第一章《勾股定理》专项练习
专题一：勾股定理
考点分析：
勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题
典例剖析
例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器
零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：m m ），计算两圆 孔中心A 和B 的距离为______m m ．
（2）如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，， 若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）
Ａ．4 Ｂ．6
Ｃ．16
Ｄ．55
分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．
解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得： AB 2
=902
+1202
=22500，所以AB=150（mm ）
（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C ．
点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．
例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求
122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠的度数．
解：连结
32A E ．32122222A A A A A E A E ==，，32212290A A E A A E ∠=∠=，
322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．322122A EA A EA ∴∠=∠．
由勾股定理，得：4532C E C E =
==
，4532A E A E ===，
44332A C A C ==，445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）．323454
A E C A E C ∴∠=∠
图
1 图2
1A
2A 3A
4A
5A 5E 2E 1 1 1 1 4C
1A
2A
3A
4A
5A 5E
2E 1
1 1 1 4C
3C
2C 图3
122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．
由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=． 即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．
点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．
（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450
、900
、1350
，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力． 专练一：
1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2：1：1，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（ ）
（A ）222a b c +=；（B ）222a b =； （C ）222c a =； （D ）22
2b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有（ ） （A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个
3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（ ）
（A ）10.5米； （B ）7.5米； （C ）12米； （D ）8米 4、下列说法中正确的有（ ）
（1）如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC 是直角三角形；（2）如果∠A+∠B=∠C ，那么△ABC 是直角三角形；（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC 是直角三角形；（4）如果三边长分别是22
1,2,1(1)n n n n -+>，则ABC 是直角三角形。
（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个 5、如图4是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是（ ） A ． a ＞c B ．b ＞c C ．4a 2
+b 2
=c 2
D ．a 2
+b 2
=c 2 6、已知直角三角形两边长分别为3、4，则第三边长为 ． 7、已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10，则直角三角形
图4
A
B
C
图7
的两直角边的长分别为 ．
8、利用图5（1）或图5（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ．
9、一棵树因雪灾于A 处折断，如图所示，测得树梢触地点B 到树根C 处的距离为4米， ∠ABC 约45°，树干AC 垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为 米（答案可保留根号）．
10、如图6，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…，已知正方形ABCD 的面积1S 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23S S ，，…，S n （n 为正整数）， 那么第8个正方形的面积8S ＝_______。
11、如图7，在ΔABC 中，AB=AC=10，BC=8．用尺规作图
作BC 边上的中线AD （保留作图痕迹，不要求写作法、证明）， 并求AD 的长．
12、已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm 和10 cm ，求这个三角形的面积.
A
B
C D
E
F
G
H
I
J
图5（1）
图6
图5（2）
13、在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm
（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.
（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.
14、如图8：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上
覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
图8
15、如图9，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点
D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
图9
专题二：能得到直角三角形吗
考点分析：
本部分内容是勾股定理及其逆定理的应用，它在中考试卷中不单独命题，常与其它知识综合命题
典例剖析
例1．如图10，A 、B 两点都与平面镜相距4米，且A 、B 两点相距6米，一束光线由A 射向平面镜反射之后恰巧经过B 点，求B 点到入射点的距离.
分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.
解：作出B 点关于CD 的对称点B ′，连结AB ′，交CD 于点O ，则O 点就是光的入射点，因为B ′D =DB ，所以B ′D =AC ，∠B ′DO =∠OCA =90°，∠B ′=∠CAO 所以△B ′DO ≌△ACO (SSS )，则OC =OD =
21AB =2
1
×6=3米，连结OB ，在Rt △ODB 中，OD 2+BD 2=OB 2，所以OB 2
=32
+42
=52
，即OB =5(米)，所以点B 到入射点的距离为5米.
评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础
例2．如果只给你一把带刻度的直尺，你是否能检验∠MPN 是不是直角，简述你的作法． 分析：只有一把刻度尺，只能用这把刻度尺量取线段的长度，若∠P 是一个直角，∠P 所在的三角形必是个直角三角形，这就提示我们把∠P 放在一个三角形中，利用勾股定理的逆定理来解决此题．
作法：①在射线PM 上量取PA=3㎝，确定A 点， 在射线PN 上量取PB=4㎝，确定B 点．
②连结AB 得△PAB ． ③用刻度尺量取AB 的长度，
如果AB 恰为5㎝，则说明∠P 是直角，否则∠P 不是直角．
理由：PA=3㎝，PB=4㎝，PA 2
+PB 2
=32
+42
=52
，
Ｐ Ａ Ｍ
Ｎ
图11
图10
若AB=5㎝，则PA 2+PB 2=AB 2
，根据勾股定理的逆定理得△PAB 是直角三角形，∠P 是直角．
说明：这是一道动手操作题，是勾股定理的逆定理在现实生活中的一个典型应用．学生既要会动手操作，又必须能够把操作的步骤完整的表述出来，同时要清楚每个操作题的理论基础． 专练二：
1．做一做：作一个三角形，使三边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm,哪条边所对的角是直角？为什么？
2．断一断：设三角形的三边分别等于下列各组数：
①7，8，10 ②7，24，25 ③12，35，37 ④13，11，10 （1）请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形，为什么？
（2）把你判断是Rt △的哪组数作出它所表示的三角形，并用量角器来进行验证.
3算一算：．一个零件的形状如图12，已知AC=3㎝，AB=4㎝，BD=12㎝， 求：CD 的长．
4．一个零件的形状如图13所示，工人师傅按规定做得AB =3，BC =4，AC =5，CD =12，AD =13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
5．如图14，等边三角形ABC 内一点P ，AP =3，BP =4，CP =5，求∠APB 的度数.
