11.3 角平分线的性质 淮河中学 ：方婷
一、学习目标
1、掌握角的平分线的性质；
2、能应用角平分线的有关知识解决一些简单的实际问题．
二、温故知新
1、写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题.
2、写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等” 的逆命题.
三、自主探究 合作展示
（一）思考：命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是否是真命题？若是真命题，请给出证明过程。 已知：如图1， 求证： 证明：
结论：
（二）思考：
如图2所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m ，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？ （三）应用举例
例： 如图3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ． 求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等．
四、双基检测
1.如图4，在ABC △中，90C ∠=， AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．
图4
A
B
D
C
图2 图3
图1
2.如图5，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D . (1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说明理由; (2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数.
3、如图6，所示，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点O 。求证：AO ⊥BC 。
五、小结
请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。
P
A
B
C
D 图 5
A B
O
E
D
C
图6
角的平分线的判定 教学目标 1.掌握角平分线的判定． 2.熟练运用角的平分线的判定及性质解决问题． 预习反馈 阅读教材P50，完成下面内容． 1.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如图，∵PD⊥OB于点D，PC⊥OA于点C，且PC＝PD，∴OP平分∠AOB． 2.三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 如图，在△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，并且BD，CE相交于点O， ∴点O也在∠BAC的平分线上． 又∵OP⊥BC于点P，OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N， ∴OP＝OM＝ON． 类型1 角的平分线的判定 例1(教材练习第2题变式)如图，在△ABC中，∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P.求证：点P在∠BAC的平分线上．
证明：过点P作PF⊥AB，PG⊥BC，PH⊥CA，垂足分别为F，G，H. ∵点P在∠ABC的外角平分线上，∴PF＝PG. ∵点P在∠ACB的外角平分线上， ∴PG＝PH.∴PF＝PH. ∴点P在∠BAC的平分线上． 【跟踪训练1】如图，已知BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：AD是∠BAC的平分线． 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∵BE＝CF，BD＝CD， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF. ∴DE＝DF. ∴AD是∠BAC的平分线． 类型2 三角形三条角平分线的交点到三边的距离 例2 (教材补充例题)如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D.若PD＝5，△ACB的周长为20，求△ABC的面积．
第2课时 角平分线的判定 1．掌握角平分线的判定定理．(重点) 2．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点) 一、情境导入 中新网和田2015年2月25日电，新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000) 二、合作探究 探究点一：角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定 如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是 ∠BAC 的平分线． 解析：先判定Rt △BDE 和Rt △CDF 全等，得出DE ＝DF ，再由角平分线的判定可知AD 是∠BAC 的平分线． 证明：∵DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED ＝∠CFD ，∴△BDE 与△CDF 是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵⎩ ⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ， BD ＝CD ， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴DE ＝DF ，∴AD 是∠BAC 的平分线． 方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上． 【类型二】 角平分线性质和判定的综合
如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE ＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；角平分线上的点到角的两边的距离相等，故③正确；∴④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等正确；①②③④都正确．故选D. 方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等． 【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题 如图，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线． 解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上证明． 证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠EAG的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线． 方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题． 探究点二：三角形的内角平分线 【类型一】利用角平分线的判定求角的度数 在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( ) A．110° B．120° C．130° D．140°
