第2课时角平分线的判定
一、新课导入
1.导入课题：
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？这节课我们对这个问题进行探究.
2.学习目标：
（1）能说出角平分线的性质的逆定理，并能给予证明.
（2）能够熟练地运用角平分线的性质的逆定理解决一些相关的数学问题.
3.学习重、难点：
重点：正确地区分角平分线的性质定理及逆定理的条件与结论.
难点：角平分线定理和逆定理的互用.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第49页下面的“思考”至例题之间的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：通过动手作图、观察、思考、论证、归纳得出结论.
（4）自学参考提纲：
①知识回顾：角平分线的性质定理是：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
这个定理的题设是一个点在一个角的平分线上，结论是这个点到这个角两边的距离相等，用几何语言表示：如右图，
∵OP平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE
②把角平分线的性质定理的题设与结论互换，就可以得到它的逆命题，试写出这个逆命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上用几何语言表示：如右图，
∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,
∴点P在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）,
③小组合作完成教材第49页的思考：
a.所建的集贸市场要符合哪些条件？
到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.
b.集贸市场应该建在什么位置？
画一画，并说明理由.
如图所示:P点即为所求，理由：P点在交叉口的角平分线上，所以P点到公路与铁路的距离相等.
c.实际距离500米能否转换成图上距离？写出计算过程.
，∴图上距离=0.025m=2.5cm.
能,∵图上距离/500m=1
20000
④结合上图自己写出角平分线性质定理的逆定理的证明过程.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：学生已经具备了一些几何概念定理学习方法，对于性质定理的逆命题，学生能很快得出来，但在语言表达上还存在一定问题；教材第49页的“思考”对于八年级的学生来说还存在一定的难度.
②差异指导：引导学生比较角平分线的性质定理和它的逆命题的题设与结论，认识它们的区别与联系，学会文字语言和几何语言的转换.
(2)生助生：生生间互助交流.
4.强化：
（1）进一步明确角平分线的性质定理和它的逆定理的题设与结论的互换关系，以及文字语言向几何语言的转换方法.
（2）角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“线段相等”之间的一种特殊关系.
这为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路.
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第50页例题.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学要求：思考辅助线的作用和为什么要这样作辅助线的道理.
（4）自学参考提纲：
研究例题，我知道了：
①推出PD=PE的依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
②“同理”这里省略的过程是∵CN是△ABC的角平分线，点P在CN上；
③推出PE=PF的依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
④推出PD=PE=PF的依据是等量代换；
⑤由点P在∠A的内部，且PD=PF可知，点P在∠A的平分线上，其依据是角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；
⑥归纳：三角形的三条角平分线交于一点，而且这一点到三角形三边的距离相等.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：看学生能否根据今天学习的内容很快完成例题的学习，看是否明白作辅助线的道理.
②差异指导：例题中隐含有两个重要结论：一是三角形三条中线交于一点；二是确定到三角形三边的距离相等的点的方法.对此部分学生理解上存在困难，注意分类指导.
(2)生助生：学生之间相互交流帮助.
4.强化：
（1）三角形三条角平分线交于一点.
（2）要在三角形的内部找到一点，使这一点到三角形的三边的距离都相等，这个点应如何确定？
作其中任意两角的平分线，交点即为所要找的点.
（3）教材第50页小练习.
练习1：作∠BOA的平分线交于MN于P即可.
练习2：证明：过P作PM⊥AC于M，过P作PN⊥BC于N，过P作PQ⊥AB于Q.
∵CE为∠MCN的平分线，∴PM=PN，
同理PN=PQ，∴点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
三、评价
1.学生的自我评价：学生之间交谈自己的学习收获和学习体会.
（1）表现性评价：对学生的学习态度、学习方法和成果进行点评.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
本课时教学思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，再要求学生开展活动——折纸，体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出进一步的猜想和开展新活动——尺规作图，从中猜想结论并思考证明的方法，整堂课以学生操作、探究、合作贯穿始终，并充分给学生思考留下足够的空间与时间，形成动手、合作、概括与解决问题的意识与能力.
一、基础巩固（第1、2、3题每题10分，第4、5题每题20分，共70分）
1.如右图，因为OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE. 依据是角的平分线的性质.
2.如右图，因为点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，所以OP平分∠AOB.即∠AOP=∠BOP.
3.要在三角形内部找到一点，使这一点到三角形三边的距离都相等，这个点是三角形的三条角平分线的交点.
4.如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（D）第4题图第5题图
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直平分AB交AB于E.若DE=12AD=1.5cm，则BC=（D）
二、综合应用（每小题10分，共20分）
6.如图，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点，求证：AP平分∠BAC.
证明：作PQ⊥BC,PM⊥AE,PN⊥AF,垂足分别为Q,M,N.
∵P点在∠CBE和∠BCF的平分线上，∴PM=PQ,PN=PQ,∴
PM=PN.
∵P是AP上的点，∴AP平分∠BAC.
7.如图,已知在△ABC中，∠C=90°,点D是斜边AB的中点，
AB=2BC，DE⊥AB交AC于E．
求证：DE=CE.
