勾股定理练习(根据对称求最小值)
基本模型：已知点A 、B 为直线m 同侧的两个点，请在直线m 上找一点M ,使得AM+BM 有最小
值。
1、已知边长为4的正三角形ABC 上一点E , AE=1 , AD 丄BC 于D,请在AD 上找一点N , 使得
EN+BN 有最小值，
并求出最小值。
2、.已知边长为4的正方形 使得EN+BN 有最小值, ABCD 上一点E , AE=1，请在对角线 AC 上找一点N , 并求出最小值。
且a 与b 之间的距离为4,点A 到直线a 的距离为2,点B 到
3、如图，已知直线 a // b , 直线b 的距离为3, AB=2 J 30 .试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足
MN 丄a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时 AM+NB=( A . 6
12
4 D 4题图
4、已知 AB=20 , DA 丄 AB 于点 A , CB 丄 AB 于点 B , DA=10 , CB=5 .
(1) 在AB 上找一点E ,使EC=ED ，并求出EA 的长；
D
D . a
在梯形 ABCD 中，/ C=45° , / BAD= / B=90° , AD=3 , CD=2 42 ,
BC 上一动点，则△ AMD 周长的最小值为 .
等边△ ABC 的边长为6, AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AB
5、如图，
M 为 6如图，
边上一点，贝U EM+BM 的最小值为
7、如图/ AOB = 45 ° , P 是/ AOB 内一点，PO = 10, Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点, 求
△PQR 周长的最小值.
&如图所示，正方形ABCD 的面积为12, △ ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内, 在对角线AC 上有一点P ,使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）
B . 2 恵
C. 3 D . 76
C . 3
9、在边长为2 cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点, 连接PB 、PQ ，则^ PBQ 周长的最小值为
10、在长方形 ABCD 中，AB=4,BC=8,E 且PQ=2,当四边形APQE 的周长最小时，求BP 的长.
为CD 边的中点，若P 、Q 是BC 边上的两动点, B
cm
5
2、如图：一圆柱体的底面周长为20cm,高AB 为4cm,BC 是上底面的直径.一只蚂蚁从 点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C ,试求出爬行的最短路程.
J/?
3题图
广 ----
--
弓题團
3、如图，一个高18m ，周长5m 的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯, 要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？
（建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙 ）
为了减小坡度,
4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1处（三 条棱
长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
，Ci
/D
5、如图，圆柱形容器中，高为1.2m ,底面周长为1m ,在容器内壁离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处，求壁 虎捕捉蚊子
的最短距离。
几何体展开求最短路径
1、如图，是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为 20dm, 3dm ，2dm , A 和B 是这 个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到 B 点的最短路程是多少dm ?
E
A 30
3、 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm ，BC=8cm ，将^ ABC 折叠，
使点B 与点A 重合，折痕为DE ,贝U CD= ____________ 。
4、 如图，折叠长方形ABCD 的一边AD ，点D 落在BC 边的D '处，AE 是折痕，已知CD=6cm, CD'=2cm ，贝U AD 的长为 ________________ .
5、如图，在 Rt △ ABC 中，/ ABC=90 °，/ C=60°, AC=10,
过去，使点C 落在BA 上的点C '，折痕为BE ，则EC 的长度是(
C 、10-5^ 3
6如图，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点 BC=7,求重合部分△ EBD 的面积。
将BC 向BA 方向翻折
) 5 +J 3
C 落在C 的位置上，已知 AB=?3 , 折叠问题
1、如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm, BC=10cm, 求EF 的长。
2、如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落在点 A '处；(1 求证：B'E=BF ;
(2)设AE=a ，AB=b ，BF=c ，试猜想a 、b 、c 之间的一种关系，并给予证明
-5 B
2、 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》
，它是由
四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 （如图所示）.如果大正方形的面积是 13,
小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边为 a ,较长直角边为 b ,
A 、 13
B 、 19
C 、 25
D 、
3、 如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作 S 1、S 2、
系是（
）
A 、S 1+S 2>S 3
B 、S 1 +S 2
C 、S 1 +S 2=S 3
4、 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由
中大小正方形的面积分别为 52和4,则直角三角形的两条直角边的长分别为 ________________________ 。 5、 已知：如图，以Rt △ ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形?若斜边
AB = 3,则图中阴影部分
的面积为
.
