6最优投资组合选择
最优投资组合选择的过程就是投资者将财富分配到不同资产从而使自己的效用达到最大的过程。然而，在进行这一决策之前，投资者首先必须弄清楚的是市场中有哪些资产组合可供选择以及这些资产组合的风险-收益特征是什么。虽然市场中金融资产的种类千差万别，但从风险-收益的角度看，我们可以将这些资产分为两类：无风险资产和风险资产。这样一来，市场中可能的资产组合就有如下几种：一个无风险资产和一个风险资产的组合；两个风险资产的组合；一个无风险资产和两个风险资产的组合。下面分别讨论。
一、一个无风险资产和一个风险资产的组合
当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产的时候，我们可以假定投资者投资到风险资产上的财富比例为w ，投资到无风险资产上的财富比例为1-w ，这样一来，投资组合的收益就可以写为：
f P r w r w r )1(-+=
其中，r 为风险资产收益，这是一个随机变量；f r 为无风险资产的收益，这是一个常数。
这样，资产组合的期望收益和标准差就可以写出下述形式：
f P r w r wE r E )1()()(-+=
σσw P =
(因为122
22212
2
)1(2)1(σσσσw w w w
P -+-+=,2112122,0σσρσσ===0)
其中σ为风险资产的标准差。
根据上两式，我们可以消掉投资权重，并得到投资组合期望收益与标准差之间的关系：
P f
f P r r E r r E σσ
-+
=)()( 3-1
当市场只有一个无风险资产和一个风险资产时，上式就是资产组合所以可能的风险-收益集合，又称为投资组合的可行集合。在期望收益-标准差平面上，3-1是一条直线，我们称这条直线为资本配置线。
随着投资者改变风险资产的投资权重w ，资产组合就落在资本配置线上的不同位置。具体来说，如果投资者将全部财富都投资到风险资产上1>w ，资产组合的期望收益和方差就是风险资产的期望收益和方差，资产组合与风险资产重合。如果投资者将全部财富都投资在无风险资产上0>w ，资产组合的期望收益和方差就是无风险资产的期望收益和方差，资产组合与无风险资产重合。风险资产r 与无风险资产f r 将配置线分为三段，其中，无风险资产和风险资产之间的部分意味着投资者投资在风险资产和无风险资产上的财富都是正值；此时10< 资本配置线的斜率等于资产组合每增加一单位标准差所增加的期望收益，即每单位额外风险的额外收益。因此我们有时也将这一斜率称为报酬与波动性比率。 在资本配置线的推导中，我们假设投资者能以无风险收益率借入资金。然而，在实际的资本市场中，投资者在银行的存贷利率是不同的。一般来说，存款利率要低于贷款利率。因此如果把存款利率视为无风险收益率，那么投资者的贷款利率就要高于无风险资产收益率。在这种情况下，资本配置线就变为一条折线。我们可以假设无风险资产收益率为f r ，投资者向银行贷款的利率为' f r 。在这种情况下，若投资者需要借入资金投资到风险资产时， 资本配置线的斜率就应该等于σ/])([' f r r E -，该斜率小于σ/])([f r r E -。此时，在期望 -收益差平面上，资本配置线就变成了如下的形状。其中资本配置线在风险资产右侧的斜率要低于其左侧部分。 二、两个风险资产的组合 当市场中的资产是两个风险资产时，比如一只股票和一个公司债券，且投资到股票上的财富比例为w ，我们可以将该资产组合的收益写为： 21)1(r w wr r P -+= 此时资产组合的期望收益和标准差分别为： )()1()()(21r E w r wE r E P -+= ),cov()1(2)1(212222122r r w w w w P -+-+=σσσ 21122 22212)1(2)1(σσρσσw w w w -+-+= 其中12ρ为股票和债券收益率的相关系数。 此时，根据期望的表达式，我们可以求出投资权重为： ) ()() ()(212r E r E r E r E w P --= 将其代入到标准差方程，可以得到该资产组合期望收益和标准差之间的关系式： c r E b r E a P P P +?-?=)()(22σ 3-2 其中2 212 1122 221))()((2r E r E a --+= σσρσσ 2 212 11221221212))()(()]()([2)(2)(2r E r E r E r E r E r E b -+-+=σσρσσ 2 212 112212 2122122)) ()(()()()()(2r E r E r E r E r E r E c --+=σσρσσ 当市场中存在两个风险资产的情况下，3-2描述了资产组合所有可能的期望收益和标准差的组合，当12ρ取不同的值时，上述关系是在期望收益-标准差平面中的形状也有所不同，我们对此分三种情况进行讨论。 （1）12ρ=1 在这种情况下，两个资产的收益率是完全相关的，这时，标准差变为： 2212])1([σσσw w P -+= 在不考虑卖空或借贷的情况下，即10< 21)1(σσσw w P -+= 结合期望收益式子，可以求出 )()() ()()(222 121r E r E r E r E P P +-?--= σσσσ 当两个风险资产完全正相关时，上式是资产组合期望收益和标准差的关系。该式子在期望收益-标准差平面上是一条通过1点和2点的线段。 （2）12ρ=-1 在这种情况下，两个资产的收益率是完全负相关的，这时，标准差变为： 2212])1([σσσw w P --= 该方程对应着 21)1(σσσw w P --= 212 σσσ+≥ w 12)1(σσσw w P --= 2 12 σσσ+< w 再结合期望收益的表达式，可以求得资产组合期望收益和标准差之间的关系如下： ?????? ?+< +-?+-+≥ ++?+-=2 12 2 22 1212 12 222 121) ()()()()()() ()()(σσσσσσσσσσσσσ σw r E r E r E w r E r E r E r E P P P 上式对应着两条斜率相反的折线，折线的一部分通过1点和E1点；另一部分则通过2点和E1点，其中E1点的坐标为（0，2 11 221)()(σσσσ++r E r E ），为112-=ρ时资产组合可行 集内的最小方差点。 见图3-3 在完全正相关时，一种证券收益率高，另一种证券的收益率也高。这样，在做卖空时，可以从多头（购入方）位置中获益，而从空头（销售方）位置中受损，但得利于多投资的证券。当两种证券的收益率都低时，可以从多头中受损，而从空头中获益，投资较多的证券收益与卖空证券收益将相互抵消，投资组合的总体收益将较稳定。 在完全负相关时，一种证券收益率高，另一种证券的收益率总是相对要低。如果卖空高收益证券，而做多低收益证券，则投资组合的两部分都遭受损失。另一方面，如果做多高收益证券，卖空低收益证券，则两部分都获利。因此，在完全负相关时，投资组合的风险较高，其结果要么是“盛宴”，要么是“饥荒”。我们总结如表6-1所示。 （3）1112<<-ρ 此时3-2在期望收益-标准差平面对应着两条双曲线。考虑到经济意义，我们只保留双曲线在第一象限的部分。这条双曲线的顶点E2是1112<<-ρ时资产组合可行集内的最小方差点。 从图中可看出，E 12和E 22，期望收益随方差的增大而降低，这部分的资产组合是无效的。