图12
图13
6．若△ABC的三边长为a,b,c，根据下列条件判断△ABC的形状.
（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c (2)a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0
7．请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画出1 个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形．
8．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图15，已知圆筒高108㎝，其截面周长为36㎝，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪多
长油纸．
专题三：蚂蚁怎样走最近
图15 图14
考点分析：
勾股定理在实际生活中的应用较为广泛，它常常单独命题，有时也与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题
典例剖析
例1．如图16（1）所示，一个梯子AB 长2.5米， 顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离 为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图10（2）所示， 测得得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？
分析：梯子顶端A 下落的距离为AE ， 即求AE 的长．已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ， 只要求出EC 即可。
解：在Rt △ACB 中，AC 2
=AB 2
-BC 2
=2.52
-1.52
=4，
∴AC=2，∵BD=0.5，∴CD=2在中，Rt ECD EC ED CD ?22222
25
2225=-=-=.. ∴EC=1.5， ∴=-=-=AE AC EC 215
05..，所以，梯子顶端下滑了0.5米． 点评：在实际生活、生产及建筑中，当人们自身高度达不到时，往往要借助于梯子，这时对梯子的选择，及梯子所能达到的高度等问题，往往要用到勾股定理的知识来解决．但要 注意：考虑梯子的长度不变．
例2．有一根竹竿, 不知道它有多长. 把竹竿横放在一扇门前, 竹竿长比门宽多4尺；把竹竿竖放在这扇门前, 竹竿长比门的高度多2尺； 把竹竿斜放,，竹竿长正好和门的对角线等长.问竹竿长几尺?
分析：只要根据题意，画出图形，然后利用勾股定理，列出方程解之
解：设竹竿长为x 尺。则：（x ―4）2
+（x ―2）2
=x 2
x 1=10 ，x 2=2（不合题意舍去） 答：竹竿长为10尺。
评注：本题是勾股定理与方程的综合应用问题，它综合考查了同学们的建模思想和方法的理解和运用，符合新课程标准的理念，请注意这类问题！
例3．如图17，客轮在海上以30km/h 的速度由B 向C 航行，在B 处测得灯塔A 的方位角为北偏东80，测得C 处的方位角为南偏东25，航行1小时后到达C 处，在C 处测得A 的方位角为北
图16（2） A A
E
C B D
（1） （2） 图16北
图17
偏东20，则C到A的距离是（）
A
．；B
．；C
．km；D
．km
分析：本题是一道以航海为背景的应用题，由已知条件分析易知△ABC
不是直角三角形，这就需要作三角形的高，将非直角三角形转化为直角三角形，问题便可得到解决．
解：由条件易得：∠C=450，∠ABC=750，则∠A=600，过B作BD⊥AC，
垂足为D，∴△BCD是等腰直角三角形，又∵BC=30km，由勾股定理得：
2CD2=302，∴
CD=
BD=AD=x，则AB=2x，由勾股定理得：
，∴
=
x=
AC=
D．
点评：在航海中，有时需要求两船或船与某地方的距离，以保证航海的安全，有时就需要用勾股定理及判定条件来加以解决，熟练应用勾股定理是解题的关键．
专练三：
1．小明从家走到邮局用了8分钟，然后右转弯用同样的速度走了6
分钟到达书店(如图18),已知书店距离邮局640米，那么小明家
距离书店米．
2．一根新生的芦苇高出水面1尺，一阵风吹过，芦苇被吹倒一边，
顶端齐至水面，芦苇移动的水平距离为5尺，则水池的深度和芦苇的长度各是．3．小明叔叔家承包了一个矩形养鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建起栅栏，要计算这个矩形养鱼池的周长，你能帮助小明算一算，周长应该是．4．求图19所示（单位mm）矩形零件上两孔
中心A和B的距离（精确到0．lmm）．
5．假期，小王与同学们在公园里探宝玩游戏，按照游戏中提示的方向，他们从A出发先向
家
邮
图18
图19
正东走了800米，再向正北走了200米，折向正西走300米，再向正北走600米，再向正东走100米，到达了宝藏处B ，问A 、B 间的直线距离是 米． 6．如图20所示，为修铁路需凿通隧道AC ，测得∠A=53°， ∠B=37°．AB=5km ，BC=4km ，若每天凿0.3km ， 试计算需要几天才能把隧道AC 凿通．
7．如图21，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？
8．观察下列表格：
请你结合该表格及相关知识，求出b 、c 的值。
9．如图22所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面
C
B
积．
参考答案
专练一： 1．
3200
3
；2．12，13； 3．28； 5、1000
6． 解：因为∠A=53°，∠B=37°∴∠ACB=90°，
在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2-BC 2=52-42
=9，所以AC=3，需要的时间3
100.30.3
AC t =
== （天） 答：需要10天才能把隧道AC 凿通。
7．由勾股定理得：AB=10，设CD=x ，则DE=x ，BD=8-x ，BE=4，由勾股定理得： 42
+x 2
=(8-x)2
，解得x=3，即CD=3 8．12，5
9．连结AC ，在Rt △ADC 中，
AC CD AD 22222
129225=+=+=， ∴=AC 15，在△ABC 中，AB 2
=1521
AC BC 222215361521+=+=，
∴=+∴∠=AB AC BC ACB 22290，° ∴-=?-?S S AC BC AD CD ABC ACD ??121
2
=
??-??=-=1215361
2129270542162()m
答：这块地的面积是216平方米。 专练二：
1．做一做：5 cm 所对的角是直角，因为在直角三角形中直角所对边最长. 2．断一断：(1)②③ ∵72
+242
=252
, 122
+352
=372
(2)略
3．解：在直角三角形ABC 中，根据勾股定理：BC 2
=AC 2
+AB 2
=32
+42
=25，在直角三角形
CBD 中，根据勾股定理：CD 2=BC 2+BD 2=25+122
=169，∴CD=13． 4．∵42
+32
=52
,52
+122
=132
,即AB 2
+BC 2
=AC 2
，故∠B =90°,同理，∠ACD =90° ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =
21×3×4+2
1
×5×12=6+30=36. 5．解：如图,以AP 为边作等边△APD ，连结BD .则∠1=60°－∠BAP = ∠2,
在△ADB 和△APC 中,
AD =AP .∠1=∠2，AB =AC
∴△ADB ≌△ADC (SAS ) ∴BD =PC =5，又PD =AP =3，BP =4 ∴BP 2
+PD 2
=42
+32
=25=BD 2
∴∠BPD =90°
∴∠APB =∠APD +∠BPD =150°
6．(1)∵a 2
+b 2
+c 2
+100=12a +16b +20c ，∴(a 2
－12a +36)+(b 2
－16b +64)+(c 2
－20c +100)=0，
即(a －6)2
+(b －8)2
+(c －10)2
=0
∴a －6=0,b －8=0,c －10=0，即a =6,b =8,c =10，而62
+82
=100=102
，∴a 2
+b 2
=c 2
， ∴△ABC 为直角三角形.