角的平分线教案 角的平分线教案 角的平分线教案1 教学目标 1．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用． 2．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题． 3．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。 教学重点和难点 角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点． 性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点． 教学过程设计 一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明 1，复习引入课题． （1）提问关于直角三角形全等的判定定理． （2）让学生用量角器画出图3－86中的∠AOB的角 平分线OC． 2．画图探索角平分线的性质并证明之． （1）在图3－86中，让学生在角平分线OC上任取一 点P，并分别作出表示Ｐ点到∠AOB两边的距离的线段 PD，PE． （2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理． （3）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理1），分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式． 3．逆向思维探求角平分线的判定定理． （1）让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2——角平分线的判定定理．（2）教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理
1，由所给条件判定出角平分线是定理2． （3）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程． 4．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合． （1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）． （2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）． 由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合． 二、应用举例、变式练习 练习1填空：如图3－86（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA 于D PE⊥OB于E．∴---------（角平分线的性质定理）． （2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴OP平分∠AOB（-------------）例1已知：如图3－87（a），ABC的角平分线BD和CE交于F． （l）求证：F到AB，BC和AC边的距离相等； （2）求证：AF平分∠BAC； （3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等； （4）怎样找△ABC内到三边距离相等的点？ （5）若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图3-87（b），那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？ 说明： （1）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（1）题）和判定定理（第（2）题）的目的． （2）此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。 （3）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（5）题），观察结论如何变
11.3 角平分线的性质 淮河中学 ：方婷 一、学习目标 1、掌握角的平分线的性质； 2、能应用角平分线的有关知识解决一些简单的实际问题． 二、温故知新 1、写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题. 2、写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等” 的逆命题. 三、自主探究 合作展示 （一）思考：命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是否是真命题？若是真命题，请给出证明过程。 已知：如图1， 求证： 证明： 结论： （二）思考： 如图2所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m ，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？ （三）应用举例 例： 如图3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ． 求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等． 四、双基检测 1.如图4，在ABC △中，90C ∠=， AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ． 图4 A B D C 图2 图3 图1
2.如图5，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D . (1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说明理由; (2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数. 3、如图6，所示，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点O 。求证：AO ⊥BC 。 五、小结 请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。 P A B C D 图 5 A B O E D C 图6
角的平分线的性质1教案 第一篇：角的平分线的性质1教案 角的平分线的性质 （一）教学目标 1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理． 2．会用尺规作一个已知角的平分线． 教学重点 利用尺规作已知角的平分线． 教学难点 角的平分线的作图方法的提炼． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 问题1：三角形中有哪些重要线段． 问题2：你能作出这些线段吗？ Ⅱ．导入新课 在学直角三角形全等的条件时有这样一个题： 在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点． 求证：∠MOC=∠NOC． 通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线． 受这个题的启示，我们能不能这样做： 在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC•与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了． 思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行） 议一议：图中是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线
AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB． ∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了． 看看条件够不够． 所以△ABC≌△ADC（SSS）． 所以∠CAD=∠CAB．即射线AC就是∠DAB的平分线． 由此，我们总结出作已知角的平分线的已知：∠AOB． 求作：∠AOB的平分线． 作法： ①以O为圆心，适当长为半径作弧，分OB于M、N． 别交OA、方法： ②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C． ③作射线OC，射线OC即为所求． 议一议： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？ 2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？ 总结： 1．去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角平分线． 2．若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了． 3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可． 4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明． 探索活动 按以下步骤折纸