证明：点D是AB的中点，AB=2BC,∴BD=12AB=BC.∵DE⊥AB,∴∠BDE=∠C=90°,在Rt△BDE和Rt△BCE中，BE=BE,BD=BC，∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），∴DE=CE.
三、拓展延伸（10分）
8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．连接EF，EF与AD交于G，AD与EF垂直平分吗？证明你的结论．
解：AD垂直平分EF.证明如下：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠1=∠2,∠AED=∠AFD=90°,DE=DF.
∴△AED≌△AFD(AAS).
∴AE=AF,在△AEG和△AFG中，AE=AF,∠1=∠2,AG=AG,∴△AEG≌△AFG(SAS).∴∠AGE=∠AGF=90°,EG=FG.
∴AD⊥EF.
∴AD垂直平分EF.
§2.3 轴对称图形
【学习目标】
1、能够认识轴对称图形，并能找出对称轴
2、知道轴对称与轴对称图形的区别与联系
3、经历观察生活中的轴对称现象和轴对称图形，探索它们的共同特征的活动过程，发展空间观念。
4、欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富的文
化价值，培养学生的审美观
【学习重点】轴对称图形的概念及识别
【学习难点】轴轴对称与轴对称图形的区别和联系。
【学习过程】
（一）旧知复习
1、什么是轴对称？
2、成轴对称的图形有哪些性质？
（二）新知学习
1、问题：下列图片形状是怎么样的？它们有什么共同的特性？
这些图片的形状是：
它们的共同特征是：把图形沿着某一条直线，直线两旁的部分能够。
2、操作：
把一张纸对折，然后从折叠处剪出一个图形；
想一想：
把纸展开后会是什么样的图形？位于折痕两侧的图案有什么关系？它是否也具有上述图形的共同特征？
3、归纳
一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分，这样的图形叫做轴对称图形。
（三）合作探究
下列图形是否是轴对称图形，如果是，请找出它的所有的对称轴。
问题（1）、判断一个图案是否是轴对称图形的关键是
问题（2）、根据轴对称图形的定义，你觉得能否用对折的方法进行检验？
思考：正三角形有条对称轴正四边形有条对称轴
正五边形有条对称轴正六边形有条对称轴
圆有条对称轴
问题：一个轴对称图形的对称轴的条数是否只有一条？
例1小莹要制作一个风筝，为了放飞时能保持平衡，风筝应设计成轴对称图形，如图是她设计的对称轴左侧部分的图形，直线AE为对称轴。
（1）设点B、D关于AE的对称点分别为G、F，请将这幅风筝图形补充完整。
（2）ΔABC与ΔAGC全等吗？
（3）AE与∠BAG有什么关系？
（4）分别连接BF、DG，你发现它们的交点M与AE有什么位置关系？
（四）展示交流
1、下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一个
．．与其他三．个．不同？
这个图形是：（写出序号即可）
2、下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（）
3、如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形。
参考答案：1、④ 2、A 3、略
（五）回顾概括，反思不足
1、在我们身边的轴对称图形这一节中你学到了哪些知识？
2、在合作探究过程中你体会到了什么？
第2课时 角平分线的判定 1．掌握角平分线的判定定理．(重点) 2．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点) 一、情境导入 中新网和田2015年2月25日电，新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000) 二、合作探究 探究点一：角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定 如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是 ∠BAC 的平分线． 解析：先判定Rt △BDE 和Rt △CDF 全等，得出DE ＝DF ，再由角平分线的判定可知AD 是∠BAC 的平分线． 证明：∵DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED ＝∠CFD ，∴△BDE 与△CDF 是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵⎩ ⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ， BD ＝CD ， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴DE ＝DF ，∴AD 是∠BAC 的平分线． 方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上． 【类型二】 角平分线性质和判定的综合
如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE ＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；角平分线上的点到角的两边的距离相等，故③正确；∴④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等正确；①②③④都正确．故选D. 方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等． 【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题 如图，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线． 解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上证明． 证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠EAG的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线． 方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题． 探究点二：三角形的内角平分线 【类型一】利用角平分线的判定求角的度数 在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( ) A．110° B．120° C．130° D．140°
第2课时角平分线的判定 一、新课导入 1.导入课题： 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？这节课我们对这个问题进行探究. 2.学习目标： （1）能说出角平分线的性质的逆定理，并能给予证明. （2）能够熟练地运用角平分线的性质的逆定理解决一些相关的数学问题. 3.学习重、难点： 重点：正确地区分角平分线的性质定理及逆定理的条件与结论. 难点：角平分线定理和逆定理的互用. 二、分层学习 1.自学指导： （1）自学内容：教材第49页下面的“思考”至例题之间的内容. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：通过动手作图、观察、思考、论证、归纳得出结论. （4）自学参考提纲： ①知识回顾：角平分线的性质定理是：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 这个定理的题设是一个点在一个角的平分线上，结论是这个点到这个角两边的距离相等，用几何语言表示：如右图， ∵OP平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE
②把角平分线的性质定理的题设与结论互换，就可以得到它的逆命题，试写出这个逆命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上用几何语言表示：如右图， ∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）, ③小组合作完成教材第49页的思考： a.所建的集贸市场要符合哪些条件？ 到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m. b.集贸市场应该建在什么位置？ 画一画，并说明理由. 如图所示:P点即为所求，理由：P点在交叉口的角平分线上，所以P点到公路与铁路的距离相等. c.实际距离500米能否转换成图上距离？写出计算过程. ，∴图上距离=0.025m=2.5cm. 能,∵图上距离/500m=1 20000 ④结合上图自己写出角平分线性质定理的逆定理的证明过程. 2.自学：学生可结合自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生： ①明了学情：学生已经具备了一些几何概念定理学习方法，对于性质定理的逆命题，学生能很快得出来，但在语言表达上还存在一定问题；教材第49页的“思考”对于八年级的学生来说还存在一定的难度. ②差异指导：引导学生比较角平分线的性质定理和它的逆命题的题设与结论，认识它们的区别与联系，学会文字语言和几何语言的转换.