(2)(a 3
－a 2
b )+(ab 2
－b 3
)－(ac 2
－bc 2
)=0，a 2
(a －b )+b 2
(a －b )－c 2
(a －b )=0，∴(a －b )(a 2
+b 2
－c 2
)=0
∴a －b =0或a 2
+b 2
－c 2
=0，∴此三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形. 7．解：本题答案不惟一，只要符合要求都可以，以下答案供参考．
8．解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图， 整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC 长 即可，在Rt △ABC 中，AB=36，BC=
274
108
∴由勾股定理得AC 2
=AB 2
+BC 2
=362
+272
∴AC=45，故整个油纸的长为45×4=180（㎝）．
Ａ
Ｃ
专练三：
1、C ；
2、B ；
3、B ；
4、C ；
5、D ；
6、5
7、6，8；
8、勾股定理，2
2
2
a b c +=；9、
4+10、128；
11、（1）作图略；
（2）在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的中线，∴AD⊥BC，11
8422
BD CD BC ===?=.在Rt△ABD 中，AB ＝10，BD ＝4，2
2
2
AD BD AB +=，
AD ∴==.
12、如图：等边△ABC 中BC =12 cm ，AB =AC =10 cm
作AD ⊥BC ，垂足为D ，则D 为BC 中点，BD =CD =6 cm 在Rt △ABD 中，AD 2
=AB 2
－BD 2
=102
－62
=64 ∴AD =8 cm ∴S △ABD =
21BC ·AD =2
1
×12×8=48(cm 2)
13、解：(1)∵△ABC 中，∠C =90°，AC =2.1 cm ，BC =2.8 cm
∴AB 2
=AC 2
+BC 2
=2.12
+2.82
=12.25
∴AB =3.5 cm ，∵S △ABC =
21AC ·BC =2
1
AB ·CD ，∴AC ·BC =AB ·CD ， ∴CD =AB
BC AC ?=5.38.21.2?=1.68(cm)
(2)在Rt △ACD 中，由勾股定理得：AD 2
+CD 2
=AC 2
， ∴AD 2
=AC 2
－CD 2
=2.12
－1.682
=(2.1+1.68)(2.1－1.68) =3.78×0.42=2×1.89×2×0.21=22
×9×0.21×0.21， ∴AD =2×3×0.21=1.26(cm)，∴BD =AB －AD =3.5－1.26=2.24(cm)
14、解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为 3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是：3×12=36(m 2
)
15、解：根据题意得：Rt △ADE ≌Rt △AEF ，∴∠AFE =90°,AF =10 cm,EF =DE ，设CE =x cm ，则DE =EF =CD －CE =8－x ，在Rt △ABF 中由勾股定理得：AB 2
+BF 2
=AF 2
，即82
+BF 2
=102
，∴BF =6 cm ，∴CF =BC －BF =10－6=4(cm)，在Rt △ECF 中由勾股定理可得：EF 2
=CE 2
+CF 2
，即(8－
x )2=x 2+42，∴64－16x +x 2=x 2+16，∴x =3(cm),即CE =3 cm
150° 20m 30m 勾股定理专项练习 知识梳理： 1、勾股定理适用前提：直角三角形 2、勾股定理内容：a 2+b 2=c 2 (字母C 并不必然代表斜边) 3、勾股定理作用：已知直角三角形两边求第三边 数学思想： 1、数形结合思想 2、方程思想 一．填空题： 1. 已知直角三角形两直角边的长分别为3cm,4cm,第三边上的高为_______. 2．在Rt △ABC 中, ∠C=90°,AB=15,BC:AC=3:4,则BC=_________. 3．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，D 、E 分别是 边AB 、AC 的中点，DE=4，AC=10，则AB=____________. 4．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是_____m 。 5．已知两条线段的长为9cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形. 6．如图，在△ABC 中，CE 是AB 边上的中线，CD ⊥AB 于D,且AB=5,BC=4,AC=6,则DE 的 长为_______. 7．如图，所有的四边 形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形 的边和长为7cm,则正 方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__ _cm 2 。 8．在一棵树的10米高 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 。 9．有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米. 10.四边形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD=8，DC=6，CB=24，AB=26.则四边形ABCD 的面积为____________. 11.如图是一个三级台阶， 它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是________. 二．选择题： 1．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 2．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2,c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6,b=8,c=10 D 、a=3,b=4,c=5 3．如果Rt △两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ） A 、60∶13 B 、5∶12 C 、12∶13 D 、60∶169 4．如果Rt △的两直角边长分别为n 2 －1，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2n B 、n+1 C 、n 2－1 D 、n 2 +1 5．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，a+b=14，c=10，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、24 B 、36 C 、48 D 、60 6．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A 、56 B 、48 C 、40 D 、32 7．三角形的三边长满足（a+b ）2=c 2 +2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 8．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草 皮至少需要（ ） A 、450a 元 B 、225a 元 C 、150a 元 D 、300a 元 9．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△AB E 的面积为（ ） A 、6cm 2 A B E D C A E D B C A B C D 7cm A B C D 20 3 2A B A B E F D C 第9题图