7、 在直线I 上依次摆放着七个正方形（如图）?已知斜放置的三个
正方形的面积分别是 置的四个正方形的面积依次是 S 1、S 2、S 3、S 4,则S 1+S 2+S 3+ S 4=
1、如图，直线 A 、4
l 上有三个正方形
弦图有关问题
a 、
b 、
c ，若a 、c 的面积分别为5和11,
则b 的面积为（
C 、16
D 、
55
那么（a+b ）2
的值为（
）
169
S 3，贝U S 1、S 2、S 3之间的关
S 12 +S 22 =S 32
4个全等的直角三角形拼合而成，若图 6、如图，Rt △ ABC 的周长为 （5+3 75 ） cm,以AB 、AC 为边向外作正方形 ABPQ
和正方形ACMN .若
这两个正方形的面积之和为
25cm 2
，贝U △ ABC 的面积是
鱼
—R C O
■7题関
?如图是由
EFGH ，正方形
1、2、3,正放
cm 2
.
S 题
O
__________________________________________________________________________ .
8、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形MNKT的面积分别为S1 , S2, S3 . 若S什S2+S3= 10，贝U S2的值是_____________________
9、如图，已知△ ABC中，/ ABC = 90° ,AB = BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线
|1、|2、|3上，且|1、|2之间的距离为2 , |2、|3之间的距离为
勾股定理的证明
斜边长为c 的四个直角三角形拼成一个边长为 c 的正方形，请利用该图形
以a 、b 为直角边，以 A 、E 、B 三点在一条直线上.请利用该图形证明勾股定理。
已知，如图所示，正方形ABCD 的边长为1, G 为CD 边上的一个动点(点 G 与C 、D 不重合)， CG 为一边向正方形 ABCD 外作正方形 GCEF,连接DE 交BG 的延长线于点 H.
(1) 求证：BCGDCE ②HB 丄 DE (2) 试问当G 点运动到什么位置时，BH 垂直平分DE?请说明理由.
1、将直角边长分别为
证明勾股定理。
a 、
2、将直角边长分别为 图形证明勾股定理。
a 、
斜边长为c 的四个直角三角形拼成一个边长为
a+b 的正方形，请利用该
为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示形状
,
B . 2^2 dm C. 2
5、 （2014?黑龙江牡丹江）如图，在等腰△ ABC 中，AB=AC , BC 边上的高 AD=6 cm ,腰AB 上的高 CE=8cm , 则^ ABC 的周长等于 ________________ cm .
6、 （ 2014?安徽省）如图， Rt △ ABC 中，AB=9 , BC=6 , / B=90。，将△ ABC 折叠，使 A 点与 BC 的 中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为
,BC=4cm ，将其折叠，使点 C 落在
7、（2014年山东泰安）如图①是一个直角三角形纸片，/ A=30 斜边上的点 C 处，折痕为BD ，如图②，再将②沿 DE 折叠，使点A 落在DC '的延长线上的点 A '处
勾股定理中考典型题目练习
1、（ 2014?山东枣庄）图①所示的正方体木块棱长为 6cm ,沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）
剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点 短距离为
cm .
A 爬行到顶点
B 的最 2、（2014?山东潍坊）我国古代有这样一道数学问题：
绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十 尺，则该圆柱的高为 20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点
B 处.则问题中葛藤的最短长度是 ______________ 尺. A 、B 、
C 在边长为1 “枯木一根直立地上’高二丈周三尺，有葛藤自根缠
A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点
3、（2014?乐
山）
如图, ）
△ ABC 的顶点 的正方形网格的格点上， BD 丄AC 于点D ?则
2j5 A. -----
3
A
/
S
A A
c
4、（ 2014?湖北荆门） 点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（
如图
, 已知圆柱底面的周长为 4dm ，圆柱高为2dm ，在圆柱的侧面上，过点 A 和 ）
国③ 1题H
:兀
2题图
3题S
3^5 4J5
O
如图③，则折痕DE的长
o
12、（2012四川省南充市）如图，四边形
ABCD的面积是24cm2,则AC长是
13、（2011重庆綦江）一个正方体物体沿
斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角/ A = 30°，/ B= 90 ° ,BC = 6米.当正方形DEFH运动到什么位置，即当
AE = _________ 米时，有DC 2= AE 2+ BC2 .
