新人教八年级上册第十二章第2课时角的平分线的判定
【知识与技能】
1.掌握角的平分线的判定.
2.会利用三角形角平分线的性质.
【过程与方法】
通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力.
【情感态度】
锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.
【教学重点】
角平分线的判定.
【教学难点】
三角形的内角平分线的应用.
一、情境导入，初步认识
问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
【教学说明】如图所示，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，
PD=PE，那么能否得到点P在∠AOB的角平分线上呢？事实上，在Rt△OPD和Rt△OPE中，我们利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP，即点P在∠AOB的角平分线上.
二、思考探究，获取新知
三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢？
例1 如图O是△ABC内的一点，且O到三边AB、BC、
CA的距离OF=OD=OE.若∠A=70°,求∠BOC的度数.
【分析】由OD=OE=OF,且OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB
知，O是△ABC的三角平分线的交点，所以∠1=∠2、∠3=∠4.要求∠BOC的度数，只要求出∠1+∠3的度数，即只要求出2（∠1+∠3）=∠ABC+∠ACB的度
数即可，在△ABC 中，运用三角形的内角和定理，即可得出∠BOC 的度数.
解:∵OF ⊥AB,OD ⊥BC,且OF=OD,
∴BO 平分∠ABC,即∠1=∠2,同理可得∠3=∠4.
∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-
12(∠ABC+∠ACB)=180°-12
(180°-∠A)=90°+12∠A=125°. 【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性质.
例2如图①,D 、E 、F 是△ABC 的三条边上的点，且CE=BF,S
△DCE =S △DBF ，求证：AD 平分∠BAC.
【分析】由已知条件可知△DCE 和△DBF 的两底CE=BF,且它
们的面积相等，所以这两底上的高应该相等.因此过点D 作DM ⊥AB,DN ⊥AC,垂足分别为M 和N ，则DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD 平分∠BAC.
【证明】如图②，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC
于点N.
∵S △DCE =S △DBF ,即12CE ·DN=12
BF ·DM. 又∵CE=BF,∴DN=DM,∴点D 在∠BAC 的平分线上，即
AD 平分∠BAC.
例3 如图所示，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°,D
是AC 上一点，且AE ⊥BD 并交BD 的延长线于点E ，又AE=
12
BD.求证：BD 是∠ABC 的平分线.
【分析】要证明BD 是∠ABC 的平分线，即证明∠1=∠2,可构造全等三角形，延长AE 、BC 交于F ，根据条件证明△ABE ≌△FBE 即可.
【证明】延长AE 、BC 交于点F.
∵AE ⊥BD,∠ACB=90°,
∴∠2+∠F=∠FAC+∠F=90°,
即∠2=∠FAC.
在△BDC 与△AFC 中，
290FAC BC AC
BCD ACF ∠=∠=∠=∠=︒⎧⎪⎨⎪⎩
, ∴△BDC ≌△AFC(ASA),
∴BD=AF.
又∵AE=12BD,∴AE=12
AF, ∴AE=EF.
在△ABE 和△FBE 中，
90AE EF AEB FEB BE BE =∠=∠=︒=⎧⎪⎨⎪⎩
,
∴△ABE ≌△FBE(SAS).∴∠1=∠2.
即BD 是∠ABC 的平分线.
例4 (青海西宁中考)八年级（1）班同学上数学活动课，利
用角尺平分一个角（如图所示），设计了如下方案：
方案一：∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点P 置于
射线OA,OB 之间.移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN,过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线.
方案二：∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P 介于射线OA ，OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M ，N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线.
（1）方案一、方案二是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；
（2）方案一中，在PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使PM ⊥OA,PN ⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.
解：（1）方案一不可行，理由:缺少三角形全等的条件.方案二可行.
证明：在△OPM 和△OPN 中，
,,,PM PN OP OP OM ON ===⎧⎪⎨⎪⎩
∴△OPM ≌△
OPN(SSS).
∴∠AOP=∠BOP.