新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,．已 知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2＝AB 2， 即ＡＣ2+9２=1５2,所以AC ２ =144,所以AC=12. 例题２ 如图(8），水池中离岸边D 点１.5米的C 处,直立长着一根芦苇，出水部分B Ｃ的长是0.５米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题１一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知△AC Ｄ中,∠ACD=90°,在Ｒt △ACD 中,只知道CD ＝１．5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考）: 解:如图2,根据勾股定理，AC 2+CD 2=A Ｄ2 设水深AC= x 米，那么AD ＝A Ｂ=AC+CB ＝x +0.5 ｘ２+1．52=( x ＋0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ＡＢCD 中，E 是ＢC 边上的中点,F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△ＤEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A
[试题]初中物理滑轮组专题练习 探究滑轮的作用 1、动滑轮的实质是 ( ) A.动力臂等于阻力臂的杠杆 B.动力臂为阻力臂2倍的杠杆 C.阻力臂为动力臂2倍的杠杆 D.是为了减小摩擦，与杠杆无关 2、使用滑轮组时，下列说法正确的是( ) A(既能省力，又能省距离 B(既能省力，又能改变力的方向 C(只能省力，但不能改变力的方向 D(只能改变力的方向，但不能省力 3、用如图所示的滑轮匀速提升重物，那么 ( )A(a方向的拉力最小B(b方向的拉力最小 C(c方向的拉力最小D(三个方向的拉力都一样大 4、用如图所示的滑轮组匀速提起600N的重物时，人手实际需提供的拉力应该是 ( ) A(小于200N B(等于200N
C(大于200N D(大于300N 5、下列关于使用滑轮组的优点的论述，较全面的是 ( ) A(一定是省力的，又能改变力的方向 B(一定是省力的，但不能改变力的方向 C(有时既省力，又能改变力的方向，有时可以省力，但不改变力的方向 D(肯定可以改变力的方向，省力与否要具体分析 6、如图所示的滑轮组，挂上砝码a、b后，若动滑轮和绳的重力及摩擦力不计，恰好平衡，现在a、b下面各挂一个质量相等的小砝码，将 ( ) A(a下降 B(a上升 C(仍保持平衡 D(条件不足，不能判定 7、A、B两物体重力分别为60N和140N(如图所示，当A、B物体都静止时，它们所受的合力分别为
( ) A(60N，140N B(0，140N C(60N，0 D(0，0 8、在水平地面上放置一个质量为360N的物体用图中所示的装置匀速拉动物体(不计绳子与滑轮的摩擦)，拉力F等于40N，则物体与地面间的摩擦力应为 ( ) A(60N B(80N C(120N D(360N 9、在水平地面上放置一个质量为360N的物体用图中所示的装置匀速拉动物体(不计绳子与滑轮的摩擦)，拉力F等于40N，则物体与地面间的摩擦力应为 ( ) A(60N B(80N C(120N D(360N 10、作用在轮上的动力F=100N，作用在轴上的阻力=500N，则轮半径与轴半径之比为________( 11、如图所示，B物重50N，滑轮的自重不计，绳子的一端固定在地上，当滑轮A在力F的作用下匀速上升时，拉力F等于________N((摩擦不计)
勾股定理及其逆定理专题练习 （一）几何法证明勾股定理. 1、如图所示， 90=∠=∠BCE ADE ,a CE AD ==，b BC DE ==，c BE AE ==，利用面积法证明勾股定理. （二）勾股定理的应用. 一、勾股定理的简单计算： 1、直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________． 2、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是__________. 3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4、在△ABC 中，∠C=90°，AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______． 二、勾股定理与实际问题： 1、如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有_____米. 2、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B 200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为____________m ． 3、如图，从电线杆离地面6m 处向地面拉一条长10m 的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有__________m ． b c c a a b D C A E B
4、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需___________米. 5、将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中（如图）．设筷子露在杯子外面的长为hcm ，则h 的取值范围是___________． 三、勾股定理与图形变换： 1、如图，已知ABC ?中， 5.22=∠B ,AB 的垂直平分线交BC 于D ，26=BD ，BC AE ⊥于E ,求AE 的长. 2、如图，将长方形ABCD 沿直线AB 折叠，使点C 落在点F 处，BF 交AD 于E ，48==AB AD ，,求BED ?的面积.
