一、选择题
1．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( )
A ．8
B ．8.8
C ．9.8
D ．10
2．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是
（ ） A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的一条角平分线．若AC ＝6，AB ＝10，则点D 到AB 边的距离为（ ）
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．4
4．已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论：
①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2）， 其中结论正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（ ）
A ．1，2，6
B ．3，5，4
C ．5，12，13
D ．3，2，13
6．如图，已知AB AC =，则数轴上C 点所表示的数为( )
A ．3-
B ．5-
C ．13-
D ．15-
7．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A ．1
B ．2021
C ．2020
D ．2019
8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为
（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
9．下列条件中，不能．．判定ABC 为直角三角形的是（ ） A ．::5:12:13a b c = B ．A B C ∠+∠=∠ C ．::2:3:5A B C ∠∠∠=
D ．6a =，12b =，10c =
10．如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边6,8AC BC ==，现将ABC 折叠，使点B 点A 重合，折痕为DE ，则BD 的长为（ ）
A ．7
B ．
25
4
C ．6
D ．
112
二、填空题
11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S 1+S 2+S 3=10，则S2的值是_________．
12．如图，RT ABC ，90ACB ∠=?，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点
A 落在A
B 上的点D 处；再将边B
C 沿CF 翻折，使点B 落在C
D 的延长线上的点B '
处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．
13．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________ 14．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为_____．
15．如图，已知△DBC 是等腰直角三角形，BE 与CD 交于点O ，∠BDC=∠BEC=90°，BF=CF ，若BC=8，OD=2，则OF=______.
16．在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ，且a +b =35，c =5，则ab 的值为______．
17．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．
18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，BD 是高，则点BD 的长为_____．
19．如图，把平面内一条数轴x 绕点O 逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y ，x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P 是平面斜坐标系中任意一点，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，若点A 在x 轴上对应的实数为a ，点B 在y 轴上对应的实数为b ，则称有序实数对（a ，b ）为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P 的斜坐标为（1，22），点G 的斜坐标为（7，﹣22），连接PG ，则线段PG 的长度是_____．
20．已知：如图，等腰Rt OAB ?的直角边OA 的长为1，以AB 边上的高1OA 为直角边，按逆时针方向作等腰11Rt OA B ?，11A B 与OB 相交于点2A ，若再以2OA 为直角边按逆时针方向作等腰22Rt OA B ?，22A B 与1OB 相交于点3A ，按此作法进行下去，得到33OA B ?，
44OA B ?，…，则66OA B ?的周长是______.
三、解答题
21．如图，在△ABC 中，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm ，∠B ＝60°，有一动点M 自A 向B 以1 cm/s 的速度运动，动点N 自B 向C 以2 cm/s 的速度运动，若M ，N 同时分别从A ，B 出发．
(1)经过多少秒，△BMN 为等边三角形； (2)经过多少秒，△BMN 为直角三角形．
22．如图，在两个等腰直角ABC 和CDE △中，∠ACB = ∠DCE=90°．
（1）观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A 、E 、D 三点在直线上时，请直接写出 AD 的长．
23．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ． （1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；
（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150?，请写出p 、q 的关系式并证明；
（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30?，求OM 的长．
24．如图，在ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ，
（1）求证：ABD ACE ?； （2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，
①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明； ②若3BD =，4CF =，求AD 的长，
25．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ?中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ?=-
（1）在ABC ?中，若90ACB ∠=?，81AB AC ?=，求AC 的值．
（2）如图2，在ABC ?中，12AB AC ==，120BAC ∠=?，求AB AC ?，BA BC ?的值．
（3）如图3，在ABC ?中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ?=，8AC =，
64AB AC ?=-，求BC 和AB 的长．
26．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=?，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在
ABD 内部，90EAP ∠=?，2AE AP ==E 、P 、D 三点共线时，7BP =
下列结论：
①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 5 ②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ??+=
=5
32
ABD S ?+③
④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为
5+232；
⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得
AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．
其中正确结论的序号是___．
27．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.
(1)求证: AD=BE.
(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.