∴OP是∠AOB的平分线.
（2）此方案可行.理由：∵PM=PN,且PM⊥OA,PN⊥OB,∴P在∠AOB的角平分线上，∴OP是∠AOB的平分线.
三、运用新知，深化理解
1.如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF=________.
第1题图第2题图
2.如图，以△ABC的两边AB,AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE,CD交于点O，求证：OA平分∠DOE.
【答案】1.150°
2.证明：过点A分别作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N.
∵△ABD、△ACE是等边三角形，
∴AD=AB,AE=AC,
∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE,
∴△DAC≌△BAE，
∴DC=BE,
=S△BAE,
又∵S
△DAC
∴AM=AN.
又∵AM⊥DC,AN⊥BE,
∴OA平分∠DOE.
四、师生互动，课堂小结
1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个，且一定在三角形的内部.
2.证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点也在第三条直线上.
3.在三角形内部，要找一点到三边距离相等时，只要作出两个角的角平分线，其交点即是.
4.角平分线的判定与性质的关系：由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的，即在三角形内，到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.
1.布置作业：从教材“习题1
2.3”中选取部分题.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学应重视以下几点；
1.努力体现数学与生活的联系，从实际中学习新知，使学生认识这种学习方法.
2.课堂中，可采用口答、动手做做等方式组织学生比赛，教师依据具体情形予以点评指点，查漏补缺，使学生全方位从本质上理解知识.
《角平分线的性质》教案 ——人教版《数学》八年级上册 辛集市南智邱中学 魏茹冰
．比例尺为1：20000是什么意思？ ．集贸市场建于何处，和学过的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？
已知条件符合直角三角形全等的条件，所以Rt△QDO≌
师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线 PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN 、∠C的平分线，?根据角平分线性质
《角平分线的性质》教学反思第二课时本节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级上册12.3角平分线的性质的第二课时。角平分线是初中数中重要的概念，它有着十分重要的性质，通过本节的学习，可以让学生对全等三角形的判定和性质的应用价值有更深层次的认识，同时为学习其它图形知识打好基础。 教学过程方面的反思： 首先，重视情境创设，让学生经历求知过程。问题在生活中产生，在整堂课中，我创设情景使数学问题生活化，生活问题数学化，这样使学生在数学活动的情景中去发现问题为了解决角平分线的性质这一难点，我通过具体实践操作、猜想证明、语言转换让学生感受知识的连贯性。 其次，八年级学生有一定的自学、探索能力，求知欲强。考虑到学生在之前已经对角平分线定理已有了一定的接触，有了一定的知识基础，所以我先采用了“先做后教”的方法，采用数学建模的方式，由实际情境提出问题——建立数学模型——探究结果——实际检验；并设计了三个连贯的实际问题，力图让学生学会“建立数学模型—严密论证—问题解决”的方法。 再次，这节课的学习，我主要采用了体验探究的教学方式，即通过“问题——思考——交流——总结”这种模式，为学生提供了亲自操作的机会，引导学生运用已有经验、知识、方法去探索与发现等式的性质，使学生直接参与教学活动，学生在动手操作中对抽象的数学定理获取感性的认识，进而通过教师的引导加工上升为理性认识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，同时让学生学到获取知识的思想和方法，体会在解决问题
§12．3 角的平分线的性质（二） 教学目标 （一）教学知识点：角的平分线的性质 （二）能力训练要求 1．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题． （三）情感与价值观要求 通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣． 教学重点：角平分线的性质及其应用． 教学难点：灵活应用两个性质解决问题． 教学方法：探索、归纳的方法． 教学过程 一．创设情境，引入新课 [师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？ 二．导入新课 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论． 操作： 1．折出如图所示的折痕PD、PE． 2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求． 画一画： 按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？ 拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的．
问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？ 问题2：（出示投影片） 能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表： 学生通过讨论作出下列概括： 已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足． 由已知事项推出的事项：PD=PE． 【师】如何证明？请同学们试一试。 证明：略（详见课本P49页）。 于是我们得角的平分线的性质： 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等． [师]那么，在角的内部到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影） 问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