典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A.CD、EF、 GH C. AB、CD GH B.AB、EF、GH D. AB、CD EF 愿路分乐屮 1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠 2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断?』 解答过整屮 在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇 EF = Q抡於十￡尸° = Q +F二艮 同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5 计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. * 縮題后KJ思专：* 1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形? 因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口* 2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜 迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6
"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐
3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从 卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一 ①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过 程.a 4?在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初 例玉如圏，有一块直角三角形?椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m?现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、* C/) "禎 B. 3cm G-Icni n題童分析，本题着查勾股定理的应用刎 ：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ?进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定 理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸 九4 解龜后的思琴尸 勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占 明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？” 占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角
滑轮 滑轮组 加强训练题 专题一：竖直方向上力F 与G ，S 与h 及作图的关系 1．用一个动滑轮来提升重物，若动滑轮重为10N ，物重为40N 。摩擦不计，则当物体匀速上升时，作用在绳端的动力F 是 N ；若动力移动20cm ，则物体上升 cm ；用一个动滑轮竖直向上匀速提重物。已知物重G ＝180N ，摩擦不计，绳端的拉力是F ＝100N 。动滑轮重为 N 。 2．图1甲和乙都是由一只定滑轮和一只动滑轮组成的滑轮组，但是它们有不同点。请回答：（1） 滑轮组能改变动力的方向，而 滑轮组不改变动力的方向；（2）甲滑轮组有 段绳子承担物重，而乙滑轮组有 段绳子承担物重， 滑轮组更省力些；（3）如果都使物体上升h 高度，那么甲滑轮组的绳端必须向下移动 ，乙滑轮组的绳端必须向上移动 。（4）如果摩擦不计，动滑轮重不计，G ＝300N ，则图甲中的拉力F 甲＝ N ，图乙中的拉力F 乙＝ N ；如果摩擦不计，动滑轮重是30N ，G ＝300N ，则F 甲＝ N ，F 乙＝ N 。 3．如图2所示，不计摩擦及滑轮重，重为G 1、G 2的两个物体现在处于静止，则（ ）。 A ．G 1=2G 2 B ．G 1=G 2 C ．2G 1=G 2 D ．G 1=3G 2 4.图3是一个杠杆式简易起吊机，它上面装了一个定滑轮可以改变拉绳的方向，杠杆OBA 可绕O 点转动。在图上画出动力臂L 1和阻力臂L 2。 5．在图4中，画出滑轮组的绕线，使人站在地面上能把物体提到高处。画好后再回答：（1）该滑轮组有 段绳子承担物重；（2）如果拉动绳端向下移动L m ，则物体能上升的高度h = 。 6．用如图5的滑轮匀速提升重物：（1）如果G ＝200N ，滑轮重不计，则挂钩承受的拉力是 N ， 拉绳的力F 为 N ；（2）如果G ＝200N ，滑轮重为10N ，则挂钩承受的拉力是 N ，拉绳的力F 为 N 。 7．在图6中，画出滑轮组的串绕方法，要求是：绳端往上提，重物往上升。并回答下列问题： （l ）这个滑轮组有 段绳子承担物重，若绳端的拉力向上移动l.5m ，则物体上升 m 。 （2）若物重G ＝30N ，摩擦及动滑轮重均不计，使重物匀速上升时，绳端的拉力F ＝ N 。 （3）若物重G ＝30N ，摩擦不计，动滑轮重为G 动=6N ，使重物匀速上升时，绳端的拉力F ＝ N 。 8．如图7所示，每只滑轮重都是2N ，当拉力F 为5N 时，物体G 可保持静止。则物重G 为 N ，图中所标a 绳承受的力是 N ，b 绳承受的力是 N 。 9．用某滑轮组提升重物，已知重物和动滑轮的总重由5段绳子承担，绳重和摩擦不计，动滑轮共重20N 。若在匀速提升重物时，绳端的拉力是100N ，则被提升的重力为（ ）A ．400N ． B ．480N ． C ．500N ． D ．520N ． 10．一个体重为500N 的人，经测定他的手臂最大可发挥700N 的拉力。若这个人用一个定滑轮来提升重物，他所能提起的最大物重为（ ）。 A ．1200N B ．700N C ．500N D ．200N 11．如图8摩擦不计，滑轮重2N ，物重10N 。在拉力F 的作用下，物体以0.4m ／s 的速度匀速上升，则（ ）。 A ．F ＝5N ，F 向上的速度是0.2m/s ． B ．F ＝7N ，F 向上的速度是0.2m/s ． C ．F ＝6N ，F 向上的速度是0.8m/s ． D ．F ＝22N ，F 向上的速度是0.2m/s ． 12、如图9所示，动滑轮重为50牛顿，绳重和摩擦不计，人对绳子的拉力是260N ， 则物重是 N ；若重物上升的高度是0.2m ，则绳子自由端下降 m 。 专题二：水平方向上力F 与G ，S 与h 及作图的关系 图3 图4 图5 图1 图2 图6 图7 图8 （图9）
勾股定理专题训练 一、填空题 1．填空： （1）一个直角三角形的三边从小到大依次为x ，16，20，则x =_______； （2）在△ABC 中∠C =90°，AB =10，AC =6，则另一边BC =________，面积为______，? AB 边上的高为________； （3）若一个矩形的长为5和12，则它的对角线长为_______． 2．三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为______． 3．已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为______． 4．若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为_______． 5．测得一个三角形花坛的三边长分别为5c m ，12c m ，?13c m ，?则这个花坛的面积是________． 6．矩形纸片ABCD 中，AD =4c m ，AB =10c m ，按如图18-1方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE =_______c m ． 7．如图18-2，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形中，与众不同的是_________，不同之处：_________． 8．一轮船以16海里/时的速度从A 港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A 港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里． 9．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当他把绳子的下端拉开5m ?后，发现下端刚好接触地面，你能帮助他把旗杆的高度求出来是__________． 10．如图18-3，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，若AD =2BD ，AC =6，BC =3，则BD 的长为（ ） A ．3 B ． 1 2 C ．1 D ．4 11．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该等腰三角形面积为_______． 12．△ABC 中，∠C =90°，c =10，a ：b =3：4，则a =______，b =_______． 13．等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为_____，面积为____． D B C A D https://www.doczj.com/doc/a7741433.html, 图18-3