投资者只选择1 E 1和1E 22上的点。 三、一个无风险资产两个风险资产的组合 前面分别考察了一个无风险资产和一个风险资产构成的资产组合以及两个风险资产构成的资产组合。在此基础上，我们将这两种情况进行融合，进而引入第三种资产组合一个无风险资产和二个风险资产构成的资产组合。下面我们考察这种情况下投资组合可行集的状态。 我们首先假设两个风险资产的投资权重分别为1w 和2w ，这样一来，无风险资产的投资组合权重就是21 w 1--w 。由于我们可以将两个风险资产视为一个风险资产组合，因此三个资产构成的投资组合可行集就等价于一个风险资产组合与一个无风险资产构成的可行集。但与前面不同，随着1w 和2w 变化，风险资产组合的期望收益和方差并不是确定的值，而是不断变化的。在图3-3中的收益-方差平面中，风险资产组合的位置不再是3-1中确定的一点，而是图3-3中的某一点。给定1w 和2w 的某一比例k ，在期望收益-方差平面中就对应着一个风险资产组合。该组合与无风险资产的连线形成了一条资本配置线，如图3-4。这条资本配置线就是市场中存在三个资产时的投资组合可行集。随着我们改变投资比例k ，风险资产组合的位置就会发生变化，资本配置线也相应产生变化。 从图3-4可以看出，两个风险资产组成的效率边界上的任何一点与无风险资产的连线都能构成一条资本配置线。然而，比较图3-4中的两条资本配置线CAL 0和CAL 1可以发现，对于任一标准差，资本配置线CAL 0上资产组合的期望收益率都比CAL 1上的高。换句话说，相对于CAL 0上的资产组合，CAL 1上的资产组合是无效率的。事实上，我们可以很容易地发现，在所有的资本配置线中，斜率最高的资本配置线在相同标准差水平下拥有最大的期望收益率。从几何角度讲，这条资本配置线就是通过无风险资产并与风险资产组合的有效边界相切的一条线，我们称这条资本配置线为最优资本配置线。相应地，切点组合P 0被称为最优风险资产组合。因此，当市场中有一个无风险资产和两个风险资产的时候，有效地投资组合可行集就是通过无风险资产和风险资产组合，且斜率达到最大的资本配置线。 3.1投资组合最小方差集合与有效边界 一般地，我们现假定由n 个风险资产（比如证券）构成的投资组合，由于权重不同而有无穷多个投资组合，所有这些证券组合构成一个可行集（feasible set ）。投资者不需要评估可行集中的所有投资组合，只分析任意给定风险水平有最大的预期回报或任意给定预期回报有最小风险的投资组合，满足这两个条件的投资组合集合叫做投资组合的有效边界(集合)[efficient frontier(set)]。 给定一个证券投资组合X ，它的预期收益率)(X r E 和标准差)(X r σ确定了一个点对 ))(,((X X r r E σ，当这个证券组合的权重发生变化时，我们得到一条曲线 }1,)()(,)()(|))(),({(1 2 11 ∑∑=====n i i T X n i i i X X X x VX X r r E x r E r r E σσ 我们将其称为组合线。组合线上的每一点，表示一个权数不同的证券组合。因此组合线告诉我们的预期收益率与风险怎样随着证券组合权重的变化而变化。 在上一章里，我们给出了单个证券或证券组合的预期收益率和投资组合风险的度量。上面我们又分析了在给定证券的条件下，如何决定其证券投资组合。然而当投资者用一定资本进行证券投资时，他追求的投资目标是高收益低风险，那么如何在众多的证券中建立起一个高收益低风险的证券组合呢？下面我们讨论这个问题。 给定一组不同的单个证券，我们可以用它们构造不同的证券组合，这样，每个证券或 证券组合我们称为一个投资机会，全部投资机会的集合，称为机会集合。对机会集合中的每一个元素X ，我们用它的预期收益率)(X r E 和风险)(2 X r σ来描述它的实绩，因此每一个机会X 都对应了数组（)(X r E ，)(X r σ）或（)(X r E ，)(2 X r σ），这样机会集合可以用预期收益率-标准差（方差）二维空间的一个集合表示。 对于一个聪明理智的投资者来说，如果给定风险水平或者说标准差，他喜欢预期收益率高的投资机会；如果给定预期收益率水平，他喜欢风险低的投资机会。于是我们定义如下的最小方差集合： 机会集合中的一个证券投资组合，如果具有没有其他的证券组合在与之相同的预期收益率水平下能达到更小的风险（标准差）的性质，则我们称它为最小方差证券组合。最小方差证券组合的全体，我们称为最小方差集合。 显然，最小方差集合是机会集合的子集，是由证券组合的组合线上具有最小风险的证券组合的包络线组成。 由于投资者所面临的投资条件不同，受到的投资约束不同，最小方差集合的形状也不同，因此最小方差集合的确定依赖于不同的约束条件。 下面我们来寻求最小方差集合，为此考虑一个组合X ，它由n 个证券组成，每个证券 的预期收益率为)(i r E ，方差记为2 i σ，证券之间的协方差记为)(j i ij ≠σ，i 、j=1，2，…， n 。于是证券组合的收益率X r 和风险)(2 X r σ可以表示成 VX X r T X =)(2σ 在给定预期收益率)(X r E 之下，如何选择证券组合的权重n x x ,...,1，使证券组合X 具有最小方差呢？ 3.1马科维茨模型的求解 记),...,())(),...,(),((121n T n r r r E r E r E e ==，为确定最小方差集合，我们考虑如下优 化模型，即一般的马柯维茨模型 ∑=n j i ij j i w w 1 ,21min σ，?? ???===∑=X X T n i i r r E e W w t s )(1..1 引入拉格朗日乘子μλ,来解决这一规划问题。构造拉格朗日函数如下： )1()(211 11,∑∑∑===----=n i i n i X i i n j i ij j i w r r w w w L μλσ 上式左右对i w 进行求导，即一阶条件为0。 首先讨论两个变量的情况，然后推广到n 个变量的情况。 )1()()(2 12122112222211212212121-+--+-+++= w w r r w r w w w w w w w L X μλσσσσ 因此 μλσσσ--++=??12212121211)2(2 1 r w w w w L μλσσσ--++=??222 21211122)2(2 1r w w w w L 令上两式等于0，考虑到2112σσ= 01212121=--+μλσσr w w 02121222=--+μλσσr w w 以上两等式与两个约束条件的等式联立，可以解出μλ,,,21w w 。 一般地，对于均值为X r 的有效投资组合（允许卖空），其n 个投资组合权数 ),...,2,1(n i w i =与两个拉格朗日乘数μλ,满足： ∑===--n j i j ij n i r w 1 ,..,2,1,0μλσ （1） ∑==n i X i i r r w 1 （2） ∑==n i i w 1 1 （3） （1）有n 个方程，加上（2）与（3），一共得到n+2个方程组成的方差组，相应地有n+2个未知量μλ,,i w 。 注意到所有n+2个方程都是线性的，因此可以通过线性代数方法加以解决。 例：假设有三项不相关的资产。每一资产的均值分别为1，2，3。方差都为1。