新人教八年级上册第十二章第2课时角的平分线的判定 【知识与技能】 1.掌握角的平分线的判定. 2.会利用三角形角平分线的性质. 【过程与方法】 通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力. 【情感态度】 锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值. 【教学重点】 角平分线的判定. 【教学难点】 三角形的内角平分线的应用. 一、情境导入，初步认识 问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 【教学说明】如图所示，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E， PD=PE，那么能否得到点P在∠AOB的角平分线上呢？事实上，在Rt△OPD和Rt△OPE中，我们利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP，即点P在∠AOB的角平分线上. 二、思考探究，获取新知 三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢？ 例1 如图O是△ABC内的一点，且O到三边AB、BC、 CA的距离OF=OD=OE.若∠A=70°,求∠BOC的度数. 【分析】由OD=OE=OF,且OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB 知，O是△ABC的三角平分线的交点，所以∠1=∠2、∠3=∠4.要求∠BOC的度数，只要求出∠1+∠3的度数，即只要求出2（∠1+∠3）=∠ABC+∠ACB的度
数即可，在△ABC 中，运用三角形的内角和定理，即可得出∠BOC 的度数. 解:∵OF ⊥AB,OD ⊥BC,且OF=OD, ∴BO 平分∠ABC,即∠1=∠2,同理可得∠3=∠4. ∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°- 12(∠ABC+∠ACB)=180°-12 (180°-∠A)=90°+12∠A=125°. 【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性质. 例2如图①,D 、E 、F 是△ABC 的三条边上的点，且CE=BF,S △DCE =S △DBF ，求证：AD 平分∠BAC. 【分析】由已知条件可知△DCE 和△DBF 的两底CE=BF,且它 们的面积相等，所以这两底上的高应该相等.因此过点D 作DM ⊥AB,DN ⊥AC,垂足分别为M 和N ，则DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD 平分∠BAC. 【证明】如图②，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，作DN ⊥AC 于点N. ∵S △DCE =S △DBF ,即12CE ·DN=12 BF ·DM. 又∵CE=BF,∴DN=DM,∴点D 在∠BAC 的平分线上，即 AD 平分∠BAC. 例3 如图所示，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°,D 是AC 上一点，且AE ⊥BD 并交BD 的延长线于点E ，又AE= 12 BD.求证：BD 是∠ABC 的平分线. 【分析】要证明BD 是∠ABC 的平分线，即证明∠1=∠2,可构造全等三角形，延长AE 、BC 交于F ，根据条件证明△ABE ≌△FBE 即可. 【证明】延长AE 、BC 交于点F. ∵AE ⊥BD,∠ACB=90°, ∴∠2+∠F=∠FAC+∠F=90°, 即∠2=∠FAC. 在△BDC 与△AFC 中，
第十二章全等三角形 本章内容主要包括全等三角形、三角形全等的判定、角的平分线的性质． 上一章我们通过推理论证得到了三角形的内角和定理等重要结论．本章中，推理论证将发挥更大的作用．本章通过证明三角形全等来证明线段相等或角相等，并由此推出了角的平分线的性质．在中考中，全等三角形的性质与判断是考查的热点之一．角的平分线的性质一般不单独考查，多结合三角形或多边形的性质进行考查． 【本章重点】 全等三角形的性质与判定、角平分线的性质． 【本章难点】 全等三角形的几种判定方法的选择． 【本章思想方法】 1．体会和掌握分类讨论思想．如：已知两个三角形全等，但不清楚对应边和对应角，
这个时候就要用到分类讨论思想，要考虑到所有的情况． 2．体会转化的数学思想．如：在解决与全等三角形有关的实际问题时，一般需要先将实际问题转化为全等三角形问题，进而解决问题． 12．1全等三角形1课时 12．2三角形全等的判定4课时 12．3角的平分线的性质2课时
12．1全等三角形 一、基本目标 【知识与技能】 1．掌握全等形、全等三角形的概念，能运用符号语言正确表示两个三角形全等． 2．能熟练地找出两个全等三角形的对应元素，理解全等三角形的性质． 【过程与方法】 经历探索全等三角形性质的过程，在观察中寻求新知，在探索中培养学生发现问题、解决问题的能力． 【情感态度与价值观】 在探究和运用全等三角形知识的过程中感受到数学活动的乐趣． 二、重难点目标 【教学重点】 全等三角形的认识． 【教学难点】 全等三角形的性质的应用．
环节1自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P31～P32的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2．全等用符号≌表示，读作全等于. 3．△ABC全等于三角形△DEF，用符号表示为△ABC≌△DEF. 4．若△ABC≌△DEF，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角是∠E，则∠C与∠F是对应角；AB与DE是对应边，BC与EF是对应边，AC与DF是对应边． 5．全等三角形的对应边相等，对应角相等． 环节2合作探究，解决问题 活动1小组讨论(师生对学) 【例1】如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．