(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).
28．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ?，ADE ?，AFO ?均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ?内部，点E 在
ABC ?的外部，32=AD ，30DOE ∠=?，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .
（1）求点A 的坐标；
（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由； （3）直接写出ADG ?的周长.
29．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．
（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．
（2）如图1，求AF的长．
（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．
①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．
②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．
30．如图,在△ABC中,D是边AB的中点,E是边AC上一动点,连结DE,过点D作DF⊥DE交边BC于点F(点F与点B、C不重合),延长FD到点G,使DG=DF,连结EF、AG.已知
AB=10,BC=6,AC=8.
(1)求证:△ADG≌△BDF；
(2)请你连结EG,并求证:EF=EG；
(3)设AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
(4)求线段EF长度的最小值.
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
++=BP+AC，即计算当BP最小时即可，此时BP⊥AC，根据三由AP+CP=AC得到AP BP CP
角形面积公式求出BP 即可得到答案. 【详解】 ∵AP+CP=AC ，
∴AP BP CP ++=BP+AC ，
∴BP ⊥AC 时，AP BP CP ++有最小值， 设AH ⊥BC ，
∵56AB AC BC ===， ∴BH=3， ∴224AH AB BH =-=,
∵11
22
ABC
S BC AH AC BP =
?=?， ∴
11
64522BP ??=?, ∴BP=4.8，
∴AP BP CP ++=AC+BP=5+4.8=9.8， 故选：C.
【点睛】
此题考查等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，最短路径问题，正确理解AP BP CP ++时点P 的位置是解题的关键.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出22a b +，即可得到三角形的形状. 【详解】
∵a+b=10，ab=18，
∴22a b +=（a+b ）2-2ab=100-36=64， ∵,c=8， ∴2c =64， ∴22a b +=2c ，
∴该三角形是直角三角形， 故选：B. 【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理，完全平方公式，能够利用完全平方公式由已知条件求出22
a b
+是解题的关键.
3．C
解析：C
【分析】
作DE⊥AB于E，由勾股定理计算出可求BC=8，再利用角平分线的性质得到DE=DC，设DE=DC=x，利用等等面积法列方程、解方程即可解答.
【详解】
解：作DE⊥AB于E，如图，
在Rt△ABC中，BC22
106
-8，
∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
设DE＝DC＝x，
S△ABD＝1
2
DE?AB＝
1
2
AC?BD，
即10x＝6（8﹣x），解得x＝3，
即点D到AB边的距离为3．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和勾股定理的相关知识，理解角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答本题的关键..
4．C
解析：C
【解析】
试题分析：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE．∵在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD=CE．本结论正确．
②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE．
∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°．∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°．∴BD⊥CE．本结论正确．
③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABD+∠DBC=45°．
∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确．
④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2=BD2+DE2．
∵△ADE为等腰直角三角形，∴2AD，即DE2=2AD2．
∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2．
而BD2≠2AB2，本结论错误．
综上所述，正确的个数为3个．故选C．
5．A
解析：A
【解析】
A. 12+22)2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B. 32+42=52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C. 52+122=132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D. 32+222，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选A.
6．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答.
【详解】
由勾股定理得，AB==
==
∴AC AB
∵点A表示的数是1
∴点C表示的数是1-
故选D.
【点睛】
本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟记定理并求出AB的长是解题的关键.
7．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】
解：由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．
8．C
解析：C 【分析】
根据等腰三角形的三线合一得出∠ADB=90°，再根据勾股定理得出BD 的长，即可得出BC 的长. 【详解】
在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，
∴AD ⊥BC ，BC=2BD. ∴∠ADB=90°
在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：22-AB AD 225-3=4
∴BC=2BD=2×4=8.
故选C. 【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.