根据（1）、（2）、（3），我们有： 01=--μλw 022=--μλw 033=--μλw X r w w w =++32132 132321=++w w w 由上面三个方程解出321,,w w w ，并将其代入下面两个方程，得到： X r =+μλ614 136=+μλ 解得X X r r -=-=3 1 2 ,12/μλ，将其代入上面三式，得到： 3/22/,3/1,2/3/4321-==-=X X r w w r w 将321,,w w w 代入标准差，有： 2/23/722 32221X X r r w w w +-=++=σ 当22=r 时，我们有58.03/3== σ 上述分析假设允许资产卖空，如果不允许卖空，则可行集将缩小。 3.2马科维茨模型的矩阵解法 ),...,())(),...,(),((121n T n r r r E r E r E e ==，)21min(VX X T ，?? ???==∑=) (1..1X T n i i r E e X x t s 这是一个等式约束的极值问题，我们可以构造Lagrange 函数： T T X T X e X r E VX X X L -+-+= 1())((2 1),,(μλμλ1） 其中，1是分量均为1的列向量，μλ,为Lagrange 乘数。根据Lagrange 乘数法应有00,μλ使在X 0处有 μλ--=??e VX X L 1=0 （3-17） e X r E L T X -=??)(λ =0 （3-18） T X L -=??1μ 1=0 （3-19） （3-17）式左乘X T 得 μλσ+=)()(2X X r E r （3-20） 又由（3-17）得 11--+=V e V X μλ 1 （3-21） 1 μλ+=e w V （3-21）分别左乘1T 和e T 得 1=λ1T V -1e+μ1T V -11 （3-22） E （r X ）=λe T V -1 e +μe T V -11 （3-23） 记??? ? ? ????-=====---2 111111A BC C A A B D V C e V e B e V A T T T 于是解μλ,方程组得 ??? ??? ?-=-=D r AE B D A r CE X X )()(μλ 将μλ,代入（3-21）得 )(X r E h g X += （3-24） 第9章是p p r h g w += 其中] 1[1 ] 1[1 1111-----=-=AV e CV D h e AV BV D g 再将μλ,代入（3-20）得到 22))((1)(C A r E D C C r X X -+= σ 或 1)( ) )(()1() (2 2 2 22 =-- C D C A r E C r X X σ （3-25） （3-24）给出了投资组合权重与预期收益率的关系。（3-25）给出了投资组合预期收益 率与方差的关系，且说明在)(X r E ~)(X r σ平面上可有双曲线形式，而在)(X r E ~)(2 X r σ平面上可有抛物线形式。在)(X r E ~)(X r σ平面上双曲线的两条渐进线的斜率为C D ± ，顶点为（ C A C ,1），如图3-2（a ）所示。在)(X r E ~)(2X r σ平面上，其顶点在（C A C ,1），如图3-2（b ）所示。 )(X r σ 图3-2(a) 双曲线与顶点图 )(2X r σ 图3-2(b) 抛物线与顶点图 通过上面的讨论，在)(X r E ~)(X r σ平面上最小方差集合是双曲线型，它能分成两:部分上半部和下半部，两部分以顶点为分界点，分界点代表了一个具有最小标准差的投资组合。显然我们希望持有的投资组合是在顶点的上半部，而不是在顶点的下半部。 最小方差集合在顶点上半部的投资组合集合称为有效集合。 有效集合中所有投资组合符合：给定某一标准差，有效集合中的投资组合具有可获得的最大预期收益率的准则。 显然最小方差集合在顶点的下半部分对应的预期收益率最低。 在上面确定最小方差集合的过程中，权重约束为 ∑==n i i x 1 1，求得的结果x i 中可能有正 的也有负的，它反映了允许卖空的情形。 实例讲解见61Excel 文件。 在有些情形下，投资者把不进行卖空作为一种投资策略，因此，讨论在不允许卖空的约束下如何确定最小方差集合是必要的。这时在约束条件中需要加入x i 大于0，i=1,…,n 。相应的模型为 )21min(VX X T ，???? ?????≥==∑=0 )(11X r E e X x X T n i i 这一模型不能被简化为一种线性方程式的求解问题。由于该模型的求解目标为二次的 而限制条件为线性的（一次的）等式与不等式，因此，它称为二次规划，解决这类问题需要专门的计算机程序，对于中等规模的模型可以应用表格加以解决。在金融领域有许多专门设计的程序来解决由数百乃至千计所组成的模型。 两个模型的区别在于当允许卖空时，大部分（如果不是全部）最优的i x 有非零值（或正或负），因此大体上所有资产都被使用。而当不允许卖空时，许多最优的i x 值为零。 例：考虑前面的三项资产，但本例不允许卖空。在本例中模型不能被简化为一组方程式的形式，但考虑不同资产的两两组合，我们能得到有效边界。一般的解法如下所示。 对于一般的不允许卖空模型解法，要表示出它的表达式相当困难，但我们可以编制如下程序解决。 设： myrange1 = "b" & 12 & ":" & Chr(65 + n) & 12 '各个证券收益率数据区域 myrange2 = "b16" & ":" & Chr(65 + n) & 15 + n '协方差矩阵数据区域 myrange3 = "b" & 19 + n & ":" & Chr(65 + n) & 19 + n '投资比例结算结果数据区域 Cells(20 + n, 2) = "=sumproduct(" & myrange1 & "," & myrange3 & ")" Cells(21 + n, 2) = "=sqrt(sumproduct(" & myrange3 & ",mmult(" & myrange3 & "," & myrange2 & ")))" Cells(19 + n, n + 2) = "=sum(" & myrange3 & ")" x1 = Chr(66 + n) & 19 + n '投资组合比重合计率数据区域 x2 = "b" & 21 + n '投资组合标准差数据区域 x3 = "b" & 20 + n '投资组合预期收益率数据区域 Range(myrange3).NumberFormat = "0.00%" Range(x1).NumberFormat = "0.00%" Range(x2).NumberFormat = "0.00%" Range(x3).NumberFormat = "0.00%" '开始利用规划求解工具计算 SolverReset SolverOk setcell:=x2, MaxminVal:=2, ValueOf:="0", byChange:=myrange3 SolverAdd CellRef:=x1, Relation:=2, FormulaText:="100%" SolverAdd CellRef:=x3, Relation:=3, FormulaText:="$b$7" SolverAdd CellRef:=myrange3, Relation:=3, FormulaText:="0" SolverSolve (True) End Sub 下面我们再来看最小方差集合的投资组合权重 )(X r hE f X += 对于一个由n 个证券组成的投资组合X ，它的预期收益率和方差分别为 )()(1 i n i i X r E x r E ∑==，VX X r T X =)(2σ 给定预期收益率)(X r E 时，证券的组合权重变化使我们可以得到一系列的投资组合，它们具有相同的预期收益率。