第十二章全等三角形 12.3角的平分线的性质 一、教学目标 1．会用尺规作一个已知角的平分线； 2．掌握角的平分线的性质和判定；能够完成严密的逻辑推理； 3．能运用角的平分线的性质定理解决简单的几何问题． 二、教学重点及难点 重点：角平分线的尺规作图，角的平分线的性质和判定及其应用． 难点：1.对角平分线性质定理中“点到角两边的距离”的正确理解. 2.角的平分线的性质及判定定理的运用. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、直尺、刻度尺、量角器、角平分仪 四、相关资源 《角的平分线的性质》微课 五、教学过程 (一)引出新知 问题1：给出一个纸片做的角,能不能找出这个角的角平分线呢？ 师生活动：可用量角器，若不利用工具，也可用折纸的方法，教师课件演示． 问题2：哪一种方法用起来更方便？在生活中，这些方法是否都可行呢？ 师生活动：用量角器比较方便，但有误差，用折叠的方法比较简捷，但若换成木板、钢板等无法对折的材料,此方法就不行了，那还有别的方法适合吗？引出课题．［设计意图］依据弗雷登塔尔的现实性原则，设计“激趣设疑、联旧带新”环节，既能激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径． （二）探究新知 探究（1）：出示仪器模型，说明工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线．介绍仪器特点（有两对边相等），将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线．为什么？ 学生口述，用三角形全等的方法（SSS）证明AE是∠BAD的平分线．
师问：把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，也就是A B ＝AD ，从几何作图角度怎么画？BC ＝DC ，从几何作图角度怎么画？ 师生活动：学生同桌交流，归纳角的平分线的作法．学生板演示范作图． 预设：为什么要以大于 2 1MN 的长为半径画弧？为什么强调交于角的内部？提倡学生自学、对学、再群学． ［设计意图］帮助学生体验从生产生活中分离，抽象出数学模型，以此为线索，先自学、再对学，有问题（或困难）的在小组内交流，从实验操作中获得启示，探究出作角的平分线的方法，不仅注重了个人的实效性发展，而且也实现了学生自身能力的资源共享． 探究（2）：请将一张用纸片做的角∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？再连续折出几个直角三角形，然后展开，观察折痕，你能得到什么结论？ 问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？ 学生动手折叠 师生活动：第一次折痕是角的平分线，第二次的折痕是角平分线上的点到两边的距离，它们的长度相等，连续再折出折痕长度也对应相等．由此可见，角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质．用文字语言阐述得到的猜想： 角的平分线上的点到角两边的距离相等 ［设计意图］学生动手动脑，可猜测并能说出观察到的结论，为逻辑推理做好了铺垫． 几何语言：∵OC 是∠AOB 的角平分线（或者∠AOC ＝∠BOC ）点P 在OC 上且P D ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD ＝PE ． 师生活动：分清题设和结论，画出图形，引导学生结合图形写出已知、求证，分析后完成证明过程，两名同学板演，教师巡视指导，同桌互查．证明后，教师强调经过证明正确的命题可作为定理．同时强调文字命题的证明步骤． ［设计意图］经历实践→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对
第2课时“边角边" 1．理解并掌握三角形全等的判定方法—-“边角边”．（重点) 2．能运用“边角边”判定方法解决有关问题．（重点) 3．“边角边”判定方法的探究以及适合“边角边”判定方法的条件的寻找．（难点） 一、情境导入 小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办?请你帮助小伟想一个办法,并说明你的理由． 想一想：要画一个三角形与小伟画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件？只知道一个条件(一角或一边)行吗？两个条件呢?三个条件呢？ 让我们一起来探索三角形全等的条件吧! 二、合作探究 探究点一：应用“边角边"判定两三角形全等 【类型一】利用“SAS”判定三角形全等
如图，A、D、F、B在同一直线上,AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求证：△AEF≌△BCD. 解析：由AE∥BC，根据平行线的性质，可得∠A＝∠B,由AD＝BF可得AF＝BD,又AE＝BC，根据SAS,即可证得△AEF≌△BCD。 证明：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B。∵AD＝BF，∴AF＝BD。在△AEF和△BCD中，∵错误! ∴△AEF≌△BCD（SAS）． 方法总结:判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【类型二】“边边角”不能证明三角形全等 下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是（） A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF D．BC＝EF,∠C＝∠F，AC＝DF 解析:要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C. 方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对
人教版八年级数学上册第十二章 《角的平分线的性质的综合运用》学习任务单及作业设计 【学习目标】 综合运用角的平分线的性质的两个定理解决问题，并学习结合之前的知识（如全等三角形等）解决更为综合的问题． 重点：识别基本图，分析推理，整合思路，规范书写，反思优化． 【课前学习任务】 1.准备直尺，铅笔，圆规等工具． 2.熟悉角的平分线的性质这部分已经学过的两个定理，关注其条件和结论；回顾分析与书写方法，常见辅助线的作法． 3.熟悉近期学过的全等三角形的性质和判定． 【课上学习任务】 学习任务一：复习两个定理（内容和符号表示） 学习任务二： 1．回顾：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等． 2．追问：点P在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 3．类比
