号分析、图像处理等领域 也扮演着非常关键的角色。在数据处理中，数学的统计学与概率论知识，帮助我们从大量数据中提取重要信息，以及进行模型建立和参数预测。在信号分析领域，傅里叶级数与傅里叶变换的数学理论为我们分析复杂的信号提供了重要的数学理论基
例析数学知识在物理中的应用 数学是与物理联系最为紧密的学科之一. 很多人都说：物理学得好需要数学的辅助. 由此可见，灵活运用数学知识解决物理问题的能力在物理学习中起着非常重要的作用. 下面我就几个题目谈谈数学知识在物理中的应用. 一、相似三角形的应用 例1 如图所示，在半径为R 的光滑半球面上高h 处悬挂一定滑轮．重力为G 的小球用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住．人拉动绳子，使小球缓慢运动到接近顶点的过程中， 试分析小球对半球的压力和 绳子拉力如何变化？ 解析：取小球为研究对象， 对小球进行受力分析：球受重力G 、球面对小球的支持力N 和绳子的拉力T ． 利用平行四边形将F N 和T 合成F ．则F ＝ G ，如图所示．可以看到由F N ，T ，F 构成的力三角形和由边长L ，R ，h ＋ R 构成的几何三角形相似，从而有： h R R G F N +=，有 G n R R F N += h R L G T +=， 有 G h R L T +=
拉动小球的过程中，L 减小，R ，h 不变． 因此，T 减小，FN 大小不变． 二、三角函数知识的应用 例2 一人站在离公路h ＝ 50 m 远处，如图所示，公路上有一辆汽车以v 1 ＝ 10 m ／ s 的速度行驶，当汽车到A 点与在B 点的人相距d ＝ 200 m 时， 人以v 2 ＝ 3 m ／ s 的平均速度奔跑，为了使人跑到公路上恰与汽车相遇，则此人应该朝哪个方向跑？ 解析:设人向v 2的方向运动， 在公路上与汽车相遇在C 点，由正弦定理有：β αsin sin 21S S = βυαυsin sin 21t t = 即 β υαυsin sin 2 1= 从直角三角形可知 d h =βsin , 则 65sin sin 2121=== d h υυυβυα 所以α = arc sin 65 或者α = arc sin(265π+ ) 点评:本题数学知识的应用要求比较高，一般学生很难想到会用正弦定理. 可见数学知识在物理上的应用“无孔不入”啊！ 三、解析几何的应用
应用数学方法快捷解答物理问题 （本内容分两次课完成，每次课一个半小时，共三小时完成） 物理和数学是不分家的，我们在学习物理学的过程中，能够灵活运用一些二级结论，对解答问题是很有帮助的，本节课重在引导大家学会和重视数学知识在高中物理学中的应用，希望大家喜欢： 1、韦达定理：在数学中，一无二次议程ax 2 + bx + c = 0的两个根x 1，x 2与各项系 数a 、b 和c 具有下列关系，即x 1 + x 2 = − b a ，x 1x 2 = c a 。 典例1：以初速度v 0竖直上抛一个物体，在t 1末上升至h 高处，在 t 2末又回到h 高处。 试证明：h = g 2 v 0 (t 1+t 2) t 1 t 2 解答：根据竖直上抛运动的位移公式： h = v 0t - 1 2 gt 2，有gt 2 - 2v 0t + 2h=0 根据韦达定理知：t 1+t 2 = (1) t 1 t 2 = (2) 由（1）（2）相乘得：h = g 2 v 0 (t 1+t 2) t 1 t 2 2．定积求和最小、定和求积最大原理（均值不等式） 如果n 个正数之积为常数K ，则n 个数相等时，其和最小，即 x 1=x 2=…=x n 时有(x 1+x 2+…+x n )min =n √K n (定积求和最小) 如果n 个正数之和为常数K ，则n 个数相等时，其积最大，即： x 1=x 2=…=x n 时有(x 1x 2…x n )max =(K n )n (定和求积最大) 或叫做均值不等式：(x 1+x 2+…+x n )/n ≥√K n g v 0 g v 0 2
典例2：一轻绳一端固定在O 点,另一端拴一小球,拉起小球使轻绳水平,然后无初速度地释放,如右图所示,小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中,小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值? 【解析】如图乙所示,当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C 时,重力的功率: P=mgvcos α=mgvsin θ 小球从水平位置到图中C 位置时,由机械能守恒有 mgL cos θ= 2 1mv 2 解得:P = mg θθsin 2cos 2gl 令y=cos θθsin 2 =sin cos 422 (2 1θ = sin)sin cos 22 2(2 1 又因为2cos 2 θ+sin 2 θ+sin 2 θ=2(sin 2 θ+cos 2 θ)=2(定值) 所以当且仅当2cos 2 θ=sin 2 θ时,y 有最大值 由2cos 2 θ=1-cos 2 θ 得cos θ= 3 3 即:当cos θ= 3 3 时,功率P 有最大值。 【答案】当细绳与竖直方向的夹角余弦值为cos θ= 3 3 时,重力的瞬时功率取得最大值 典例3：如图，一个小球由静止开始，从H 高处无摩擦滑下，然后进入半径为R 的光滑园轨道。为了越过轨道正上方圆心角为2α的缺口AB ，求小球下滑的最小高度是多少？ 解答： 设小球质量为m ，从A 点做斜上抛运动的速度为v. 根据射程公式： 2R sin α= v 2sin 2α g （1） 根据机械能守恒定律 mgH =mg(R +R cos α)+1 2mv 2 （2） 由（1）、（2）得： H =（1+cos α+12cos α ）R （3）