9．D
解析：D 【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90?即可． 【详解】 解：A 、
22251213+=，ABC ?∴是直角三角形，故能判定ABC ?是直角三角形；
B 、A B
C ∠+∠=∠，90C ∴∠=?，故能判定ABC ?是直角三角形；
C 、::2:3:5A B C ∠∠∠=，5
18090235
C ∴∠=
??=?++，故能判定ABC ?是直角三角
形；
D 、22261012+≠，ABC ?∴不是直角三角形，故不能判定ABC ?是直角三角形；
故选：D ． 【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆
定理和直角三角形的定义判断．
10．B
解析：B
【分析】
由折叠的性质得出AD=BD，设BD=x，则CD=8-x，在Rt△ACD中根据勾股定理列方程即可得出答案．
【详解】
解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，
∴AD=BD，
设BD=x，则CD=8-x，
在Rt△ACD中，
∵AC2+CD2=AD2，
∴62+（8-x）2=x2，
解得x= 25 4
∴BD=25
4
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．二、填空题
11．10
3
．
【解析】
试题解析：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，
∴S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10，
x+4y=10
3
，
所以S2=x+4y=10
3
．
考点：勾股定理的证明．
12．96 25
【分析】
将△B′CF的面积转化为求△BCF的面积，由折叠的性质可得CD＝AC＝6，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B′CF，CE⊥AB，可证得△ECF是等腰直角三角形，EF＝CE，∠EFC＝45°，由等面
积法可求CE的长，由勾股定理可求AE的长，进而求得BF的长，即可求解．【详解】
根据折叠的性质可知，CD＝AC＝6，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B′CF，CE⊥AB，∴∠DCE＋∠B′CF＝∠ACE＋∠BCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝45°，且CE⊥AB，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝CE，∠EFC＝45°，
∵S△ABC＝1
2
AC?BC＝
1
2
AB?CE，
∴AC?BC＝AB?CE，
∵根据勾股定理求得AB＝10，
∴CE＝24
5
，
∴EF＝24
5
，
∵AE＝22
AC CE
-＝
2
2
2418
6-=
55
??
?
??
，
∴BF＝AB?AE?EF＝10－18
5
－
24
5
＝
8
5
，
∴S△CBF＝1
2
×BF×CE＝
1
2
×
8
5
×
24
5
＝
96
25
，
∴S△CB′F＝96 25
，
故填：96 25
．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键．
13．310或10
【详解】
分两种情况：
（1）顶角是钝角时，如图1所示：
在Rt△ACO中，由勾股定理，得AO2=AC2-OC2=52-32=16，
∴AO=4，
OB=AB+AO=5+4=9，
在Rt△BCO中，由勾股定理，得BC2=OB2+OC2=92+32=90，
∴BC=310；
（2）顶角是锐角时，如图2所示：
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-DC2=52-32=16，
∴AD=4，
DB=AB-AD=5-4=1．
在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=DB2+DC2=12+32=10，
∴10；
综上可知，这个等腰三角形的底的长度为1010．
【点睛】
本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．14．．（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【分析】
题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的坐标．
【详解】
解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD≠5；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP22
54
-3，则P的坐标是（3，4）．
OP OC
-22
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM22
-3，
PD DM
当P在M的左边时，CP＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．
故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.
15．10
【分析】
过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，先根据等腰直角三角形的性质得出DC 的值，再用勾股定理求出OE 的值，然后根据中位线定理得出FG 的的值，最后再根据勾股定理得出OF 的值即可. 【详解】
过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，如下图所示：
∵DBC ?是等腰直角三角形，且BF CF =，8BC = ∴422
DC DB ===∵2OD =
∴32OC DC OD =-= ∴2234OB BD DO +=设OE x =， ∵∠BEC=90°
则()2
222OC OE BC OB OE -=-+ ∴334
17
OE =
∴221234
EC OC EO =-=
∵BF CF =，FG ⊥BE ，∠BEC=90°
∴
1634
217 FG EC
==
∴
2034 BE BO OE
=+=
∴
1734
2
GO GE OE BE OE
=-=-=
∴22
=10
OF GO GF
-=
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等，综合度比较高，准确作出辅助线是关键.