如图，△ABC 的∠ABC外角的平分线 BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．（1）求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 所在的直线的距离相等． （2）点 P 在∠BAC 的平分线上吗？这说明三角形的相邻两个外角的平分线与第三个内角角平分线有什么关系？ 4．应用 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？ 5．发展（对于定理2 “在角的内部”这个限制条件的思考） 如果我们去掉在三角形内部这个条件，结论会怎样？ 已知△ABC，求作一个点O，使其到三角形三边都相等． 回答之前的思考问题： 学习任务三： 例 1．如图，在△ABC中，点D，E，F在边 BC上，点P在线段AD上，若PE∥AB，PF∥AC，点D到PE和PF的距离相等．求证：点D到AB和AC的距离相等．
12．3 角的平分线的性质 第1课时角平分线的性质 教学目标： 1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．(重点) 2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点) 教学过程： 一、情境导入 问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的作法 如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两 点，再分别以E、F为圆心，大于1 2 EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点 M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数． 解析：根据AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°，再根据AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数． 解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°，由作法知，
AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB ＝12 ∠CAB ＝30°. 方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是∠BAC 的角平分线是解题的关键． 探究点二：角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图：在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB . 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即CD ＝DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EDB ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明． 证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .∵在Rt △DCF 和Rt △DEB 中，∵⎩⎨⎧DF ＝BD ，DC ＝DE ， ∴Rt △CDF ≌Rt △EDB (HL)．∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在△ADC 与△ADE 中，∵⎩ ⎨⎧CD ＝DE ，AD ＝AD ， ∴△ADC ≌△ADE (HL)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB . 方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等． 【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )
角平分线的性质 教学目标 1．1．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用． 2．2．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题． 3．3．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。 教学重点和难点 角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点． 性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点． 教学过程设计 一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明 1，复习引入课题． （1）提问关于直角三角形全等的判定定理． （2）让学生用量角器画出图3－86中的∠AOB的角 平分线OC． 2．画图探索角平分线的性质并证明之． （1）在图3－86中，让学生在角平分线OC上任取一 点P，并分别作出表示Ｐ点到∠AOB两边的距离的线段 PD，PE． （2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理． （3）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理1），分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式．