1．4角平分线的性质 1．理解并掌握角平分线的性质及判定；(重点) 2．能够对角平分线的性质及判定进行简单应用．(难点) 一、情境导入 在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等 【类型一】利用角平分线的性质求线段长 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC ＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE ⊥AB于E，假设AB＝7cm，那么△DBE的周长是____________． 解析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE ⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD ＝ED，AC＝AE＝BC，继而可得△DBE的周长为DE＋BD＋BE＝CD＋BD＋BE＝BC ＋BE＝AE＋BE＝AB.故答案为7cm. 方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 【类型二】利用角平分线的性质求面积 如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC且交BC的延长线于点F.假设AB＝18cm，BC＝12cm，DE cm，求△ABC 的面积． 解析：根据角平分线的性质得到DE＝DF，再将△ABC分成△BCD和△ADB两个三角形，分别求出它们的面积再求和．解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF ⊥BF，∴DE＝DF.∵S△ABC＝S△BCD＋S△ABD ＝ 1 2BC·DF＋ 1 2AB·DE＝ 1 2(BC＋AB)·DE＝ 1 2×30×＝36(cm2)． 方法总结：如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性质，求这几个三角形面积的和． 【类型三】利用角平分线的性质进行证明 如图，∠1＝∠2，P为BN上一点且PD⊥BC于D，AB＋BC＝2BD，求证：∠BAP ＋∠BCP＝180°. 解析：过点P作PE⊥BA，根据条件得Rt△BPE≌Rt BPD，再根据AB＋BC＝2BD 得AE＝CD，可证Rt△APE和Rt PDC，可得∠PCD＝∠P AE，根据邻补角互补可得∠BAP＋∠BCP＝180°. 证明：过P作PE⊥AB，交BA的延长线于E.∵PD⊥BC，∠1＝∠2，∴PE＝PD， 在Rt△BPE和Rt△BPD中， ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧PE＝PD， BP＝BP， ∴ Rt△BPE≌Rt△BPD(HL)，∴BE＝BD.∵AB ＋BC＝2BD，BC＝CD＋BD，AB＝BE－AE，∴AE＝CD.∵PE⊥BE，PD⊥BC，∴∠PEA ＝∠PDC＝90°.在△PEA和△PDC中，
教学过程设计
角平分线的判定定理的应用： 多媒体展示： 〔1〕现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明， 问他们的做法正确？那一种方法好？ ：， CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ，AC=BC 求证： OC 平分∠AOB B A O C 证法1：∵CA ⊥OA ，BC ⊥OB ∴∠A=∠B 在△AOC 和△BOC 中 ⎩⎨⎧==BC AC OC OC ∴△AOC ≌△BOC 〔HL 〕 ∴∠AOC=∠BOC ∴OC 平分∠AOB 证法2：∵ CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ， AC=BC ∴OC 平分∠AOB 〔角平分线判定定理〕 〔2〕：如图，AD 、BE 是△ABC 的两个角平分线，AD 、BE 相交于O 点 求证：O 在∠C 的平分线上 三、课堂训练 多媒体展示：、 1.如图，DB ⊥AN 于B ，交AE 于点O ，OC ⊥AM 于点C ，且OB=OC ，假设∠OAB =25°，求∠ADB 的度数. 想及证明，归纳角平分线的判定定理。 学生明确在一定条件下，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出， 可直接运用角平分 线判定定理。 教师引导学生分析， 思考，写出证明过程。 教师标准书写格式。 学生应用角的平分线判定定理解题。 概括能力。 使学生明确角平分线判定定理的作用。 稳固角的平分线的性质与判定的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。 稳固本节所学。 B D M C N E A G
板 书 设 计 2.如图，AB =AC ，DE ⊥AB 于E ， DF ⊥AC 于F ，且DE =DF . 求证：BD =DC 四、小结归纳 1.角平分线判定定理及期作用； 2.在一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。 3.三角形三个内角平分线交于一点，到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点。 五、作业设计 1.教材习题11.3第3、4题； 2.补充作业： 如图，ABC ∆的外角∠CBD 、∠BCE 的平分线相交于点F 。 求证：(1) ∠BFC =A ∠-︒2 190； (2) 点F 在∠DAE 的平分线上. 学生总结所学知识，谈谈判定定理的用途。 及时小结形成知识块。 课题 11.3 角的平分线的判定 一、证明几何命题的步骤： 例题分析 二、角的平分线的判定定理： 三、角的平分线的判定定理的作用： 教 学 反 思