新人教八年级上册第十二章第2课时角的平分线的判定 【知识与技能】 1.掌握角的平分线的判定. 2.会利用三角形角平分线的性质. 【过程与方法】 通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力. 【情感态度】 锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值. 【教学重点】 角平分线的判定. 【教学难点】 三角形的内角平分线的应用. 一、情境导入，初步认识 问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 【教学说明】如图所示，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E， PD=PE，那么能否得到点P在∠AOB的角平分线上呢？事实上，在Rt△OPD和Rt△OPE中，我们利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP，即点P在∠AOB的角平分线上. 二、思考探究，获取新知 三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢？ 例1 如图O是△ABC内的一点，且O到三边AB、BC、 CA的距离OF=OD=OE.若∠A=70°,求∠BOC的度数. 【分析】由OD=OE=OF,且OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB 知，O是△ABC的三角平分线的交点，所以∠1=∠2、∠3=∠4.要求∠BOC的度数，只要求出∠1+∠3的度数，即只要求出2（∠1+∠3）=∠ABC+∠ACB的度
数即可，在△ABC 中，运用三角形的内角和定理，即可得出∠BOC 的度数. 解:∵OF ⊥AB,OD ⊥BC,且OF=OD, ∴BO 平分∠ABC,即∠1=∠2,同理可得∠3=∠4. ∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°- 12(∠ABC+∠ACB)=180°-12 (180°-∠A)=90°+12∠A=125°. 【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性质. 例2如图①,D 、E 、F 是△ABC 的三条边上的点，且CE=BF,S △DCE =S △DBF ，求证：AD 平分∠BAC. 【分析】由已知条件可知△DCE 和△DBF 的两底CE=BF,且它 们的面积相等，所以这两底上的高应该相等.因此过点D 作DM ⊥AB,DN ⊥AC,垂足分别为M 和N ，则DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD 平分∠BAC. 【证明】如图②，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N. ∵S △DCE =S △DBF ,即12CE ·DN=12 BF ·DM. 又∵CE=BF,∴DN=DM,∴点D 在∠BAC 的平分线上，即 AD 平分∠BAC. 例3 如图所示，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°,D 是AC 上一点，且AE ⊥BD 并交BD 的延长线于点E ，又AE= 12 BD.求证：BD 是∠ABC 的平分线. 【分析】要证明BD 是∠ABC 的平分线，即证明∠1=∠2,可构造全等三角形，延长AE 、BC 交于F ，根据条件证明△ABE ≌△FBE 即可. 【证明】延长AE 、BC 交于点F. ∵AE ⊥BD,∠ACB=90°, ∴∠2+∠F=∠FAC+∠F=90°, 即∠2=∠FAC. 在△BDC 与△AFC 中，
第2课时角的平分线的判定 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 1.使学生掌握角平分线定理及其逆定理,培养学生探索知识的能力. 2.使学生了解能利用角平分线定理及其逆定理证明角或线段相等. 【过程与方法】 从事物特殊性入手,总结归纳事物的一般性.体现在研究问题时注意纯粹性与完备性,准确、全面地思考问题. 【情感、态度与价值观】 渗透点的集合的数学思想. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 角平分线的性质和判定;点到角的边的距离要强调垂直关系. 【教学难点】 分清文字命题中的题设(已知)和结论,掌握证明题格式;把角平分线看作点的集合. ◇教学过程◇ 一、情境导入 我们已经学习过角的平分线的概念,它有什么重要性质呢?怎样找到这个角的平分线? (1)有一张剪好的纸片(如图1),怎样找到这个角的平分线?(引导学生回答) (2)大家知道,只要把纸片对折,使角的两边叠合在一起,把纸片展开后的折痕就是这个角的平分线,如图2.如果我们把对折后的纸片继续折一次,然后把纸片展开,就会出现两条折痕,如图3中的PM和PN,不难发现,这两条折痕的长相等,而且这种等长的折痕我们可以找出无数对.由此可见,角的平分线除了有平分角的性质,还有其他的性质. 二、合作探究 定理1角平分线上的点到角两边的距离相等. 题设:一个点在一个角的平分线上. 结论:它到角的两边的距离相等. 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE. 证明:∵OC是∠AOB的平分线,(已知) ∴∠AOC=∠BOC.(角平分线的定义) ∵PD⊥OA,PE⊥OB,(已知) ∴∠PDO=∠PEO=90°.(垂直的定义) 在△PDO和△PEO中,
第2课时角平分线的判定 一、新课导入 1.导入课题： 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？这节课我们对这个问题进行探究. 2.学习目标： （1）能说出角平分线的性质的逆定理，并能给予证明. （2）能够熟练地运用角平分线的性质的逆定理解决一些相关的数学问题. 3.学习重、难点： 重点：正确地区分角平分线的性质定理及逆定理的条件与结论. 难点：角平分线定理和逆定理的互用. 二、分层学习 1.自学指导： （1）自学内容：教材第49页下面的“思考”至例题之间的内容. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：通过动手作图、观察、思考、论证、归纳得出结论. （4）自学参考提纲： ①知识回顾：角平分线的性质定理是：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 这个定理的题设是一个点在一个角的平分线上，结论是这个点到这个角两边的距离相等，用几何语言表示：如右图， ∵OP平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE
②把角平分线的性质定理的题设与结论互换，就可以得到它的逆命题，试写出这个逆命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上用几何语言表示：如右图， ∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）, ③小组合作完成教材第49页的思考： a.所建的集贸市场要符合哪些条件？ 到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m. b.集贸市场应该建在什么位置？ 画一画，并说明理由. 如图所示:P点即为所求，理由：P点在交叉口的角平分线上，所以P点到公路与铁路的距离相等. c.实际距离500米能否转换成图上距离？写出计算过程. ，∴图上距离=0.025m=2.5cm. 能,∵图上距离/500m=1 20000 ④结合上图自己写出角平分线性质定理的逆定理的证明过程. 2.自学：学生可结合自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生： ①明了学情：学生已经具备了一些几何概念定理学习方法，对于性质定理的逆命题，学生能很快得出来，但在语言表达上还存在一定问题；教材第49页的“思考”对于八年级的学生来说还存在一定的难度. ②差异指导：引导学生比较角平分线的性质定理和它的逆命题的题设与结论，认识它们的区别与联系，学会文字语言和几何语言的转换.
