勾股定理专项练习
1.用下图来证明勾股定理:a2+b2=c2
2.满足下列条件的△ABC,是不是直角三角形?分别说明原因A.b2=c2-a2B.a∶b∶c=3∶4∶5
C.∠C=∠A-∠B D.∠A∶∠B∶∠C=5∶12∶13
3.如果△ABC的三边长分别是m2-1,m2+1,2m(m>1),判断三角形的形状并说明原因
4.在△ABC中,若AC=15,BC=13,AB边上的高CD=12,求△ABC的周长(提示:需分类讨论,先画图)
5.如图,一架50分米的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯的底部距墙底端14分米,如果梯子的顶端沿墙下滑8分米,那么梯的底部将平滑多少分米?
6.若Rt△ABC中,斜边BC=2,求AB2+AC2+BC2的值
7.如图,长方形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3求AB长
8.等腰△的腰长为10,底边长为12,求其底边上的高.(画图)
9.已知一个三角形的三边长分别为2,6,2,求三角形的面积
10.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC上,BD=6,DC=2,点P是AB上的动点,求△PCD周长的最小值
11.点P是以AB为半径的圆弧与数轴的交点,求点P表示的数
12..如图,等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,O是△ABC
内一点,OA=3,OB=22,OC=5,O′为△ABC外一点,
且△CBO≌△ABO′求四边形AO′BO的面积
中考数学勾股定理知识点总结及答案 一、选择题 1.如图,等腰直角△ABC中,∠C=90°,点F是AB边的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且∠DFE=90°,连接DE、DF、EF,在此运动变化过程中,下列结论:①图中全等的三角形只有两对;②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍;③CD+CE=2FA; ④AD2+BE2=DE2.其中错误结论的个数有() A.1个B.2个C.3个D.4个 2.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置,连接BE,EC.下列判 断:①△ABE≌△DCE;②BE=EC;③BE⊥EC;④EC=3DE.其中正确的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 3.如图,透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿4 cm的点A 处,若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm,则该圆柱底面周长为()cm. A.9 B.10 C.18 D.20 4.如图钢架中,∠A=15°,现焊上与AP1等长的钢条P1P2,P2P3…来加固钢架,若最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23,则所有钢条的总长为() A.16 B.15 C.12 D.10 5.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm,8cm,则这个菱形的周长为
( ) A .5cm B .10cm C .14cm D .20cm 6.下列四组数中不能构成直角三角形的一组是( ) A .1,2,6 B .3,5,4 C .5,12,13 D .3,2,13 7.A 、B 、C 分别表示三个村庄,AB 1700=米,800BC =米,AC 1500=米,某社区拟建一个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心P 的位置应在( ) A .AB 的中点 B .BC 的中点 C .AC 的中点 D .C ∠的平分线与AB 的交点 8.我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2,4BD =,则CF 的长为( ) A .6 B .42 C .8 D .10 9.如图,已知数轴上点P 表示的数为1-,点A 表示的数为1,过点A 作直线l 垂直于 PA ,在l 上取点B ,使1AB =,以点P 为圆心,以PB 为半径作弧,弧与数轴的交点C 所表示的数为( ) A .5 B .51- C .51+ D .51-+ 10.如图,在矩形ABCD 中,AB =8,BC =4,将矩形沿AC 折叠,点B 落在点B ′处,则重叠部分△AFC 的面积为( )
《勾股定理》典型例题分析 一、知识要点: 1、勾股定理 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c ,那么 a2 + b2= c2。 公式的变形:a2 = c2- b2, b2= c2-a2 。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时,要注意处理好如下几个要点: ①已知的条件:某三角形的三条边的长度. ②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数 满足a2 + b2= c2的三个正整数,称为勾股数。注意:①勾股数必须是正整数,不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。常见勾股数有: (3,4,5 )(5,12,13 ) ( 6,8,10 ) ( 7,24,25 )( 8,15,17 ) (9,12,15 ) 4、最短距离问题:主要运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析 考点一:利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积:(1)阴影部分是正方形;(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆.