14、（2011内蒙古呼和浩特市）如图所示，四边形ABCD中，DC // AB , BC=1 , AB=AC=AD=2. 则BD的长为
C. 3 J2
D. 2 J3
8、（2013山东荷泽）如图，边长
为为S1、S2,贝U S什S2的值为（
A . 16 B. 17
6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别
）
18 19
A
\
\
、
(J
,/ ABC=60 ° , BC=2cm , D 为BC
A7B7A的方向运动，设E点的运动时间为
t的值为（）
C . 3.5 或4.5
D . 2 或3.5 或4.5
如图，已知直线a// b,且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2,
9、（2013?新疆）如图，
中点，若动点E以1cm /S的速度从A点出发，沿着. t秒
（0< t< 6）,连接DE，当△ BDE是直角三角形时,
A. 2 B . 2.5 或3.5
10.（2013湖北省鄂州市）
点B到直线b的距离为
Rt△ ABC 中，/ ACB=90
3, AB=2 .试在直线a上找一点M,在直线b上找一点N,满足
MN 丄a 且AM+MN+NB
A. 6
B. 8
11、（2013湖北省鄂州
市，
时针旋转到△ A'OB'处，此时线段
的长度和最短，则此时AM+NB=（）
C. 10 D . 2
）如图，△ AOB 中，/ AOB=90 ° , AO=3 , BO=6, △ AOB 绕顶点O 逆
A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为_____________
ABCD 中，/ BAD= / BCD=90 ° , AB=AD，若四边形
cm.
A.寸14
c.
D
15、（2011贵州遵义）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶
点，可得到^ ABC，则△ ABC中BC边上的高是
题團
G
P
dem
Jon
IS题
良1
AC为直角
边, …，依此类
推,
16、（2010辽宁丹东市）
画第二个等腰Rt△ ACD ,再以
第n个等腰直角三角形的斜边长是_______________________ .
17、（2010浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣. 1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票?所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定
理.在右图的勾股图中，已知/ ACB=90 °，/ BAC=30 ° , AB=4 .作△ PQR使得/ R=90。，点H在边
QR上，点D, E在边PR上，点G、F在边PQ上，那么△ PQR的周长等于_________________________________ .
18、（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线
从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 ____________ cm；如果从点A开始
经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要______________________________ cm.
19、如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH , EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（）
A . 12厘米
B . 16厘米
已知△ABC是边长为
Rt△ ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ ADE ,
的等腰直角三角形，以Rt△ ABC的斜边
题團20题
国
D. 28厘米
20、如图，正方形纸片ABCD的边长为3,点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF 折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为（）
9
C.-
4
21、在^ ABC中，已知AB=20,AC=15,BC 边上的高AD为12,求^ ABC的面积。
22、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN = 30°,点设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为间为多少秒？
23、如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点落在BC边的中点E处，点A
落在F处, 折痕为MN，求折痕MN的长度。
A
I M A处有一所中学，AP = 160m。假MN上沿PN方向行驶时，学
18km/h,那么学校受影响的时
勾股定理培优练习集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
勾股定理 【知识点】1、勾股定理__________________________________________________________________ 2、勾股定理逆定理_____________________________________________________________________ 【基础练习】 1．如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（） A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5 3．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=20，点M，N在边OB上，PM=PN．若MN=6，则OM=（） A．4 B．5 C．6 D．7 第1题第3题第5题第6题 4．在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为10，AC边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（） A．3个B．4个C．5个D．6个 5．（2015?石家庄模拟）图1是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（） A．51 B．49 C．76 D．无法确定 6．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 7．下列命题中，是假命题的是( )． A．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形 B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形 C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形 D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形 8．如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需米． 第8题第9题第10题 9．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF= ． 10．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=度． 【例题讲解】 例1、）阅读以下解题过程： 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 错解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4…（1）， ∴c2（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（a2+b2）…（2）， ∴c2=a2+b2 (3) 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号． （2）错误的原因是． （3）本题正确的结论是． 例2．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON 方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离； （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 例3、我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