角平分线 【教学目标】 1．知识与技能： 掌握角平分线的性质定理和判定定理，能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题。 2．过程与方法： 让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论，并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别。 3．情感、态度与价值观： 通过认识的升华，使学生进一步理解数学，也使学生关注数学、热爱数学。 【教学重难点】 1．重点： 角平分线的性质定理和判定定理，能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题。 2．难点 灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题。 【教学过程】 一、创设情景，导入新课 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任一点，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，将∠AOB沿OC对折你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程。 二、师生互动，探究新知 在学生交流发言的基础上，老师板书：角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等。几何推理为：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE。教师指出条件中不能漏掉PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。 教师指出：角平分线是一条射线，那么这个逆定理应如何表述？学生讨论并发言。在学生发言基础上教师归纳总结，并板书：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上。
三、随堂练习，巩固新知 1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，则PC与PD的大小关系是（）。 A．PC>PD； B．PC=PD； C．PC
角平分线定理教案 教案标题：角平分线定理教案 一、教学目标： 1. 理解角平分线定理的概念和原理。 2. 能够应用角平分线定理解决相关问题。 3. 培养学生的逻辑思维和推理能力。 二、教学内容： 1. 角平分线定理的定义和表述。 2. 角平分线定理的证明。 3. 角平分线定理的应用。 三、教学过程： 1. 导入（5分钟）： 引导学生回顾并复习角的概念，以及如何用直尺和量角器测量角的大小。 2. 角平分线定理的定义和表述（10分钟）： 通过示意图向学生展示角平分线的概念，并引导学生总结角平分线定理的定义和表述。 3. 角平分线定理的证明（20分钟）： 介绍角平分线定理的证明思路，引导学生根据已有的知识和定理进行推理和证明，最终得出结论。 提示学生注意证明过程中的关键步骤和逻辑推理。 4. 角平分线定理的应用（15分钟）： 通过一些具体的问题和例子，引导学生应用角平分线定理解决相关问题，培
养学生的问题解决能力和推理能力。 5. 拓展与巩固（10分钟）： 给学生提供一些拓展题目，让他们进一步巩固和应用所学的知识。 6. 总结与归纳（5分钟）： 总结角平分线定理的内容和应用，并强调其在几何学中的重要性。 四、教学资源： 1. 教科书和课本 2. 示例图和示意图 3. 直尺、量角器等绘图工具 4. 课堂练习题和拓展题目 五、教学评估： 1. 课堂练习题的完成情况和答案的正确性。 2. 学生对角平分线定理的理解和应用能力的表现。 3. 学生的课堂参与和互动情况。 六、教学反思： 根据学生的学习情况和反馈，及时调整教学策略，帮助学生更好地理解和应用角平分线定理。同时，鼓励学生积极思考和提问，促进课堂互动和合作。