16．10
【分析】
先根据勾股定理得出a2+b2＝c2，利用完全平方公式得到（a+b）2﹣2ab＝c2，再将a+b＝35，c＝5代入即可求出ab的值．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，
∴a2+b2＝c2，
∴（a+b）2﹣2ab＝c2，
∵a+b＝35，c＝5，
∴（35）2﹣2ab＝52，
∴ab＝10．
故答案为10．
【点睛】
本题考查勾股定理以及完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键.
17．3
5 5
【详解】
四边形DEFA是正方形，面积是4；△ABF，△ACD的面积相等，且都是×1×2=1．
△BCE的面积是：1
2
×1×1=
1
2
．
则△ABC的面积是：4﹣1﹣1﹣1
2
=
3
2
．
在直角△ADC中根据勾股定理得到：22
2+1=5
设AC边上的高线长是x．则1
2
5x=3
2
，
解得：3
5
5
．
故答案为3
5 5
.
18．48 5
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC边上的高为8，然后根据三角形的面
积法可得11
10128
22
BD
??=??，解得BD=
48
5
.
19．25
【分析】
如图，作PA∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N，先证明△ANP≌△MNG（AAS），再根据勾股定理求出PN的值，即可得到线段PG的长度．
【详解】
如图，作PA∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N．
∵P（1，2），G（7．﹣2），
∴OA＝1，PA＝GM＝2，OM＝7，AM＝6，
∵PA∥GM，
∴∠PAN＝∠GMN，
∵∠ANP＝∠MNG，
∴△ANP≌△MNG（AAS），
∴AN＝MN＝3，PN＝NG，
∵∠PAH ＝45°， ∴PH ＝AH ＝2， ∴HN ＝1，
∴PN =
==
∴PG ＝2PN ＝．
故答案为 【点睛】
本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．
20．
28
+ 【分析】
依次求出在Rt △OAB 中，OA 1＝2；在Rt △OA 1B 1中，OA 2＝2OA 1＝（2）2
；依此
类推：在Rt △OA 5B 5中，OA 6＝（2
）6
，由此可求出△OA 6B 6的周长． 【详解】
∵等腰Rt OAB ?的直角边OA 的长为1，
∴在Rt △OA 1B 1中OA 1＝2OA ＝2，
在22Rt OA B ?中OA 2＝2OA 1＝（2
）2， …
故在Rt △OA 6B 6中OA 6＝
2OA 5＝（2
）6
= OB 6
66A B OB 6
故△OA 6B 6的周长是＝8+2×（2
）6=8+2×18=28+．
故答案为：28
+ 【点睛】
本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
三、解答题
21．(1) 出发10s 后，△BMN 为等边三角形；(2)出发6s 或15s 后，△BMN 为直角三角形．
【分析】
（1）设时间为x ，表示出AM=x 、BN=2x 、BM=30-x ，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；
（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=1
2
BM 列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=1
2
BN 列方程求解可得． 【详解】
解 (1)设经过x 秒，△BMN 为等边三角形， 则AM ＝x ，BN ＝2x ， ∴BM ＝AB －AM ＝30－x ， 根据题意得30－x ＝2x ， 解得x ＝10，
答：经过10秒，△BMN 为等边三角形； (2)经过x 秒，△BMN 是直角三角形， ①当∠BNM ＝90°时， ∵∠B ＝60°， ∴∠BMN ＝30°，
∴BN ＝12BM ，即2x ＝1
2
(30－x)， 解得x ＝6；
②当∠BMN ＝90°时， ∵∠B ＝60°， ∴∠BNM ＝30°，
∴BM ＝12BN ，即30－x ＝1
2
×2x ，
解得x ＝15，
答：经过6秒或15秒，△BMN 是直角三角形． 【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.
22．（1）AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由见解析；（3）14或2． 【分析】
（1）先根据等腰三角形的定义可得AC BC =，CE CD =，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得90AHD ∠=?，由此即可得；
（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=?，然后根据对顶角相等、等量代换可得
90BOH DBC ∠∠+=?，从而可得90OHB ∠=?，由此即可得；
（3）先利用勾股定理求出AB =，再分①点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，②