11．1.2三角形的高、中线与角平分线 1．掌握三角形的高、中线和角平分线的定义，并能够对其进行简单的应用．(重点) 2．能够准确的画出三角形的高、中线和角平分线．(难点) 一、情境导入 这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？本节我们一起来解决这个问题． 二、合作探究 探究点一：三角形的高 【类型一】三角形高的画法 画△ABC的边AB上的高，以下画法中，正确的选项是( ) 解析：三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知． 解：过点C作边AB的垂线段，即画AB边上的高CD，所以画法正确的选项是D.应选D. 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． 【类型二】根据三角形的面积求高
如下图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC 于点D ，且AD ＝4，假设点P 在 边AC 上移动，那么BP 的最小值为________． 解析：根据垂线段最短，可知当BP ⊥AC 时，BP 有最小值．由△ABC 的面积公式可知1 2AD ·BC ＝12BP ·AC ，解得BP ＝245 . 方法总结：解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，这种解题方法通常称为“面积法〞． 探究点二：三角形的中线 【类型一】 应用三角形的中线求线段的长 在△ABC 中，AC ＝5cm ，AD 是△ABC 的中线，假设△ABD 的周长比△ADC 的周长大 2cm ，那么BA ＝________. 解析：如图，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∴△ABD 的周长－△ADC 的周长＝(BA ＋BD ＋AD )－(AC ＋AD ＋CD )＝BA －AC ，∴BA －5＝2，∴BA ＝7cm. 方法总结：通过此题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差． 【类型二】 利用中线解决三角形的面积问题 如图，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ ADF 和△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF 和S △BEF ，且S △ABC ＝12，那么S △ADF －S △BEF ＝________． 解析：∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝12AC .∵S △ABC ＝12，∴S △ABD ＝12S △ABC ＝1 2 ×12＝6.∵EC ＝2BE ，
逆命题与逆定理 角平分线 教学目的：角平分线定理及逆命题的应用 重点与难点：角平分线定理及逆命题的应用 教学过程： 回 忆 我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相 等．角平分线的这条性质是怎样得到的呢？ 如图19．4．4，OC 是∠AOB 的平分线，点P 是OC 上任意一点，PD ⊥OA ， PE ⊥OB ，垂足分别为点D 和点E ．当 时是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线OC 对折， 通过观察，线段PD 和PE 完全重合．于是得到PD ＝PE ． 与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法加以证明.图中有两个直角三角形△PDO 和△PEO ，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD ＝PE ． 于是就有定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 此定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相 等的点在这个角的平分线上〞，这个命题是否是真 命题呢？即到一个角的两边的距离相等的点是否 一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证 明〞来解答这个问题． ： 如图19．4．5，QD ⊥OA ， QE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，QD ＝QE ． 求证： 点Q 在∠AOB 的平分线上． 分析： 为了证明点Q 在∠AOB 的平分线上， 可以作射线OQ ，然后证明Rt △DOQ ≌Rt △EOQ ，从而得到∠AOQ ＝∠BOQ ． 于是就有定理： 图19.4.4 图19.4.5
到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 上述两条定理互为逆定理，根据上述这两条定理，我们很容易证明：三角形三条角平分线交于一点． 从图19．4．6中可以看出，要证明三条角平分 线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点 一定在第三条角平分线上就可以了． 请你完成证明． 图19.4.6 课堂练习： 1．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等． （第1题）（第2题） 2．如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 课堂小结：总结一下你所学过的知识 平行四边形的性质 总体说明 〔1〕本节的主要内容包含平行四边形的性质。教学中可以通过让学生举实际生活中的例子，以加深学生对平行四边形的认识。 〔2〕教学中应引导学生通过操作与探索，发现平行四边形是中心对称图形，在此根底上认识平行四边形的性质。 〔3〕探索平行四边形的性质，熟练的运用平行四边形的性质解决问题。