八年级数学拓展训练2 班级姓名 1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是 （A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）7 2．如图，ABC ?和DCE ?都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为 （A）3（B）23（C）33（D）43 3．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为 （A）4 cm （B）5 cm （C）6 cm （D）10 cm 4．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm. 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是． 6．如图，Rt△ABC中，∠C=0 90, ∠ABC=0 30，AB=6.点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是. 7．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD的长为． E D B A （第13 A 第3题 B C D E 第5题 第1题第2题 第6题
8．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m 、0.3m 、0.2m ，A 和B 是台 阶上两个相对的顶点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬 行到B 点的最短路程是多少？ 9．长方形ABCD 如图折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE 的 长． 10．已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°，AB=4，CD=2.求四边形ABCD 的面积. 11．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极 强的破坏力．如图，据气象观测，距沿海城市A 的正南方向240千米B 处有一台风中 心，其中心风力为12级，每远离台风中心25km ，风力就会减弱一级。该台风中心现正 以20km/h 的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力 达到或超过四级，则称为受台风影响。 （1）城市A 是否受到台风影响？请说明理由。 （2）若城市A 受到台风影响，则持续时间有多长？ （3）城市A 受到台风影响的最大风力为几级？ A B 30° 240 D C
WORD格式 . 专题勾股定理在动态几何中的应用一.勾股定理与对称变换 （一）动点证明题 1.如图，在△ABC中，AB=AC， （1）若P为边BC上的中点，连结 22 AP，求证：BP×CP=AB-AP； （2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由； A B C P （3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论 A . B C P （二）最值问题 2.如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3，BE=1，P为AC上的动点，则PB+PE的最小值是
A D E P 3.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点， B C . 专业资料整理
WORD格式 . 将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.（1） 求证：△AMB≌△ENB； A D （2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小； N E M C B C ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； A D N E M B C C （3）当AM＋BM＋CM的最小值为31时，求正方形的边长. A D N E M B C C
4.问题：如图①，在ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的. 专业资料整理
WORD格式 . 长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决． （1）请你回答：图中BD的长为； （2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长． A A B D C B D C 图①图②
人教版八年级下册第17章《勾股定理》培优提高试题 一．选择题（共8小题） 1．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（） A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5B．a：b：c＝5：12：13 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（） A．18cm2 B．36cm2C．72cm2D．108cm2 3．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（） A．30厘米B．40厘米C．50厘米D．以上都不对4．在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，BC＝，则∠B为（） A．30°B．90°C．30°或60°D．30°或90°5．如图，一架25米的梯子AB靠在一座建筑物AO上，梯子的底部B距离建筑物AO的底部O有7米（即BO＝7米），如果梯子顶部A下滑4米至A1，则梯子底部B滑开的距离BB1是（） A．4米B．大于4米C．小于4米D．无法计算 6．为比较与的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三角形，使其两直
角边的长分别为与，则由勾股定理可求得其斜边长为 ．根据“三角形三边关系”，可得．小亮的这一做法体现的数学思想是（） A．分类讨论思想B．方程思想 C．类此思想D．数形结合思想 7．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（） A．9B．36C．27D．34 8．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（） A．12B．15C．20D．30 二．填空题（共6小题） 9．直角三角形的斜边长是5，一直角边长是3，则此直角三角形另一直角边是．10．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形． 11．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为．
类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的 长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，
. ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 类型三：勾股定理的实际应用（一） 用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）
勾股定理培优试题 1.如图，正方形的边长是1个单位长度，则图中B点所表示的数是；若点C是数轴上一点，且点C到A点的距离与点C到原点的距离相等，则点C所表示的数是． 2.如图,将长方形OABC置于平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点C的坐标为(m,0)(m>0),点D(m,1)在BC上,将长方形OABC沿AD折叠压平,使点B落在坐标平面内,设点B的对应点为点E. (1)当m=3时,点B的坐标为_________,点E的坐标为_________; (2)随着m的变化,试探索:点E能否恰好落在x轴上?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由. 3.如图,将竖直放置的长方形砖块ABCD推倒至长方形A'B'C'D'的位置,长方形ABCD 的长和宽分别为a,b,AC的长为c. (1)你能用只含a,b的代数式表示S△ABC,S△C'A'D'和S直角梯形A'D'BA吗?能用只含c的代数式表示S△ACA'吗?(2)利用(1)的结论,你能验证勾股定理吗? 4.如图，一圆柱高8 cm，底面半径为6/cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（）cm. A.6 B.8 C.10 D.12 5.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25B．14C．7D．7或25 6.我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图4所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么(a+b)2的值为（）.（A）49（B）25（C）13（D）1 7.如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于． 8.将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是（） A．5≤h≤12 B．5≤h≤24C．11≤h≤12D．12≤h≤24 9.如图，将一根长为15cm的筷子置于底面直径为5cm的装满水的圆柱形水杯中，已知水深为12cm，设筷子露出水面的长为hcm，则h的取值范围是．