这些投资组合的权重所在的平面我们称为预期收益率平面。变化)(X r E 可以得到一族平行的等预期收益率平面。 同样给定投资组合收益率的方差)(2 X r σ时，投资组合权重的变化也会使我们得到一系列的投资组合，它们具有相同预期收益率的方差。这些投资组合的权重所在的曲面VX X T 我们称为等方差椭球面。变化)(2 X r σ可以得到一族相似的等方差椭球面，它们的轴越短方差越小。 我们将等预期收益率平面和等方差椭球面放在同一个（x 1，x 2，…，x n ）空间上。于是给定预期收益率平面后，我们可以找到一个等方差椭球面与之相切，其切点坐标即为具有最小方差的投资组合权重。等预期收益率平面与等方差椭球面的切点轨迹我们称为临界线。由于等预期收益率平面都是平行的，等方差椭球面以一个公共点为中心对称，可以证明临界线是直线。 由于临界线是直线，可以得出最小方差集合中所有的投资组合具有如下两个重要性质： 性质 1 如果把最小方差集合中的两个或两个以上的投资组合进行组合，则可得到最 小方差集合上的另一种投资组合。 这个性质告诉我们，如果每个投资者都持有一个有效的投资组合，那么他们的投资组合的组合，也将是一个有效的组合。这个性质引出了资本资产定价模型的中心论断。 在本节最后，我们给出最小方差集合的另一个重要性质，它是第9章将要介绍的资本资产定价模型（CAPM ）的核心。 根据性质1，如果市场中每个投资者都是理性的，他们都将持有一个有效的投资组合，于是将他们的投资组合组合在一起仍将是一个有效组合，该组合恰好为市场全部资产所构成，它可以视为市场中投入资金最大的市场投资组合，可见，市场投资组合位于有效集合上。 性质2 给定市场证券总体，以M 代表最小方差集合上的市场投资集合，则对任意证券J ，其预期收益率r J 与其风险β因子J β之间呈线性关系，即 ))(()(F M J F J r r E r r E -+=β 其中F r 是最小方差集合上市场投资组合M 点处的切线在)(r E 轴上的截距。 )(r E )(r 图6-3 图6-3中所示是给定证券总体，在允许卖空情形下的最小方差集合，其中的M 点代表最小方差集合上的市场投资组合，J 是任意证券。 为导出这个性质，要注意到这样一个事实：即每个证券和市场投资组合作为一个证券的组合线，必在最小方差集合上的市场投资组合位置相切。 我们考察证券J 与M 的投资组合X ，则由投资组合的预期收益率和标准差的定义，有 )()1()()(M J X r E y r yE r E -+= ))1(2)()1()()(2222JM M J X y y r y r y r σσσσ-+-+= 当y 变化时，我们得到J 与M 的组合线。组合线在任一点的斜率，可由下式得到 ) ()1()()1()()()()() ()()(2 2X JM JM M J M J X X X X r y y r y r y r E r E dy r d dy r dE r d r dE σσσσσσσ--+---== ) ()()2)()(() ()(2 22X JM M JM M J M J r r r r y r E r E σσσσσσ+--+-= 因为该组合线与最小方差集合在M 点相切， 故在M 点有y=0，)()(),()(M X M X r E r E r r ==σσ。 过M 点作切线，该切线与E （ r ）轴相交于r F ，则切线的斜率为) ()(M F M r r r E σ- 从而由组合线与切点在M 点处有相同的斜率，可得 JM M M J X M F M r r E r E r r r r E σσσσ+-=-)()) ()()(()()(2= 整理得 JM M F M F J r r r E r r E σσ) ()()(2-+ = 注意) (2M JM J r σσβ= 所以得J F M F J r r E r r E β))(()(-+= 此即为性质2所指出的结论。 我们还可以看到，若以最小方差集合上的投资组合M 代表市场投资组合，那么任一个证券的β因子均能通过下式计算 F M F J J r r E r r E --= )()(β 把性质2所描述的线性关系，放在β-)(r E 平面，这条直线在资本资产定价模型中被称为证券市场线。 图6-4给出了已知市场投资组合与证券市场线之间的关系。 6-4市场投资组合与证券市场线之间的关系 投资组合中的可行集与有效边界问题研究 王晓乐 （常州工学院经济与管理学院，江苏常州213002） 摘要：本文从从马科维茨的投资组合理论思想出发，在已有结论基础之上，利用均值方差模型分别研究了风险资产组合和引入无风险资产后各自有效边界的确定和解析表达式，随之引入CAPM模型着重分析了资本市场中，投资者如何确定投资组合来均衡收益与风险之间的关系。文末就CAPM的有效性问题和股票收益与风险的关系这两个延伸问题进行了简单的探讨。 关键词：投资可行集有效边界CAPM模型 一、引言 （一）课题研究的背景 面对五花八门的投资对象，大家都明白“鸡蛋不要都放在同一个篮子里”的简单道理，那么“鸡蛋”应该放在几个“篮子”里，这些“篮子”各有什么特点？在资本市场中，马科维茨的投资组合选择理论和在此基础上发展形成的CAPM模型，历来是投资者面对风险和收益决策投资组合的重要理论依据。投资者在资本市场中，如何平衡风险与收益之间的关系，如何有效决策资产组合，这些都是关键问题。 （二）课题研究的价值 投资有效组合，使资产风险合理分散化，通过充分利用数学知识，借助计量经济学的帮助，分析投资理论中的风险类型和收益模型，推导在各种风险资产组合中的可行集和有效边界，风险最小的情况下，使得投资组合获得最大利益，从而更好地服务于现代证券市场。二、已有相关研究观点评介 关于资产定价的原理和模型的研究，国内不乏众多学者。合肥工业大学经济管理学院的邓英东教授（2004）在他的文章中评述：Markowitz的证券组合选择理论，在今天已经成为现代金融经济学的基石，人们在处理证券组合的收益-风险分析时，Markowitz理论始终是一种基本工具。[1]东华大学理学院的陈静、胡良剑教授认为：金融决策的核心问题就是权衡证券收益与风险的问题。[2]在论述有关CAPM模型的作用时，中国人民大学金融专业博士生导师吴晓求教授在他的文章里写道：CAPM给出了一个非常简单的结论，只有一种原因会使投资者得到更高回报，那就是投资高风险的股票。不容怀疑，这个模型在现代金融理论里占据着主导地位。