3．逆向思维探求角平分线的判定定理． （1）让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2——角平分线的判定定理． （2）教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1，由所给条件判定出角平分线是定理2． （3）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程． 4．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合． （1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）． （2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）． 由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合． 二、应用举例、变式练习 练习1填空：如图3－86（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D PE⊥OB于E．∴---------（角平分线的性质定理）． （2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP平分∠AOB（-------------） 例1已知：如图3－87（a），ABC的角平分线BD和CE交于F． （l）求证：F到AB，BC和 AC边的距离相等； （2）求证：AF平分∠BAC；
第2课时角平分线的判定 1．掌握角平分线的判定定理．(重点) 2．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点) 一、情境导入 中新网和田2月25日电，新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000) 二、合作探究 探究点一：角平分线的判定定理 【类型一】角平分线的判定
如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线． 解析：先判定Rt △BDE 和Rt △CDF 全等，得出DE ＝DF ，再由角平分 线的判定可知AD 是∠BAC 的平分线． 证明：∵DE⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED ＝∠CFD， ∴△BDE 与△CDF 是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，BD ＝CD ， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴DE ＝DF ，∴AD 是∠BAC 的平分线． 方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形 全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上． 【类型二】 角平分线性质和判定的综合 如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，下面给出四个结论，①AD 平分∠EDF；②AE ＝AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，
第2课时角的平分线的判定 1．掌握角平分线的判定． 2．熟练运用角的平分线的判定及性质解决问题． 阅读教材P50，完成预习内容． 知识探究 1．到角的两边距离相等的点在________________．所以，如果点P到∠AOB两边的距离相等，那么射线OP是________________． 2．完成下列各命题，注意它们之间的区别与联系． (1)如果一个点在角的平分线上，那么________________________； (2)如果一个点到角的两边的距离相等，那么________________________； (3)综上所述，角的平分线是____________________的集合． 3．(1)三角形的三条角平分线相交于______点，它到______________． (2)三角形内，到三边距离相等的点是____________． 利用角平分线的判定证角平分线比证全等要简便得多． 自学反馈 如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为( ) A．60° B．45° C．30° D．75°
活动1小组讨论 例1已知：如图，△ABC. 求作：点P，使得点P在△ABC内，且到三边AB、BC、CA的距离相等． 作法：(提示)作三个内角平分线交于一点P，点P即为所求作的点． 例2如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF相交于点F. 求证：点F也在∠BAC的平分线上． 证明：过点F作FM⊥BC于点M，FG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H， ∵BF、CF是∠CBD和∠BCE的平分线， ∴FG＝FM，FH＝FM.∴FG＝FH. ∴点F也在∠BAC的平分线上． 过点F作AD、BC、AE的垂线段FG、FM、FH，然后证FG＝FH. 活动2跟踪训练 1．已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2.求证：OB＝OC. 2．已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，
第2课时角平分线的判定 一、教学目标 （一）知识与技能 1.了解角的平分线的判定定理； 2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算. （二）过程与方法 在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力. （三）情感、态度与价值观 在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验. 二、教学重点、难点 重点：角的平分线的判定定理的证明及应用； 难点：角的平分线的判定. 三、教法学法 自主探索,合作交流的学习方式. 四、教学过程 （一）复习、回顾 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； ③过点P作射线OP，射线OP即为所求． 2. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导 已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON， 垂足分别为点A、点B． 求证：PA＝PB．