勾股定理经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少？ 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32
=16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于 ， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，
. ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
初中数学勾股定理培优教材 一、探索勾股定理 【知识点1】勾股定理 定理内容：在RT△中， 勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键 在于确定斜边或直角 典型题型 1、对勾股定理的理解 （1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边 长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（） A、c2- a2=b2 B、c2- b2=a2 C、a2- c2=b2 D、a2+b2= c2 （2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成 立的是（） A、BC2- AB2=AC2 B、BC2- AC2=AB2 C、AB2+AC2= BC2 D、AC2+BC2= AB2 2、应用勾股定理求边长 （3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长. （4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则 该直角三角形的斜边长为． 3、利用勾股定理求面积 （5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆 的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。 （6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正 方形A的面积为。 （7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是 x=,y=。 （8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8， 则AB的长为（） A、6 B、8 C、10 D、12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。 已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放 置的四个正方形的面积依次是S S 12 、、 S S S S S S 341234 、，则+++=_____________。 【知识点2】勾股定理的验证 推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间 的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。 （等积法） 拼图法推导一般步骤：拼出图形---找出图形面积的 表达式---恒等变形—推出勾股定理。 （10）用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边 为c）按图拼法。 问题：你能用两种方法表示下 图的面积吗？对比两种不同的表 示方法，你发现了什么？ （11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b， 斜边为c）按下图拼法， 论证勾股定理： 2 2 2c b a= + 3、运用勾股定理进行 计算（重难点） （12）如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶 部落在离旗杆底部12米 处,旗杆折断前有多高？
数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题含答案 一、选择题 1．图中不能证明勾股定理的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．如图，在RtΔABC 中，∠ACB ＝90°，AC =9，BC =12，AD 是∠BAC 的平分线，若点P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC ＋PQ 的最小值是( ) A ． 245 B ． 365 C ．12 D ．15 3．如图，已知ABC 中，10,86,AB AC BC AB ===,的垂直平分线分别交,AC AB 于 ,,D E 连接BD ，则CD 的长为（ ） A ．1 B ． 54 C ． 74 D ． 254 4．如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木
块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） A ．cm B ． cm C ． cm D ．9cm 5．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45?，若AD =4，CD =2，则BD 的长为 （ ） A ．6 B ．27 C ．5 D ．25 6．如图，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为（ ） A ．15-- B ．15- C ．5- D ．15-+ 7．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB 1700=米，800BC =米，AC 1500=米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．AB 的中点 B ．BC 的中点 C ．AC 的中点 D ．C ∠的平分线与AB 的交点 8．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm ，在容器内壁离容器底部4cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm ，则该圆柱底面周长为（ ） A ．12cm B ．14cm C ．20cm D ．24cm 9．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（ ） A ．如果∠A ﹣∠B ＝∠C ，那么△ABC 是直角三角形 B ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形 C ．如果 a 2：b 2：c 2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形 D ．如果 a 2＝b 2﹣c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°
一、选择题 1．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( ) A ．8 B ．8.8 C ．9.8 D ．10 2．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是 （ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的一条角平分线．若AC ＝6，AB ＝10，则点D 到AB 边的距离为（ ） A ．2 B ．2.5 C ．3 D ．4 4．已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论： ①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2）， 其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（ ） A ．1，2，6 B ．3，5，4 C ．5，12，13 D ．3，2，13 6．如图，已知AB AC =，则数轴上C 点所表示的数为( )