角的平分线的性质 课题12.3角的平分线的性质（第二课时）教科书第49——50页相关内容 教学目标1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理. 2．会用角平分线性质定理的逆定理解决问题． 重点角平分线性质定理的逆定理及应用. 难点灵活应用两个性质解决问题． 使用 多媒 体 多媒体课件 教学过程教师活动学生活动说明或 设计意 图 复习旧知，导入新课1．角的平分线的性质定理是怎样叙述 的？ 2．用数学语言怎样描述？ 师作出草图帮助理解． ３．反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如右图（１）,PD⊥OA，PE⊥ OB，点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上． 这节课我们就来探究这个问题. 出示课题并板书课题. 1.集体回答： 角的平分线的性质定理：角的平分线 上的点到角的两边的距离相等。 ２．看图说出数学语言： ∵ OC平分∠AOB，点P在OC上， 且PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ PD = PE ３．讨论，证明． 图（１） 1．如上右图（１），点P是否在∠AOB 的平分线上呢？ 首先我们要作出辅助线，怎么做呢？ 怎样证明呢？ 教师巡视，引导证明． 1．前后桌同学讨论．并试着给出证明． 证明: 经过点P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中 PO＝PO， PD=PE， ∴ Rt△PDO≌R t△PEO（HL） P
合作探究，解决问题通过证明，你得到什么结论？ 这就是角的平分线的性质定理的逆定理， 也叫做角的平分线的判定定理． 这个定理用数学语言如何表示呢？ ２．角的平分线的性质定理与判定定理有 什么区别呢？ 出示课件加以说明． 老师点拨． ３．随堂练习． 填空：如右图（２） (1)∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB ∴___________ (__________________________) (２)∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴__________ (______________________________) ４．解决问题：（课本第49页思考题） 如下图（3），要在S区建一个贸易市场， 使它到铁路和公路距离相等，离公路与 铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在 何处？（比例尺为1︰20000） 图（3） 5.教学例1：已知：如右图（5）,在△ABC 中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC， 垂足分别是E，F，且BE＝CF。 ∴∠ POD＝∠POE， ∴点P在∠AOB的平分线上. 即：OC平分∠AOB 结论：角的内部到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上。 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE． ∴OP平分∠AOB． 即点P在∠AOB的平分线上. ２．通过老师的点拨，得出：它们的 题设与结论刚好相反，是一对互逆定 理，它们在应用上也不相同，角的平 分线的性质可用来证明线段相等；而 角的平分线的判定定理是用来判定角 的平分线． ３．看图回答问题． 图（２） ４．动手试一试，解决问题. 解：如下图（4），作夹角的角平分线 OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。 s O A C D E B 1 2 s D
第2课时角的平分线的判定 【知识与技能】 1.掌握角的平分线的判定. 2.会利用三角形角平分线的性质. 【过程与方法】 通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力. 【情感态度】 锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值. 【教学重点】 角平分线的判定. 【教学难点】 三角形的内角平分线的应用. 一、情境导入，初步认识 问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 【教学说明】如图所示，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，那么能否得到点P在∠AOB的角平分线上呢？事实上，在Rt△OPD和Rt△OPE中，我们利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP，即点P在∠AOB的角平分线上. 二、思考探究，获取新知 三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢？ 例1 如图O是△ABC内的一点，且O到三边AB、BC、CA 的距离OF=OD=OE.若∠A=70°,求∠BOC的度数. 【分析】由OD=OE=OF,且OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB知，O是△ABC的三角平分线的交点，所以∠1=∠2、∠3=∠4.要求∠BOC的度数，只要求出∠1+∠3的度数，即只要求出2（∠1+∠3）=∠ABC+∠ACB 的度数即可，在△ABC中，运用三角形的内角和定理，即可得出∠BOC的度数.