D C A 勾股定理专题训练 专题一、勾股定理的应用 1、在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______． 2、如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有__米. （2）题 （3）题 （4）题 3、如图，90,4,3,12C ABD AC BC BD ?∠=∠====,则AD= ； 4、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的 距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A ’，使梯子的底端A ’到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端 B 下降至 B ’，那么 BB ’的值： ①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是 ． 5、如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 ． 专题二、分类讨论思想 1、三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是 2、若ΔABC 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ）
S 3S 2 S 1 C B A 第19题图 第3题图 A ：14 B ：4 C ：14或4 D ：以上都不对 专题三、等积法 1、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm ，那么这个直角三角形斜边上的高为 ； 2、ΔABC 中∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是 专题四、平移思想 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m ,长13m ，宽2m 的楼道上 铺地毯,已知地毯每平方米18元，铺完这个楼道至少需要 元钱 专题五、整体思想 1、如图所示，以Rt △ABC 的三边向外作正方形， 其面积分别为123,,S S S ,且1234,8,S S S ===则 ； 2、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt △ABC 的面积是_____ 3.如图，Rt △ABC 的面积为20cm 2 ，在AB 的同侧，分别以AB ，BC ，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 ． 专题六、转化思想（立体图形转化成平面展开图）最短路径问题 1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，?A 和B 是这 个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 ； 2、一只蚂蚁从长为4cm 、宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿 纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。 专题七、.方程思想 1、．如图，一棵树高4.5米，被大风刮断，树尖着地点B 距树底部C 为1.5米，求折断点A 离地高度多少米？ 5m 13m A B C
勾股定理课时练（1） 1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2 2 2AC BC+ +的值是（） A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）. 3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？ 5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米. 6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长. 9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长. 10. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北 7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
横向滑轮组专题 1．质量是6kg 的物体A 放在水平桌面上，利用图1所示的装置使物体以0.2m/s 的速度做匀速直线运动，弹簧测力计 始终保持水平，其示数为2N ，不计绳子的伸长和滑轮组内部的摩擦，则（g 取10N/kg ） （ ） A ．作用在绳端的拉力F 为6N B ．水平桌面对物体A 的摩擦力是2N C ．在1s 内拉力F 做功1.2J D ．在1s 内拉力F 的功率是0.4W 2．如图2是在水平面上移动重物的装置，若物重为600N ，在阻力为重力的0.2倍时，匀速移动物体，使其以2m ／s 的速度前进，经过5s 钟，试求： （1）拉力F 的大小。 （2）拉力F 所作的功。 3．如图3是搬运工人用滑轮组将仓库中的货物沿水平轨道拉出的示意图。已知货物的质量为600kg ，所受轨道的摩擦力为其重力的0.1倍，滑轮组的机械效率为75％。若人以0.5m/s 的速度匀速前行，经100s 将货物拉出仓库，g 取10N/kg,。求在此过程中： （1）人做的有用功为多大？ （2）人的拉力为多大？ （3）人拉力的功率为多大？ 4.小明利用如图所示的装置沿水平方向匀速拉动一个重2000Ｎ，底面积为０．５m 2的物体A 时,A 受到地面的摩擦力为６００Ｎ，作用在绳端的拉力为２５０Ｎ，则A 对地面的压强是 Pa ；该装置的机械效率是 ． 5.如图所示，人用滑轮将船拉向岸边，人对绳子的拉力为200N ，船以0.2m ／s 的速度匀速前进，若滑轮的机械效率为80％，求： (1)人拉绳的功率． (2)船运动时受到的阻力． 6.如图6所示，物体a 重200Ｎ，在水平拉力作用下以0.2m/s 的速度匀速前进． 若物体a 在前进过程中受到的摩擦阻力为50Ｎ，不计滑轮自重和摩擦，则拉力 Ｆ＝ ,拉力的功率= W 。 图 1 图2 图3
一、选择题 1．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( ) A ．8 B ．8.8 C ．9.8 D ．10 2．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是 （ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的一条角平分线．若AC ＝6，AB ＝10，则点D 到AB 边的距离为（ ） A ．2 B ．2.5 C ．3 D ．4 4．已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论： ①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2）， 其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（ ） A ．1，2，6 B ．3，5，4 C ．5，12，13 D ．3，2，13 6．如图，已知AB AC =，则数轴上C 点所表示的数为( )