A ．3- B ．5- C ．13- D ．15- 7．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A ．1 B ．2021 C ．2020 D ．2019 8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为 （ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 9．下列条件中，不能．．判定ABC 为直角三角形的是（ ） A ．::5:12:13a b c = B ．A B C ∠+∠=∠ C ．::2:3:5A B C ∠∠∠= D ．6a =，12b =，10c = 10．如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边6,8AC BC ==，现将ABC 折叠，使点B 点A 重合，折痕为DE ，则BD 的长为（ ） A ．7 B ． 25 4 C ．6 D ． 112 二、填空题 11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S 1+S 2+S 3=10，则S2的值是_________．
八年级下勾股定理培优训练 一．选择题 1．如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD AB、AC于E、F，给出以下四个结论： ①AE=CF ②△EPF是等腰直角三角形③EF=AP ④S四边形AEPF=S△ABC 4．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有dm 2dm 7．如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=∠BAC，CE交
8．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第 2 （1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13； （2）如果a≥0，那么=a （3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； （5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． 图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为2 EF的长是（） 二．填空题 14．如图，△ABD和△CED均为等边三角形，AC=BC，AC⊥BC．若BE=，则CD= ．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2，则BC的长是．
16．已知a，b，c是直角三角形的三条边，且a＜b＜c，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是．（只填序号） ①a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；②b4+c2h2=b2c2；③由可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是． 17．如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，则四边形ABCD的面积是． 18．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．若BE=2，AG=8，则AB的长为． 三．解答题 19．如图，已知AD是△ABC的高，∠BAC=60°，BC=3,AC=2，试求AB的长． 20．操作发现：将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合． 问题解决：将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC 与BD交于点O，连接CD，如图②． （1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．
经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长 是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长， 进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD
勾股定理练习(根据对称求最小值) 基本模型：已知点A、B为直线m 同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM 有最小值。 1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D,请在AD上找一点N， 使得EN+BN有最小值，并求出最小值。 2、.已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N， 使得EN+BN有最小值，并求出最小值。 3、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到 直线b的距离为3，AB=230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（） A． 6 B．8 C．10 D．12 4、已知AB=20，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA=10，CB=5． （1）在AB上找一点E，使EC=ED，并求出EA的长； （2）在AB上找一点F，使FC+FD最小，并求出这个最小值
5、如图，在梯形ABCD 中，∠C=45°，∠BAD=∠B=90°，AD=3 ，CD=2 2， M为BC上一动点，则△AMD 周长的最小值为． 6、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB 边上一点，则EM+BM的最小值为． 7、如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、R分别是OA、OB上的动点， 求△PQR周长的最小值． 8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（） A．2 B．2 6C．3 D．6 9、在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________cm 10、在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.
人教版数学八年级下册第17章勾股定理专题培优训练（含答案）一．选择题（共11小题） 1．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（） A．4B．8C．16D．64 2．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．30 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm 3．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（） A．32，42，52B．C．9，41，40D．2，3，4 4．如图：a，b，c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则下列结论正确的是（） A．a2+b2＝c2B．ab＝c C．a+b＝c D．a+b＝c2 5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（） A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．5 6．若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）A．ab＝h2B． C．D．a2+b2＝2h2 7．在△ABC中，若a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，则△ABC是（） A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形 8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了右图，
如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2009次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（） A．2008B．2009C．2010D．1 9．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B． C．D． 10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（） A．2.7米B．2.5米C．2米D．1.8米 11．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为 1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（） 米．