解:∵OF ⊥AB,OD ⊥BC,且OF=OD, ∴BO 平分∠ABC,即∠1=∠2,同理可得∠3=∠4. ∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-1 2 (180°-∠A)=90°+ 1 2 ∠A=125°. 【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性质. 例2如图①,D 、E 、F 是△ABC 的三条边上的点，且CE=BF,S △DCE =S △DBF ，求证：AD 平分∠BAC. 【分析】由已知条件可知△DCE 和△DBF 的两底CE=BF,且它们 的面积相等，所以这两底上的高应该相等.因此过点D 作DM ⊥ AB,DN ⊥AC,垂足分别为M 和N ，则DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD 平分∠BAC. 【证明】如图②，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于 点N. ∵S △DCE =S △DBF ,即 12CE ·DN=1 2 BF ·DM. 又∵CE=BF,∴DN=DM,∴点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC. 例3 如图所示，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°,D 是 AC 上一点，且AE ⊥BD 并交BD 的延长线于点E ，又AE=1 2 BD.求证：BD 是∠ABC 的平分线. 【分析】要证明BD 是∠ABC 的平分线，即证明∠1=∠2,可构造全等三角形，延长AE 、BC 交于F ，根据条件证明△ABE ≌△FBE 即可. 【证明】延长AE 、BC 交于点F. ∵AE ⊥BD,∠ACB=90°, ∴∠2+∠F=∠FAC+∠F=90°, 即∠2=∠FAC. 在△BDC 与△AFC 中， 290FAC BC AC BCD ACF ∠=∠=∠=∠=︒⎧⎪ ⎨⎪⎩ ,
12.3 角的平分线的性质〔2〕〔杨香胜〕 一、教学目的 〔一〕学习目的 1.理解角的平分线的断定定理； 2.理解角平分线性质和断定的区别与联络； 3.会利用角的平分线的断定进展证明与计算. 〔二〕学习重点 角平分线的断定及其应用. 〔三〕学习难点 灵敏应用角平分线的性质和断定解决问题. 二、教学设计 〔一〕课前设计 1.预习任务 〔1〕角平分线的断定定理：角的内部到角两边的间隔相等的点在角平分线上〔2〕角平分线断定定理的符号语言： ∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2〔OP平分∠MON〕 2.预习自测 〔1〕到角的两边间隔相等的点在上. 〔2〕到三角形三边的间隔相等的点是三角形〔〕 A.三条边上的高线的交点 B. 三个内角平分线的交点 C.三条边上的中线的交点 D.以上结论都不对 〔3〕在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC，BC=5cm,BD=3cm,那么D到AB的间隔是 ________，∠B=40°，那么∠CDA= . 预习自测答案：〔1〕角平分线〔2〕B 〔3〕2cm，65° (二)课堂设计 1.知识回忆 〔1〕角的平分线性质定理的内容是什么？其中题设、结论是什么？ [生] 角的平分线上的点到角的两边的间隔相等；题设是一个点在角平分线上，
结论是这个点到角两边的间隔相等. 〔2〕角平分线性质定理的作用是证明什么？ [生]证明垂线段相等 〔3〕填空如图： ∵OC平分∠AOB， OA⊥AC,OB⊥BC . ∴AC=BC〔角平分线性质定理〕 2. 问题探究 探究一角平分线的断定 ●活动①〔回忆旧知，回忆类活动〕 把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？猜测：它正确吗？由学生抢答，然后师生归纳：到角两边间隔相等的点在角平分线上；它是正确的. 【设计意图】由性质到断定强化二者的关系 ●活动②证明上面的猜测 学生根据猜测写出、求证，并画图，而后独立写出证明过程. 展示学生的学习成果： ： OM⊥PA于A，ON⊥PB于B，AP=BP 求证： OC平分∠MON 证明：∵PA⊥OM，BP⊥ON ∴∠OAP=∠OBP=90° 在Rt△AOP和Rt△BOP中 ∴Rt△AOP≌Rt△BOP〔HL〕 ∴∠1=∠2 ∴OC平分∠MON 【设计意图】进一步稳固全等三角形的断定. ●活动③ 归纳角平分线的断定定理：到一角的两边的间隔相等的点，在这个角的平分线上. ∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2〔OP平分∠MON〕
三角形的高、中线与角平分线 一、新课导入 1.导入课题： 在与三角形有关的线段中, 除了它的三边外, 还有它的高、中线和角平分线, 这节课我们来学习三角形的高, 中线和角平分线的意义、作法和发现的规律性结论. 2.学习目标： (1)了解三角形的高、中线和角平分线的意义. (2)会画出三角形的高、中线和角平分线. (3)结合图形写出三种线段分别得到的相应结论. 3.学习重、难点： 重点：三角形的高、中线和角平分线的意义和画法. 难点：结合三角形高、中线和角平分线的定义探索相应的规律结论. 二、分层学习 1.自学指导： 〔1〕自学内容：教材第4页《11.1.2 三角形的高、中线与角平分线》的第1自然段. 〔2〕自学时间：6分钟. 〔3〕自学要求：认真阅读课本的内容, 划出你认为是重点的语句. 〔4〕自学参考提纲： ①表述出什么是三角形的高？ 从三角形的一个顶点向它的对边作垂线, 所得线段叫做三角形的高.
②如图1, ∵AD是△ABC的高, ∴AD⊥BC于点D〔或∠ADB=∠ADC=90°〕. 反之, ∵AD⊥BC于点D〔或∠ADB=∠ADC=90°〕, ∴AD是△ABC中BC边上的高. ③请画出以下三角形三边上的高, 并说说你有什么发现？ 发现：三角形的高可以在三角形内, 也可以在三角形边上, 还可以在三角形外. 2.自学：同学们可结合自学指导进行自学. 3.助学： (1)师助生： ①明了学情：三角形的高, 这局部知识实际上是探讨线与线之间的位置关系, 学生会作锐角三角形的高, 但直角三角形、钝角三角形三边上的高线, 学生容易混淆, 所以应跟踪学情点拨引导. ②差异指导：引导学生找准要作哪条边上的高, 及掌握直角三角板的两条直角边的用法. 〔2〕生助生：学生互助交流不同类别三角形的高的画法. 4.强化： 〔1〕强调三角形的高线是一条线段. 〔2〕作三角形高的方法. 〔3〕练习：如图, 写出以AE为高的三角形. 解：△ABE, △ABD,△ABC,△AED,△AEC,△ADC. 1.自学指导： 〔1〕自学内容：教材第4页《11.1.2 三角形的高、中线与角平分线》的第2自然段到第5页的第1自然段. 〔2〕自学时间：6分钟.