角平分线教案 角平分线教案 角平分线是初中数学中一个重要的概念，它在几何学中有着广泛的应用。本文 将介绍一个简单而有趣的角平分线教案，帮助学生理解和掌握这一概念。 一、引入角平分线概念 在开始教学之前，可以通过引入一个生动的故事或实例来激发学生的兴趣。比如，可以讲述一个关于角平分线的谜题，引导学生思考如何寻找解答。这样可 以培养学生的探索精神和思维能力。 二、角平分线的定义和性质 在引入概念之后，可以给出角平分线的定义，并解释它的性质。角平分线是指 将一个角分成两个相等的角的线段。这个定义可以通过示意图来进行说明，让 学生直观地理解角平分线的概念。 接下来，可以讲解角平分线的性质。角平分线的性质有很多，比如角平分线相 交于角的顶点，且将角分成两个相等的角。可以通过几何证明来说明这些性质，让学生在实践中理解和掌握。 三、角平分线的应用 角平分线在几何学中有着广泛的应用。可以通过一些实例来说明角平分线的应用，比如证明两条线段垂直的方法之一就是通过它们的角平分线。还可以讲解 角平分线在三角形中的应用，比如证明三角形的内心是三条角平分线的交点。四、角平分线的练习 在学生理解了角平分线的概念和性质之后，可以进行一些练习来巩固他们的知识。可以设计一些练习题，让学生找出给定角的角平分线，或者根据已知条件
证明角平分线的性质。 五、角平分线的拓展 对于一些学有余力的学生，可以引导他们进行一些角平分线的拓展学习。比如，可以讲解角平分线的延伸概念——角的三等分线，以及它的性质和应用。这样 可以进一步提高学生的几何思维和解题能力。 六、总结与归纳 在教学的最后，可以对整个教案进行总结与归纳。可以让学生回顾所学的知识点，总结角平分线的定义、性质和应用，并思考角平分线在几何学中的作用。 这样可以帮助学生更好地理解和掌握角平分线的概念。 通过以上的教学过程，学生可以在实践中理解和掌握角平分线的概念和性质。 同时，通过引入故事、实例和练习，可以提高学生的学习兴趣和解题能力。希 望这个角平分线教案能够帮助到您的教学工作。
角平分线的判定教案 （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制学校：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如幼儿教案、小学教案、中学教案、教学活动、评语、寄语、发言稿、工作计划、工作总结、心得体会、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of classic sample essays, such as preschool lesson plans, elementary school lesson plans, middle school lesson plans, teaching activities, comments, messages, speech drafts, work plans, work summary, experience, and other sample essays, etc. I want to know Please pay attention to the different format and writing styles of sample essays!
角平分线性质教案 知识技能目标 1.使学生能够正确认识角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴； 2.使学生能正确理解角平分线的性质，并能够正确运用它去解决相关问题． 过程性目标 使学生能够正确体会角平分线的形成过程，初步接触集合的思想，并能产生一定的认识． 教学过程 一、创设情境 小实验： 每位同学准备一张半透明的白纸，在纸上画一个角（∠AOB），然后对折这个角，使角的两条边完全重合，然后用直尺画出折痕OM． 请同学思考：从上面的实验中你能发现什么？ 角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线．如图所示的直线OM就是它的对称轴． 二、探究归纳 在以上试验的基础上,同学们在射线OM上任取一点P,过P点分别作OA和OB边的垂线PC和PD,而后沿着OM折叠,观察PC与PD之间有何关系?