A ．3- B ．5- C ．13- D ．15- 7．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A ．1 B ．2021 C ．2020 D ．2019 8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为 （ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 9．下列条件中，不能．．判定ABC 为直角三角形的是（ ） A ．::5:12:13a b c = B ．A B C ∠+∠=∠ C ．::2:3:5A B C ∠∠∠= D ．6a =，12b =，10c = 10．如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边6,8AC BC ==，现将ABC 折叠，使点B 点A 重合，折痕为DE ，则BD 的长为（ ） A ．7 B ． 25 4 C ．6 D ． 112 二、填空题 11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S 1+S 2+S 3=10，则S2的值是_________．
探究滑轮的作用 1、动滑轮的实质是（） A.动力臂等于阻力臂的杠杆 B.动力臂为阻力臂2倍的杠杆 C.阻力臂为动力臂2倍的杠杆 D.是为了减小摩擦，与杠杆无关 2、使用滑轮组时，下列说法正确的是（） A．既能省力，又能省距离 B．既能省力，又能改变力的方向 C．只能省力，但不能改变力的方向 D．只能改变力的方向，但不能省力 3、用如图所示的滑轮匀速提升重物，那么 （）A．a方向的拉力最小B．b方向的拉力最小 C．c方向的拉力最小D．三个方向的拉力都一样大 4、用如图所示的滑轮组匀速提起600N的重物时，人手实际需提供的拉力应该是 （） A．小于200N B．等于200N C．大于200N D．大于300N 5、下列关于使用滑轮组的优点的论述，较全面的是 （） A．一定是省力的，又能改变力的方向 B．一定是省力的，但不能改变力的方向 C．有时既省力，又能改变力的方向，有时可以省力，但不改变力的方向 D．肯定可以改变力的方向，省力与否要具体分析 6、如图所示的滑轮组，挂上砝码a、b后，若动滑轮和绳的重力及摩擦力不计，恰好平衡，现在a、b下面各挂一个质量相等的小砝码，将
（） A．a下降B．a上升 C．仍保持平衡D．条件不足，不能判定 7、A、B两物体重力分别为60N和140N．如图所示，当A、B物体都静止时，它们所受的合力分别为 （） A．60N，140N B．0，140N C．60N，0 D．0，0 8、在水平地面上放置一个质量为360N的物体用图中所示的装置匀速拉动物体(不计绳子与滑轮的摩擦)，拉力F等于40N，则物体与地面间的摩擦力应为 （） A．60N B．80N C．120N D．360N 9、在水平地面上放置一个质量为360N的物体用图中所示的装置匀速拉动物体(不计绳子与滑轮的摩擦)，拉力F等于40N，则物体与地面间的摩擦力应为
勾股定理应用题 1.为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架 2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（ ） A.0.6米 B.0.7米 C.0.8米 D.0.9米 2.如图1所示，有一块三角形土地，其中∠C ＝90°，AB ＝39米，BC ＝36米，则其面积 是（ ） A.270米2 B.280米2 C.290米2 D.300米 2 3.有一个长为40cm ，宽为30cm 圆盖的直径至少是（ ） A.35cm B.40cm C.50cm D.55cm 4.下列条件不能判断三角形是直角三角形的是 （ ） A.三个内角的比为3:4:5 B.三个内角的比为1:2:3 C. 三边的比为3:4:5 D.三边的比为7:24:25 5.若三角形三边的平方比是下列各组数，则不是直角三角形的是（ ） A. 1:1:2 B. 1:3:4 C. 9:16:25 D. 16:25:40 6.若三角形三边的长分别为6，8，10，则最短边上的高是（ ） A.6 B.7 C.8 D.10 7. 如图2所示，在某建筑物的A 处有一个标志物，A 离地面9米，在离建筑物12米处有一 个探照灯B ，该灯发出的光正好照射到标志物上，则灯离标志物____米8.小芳的叔叔家承包了一个长方形鱼塘，已知其面积是48平方米， 其对角线长为10米.若要建围栏，则要求鱼塘的周长，它的周长 是____米. 9.公园内有两棵树，其中一棵高13米，另一棵高8米，两树相距 12米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少 要飞_____米. 10.若把一个直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的____倍. 11.若△ABC 的三边长分别是2,2,2=== c b a ，则∠A =____，∠B =____，∠C =____. 12.某三角形三条边的长分别为9、12、15，则用两个这样的三角形所拼成的长方形的周长 是______，面积是_____. 13.如图4所示，AB 是一棵大树，在树上距地面10米的D 处有两只猴子，它们同时发现C 处有一筐桃子，一只猴子从D 往上爬到树顶A ，又沿滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 处下滑到B ，又沿B 跑到C ，已知两只猴子所通过的路程均为15米，求树高AB . 14.在平静的湖面上有棵水草，它高出水面3 至水面，已知水草移动的水平距离是6分米，求这里的水深是多少？ 15.在6米高的柱子顶端有只老鹰，看到一条蛇从距离柱子底端18 端的蛇洞游来，老鹰立即扑下. 设老鹰按直线飞行）. 16.如图5所示，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，6,8==BC AC ； 在△ABC 中，DE C B 图1 B C 图4 E A C 图3
勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点： 1?勾股定理 内容：____________________________________________________________ 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b，斜边为c，那么__________________ 2 ?勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 3 ?勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C 90 , 则 __________________________________________ ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定 理解决一些实际问题 4. 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2c，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能 形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以 a , b , c为三边 的三角形是直角三角形；若 _________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形；若__________________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a , b , c满足a2 c2 b2, 那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 5. 勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为 一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13; 7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 2 2 n 1,2n,n 1 （n 2, n 为正整数）； 2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （n为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2（m n, m , n为正整数）7 .勾股定理的应用