16.3 角的平分线 学习目标： 1.理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理.〔难点〕 证明相关结论并应用.(重点〕 3.能利用尺规作出一个角的角平分线. 学习重点：角平分线的性质定理及其逆定理. 学习难点：角平分线的性质定理及其逆定理的应用. 自主学习 一、知识链接 1.角是轴对称图形吗？你能确定角的对称轴吗？试着在以下图中画出∠ABC的对称轴. 二、新知预习 2.在一张半透明的纸上画出一个角〔∠AOB〕，将纸对折，使得这个角的两边重合，从中你能得什么结论？ 答：________________________________________________________________________. 3.按照以下图所示的过程，将你画出的∠AOB，依照上述方法对折后；设折痕为直线OC；再折纸，设折痕为直线n，直线n与边OA，OB分别交于点D，E，与折线OC交于点P；将纸展开平铺后，猜测线段PD与线段PE，线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系，并说明理由. 猜测：_____________________________________________. 得出结论：__________________________________________________. 下面我们就来证明折纸过程中发现的结论： ：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 证明：在△______和△______中， ∵__________________________________________________, ∴△______≌△______.
教学过程 一、复习预习 角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
二、知识讲解 考点1尺规作图画角平分线 （1）、以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。 （2）、分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。（3）、画射线OC。射线OC即为所求.
考点2 角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF ＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；
考点3 角平分线性质定理的逆定理： 角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系 .
考点4 关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么： ①AP、BQ、CR相交于一点I； ②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.
角平分线的性质 教学内容 本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理． 教学目标 1．知识与技能 通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理． 2．过程与方法 经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法． 3．情感、态度与价值观 激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力． 重点难点 1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理． 2．难点：两个互逆定理的实际应用． 教具准备 投影仪、制作如课本图11．3─1的教具． 教学方法 采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理． 教学过程 一、创设情境，导入新课 【问题探究】（投影显示） 如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，将 点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗？ 【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1•）直观地进行讲述，提出探究的问题． 【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理． 【教师活动】 请同学们和老师一起完成下面的作图问题． 操作观察： 已知：∠AOB ． 求法：∠AOB 的平分线． 作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA 于M ，交OB 于N ．（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC•即为所求（课本图11．3─2）． 12
【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知． 【媒体使用】投影显示学生的“画图”． 【教学形式】小组合作交流． 二、随堂练习，巩固深化 课本P19练习． 【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD 与直线AB 是互相垂直的． 【探研时空】（投影显示） 如课本图，将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生． 【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等．” 论证如下： 已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E （课本图11．3─4） 求证：PD=PE ． 证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO 和△PEO 中， ∴△PDO ≌△PEO （AAS ） ∴PD=PE 【归纳如下】 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流． 三、情境合一，优化思维 【问题思索】（投影显示） 如课本图11．3─5，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？ 【学生活动】四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪= ⎩
教学过程 一、复习预习 “用直尺和圆规三等分任意角是世界三大几何作图不能问题之一”，2000多年来吸引了无数的数学爱好者为此探索和努力！古希腊数学家阿基米德就设计出了一个巧妙的三等分角的方法：在直尺边缘上添加一点P ，命尺端为O （如图①）；设所要三等分的角是∠MCN ，以C 为圆心，OP 为半径作半圆交给定角的两边CM 、CN 于A 、B 两点；移动直尺，使直尺上的O 点在AC 的延长线上移动，P 点在圆周上移动，当直尺正好通过B 点时，连OPB ，则有∠
AOB =13∠MCN ．这种方法由于在直尺上 作了一个记号，不符合尺规作图中直尺只 能用来连线的规定，因此还不能算是严格 意义上的尺规作图．聪明的你能利用已经 学过的知识，证明这个原理么？ 证明：∵OP =PC =BC ，∴∠O =∠PCO ，∠A =∠2，设∠O =∠PCO =x ，∴∠O +∠PCO =∠1=∠2=2x ，∴∠3=∠O +∠2=3x ，∴∠AOB =13∠MCN ． 二、知识讲解 1.角平分线的画法 （1）已知∠AOB ，求作∠AOB 的角平分线： ①以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N 。 ②分别以M ，N 为圆心，以大于 12 MN 长为半径作弧，在∠AOB 的内部两弧交于点C 。 ③过O 、C 两点作射线OC ，射线OC 就是所求角的角平分线。 2．角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 （2）角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上。 3．三角形的角平分线的性质 （1）三角形的三个内角角平分线交于一点，这点到三边的距离相等。 （2）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这点到三边所在的直线的距离相等。 （3）三角形外角平分线交点共有三个，所以到三角形三边所在直线距离相等的点有4个。 考点/易错点1 角平分线是一种对称模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线； 2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形； 3．截取OA =OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍。