[3] 三、马科维茨投资组合理论 风险资产的投资首先需要解决的是两个核心问题：即预期收益与风险，那么如何测定_____________________________________ 作者小传：王晓乐（1994- ），女，常州工学院经管学院，学生，研究方向：经济学 第二章 1、 假设你正考虑从以下四种资产中进行选择： 资产1 市场条件 收益% 概率 好 16 1/4 一般 12 1/2 差 8 1/4 资产2 市场条件 收益 概率 好 4 1/4 一般 6 1/2 差 8 1/4 资产3 市场条件 收益 概率 好 20 1/4 一般 14 1/2 差 8 1/4 资产4 市场条件 收益 概率 好 16 1/3 一般 12 1/3 差 8 1/3 求每种资产的期望收益率和标准差。 解答： 1111 16%*12%*8%*12%424 E =++= 10.028σ= 同理 26%E = 20.014σ= 314%E = 30.042σ= 412%E = 40.033 σ= 2、 下表是3个公司7个月的实际股价和股价数据，单位为元。 证券A 证券B 证券C 时间 价格 股利 价格 股利 价格 股利 1 578 333 1068 2 7598 368 21088 3 3598 0.725 43688 1.35 124 0.40 4 4558 23828 21228 5 2568 386 41358 6 59 0.725 63978 1.35 61418 0.42 7 2608 392 61658 A. 计算每个公司每月的收益率。 B. 计算每个公司的平均收益率。 C. 计算每个公司收益率的标准差。 D. 计算所有可能的两两证券之间的相关系数。 E. 计算下列组合的平均收益率和标准差： 1/2A+1/2B 1/2A+1/2C 1/2B+1/2C 1/3A+1/3B+1/3C B 、 1.2% 2.94%7.93% A B C R R R === C 、 4.295%4.176%7.446% A B C σσσ=== D 、 概述： 有效边界是用来描述一项投资组合的风险与回报之间的关系，在以风险为横轴，预期回报率为纵轴的坐标上显示为一条曲线，所有落在这条曲线上的风险回报组合都是在一定风险或最低风险下可以获得的最大回报。 基础： 1、追求收益最大化的规律特征 这一特征表现在：当风险水平相当时，理性投资者都偏好预期收益较高的交易。在可能的范围内，投资者总是选择收益率最高的资产；但是另一方面，与之相对的市场资金需求者为了自身收益最大化的要求则要选择成本最低的融资方式。 2、厌恶风险的规律特征 这一特征表现在，当预期收益相当时，理性投资者总是偏好风险较小的交易。风险越大，风险补偿额也就越高。 3、求效用最大化 追求效用最大化就是要选择能带来最大满足的风险与收益的资产组合。效用由无差异曲线表示，可供选择的最佳风险与收益组合的集合由有效益边界表示，效用曲线与有效益边界的切点就是提供最大效用的资产组合。 （1）风险厌恶的资金供应者的无差异曲线。金融市场的无差异曲线表示在一定的风险和收益水平下，资金供应者对不同资金组合的满足程度无区别的，即同等效用水平曲线。如下图是一组风险厌恶的资金供应者的无差异曲线。 不同水平的曲线代表着效用的大小，水平越高，效用越大，这里曲线C显然代表这最大效用。 风险厌恶投资者的无差异曲线图 曲线的凸向反映着资金供应者对风险的态度，由于X轴是风险变量，Y轴是预期收益变量，因此，曲线右凸反映风险厌恶偏好。风险厌恶者要求风险与收益成正比，曲线越陡，风险增加对收益补偿要求越高，对风险的厌恶越强烈；曲线斜度越小，风险厌恶程度越弱。风险中性的无差异曲线为水平线，风险偏好的无差异曲线为左凸曲线。 待续... 参考文献： 《证券投资学》第二版第10章证券组合管理 第二次作业 龚晓飞目录： 一、数据说明 二、计算有效边界 三、计算最小方差点 四、计算市场组合 五、计算资本市场线 六、计算结果 一、数据说明 这里选取了中国股票市场的四支股票，计算出了其从2004-2012年的年平均收益率及协方差矩阵。结果如下： 编号协方差矩阵预期收益1 2 3 4 假定无风险利率是。 二、计算有效边界 假定为资产组合的权重向量，为协方差矩阵，是股票预期收益向量（历史数据的平均值），为资产组合的收益，为资产组合的标准差，为各个分量都为1且与 维数相同的列向量，为无风险利率。 对于无卖空限制的市场： 对于有卖空限制的市场： 对于第一个优化问题，可以使用Lagrange乘子法直接算出解的显式表达，有效前沿的表达式为： 利用上面的表达式可以直接用matlab或excel画出有效前沿。 另外对第一个优化问题，可以用更加简单的方法来画有效前沿。可以证明，给定后，可以得到与之对应的最小方差，只要赋给两个不同的值，同时得到两个相应的最小方差组合，这两个资产组合的凸组合可以形成整个有效前沿。也就是说，假定及是两个不同的前沿组合，那么，任何其它的前沿组合都可以用来表达。 对于第二个优化问题，无法直接求得显式解，只能使用matlab或excel的二次规划函数（quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)）来求解出不同的所对应的最小方差，然后用这两组数据来画出有效前沿。 三、计算最小方差点 以下所用记号的含义与前面相同，计算最小方差点仍然要分下面两种情况。 对于无卖空限制的市场： 对于有卖空限制的市场： 对于第一个优化问题，与前面一样可以使用Lagrange乘子法直接算出解的显式表达，最小方差点的收益与标准差的表达式为： 上面结果也可以直接从下面表达式得到： 有限差分法 已经发展的一些近似数值分析方法中，最初常用的是有限差分法，它可以处理一些相当困难的问题。但对于几何形状复杂的边界条件，其解的精度受到限制，甚至发生困难。作为60年代最重要的科技成就之一的有单元法。在理论和工程应用上都_得到迅速发展，几乎所有用经典力学解析方法难以解决的工程力学问题郁可以用有限元方法求解。它将连续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，解析地模拟或逼近求解区域。由于单元能按各种不同的联结方式组合在一起，且单元本身又可有不同的几何形状，因此可以适应几何形状复杂的求解域。相限元的另一特点是利用每一单元内假设的近似函数来表示全求解区域上待求的未知场函数。单元内的近似函数由未知场函数在各个单元结点上数值以及插值函数表达，这就使未知场函数的结点值成为新的未知量，把一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，只要结点来知量解出，便可以确定单元组合体上的场函数。随着单元数目的增加，近似解收敛于精确解。但是有限元方法常常需要很大的存贮容量，甚至大得无法计算；由于相邻界面上只能位移协调，对于奇异性问题(应力出现间断)的处理比较麻烦。这是有限单元法的不足之处。 边界元法 边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。降低了问题的维数，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。 上述两种数值方法的主要区别在于，边界元法是“边界”方法，而有限元法是“区域”方法，但都是针对连续介质而言，只能获得某一荷载或边界条件下的 4、有效边界概念与最佳投资组合确定 了解了在证券投资组合中通过预期收益R和风险指标均方差COV两个指标来研究分析收益与风险的相互关系，以求得在风险即定的前提下，为追求收益的最大化，或在收益即定的前提下，达到最大限度的规避风险。这就是二维规划的含义。