滑轮滑轮组加强训练题 专题一：竖直方向上力F与G，S与h及作图的关系 1．用一个动滑轮来提升重物，若动滑轮重为10N，物重为40N。摩擦不计，则当物体匀速上升时，作用在绳端的动力F是 N；若动力移动20cm，则物体上升 cm；用一个动滑轮竖直向上匀速提重物。已知物重G＝180N，摩擦不计，绳端的拉力是F＝100N。动滑轮重为 N。 2．图1甲和乙都是由一只定滑轮和一只动滑轮组成的滑轮组，但是它们有不同点。请回答： （ 1 ）滑轮组能改变动力的方向，而滑轮组不改变动力的方向；（2）甲滑轮组有 段绳子承担物重，而乙滑轮组有段绳子承担物重，滑轮组更省力些；（3）如果都使物体上升h高度，那么甲滑轮组的绳端必须向下移动，乙滑轮组的绳端必须向上移动。（4）如果摩擦不计，动滑轮重不计，G＝300N，则图甲中的拉力F甲＝ N，图乙中的拉力F乙＝ N；如果摩擦不计，动滑轮重是30N，G＝300N，则F甲＝ N，F乙＝ N。 3．如图2所示，不计摩擦及滑轮重，重为G1、G2的两个物体现在处于静止，则（）。 A．G1=2G2 B．G1=G2 C．2G1=G2 D．G1=3G2 4.图3是一个杠杆式简易起吊机，它上面装了一个定滑轮可以改变拉绳的方向，杠杆OBA可绕O点转动。在图上画出动力臂L1和阻力臂L2。 5．在图4中，画出滑轮组的绕线，使人站在地面上能把物体提到高处。画好后再回答：（1）该滑轮组有段绳子承担物重；（2）如果拉动绳端向下移动L m，则物体能上升的高度h= 。 6．用如图5的滑轮匀速提升重物：（1）如果G＝200N，滑轮重不计，则挂钩承受的拉力是 N，拉绳的力F 为 N；（2）如果G＝200N，滑轮重为10N，则挂钩承受的拉力是 N，拉绳的力F为 N。 7．在图6中，画出滑轮组的串绕方法，要求是：绳端往上提，重物往上升。并回答下列问题： （l）这个滑轮组有段绳子承担物重，若绳端的拉力向上移动l.5m，则物体上升 m。 （2）若物重G＝30N，摩擦及动滑轮重均不计，使重物匀速上升时，绳端的拉力F＝ N。 （3）若物重G＝30N，摩擦不计，动滑轮重为G动=6N，使重物匀速上升时，绳端的拉力F＝ N。 8．如图7所示，每只滑轮重都是2N，当拉力F为5N时，物体G可保持静止。则物重G为 N， 图中所标a绳承受的力是 N，b绳承受的力是 N。 9．用某滑轮组提升重物，已知重物和动滑轮的总重由5段绳子承担，绳重和摩擦不计，动滑轮共重20N。若在匀速提升重物时，绳端的拉力是100N，则被提升的重力为（）A．400N． B．480N． C．500N． D．520N．10．一个体重为500N的人，经测定他的手臂最大可发挥700N的拉力。若这个人用一个定滑轮来提升重物，他所能提起的最大物重为（）。 A．1200N B．700N C．500N D．200N 11．如图8摩擦不计，滑轮重2N，物重10N。在拉力F的作用下，物体以0.4m／s的速度匀速上升，则（）。 A．F＝5N，F向上的速度是0.2m/s．B．F＝7N，F向上的速度是0.2m/s． C．F＝6N，F向上的速度是0.8m/s．D．F＝22N，F向上的速度是0.2m/s． 12、如图9所示，动滑轮重为50牛顿，绳重和摩擦不计，人对绳子的拉力是260N， 则物重是 N；若重物上升的高度是0.2m，则绳子自由端下降 m。 图3 图4 图5 图1 图2 图6 图7 图8 （ 图 9 ）
一、选择题 1．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝9，AB＝3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为（） A．3 B．6C．10D．9 2．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，且PP1＝1，得OP1＝2；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝3；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法继续作下去，得OP2018的值为( ) A．2016B．2017C．2018D．2019 3．如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的直径,D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交BA 的延长线于P,且DP⊥BP于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O的直径AC的长为（） A．5B．8C．10D．12 4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（） A．9，7，12 B．2，3，4 C．1，23D．5，11，12 5．已知一个三角形的两边长分别是5和13，要使这个三角形是直角三角形，则这个三角形的第三条边可以是（） A．6 B．8 C．10 D．12 6．已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形 7．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt△ABC沿BD进行翻折，使点A 刚好落在BC上，则CD的长为（） A．10 B．5 C．4 D．3 8．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（） A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：3：2 C．a=2，b=3，c=4 D．(b+c)(b-c)=a2 9．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（） A．12 B．10 C．8 D．6 10．如图，在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E，若AD＝3cm，则BE的长为（） A．33 2 cm B．4cm C．2cm D．6cm 二、填空题 11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是_________．
XX教育一对一个性化教案 授课日期：2014 年月日学生姓名许XX 教师姓名授课时段2h 年级8 学科数学课型VIP 教学内容勾股定理及逆定理 教学重、难点重点：运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形。难点：运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题。 教学步骤及突出教学方法一、知识归纳 1、勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a，b，c满足222 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22 a b +与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222 a b c +<，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222 a b c +>，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a，b，c及222 a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222 a c b +=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边。 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。 2、勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222 a b c +=中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 22 1,2,1 n n n -+（2, n≥n为正整数）； 22 21,22,221 n n n n n ++++（n为正整数） 2222 ,2, m n mn m n -+（, m n >m，n为正整数）