学生总结：PC与PD是能够互相重合的．即PC与PD是相等的． 请学生把上述过程用文字叙述出来． 角平分线上的点到角两边的距离相等． 三、实践应用 例1已知在△ABC中，∠C＝90°,BD是角∠ABC角平分线,交边AC于点D，DE⊥AB,垂足为E ，AD＝2DE，试问AD 与DC有何关系? 解因为BD是∠ABC的角平分线，∠Ｃ＝90°，DE⊥AB，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE＝DC，因为AD=2DE，所以AD＝2DC． 例2 用直尺和量角器在图中的直线MN上找一点P，使点P 到射线OA和OB的距离相等． 分析只要作出∠AOB 的角平分线与直线MN的交点． 例3 如图BD是∠BAC的角平分线，AE⊥BC，垂足为Ｅ，交BD于P点，PE＝3㎝，求P点到直线AB的距离．
证明角平分线判定方法 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。下面我给大家带来证明角平分线判定（方法），盼望能关心到大家! 证明角平分线判定方法 角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。 因此依据直线公理。 证明：已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，求证：OC平分∠AOB 证明：在Rt△OPD和Rt△OPE中： OP=OP，PD=PE ∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL) ∴∠1=∠2 ∴ OC平分∠AOB 方法一：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB 两边于点M，N。 2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。 3.作射线OP。 射线OP即为所求。
证明：连接PM,PN在△POM和△PON中 ∵OM=ON,PM=PN,PO=PO ∴△POM≌△PON(SSS) ∴∠POM=∠PON，即射线OP为角AOB的角平分线当然，角平分线的作法有许多种。 方法二：1.在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD; 2.连接CN与DM，相交于P; 3.作射线OP。 射线OP即为所求。 证明角平分线判定定理 1.在角的内部，假如一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个相等的角，那么这条射线就是这个角的平分线。 2.在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 3.两个角有一条公共边，且相等。 定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 定理2：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 逆定理：假如三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角
1．4角平分线第1课时角平分线 1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；(重点) 2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．(难点) 一、情境导入 问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的性质定理 【类型一】应用角平分线的性质定理证明线段相等 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F 在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB ＝AF＋2EB. 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明． 证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE ⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF 和Rt△DEB中，∵ ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧BD＝DF， DC＝DE， ∴Rt△CDF ≌Rt△EBD(HL)．∴CF＝EB； (2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC与△ADE 中，∵ ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧CD＝DE， AD＝AD， ∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB ＝AF＋2EB. 方法总结：角平分线的性质是判定线段 相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段〞相等． 【类型二】角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB ＝4，那么AC的长是() A．6 B．5 C．4 D．3 解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE
数学八年级下册《角平分线》教案 一、学生知识状况分析 本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基 础上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论•学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。 二、教学任务分析 学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造 其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质•本节课的教学目标为： 1. 会证明角平分线的性质定理及其逆定理. 2. 进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言.转化为符号语言、图形语言的能力. 3. 经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。 教学难点： 正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境温故知新；第二环节：探究新知; 第三环节：巩固练习；第四环节：随堂练习；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业 1 :情境引入 我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下: 从折纸过程中，我们可以得出CD=CE 即角平分线上的点到角两边的距离相等. 你能证明它吗？ 2 :探究新知 (1 )引导学生证明性质定理 请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进 行交流. 已知：如图，0C是/ AOB的平分线，点P在0C上, PDL OA PEL OB垂足分别为D E. 求证：PD=PE