用图表表示： 此图的横轴表示证券组合的投资风险，纵轴表示为证券组合的预期收益水平，任何一种证券组合， 都将在图表中找到 所相对应的一点， 全部证券组合，即 构成图中ABCD所形 成的阴影部分，代 表人们面对的所有 投资机会。从中可 以看出，越是处于 图形上端的点。所对应的预期收益就越大，反之则越小；而越是位于图形右边的点，所对应的投资风险就越大，反之则越小。显然，A点代表了风险最小的证券组合，B点代表了预期收益最大的证券组合，除此之外，再也不可能存在其它比A点风险更小的和比B点预期收益更大的证券组合，从平面几何的筑图原理知道：这二维规划的可行性区域只能是在第二象限中，如果以360度为所有点的包容区域。那么最佳的组合点必定都落在90度~180度之间。如A点，它是证券组合中均方差最小的一点，即圆圈中180度此点必然可与纵轴相切，其它任何一点都只会加大风险度。而图中B点，它是证券组合中预期收益最大的一点，即圆圈中90度此点必然可与横轴相切，其它任何一点都只会减少预期收益。在圆内的任何一点，都可引伸出一条平行线在圆周上找到与其收益相对应的一点，但风险必然更大，即非有效组合。同理，也可引伸出一条垂直线在圆周上找到与其风险相对应的一点，但收益必然更小，也非有效组合。可见，只有落在AB曲线上的证券组合才是全部有效组合，AB曲线也是所有证券有效组合的有效边界，在有效边界以内的任何一点投资都是非有效的。我们曾提到的风险厌恶者，即保守的投资者，可选择A点附近的有效组合，虽然收益值较小，但是COV同样也小。反之，风险偏好者则可选择接近B点的有效组合，以搏取最大的收益值，同时承担相对应的高风险。 方差分析公式 （20PP-06-2611:03:09） 转载▼ 标签： 分类：统计方法 杂谈 方差分析 方差分析（analPsisofvarianee ，简写为ANOV或ANOV A可用于两个或两个以 上样本均数的比较。应用时要求各样本是相互独立的随机样本；各样本来自正态 分布总体且各总体方差相等。方差分析的基本思想是按实验设计和分析目的把全部观察值之间的总变异分为两部分或更多部分，然后再作分析。常用的设计有完 全随机设计和随机区组设计的多个样本均数的比较。 一、完全随机设计的多个样本均数的比较 又称单因素方差分析。把总变异分解为组间（处理间）变异和组内变异（误差）两部分。目的是推断k个样本所分别代表的卩1,卩2,……卩k是否相等，以便比较多个处理的差别有无统计学意义。其计算公式见表19-6. 表19-6完全随机设计的多个样本均数比较的方差分析公式 GC=（艺G） 2/N=艺ni , k为处理组数 方差分析计算的统计量为F,按表19-7所示关系作判断。 例19.9某湖水不同季节氯化物含量测量值如表19-8，问不同季节氯化物含量有 无差别？ 表19-8某湖水不同季节氯化物含量（mg/L） SS 加刖=丄 和 ' 10619.265^ 170 HO:湖水四个季节氯化物含量的总体均数相等，即 卩仁卩2=卩3=卩4 H1:四个总体均数不等或不全相等 a =0.05 先作表19-8下半部分的基础计算。 C=（艺 G ） 2/N= （588.4） 2/32=10819.205 SS 总=艺 G2-C=11100.84-10819.205=281.635 V 总=N-仁31 （工吋 “ 1 广_ （】6二口尸斗/」期.匸尸千 K .IT N "一 - ? r . —I b K V 组间=k-1=4-1=3 SS 组内=SS 总-SS 组间=281.635-141.107=140.465 V 组内=N-k=32-4=28 MS 组间二SS 组间 /v 组间=141.107/3=47.057 边界元与有限元 边界元法boundary element method 定义：将力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的分片插值求解的数值方法。 所属学科：水利科技(一级学科) ；工程力学、工程结构、建筑材料(二级学科) ；工程力学（水利）(三级学科) 边界元法（boundary element method）是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少,数据准备简单等优点.但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。 简介 边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。又称边界积分方程-边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛， 6最优投资组合选择 最优投资组合选择的过程就是投资者将财富分配到不同资产从而使自己的效用达到最大的过程。然而，在进行这一决策之前，投资者首先必须弄清楚的是市场中有哪些资产组合可供选择以及这些资产组合的风险-收益特征是什么。虽然市场中金融资产的种类千差万别，但从风险-收益的角度看，我们可以将这些资产分为两类：无风险资产和风险资产。这样一来，市场中可能的资产组合就有如下几种：一个无风险资产和一个风险资产的组合；两个风险资产的组合；一个无风险资产和两个风险资产的组合。下面分别讨论。 一、 一个无风险资产和一个风险资产的组合 当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产的时候，我们可以假定投资者投资到风险资产上的财富比例为w ，投资到无风险资产上的财富比例为1-w ，这样一来，投资组合的收益就可以写为： 其中，r 为风险资产收益，这是一个随机变量；f r 为无风险资产的收益，这是一个常数。 这样，资产组合的期望收益和标准差就可以写出下述形式： (因为122 222122 )1(2)1(σσσσw w w w P -+-+=,2112122,0σσρσσ===0) 其中σ为风险资产的标准差。 根据上两式，我们可以消掉投资权重，并得到投资组合期望收益与标准差之间的关系： P f f P r r E r r E σσ -+ =)()( 3-1 当市场只有一个无风险资产和一个风险资产时，上式就是资产组合所以可能的风险-收益集合，又称为投资组合的可行集合。在期望收益-标准差平面上，3-1是一条直线，我们称这条直线为资本配置线。 随着投资者改变风险资产的投资权重w ，资产组合就落在资本配置线上的不同位置。具体来说，如果投资者将全部财富都投资到风险资产上1>w ，资产组合的期望收益和方差就是风险资产的期望收益和方差，资产组合与风险资产重合。如果投资者将全部财富都投资在无风险资产上0>w ，资产组合的期望收益和方差就是无风险资产的期望收益和方差，资产组合与无风险资产重合。风险资产r 与无风险资产f r 将配置线分为三段，其中，无风险资产和风险资产之间的部分意味着投资者投资在风险资产和无风险资产上的财富都是正值；此时10< 最优投资组合的计算 案例：设风险证券A 和B 分别有期望收益率%201=- r ，%302=- r ，标准差分别为 %301=σ，%402=σ，它们之间的协方差%612=σ，又设无风险证券的收益率f r =6%， 求切点处风险证券A 、B 的投资比例及最优风险资产投资组合的期望收益率和标准差；再求效用函数为()2005.0σA r E U -=，A=4时，计算包含无风险资产的三种资产最优组合的结构。 