S 3 S 2 S 1 2. 如图,以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆的面积之间的关系. 3、如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S 1、S 2、S 3,则它们之间的关系是( ) A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 4、四边形ABCD 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD 的面积。 考点二:在直角三角形中,已知两边求第三边 1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ,2cm ,则斜边长为 . 2.(易错题、注意分类的思想)已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12, 求斜边上的高. 4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,则斜边扩大到原来的( ) A . 2倍 B . 4倍 C . 6倍 D . 8倍 5、在Rt △ABC 中,∠C=90° ①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________; 6、如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-,2n (n>1),那么它的斜边长是( ) A 、2n B 、n+1 C 、n 2-1 D 、1n 2+ 7、在Rt △ABC 中,a,b,c 为三边长,则下列关系中正确的是( ) A. 222a b c += B. 222a c b += C. 222c b a += D.以上都有可能
直角三角形与勾股定理 1.如图1是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道,则O 到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O 为点)是( ) A2m B.3m C.6m D.9m 图1 图2 图3 2.已知小龙、阿虎两人均在同一地点,若小龙向北直走160公尺,再向东直走80公尺后,可到神仙百货,则阿虎向西直走多少公尺后,他与神仙百货的距离为340公尺?( ) A . 100 B . 180 C . 220 D . 260 3.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,如图2,则三角板的最大边的长为( ) A. 3cm B. 6cm C. 32cm D. 62cm 4.如图3,△ABC 中,∠C =90°,AC =3,∠B =30°,点P 是BC 边上的动点,则AP 长不可能是( ) (A )3.5 (B )4.2 (C )5.8 (D )7 5.如图4,在△ABC 中,∠C=90°,BC=6,D,E 分别在AB,AC 上,将△ABC 沿DE 折叠,使点A 落在点A ′处,若A ′为CE 的中点,则折痕DE 的长为( ) A .21 B .2 C .3 D .4 图3 ' 图4 图5 图6 图7 6.下列命题中,其逆. 命题成立的是______________.(只填写序号)
①同旁内角互补,两直线平行; ②如果两个角是直角,那么它们相等; ③如果两个实数相等,那么它们的平方相等; ④如果三角形的三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形. 7.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图5).图6由弦图变化得到,它是用八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2,S 3.若S 1,S 2,S 3=10,则S 2的值是 . 8.一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图7所示.正方形DEFH 的边长为2米,坡角∠A =30°,∠B =90°,BC =6米. 当正方形DEFH 运动到什么位置,即当AE = 米时,有DC 2=AE 2+BC 2 . 9.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ,斜边长为c ,那么222a b c +=”的逆命题改写成“如果……,那么……”的形式: 。 10.如图8,在Rt △ABC 中,∠ACB = 90°,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点,若CD = 5cm ,则EF = _______cm . 图8 图9 图10 11.在直角三角形ABC 中,∠C = 90°,BC = 12,AC = 9,则AB = . 12.如图9,在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =6cm ,AC =8cm ,按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠,使点C 落在AB 边的C ′点,那么△ADC ′的面积是 . 13.如图10,将一副三角尺如图所示叠放在一起,若AB =14cm ,则阴影部分的面积是________cm 2. 14.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造.测得两直角边长为6m 、8m.现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形.......... .求扩建后的等腰三角形花圃的周长. 15.王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为a 米,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米. (1)请用a 表示第三条边长; (2)问第一条边长可以为7米吗?为什么?请说明理由,并求出a 的取值范围; (3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说明你的围法;若不能,请说明理由. A C E B A C E F
中考“勾股定理”题型归纳 勾股定理是我国劳动人民智慧的结晶,是研究几何的基础和数形结合的典型代表,更是历年中考不可缺少的组成部分,为了方便同学们的学习与运用,并及时了解中考中有关勾股定理的题型,现就中考试题归纳剖析如下,供参考. 一、求线段的长度 例1(滨州市)如图,已知△ABC中,AB=17,AC=10, BC边上的高AD=8,则边BC的长为() A.21 B.15 C.6 D.以上答案都不对 分析由于AD是高,所以可得到两个直角三角形,这样可分别利用勾股定理求得线段BD和CD. 解因为AD是高,所以∠ADB=∠ADC=90°,即△ADB与△ADC都是直角三角形. 因为AB=17,AC=10,AD=8,所以由勾股定理,得BD = ==15,CD 6, 所以BC=BD+CD=15+6=21.故应选A. 说明利用勾股定理求解有关线段的大小是中考中随时都会遇到的问题,同学们一定要掌握其运用,并避免出现错误. 二、求图形的周长 例2(牡丹江市)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长. 分析由于两直角边长分别为6m,8m,于是,可利用勾股定理求出其斜边的长,而题目只说明扩充成等腰三角形,并没有指明等腰三角形的底边和腰,所以应分情况求解. 解在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,由勾股定理,得AB=10,扩充部分为Rt△ACD,扩充成等腰△ABD应分以下三种情况:①如图1,当AB=AD=10时,可求CD=CB=6,于是,△ABD的周长为32m;②如图2,当AB=BD=10时,可求CD =4,由勾股定理,得AD= ABD的周长为 m;③如图3,当AB D B A
一、选择题 1.如图,在四边形ABCD 中,90B C ∠=∠=,DAB ∠与ADC ∠的平分线相交于BC 边上的M 点,则下列结论:①90AMD ∠=;②1=2ADM ABCD S S ?梯形;③AB CD AD +=;④M 到AD 的距离等于BC 的1 3 ;⑤M 为BC 的中点;其中正确的有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 2.如图,已知45∠=MON ,点A B 、在边ON 上,3OA =,点C 是边OM 上一个动点,若ABC ?周长的最小值是6,则AB 的长是( ) A . 1 2 B . 34 C . 56 D .1 3.如图,在Rt ABC 中,90BAC ?∠=,以Rt ABC 的三边为边分别向外作等边三角形 'A BC ,'AB C △,'ABC △,若'A BC ,'AB C △的面积分别是10和4,则'ABC △的面积是( ) A .4 B .6 C .8 D .9
4.如图,已知圆柱的底面直径6 BC π = ,高3AB =,小虫在圆柱侧面爬行,从C 点爬到 A 点,然后再沿另一面爬回C 点,则小虫爬行的最短路程的平方为( ) A .18 B .48 C .120 D .72 5.如图,正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ,正方形CEFG 绕点C 旋转,给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE 2 +BG 2 =2a 2 +2b 2 ,其中正确结论有( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 6.如图,在ABC 中,CE 平分ACB ∠,CF 平分ACD ∠,且//EF BC 交AC 于M ,若3CM =,则22CE CF +的值为( ) A .36 B .9 C .6 D .18 7.我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示),如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直 角三角形的两直角边分别是a 、b ,那么2 ()a b + 的值为( ). A .49 B .25 C .13 D .1 8.如图, 在ABC 中,CE 平分ACB ∠,CF 平分ABC 的外角ACD ∠,且EF //BC 交AC 于M ,若CM 4=,则22CE CF +的值为( )