证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON ∴∠PAO＝∠PBO＝90° ∵OC平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO和△PBO中， ∴△PAO≌△PBO ∴PA＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON， ∴PA＝PB． （二）合作探究 角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导 已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上． 证明：连结OP 在Rt△PAO和Rt△PBO中，
人教版八年级数学上册第十二章《角的平分线的性质》学习任务单及作业设计 （共3课时） 第一课时 【学习目标】 1.探究作角平分线的方法，掌握角平分线的尺规作图方法并加以证明. 2.探究角平分线的性质并加以证明． 【课前学习任务】 1.准备直尺，圆规，三角形纸片，剪刀等工具． 2.回顾自初中以来的各种基本尺规作图及其步骤． 3.熟悉近期学过的全等三角形的性质和判定． 【课上学习任务】 学习任务一：掌握角平分线的尺规作图方法及其证明 学习任务二：探究角的平分线的性质 画图，猜想，证明 角的平分线的性质：
符号语言书写： 学习任务三：定理的运用 例题：如图，点P 是∠AOB 平分线OC 上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，求点P到边OA 的距离． 【学习资源】 阅读课本第48 至49 页相关内容，并在教科书上圈画出本节课的主要知识点． 【作业设计】 1. 用三角尺可按下面方法画角平分线，在已知的∠AOB 的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N 作OA，OB 的垂线，交点为P，画射线OP，则OP 平分∠AOB，为什么？ 2. 如图所示，在△ABC 中： （1）下列操作中，作∠ABC 的平分线的正确顺序是（将序号按正确的顺序写在横线上）． ①分别以点M，N 为圆心，大于1/2MN 的长为半径作圆弧，在∠ABC 内，两弧交于点P； ②以点B 为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB 于点M，交BC 于N 点； ③画射线BP，交AC 于点D． （2）能说明∠ABD＝∠CBD 的依据是（填序号）． ①SSS．②ASA．③AAS．④角平分线上的点到角两边的距离相等． （3）若AB＝18，BC＝12，S△ABC＝120，过点D 作DE⊥AB 于点E，求DE 的长．
第7讲 全等三角形的综合、角平分线 ⑴ 平移全等型 ⑵ 对称全等型 ⑶ 旋转全等型 ⑴、角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵、到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性． 角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线， 2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍， A B O P P O B A A B O P
角平分线的作法（尺规作图） ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； ③过点P作射线OP，射线OP即为所求． 考点1、三角形全等综合 1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L 上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（） A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS 2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ B ）
A．PO B．PQ C．MO D．MQ （1）（2） 3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC=35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？ 4、1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q 处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0处，让士兵丈量他所站立位置B与0点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问：
角的平分线的性质（二） 项目设计内容说明课题角的平分线的性质（第二课时） 教科书第49——50页相关内容 教学目标1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理. 2．会用角平分线性质定理的逆定理解决问题． 重点角平分线性质定理的逆定理及应用. 难点灵活应用两个性质解决问题． 使用 多媒 体 多媒体课件 教学过程教师活动学生活动说明或 设计意 图 复习旧知，导入新课 1．角的平分线的性质定理是怎样叙 述的 2．用数学语言怎样描述 师作出草图帮助理解． ３．反过来，到一个角的两边的距离 相等的点是否一定在这个角的平分线上 呢 已知：如右图（１）,PD⊥OA，PE ⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上． 这节课我们就来探究这个问题. 出示课题并板书课题. 1.集体回答： 角的平分线的性质定理：角的平 分线上的点到角的两边的距离相等。 ２．看图说出数学语言： ∵OC平分∠AOB，点P在OC 上，且PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD = PE ３．讨论，证明． 图（１） 来源:学*科*网] 1．如上右图（１），点P是否在∠AOB 的平分线上呢 首先我们要作出辅助线，怎么做呢 怎样证明呢 教师巡视，引导证明． 通过证明，你得到什么结论 1．前后桌同学讨论．并试着给出 证明． 证明: 经过点P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中 PO＝PO， PD=PE， ∴Rt△PDO≌R t△PEO（HL） ∴∠POD＝∠POE， ∴点P在∠AOB的平分线上. 即：OC平分∠AOB P