求解： 第一步，求风险资产的最优组合及该组合的收益率与标准差。 随意指定一个期望收益率%14=- P r ，考虑达到- P r 的最小方差的投资比例（因为无风险证券的方差以及与其他风险证券的协方差也都等于零，所以包括无风险证券在内的投资组合的方差实际上就等于风险证券组合的方差）： min(12212 22 22 12 12σσσx x x x ++), S.T.- - - =--++P f r r x x r x r x )1(212211. 令L=(12212 22221212σσσx x x x ++)+λ- - P r ])1(212211f r x x r x r x ----- -， 由一阶条件： = ??λL - - P r 0)1(212211=----- -f r x x r x r x 0)(2211222 111 =--+=??- f r r x x x L λσσ 0)(22212122 22 =--+=??- f r r x x x L λσσ 代入上述数字解得268 25.8,268 521= = x x 。风险证券A 、B 的组合结构为 62.0, 38.02 122 11=+=+x x x x x x ，这就是风险证券内部的组合结构和比例。 如果投资者比较保守，不追求那么高的收益率，比如选择%8=- P r ，则解得风险证券内部的组合结构和比例，仍然不变（忽略计算）。说明投资者的风险偏好无论怎样，只是改变资金在无风险证券和风险证券之间的分配比例，风险资产投资的内部结构不会改变。 风险资产最优组合的收益率和标准差为： 方差概念及计算公式 一．方差的概念与计算公式 例1两人的5次测验成绩如下： X：50，100，100，60，50 E(X )=72；Y：73，70，75，72，70 E(Y )=72。 平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 单个偏离是 消除符号影响 方差即偏离平方的均值，记为D(X )： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这里是一个数。推导另一种计算公式 得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即 ， 其中 分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。 二．方差的性质 1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）； 2．D(CX )=C2D(X ) （常数平方提取）； 证： 特别地D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值） 3．若X、Y相互独立，则 证：记 则 前面两项恰为D(X )和D(Y )，第三项展开后为 当X、Y 相互独立时， ， 故第三项为零。 特别地 独立前提的逐项求和，可推广到有限项。 三．常用分布的方差 1．两点分布 2．二项分布 X ~ B( n, p ) 引入随机变量X i（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布） ， 3．泊松分布（推导略） 4．均匀分布 另一计算过程为 5．指数分布（推导略） 6．正态分布（推导略） ~ 正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。 例2求上节例2的方差。 解根据上节例2给出的分布律，计算得到 求均方差。均方差的公式如下：（xi为第i个元素）。 S = ((x1-x的平均值)^2 + (x2-x的平均值)^2+(x3-x的平均值)^2+...+(xn-x的平均值)^2)/n)的平方根 大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。 用matlab或c语言编写求导程序 已知电容电压uc,电容值 求电流i 公式为i=c(duc/dt) 怎样用matlab或c语言求解 计算固体力学 读书报告 固体力学中的边界积分方程及其边界元法 综述 Review of the Boundary Integral Equation and Boundary Element Method in Solid Mechanics 土木工程系 2014年03月17日 评语 目录 摘要 (2) A BSTRACT (2) 一、引言 (3) 1)什么是边界元法[1] (3) 2)积分方程和边界元法的发展历史[2] (3) 二、边界元法[5] (4) 1)概述 (4) 2)基本解 (4) 3)拉普拉斯（Laplace）积分方程 (5) 4)拉普拉斯（Laplace）边界积分方程 (6) 5)拉普拉斯（Laplace）积分方程离散化与解法 (6) 6)泊松（Poisson）边界积分方程 (7) 三、结束语 (8) 参考文献 (9) 摘要 本文综述了边界元法的历史、现状及发展，并对积分方程和边界元法的原理进行了简单推导。边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法，具有计算简单、适应性强、精度高的优点。它以边界积分方程为数学基础，同时采用了与有限元法相似的划分单元离散技术，通过将边界离散为边界元，将边界积分方程离散为代数方程组，再用数值方法求解代数方程组，从而得到原问题边界积分方程的解。用传统的有限单元法求解不可压缩材料会遇到严重困难，但是用边界元法求解这类材料不会有任何问题。近年来随着将快速多级算法引入边界元法，使边界元法的计算效率和解题规模都有了几个数量级的提高。 关键词：边界元法积分方程边界离散快速多级算法 Abstract This paper reviews the history, current situation and development of the boundary element method and deduced the integral equation. The boundary element method is based on the integral equation and absorbed the discrete technology of finite element method. It has the advantages of simple calculation, strong adaptability and high accuracy. It is based on the boundary integral equation, though boundary discretization discrete boundary integral equations into algebraic equations, and then by the numerical method solving algebraic equations, thus obtain the original problem solution of boundary integral equations. The solution of nearly or exactly