九年级数学上册第一章《4-角平分线（二）》教案 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。 二、教学任务分析 本节课的教学目标是： 1．知识目标： （1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论． （2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用． 2．能力目标： （1）进一步发展学生的推理证明意识和能力． （2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力． （3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力． 3．情感与价值观要求 ①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 4．教学重点、难点 重点 ①三角形三个内角的平分线的性质． ②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题． 难点
角平分线的性质定理和判定定理的综合应用． 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境问题，搭建探究平台；第二环节：展示思维过程，构建探究平台；第三环节：例题讲解；第四环节：课时小结;第五环节：课后作业。 第一环节：设置情境问题，搭建探究平台 问题l 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？ 于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”． 当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。 第二环节：展示思维过程，构建探究平台 已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P， 证明：P点在∠BAC的角平分线上． 证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足． ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)． 同理：PE=PF． ∴PD=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这
三角形的高、中线与角平分线 【知识与技能】 1.掌握三角形的高、中线与角平分线定义. 2.会画三角形的高、中线与角平分线. 3.掌握三角形的三条高线、三条中线与三条角平分线的有关性质. 【过程与方法】 对学生进行操作训练，边训练边讲解，然后学以致用. 【情感态度】 训练同学们动手操作的能力，提高学习兴趣. 【教学重点】 画三角形的高线、中线与角平分线. 【教学难点】 画钝角三角形的高线. 一、情境导入，初步认识 问题1 如图，△ABC，画它的三条高. 问题2 如图，△ABC，画它的三条中线. 问题3如图，△ABC，画它的三条角平分线. 【教学说明】对问题1，对于钝角三角形的作高要给予集体指导、分类指导，甚至要进行个别指导，以便让绝大局部同学过关.教师讲课前，先让学生完成“自主预习〞. 二、思考探究，获取新知 思考 1.锐角三角形的三条高、直角三角形的三条高、钝角三角形的三条高的位置有何不同之处？ 2.三角形的三条高、三条中线、三条角平分线各自有怎样的位置关系？ 3.三角形的角平分线与角的平分线有什么区别和联系？ 【归纳结论】1.定义： 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边所在的直线作垂线，所得的垂线段叫做三角形的一条高. 三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的一
条中线. 三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与对边相交；以这个顶点和交点为端点的线段叫做三角形的角平分线. 2.三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点有时在形内，有时在直角顶点上，有时在形外；三角形的三条中线交于一点；三角形的三条角平分线交于一点. 3.三角形的角平分线与角的平分线的区别是：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线；它们的联系是都是平分角. 三、运用新知，深化理解 1.如图，AD 是△ABC 的中线；BE 是△ABC 的角平分线，CF 是△ABC 的高，填空： 〔1〕BD= =21 ； 〔2〕∠ABE=∠ =21∠ ； 〔3〕∠ =∠ =90°. 2.如图，△ABC 中，∠A 是钝角. 〔1〕画出AC 、AB 上的高BD 、CE ； 〔2〕画出∠ABC 的平分线BF ； 〔3〕画出边AB 上的中线CG. 3.，如图，AB ⊥BD 于B ，AC ⊥CD 于C ，且AC 与BD 交于点E.那么〔1〕△ADE 的边DE 上的高为，边AE 上的高为 ；〔2〕假设AE=5，DE=2，CD=5 9，那么AB= . 4.如下列图，等腰△ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成15和6两局部，求这个三角形的腰长及底边长. “三角形的高、中线与角平分线〞后，我们知道“三角形的一条中线将原三角形分成两种相等的两局部〞.课后余老师给同学们布置了这样一道思考题：有一块三角形的厚薄均匀的蛋糕，要平均分给6个小朋友，要求只切3刀，请你在图中把你的方案画出来，并说明理由. 【教学说明】题1、2、3可让学生自主完成，题4、5教师可给予相应的指
13.5 逆命题与互逆定理 3.角平分线 学习目标： 1.理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理.〔重点〕 2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论并应用.〔难点〕 自主学习 一、知识链接 我们知道角是轴对称图形，它的对称轴就是角平分线所在的直线，试着在以下列图中画出∠ABC的对称轴BD. 二、新知预习 在上图的BD上取一点H，点H在∠ABC的内部，作HE⊥AB，HF⊥BC，求证：HE=HF. 合作探究 一、探究过程 探究点1：角平分线的性质定理 问题根据上述的作图及证明，你认为过角平分线上一点向角的两边作垂线，这两条垂线有什么关系？ 【要点归纳】角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离___ . 例1如图，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF． 例2如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，那么AC 的长是( ) A．6 B．5 C．4 D．3 【方法总结】利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法． 【针对训练】如图，OP是∠MON的平分线，点A是ON上一 点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON 交OP于点C，连接BC，AB＝10cm，CA＝4cm．那么△OBC的 面积为cm2． 探究点2：角平分线的性质定理的逆定理
问题写出角平分线性质定理的逆命题，它是真命题还是假命题？ 【要点归纳】角平分线的性质定理的逆定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的上. 例3如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC 的平分线． 【方法总结】证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是利用角平分线的性质定理的逆定理． 【针对训练】 如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．〔提示：作辅助线如以下列图〕 二、课堂小结 内容 角平分线的性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 如果点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB 于点E，那么PD＝________． 角平分线性质定理的逆定理角的内部到角的两边距离________的点在角的平分线上． 如果点P为∠AOB内一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD＝PE，那么点P在∠AOB的平分线上.