证明：•••/ 仁/ 2, OP=OP / PDO M PEO=90 , •••△ PDO^ PEO（AAS） ••• PD=PE全等三角形的对应边相等）. （教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导）我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论.我们把它叫做角平分线的性质定理。（用多媒体演示）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. （2）你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题. 引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上. 它是真命题吗? 你能证明它吗? 没有加“在角的内部”时，是假命题. （由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导） 证明如下： 已知：在么AOB内部有一点P,且PD上OA PEI OB D E为垂足且PD=PE 求证：点P在么AOB的角平分线上. 证明：PDL OA PE! OB •••/ PDO M PEO=90 . 在Rt△ ODP和Rt△ OEP中 OP=OP PD=PE • Rt△ ODP B Rt △ OEP（HL 定理）. •••/仁/ 2（全等三角形对应角相等）. 逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理.我们就把它叫做角平分线的判定定理。 3. 巩固练习综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展学生的推论证明能力。在学生独立完成推理过程的基础上教师要给出书写示范 例题：在△ ABC 中,/ BAC = 60 ° ,点D 在BC 上,AD = 10 , DEL AB DF丄AC, 垂足分别为E , F,且DE = DF，求DE的长. （4）课本例题学习
角平分线的性质 一、教材分析：本节课主要探究角平分线的性质与判定，而角平分线的性质对学生后期的三角形的全等起到很重要的作用，学生可以利用角平分线的性质和判定探索问题中的线段的数量关系与三角形全等的证明，实现承上启下的作用。 二、学情分析：学生刚刚经历了三角形的全等证明，对证明线段的长度关系有了探索的方向，本节课主要通过动手实践，摸索角平分线的性质与判定，再利用三角形全等的证明来求证角平分线的性质与判定，进而了解和掌握角平分线的性质与判定。 三、教学目标：①知识技能：了解角平分线的画法，了解和掌握角平分线的性质，理解角平分线的判定。 ②数学思考：经历角平分线的作法的实践活动，理解角平分线的性质和角平分线的判定。 ③问题解决：作角平分线，运用角平分线的性质与判定解决实际应用中的全等证明。 ④情感态度：在合作探究中体验数学知识来源于生活，在学习过中中体验成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，培养严谨的科学态度。 三、教学重点与难点：①教学重点：理解如何作角的平分线（尺规作图），角平分线的性质及运用。 ②教学难点：作角平分线中注意为什么要大于线段长的一半，由角平分线的性质得出角平分线的判定。 四、课时安排：1课时。
五、教学方法：合作探究法、引导法。 六、教学过程： （一）:交流预习：预习教材P48-50的内容，展示收获。（教师巡视, 师友相互交流，将自己的收获与师傅或学友分享）（二）互助探究：探究①角平分线的画法。 教师用课件展示思考1（教材P48）：师友利用预习的知识加以说明, 两组师友展示画法并说明: 1. 以O为圆心，任意长为半径画弧, 别交 射线04、。君于点D、E 2. 分别以D、E为圆心，大于;DE的长为 半径画弧，两弧在^AOB的内部交于点 C 3. 画射线8. OC就是ZAOB的平分线. （教师在师傅的讲解时突出强调为什么要大于摊）探究②角平分线上的点到角两边的距离的关系。 教师展示课件教材思考2 （P48） 师友互助，展示结果并讲解： （教师补充：这题我们先应确定已知条件是什么，求证是什么。）已知：点C
课题 1.4角平分线（2） 学习目标1.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论。 2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用。 3.培养将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力。 重点难点 重点：角的平分线的性质，综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题。难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。 教法 选择 自主探究、合作学习课型新授课 课前准备课件是否采用 多媒体 是 教学时数2课时 教学 时数 第 2 课时 备课 总数 第课时 教学设计思路及其意图 本节设计对学生能力的要求较高，教师要善于利用典型例题，加以发挥，使例题的功能得以体现，达到以点带线，以线带面的功效。教师可以让学生自己证明，自己写出角平分线性质定理的逆命题，并写出已知、求证，写出证明过程，角平分线性质定理中的“距离”是点到线的距离，教学中教师要加以强调。这样设计教学，既符合教材的逻辑，也符合学生的认知。 课堂教学过程设计 教学内容教师活动学生活动 一、复习旧知，探究新知 1.如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE=DF，∠EDB= 60º，则∠EBF= 度，BE= . 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的__________，AE+DE=____. 学生回忆角平分线的性质和判定定理的相关知识，自主完成. 3.尺规作图：作∠AOB的平分线. 学生回忆角平分线尺规作图的作法，在练习本上自主完成. 提出要求：尺规作图三角形的三个内角的角平分线，并仔细观察所作的图形，你有什么发现呢? 二、设置问题，引入新课 问题：通过作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什出示问题，鼓励学 生采用不同方法证 明此问题。并对学 生的说理给予肯 定. 对全班学生做出讲 解，并书写证明过 程. 小组合作，相互讨论， 完成所提出的问题. 独立思考问题，根据 定理写出已知、求证， 全班交流.