合作探究，解决问题 这就是角的平分线的性质定理的逆 定理，也叫做角的平分线的判定定理． 这个定理用数学语言如何表示呢 ２．角的平分线的性质定理与判定定 理有什么区别呢 出示课件加以说明． 老师点拨． ３．随堂练习． 填空：如右图（２） (1)∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB ∴___________ (__________________________) (２)∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴__________ (______________________________) ４．解决问题：（课本第49页思考题） 如下图（3），要在S区建一个贸易市 场，使它到铁路和公路距离相等，离公 路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应 建在何处（比例尺为1︰20000） 图（3） 5.教学例1：已知：如右图（5）,在△ ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是∠BAC的角平分线 分析： AD是∠BAC的平分线 DE＝DF △BDE≌△CDF 学生如有困难，板书解题过程. 6.教学例题2.如下图（6），△ABC的 角平分线BM、CN相交于点P。求证：点 结论：角的内部到角的两边的距 离相等的点在角的平分线上。 ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE． ∴OP平分∠AOB． 即点P在∠AOB的平分线上. ２．通过老师的点拨，得出：它 们的题设与结论刚好相反，是一对互 逆定理，它们在应用上也不相同，角 的平分线的性质可用来证明线段相 等；而角的平分线的判定定理是用来 判定角的平分线． ３．看图回答问题． 图（２） ４．动手试一试，解决问题. 解：如下图（4），作夹角的角平 分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为 所求。 图（4） 图（5） 5.按照老师的分析写出解题步骤. （步骤略） 6.根据老师的提示思考并尝试证 A B C E s O A C D E B 1 2 s D C
C 1 1C A B A 1 第十二章 §12．1 全等三角形 教学目标 (一)知识技能: 1、了解全等形及全等三角形的概念。 2、理解掌握全等三角形的性质。 3、能够准确辩认全等三角形的对应元素。 (二)过程与方法 ： 1、在图形变换以用操作的过程中发展空间观念，培养几何直觉。 2、在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等 三角形的体验。 (三) 情感态度与价值观： 在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣。 教学重点: 全等三角形的性质． 教学难点：找全等三角形的对应边、对应角． 预习导航:什么是全等三角形？如何找全等三角形的对应边和对应角？ 全等三角形有哪些性质？ 教学过程 (一)提出问题，创设情境 出示投影片 ：1.问题：你能 发现这两个图形有什么美妙 的关系吗？ 这两个图形是完全重合的． 2.那同学们能举出现实生活中能够完全重合的图形的例子吗003F 生：同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的。 形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形． 3．学生自己动手（同桌两名同学配合） 取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样． 4．获取概念 让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、 对应边，以及有关的数学符号． 记作：△ABC ≌ △ A ’B ’C ’ 符号“ ≌ ”读作“全等于” 甲 D C A B F E
（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上） （二）．新知探究 利用投影片演示 1.活动：将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180 得到△DBC ； 将△ABC 旋转180°得△AED ． 2. 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，•但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的 一种策略． 3. 观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ （引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系） 得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等． 全等三角形的对应角相等． （三）例题讲解 [例1]如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，•说出这两个三角形中相等的边和角． 1. 分析：△OCA ≌△OBD ，说明这两个三角形可以重合，•思考通过怎样变换可以使两三角 形重合？ 将△OCA 翻折可以使△OCA 与△OBD 重合．因为C 和B 、A 和D 是对应顶点，•所以C 和B 重合，A 和D 重合． ∠C=∠B ；∠A=∠D ；∠AOC=∠DOB ．AC=DB ；OA=OD ；OC=OB ． 2. 总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法． [例2]如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，•指出其他的对应边和对应角． 1. 分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE 和△ACD 从复杂的图形 中分离出来． 2小结：找对应边和对应角的常用方法有： D C A B O D C A B E 乙 D C A B 丙 D C A B E