. 勾股定理 一、知识要点 1、勾股定理 勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理” . 222，它的变形式为ca=+b勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a、b、c，其中c为斜边）的三边关系，即222222. =--ab=ba或cc勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法. 2、勾股定理的逆定理 222，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形=满足、cac+b. 如果三角形的三边长a、b勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”. 二、基本知识过关测试 1.如果直角三角形的两边为3，4，则第三边a的值是 . 2.如图，图形A是以直角三角形直角边a为直径的半圆，阴影S= . A3.如图，有一个圆柱的高等于12cm，底面半径3cm，一只蚂蚁要从下底面上B点处爬至上底与B点相对的A点处，所需爬行的最短路程是 . 23，∠BCD=30°AB，=5，CD，则=AC= . ABC4.如图.在△中，CD⊥AB于D532的线段5. 作长为. ，，22222-1，2a(a＞；⑤a+1，a1)；⑥5；③，135.6在下列各组数中①，12，；②724，2534，，，5；④3a4a，a2222(m＞n＞0)可作直角三角形三边长的有组mn-mn，2，m+n. 7.如图，四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，AB⊥BC，则四边形ABCD的面积 是 . 1 / 12 . AC A B13A aABD B D12C 题图4题图第7第2题图第3题图第1. ，试判断△AEF=中点，E为BC上一点，且EC的形状BCDC8.如图，在正方形ABCD中，F为 4DAFCBE 创新.提高.三、综合、B重合，折痕与ABAC=3，折叠该纸片，使点A与点=】（1）在三角形纸片ABC中，∠C90°，∠A=30°，1【例DE的长是多少？D和点E（如图），折痕AC 分别相交于点BDAEC
专题 勾股定理在动态几何中的应用 .勾股定理与对称变换 (一)动点证明题 2.如图，E 为正方形ABCD 勺边AB 上一点，AE=3，BE=1, P 为AC 上的动点，则 PB F PE 的最小值是 3.如图，四边形ABCD 是正方形，△ ABE 是等边三角形，M 为对角线 将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN 连接EN AM CM. B C (2)参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ ABC 中, D 是BC 边上的一点，若/ BAD= / C=2Z DAC=30 , DC=2 求 BD 和 AB 的长. 图① 二.勾股定理与旋转 5?阅读下面材料： 1.如图，在△ ABC 中, AB=AC 若P 为边BC 上的中点，连结 AP,求证：BPX CP=A W-AP ; (1) (2) 若P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗若成立请证明，若不成立请说明 (3) 若P 是BC 边延长线上一点，线段 AB AP 、BP CP 之间有什么样的关系请 证明你的结论. (二)最值问题 (1) 求证：△ AMBs ^ ENB (2) ①当M 点在何处时，AW CM 的值最小; ②当 M 点在何处时，AW BWCM 的值最小，并说明理由; (3) 当AW BW CM 的最小值为.3 1时，求正方形的边长. 4.问题：如图①，在△ ABC 中，D 是BC 边上的一点，若/ BA[=Z C=2Z DA(=450，DC=2?求BD 的长?小明同学的解题 思路是：禾U 用轴对称，把△ ADC 进行翻折，再经过推理、计 算使问题得到解决. (1)请你回答：图中BD 的长为_； 图② A B B 任意一 P I k B A N D E M C E C E B C M B M
勾股定理的应用经典培优题 类型之一 利用勾股定理解决平面图形问题 图1－ZT －1 1．如图1－ZT －1，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点，若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于________． 2．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝4，有一个内角为60°，P 是直线AB 上不同于A ，B 的一点，且∠ACP ＝30°，求PB 的长． 类型之二 利用勾股定理解决立体图形问题 3．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图1－ZT －2所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是________尺． 图1－ZT －2 图1－ZT －3 4．如图1－ZT －3，将一根长为20 cm 的筷子置于底面直径为5 cm ，高为12 cm 的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度为________cm. 类型之三 利用勾股定理解决折叠问题 5．如图1－ZT －4(1)是一个直角三角形纸片，∠A ＝30°，BC ＝4 cm ，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C ′处，折痕为BD ，如图(2)，再将(2)沿DE 折叠，使点A 落在DC ′的延长线上的点A ′处，如图(3)，则折痕DE 的长为( ) 图1－ZT －4 A.83 cm B ．2 3 cm C ．2 2 cm D ．3 cm
图1－ZT－5 6．如图1－ZT－5，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为________． 类型之四利用勾股定理解决实际问题 7．如图1－ZT－6，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10 7千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域． (1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； (2)如果A市受这次台风的影响，那么受台风影响的时间有多长？ 图1－ZT－6
一、选择题 1．已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（ ） A ．29cm B ．5cm C ．37cm D ．4.5cm 2．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=，8AD =，6BC =，分别以点A ， C 为圆心，大于 1 2 AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ） A ．42 B ．6 C ．210 D ．8 3．如图，在等腰三角形ABC 中，AC=BC=5，AB=8，D 为底边上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，则DE+DF= （ ） A ．5 B ．8 C ．13 D ．4．8 4．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是 （ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 5．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和10，则斜边长为（ ） A ．10 B ．10 C 13 D ．136．如图，在ABC 中，90A ∠=?，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于
点O，过点O作⊥ OD AB于点D，若则AD的长为( ) A．2B．2 C．3D．4 7．在△ABC中，∠BCA=90°,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（） A．5 B．7 5 C． 14 5 D． 36 5 8．已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（） A．3 B．3C．5D．3或5 9．在△ABC中，AB=10，BC=12，BC边上的中线AD=8，则△ABC边AB上的高为（）A．8 B．9.6 C．10 D．12 10．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（） A．5 B．7C．5D．5或7 二、填空题 11．如图，在△中，，∠90°，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是__________． 12．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A，B，C是网格线交点）．