incompressible material problems presents serious difficulties and errors when using the conventional displacement-based finite element method, because the general stress-strain equations of elasticity contain terms that become infinite as Poisson’s ratio reaches 0.5, while the boundary element method accommodates such problems without any difficulty due to the nature of the integral equations used in the analysis. In recent years, the fast multi-pole boundary element method has received much attention because some large-scale engineering design and analysis problems were analyzed faster using boundary element method than with finite element method. This new trend suggests future prospects for boundary element method applications. Keywords：Boundary Element Method; Integral Equation; Boundary Discretization Method; Fast Multipole Algorithm 方差(Variance) [编辑] 什么是方差 方差和标准差是测度数据变异程度的最重要、最常用的指标。 方差是各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数，通常以σ2表示。方差的计量单位和量纲不便于从经济意义上进行解释，所以实际统计工作中多用方差的算术平方根——标准差来测度统计数据的差异程度。 标准差又称均方差，一般用σ表示。方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均法，另外，对于总体数据和样本数据，公式略有不同。 [编辑] 方差的计算公式 设总体方差为σ2，对于未经分组整理的原始数据，方差的计算公式为： 对于分组数据，方差的计算公式为： 方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为： 未分组数据： 分组数据： [编辑] 样本方差和标准差 样本方差与总体方差在计算上的区别是：总体方差是用数据个数或总频数去除离差平方和，而样本方差则是用样本数据个数或总频数减1去除离差平方和，其中样本数据个数减1即n－1 称为自由度。设样本方差为，根据未分组数据和分组数据计算样本方差的公式分别为： 未分组数据： 分组数据： 未分组数据： 分组数据： 例:考察一台机器的生产能力，利用抽样程序来检验生产出来的产品质量，假设搜集的数据如下： 根据该行业通用法则：如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005，则该机器必须关闭待修。问此时的机器是否必须关闭？ 解：根据已知数据，计算 因此，该机器工作正常。 方差和标准差也是根据全部数据计算的，它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值，因此它能准确地反映出数据的离散程度。方差和标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。 ?函数VAR假设其参数是样本总体中的一个样本。如果数据为整个样本总体，则应使用函数VARP来计算方差。 ?参数可以是数字或者是包含数字的名称、数组或引用。 ?逻辑值和直接键入到参数列表中代表数字的文本被计算在内。 ?如果参数是一个数组或引用，则只计算其中的数字。数组或引用中的空白单元格、逻辑值、文本或错误值将被忽略。 ?如果参数为错误值或为不能转换为数字的文本，将会导致错误。 ?如果要使计算包含引用中的逻辑值和代表数字的文本，请使用VARA 函数。 ?函数VAR 的计算公式如下： 其中x 为样本平均值AVERAGE(number1,number2,…)，n 为样本大小。 示例 假设有10 件工具在制造过程中是由同一台机器制造出来的，并取样为随机样本进行抗断强度检验。 如果将示例复制到一个空白工作表中，可能会更容易理解该示例。 STDEV(number1,number2,...) Number1,number2,...为对应于总体样本的 1 到255 个参数。也可以不使用这种用逗号分隔参数的形式，而用单个数组或对数组的引用。 注解 ?函数STDEV 假设其参数是总体中的样本。如果数据代表全部样本总体，则应该使用函数STDEVP来计算标准偏差。 ?此处标准偏差的计算使用“n-1”方法。 该理论包含两个重要内容：均值－方差分析方法和投资组合有效边界模型。在发达的证券市场中，马科维茨投资组合理论早已在实践中被证明是行之有效的，并且被广泛应用于组合选择和资产配置。但是，我国的证券理论界和实务界对于该理论是否适合于我国股票市场一直存有较大争议。从狭义的角度来说，投资组合是规定了投资比例的一揽子有价证券，当然，单只证券也可以当作特殊的投资组合。本文讨论的投资组合限于由股票和无风险资产构成的投资组合。人们进行投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进行选择。投资组合理论用均值—方差来刻画这两个关键因素。所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例。当然，股票的收益包括分红派息和资本增值两部分。所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。人们在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢？这正是投资组合理论研究的中心问题。投资组合理论研究“理性投资者”如何选择优化投资组合。所谓理性投资者，是指这样的投资者：他们在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化，或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化。因此把上述优化投资组合在以波动率为横坐标，收益率为纵坐标的二维平面中描绘出来，形成一条曲线。这条曲线上有一个点，其波动率最低，称之为最小方差点（英文缩写是MVP）。这条曲线在最小方差点以上的部分就是著名的（马考维茨）投资组合有效边界，对应的投资组合称为有效投资组合。投资组合有 效边界一条单调递增的凹曲线。如果投资范围中不包含无风险资产（无风险资产的波动率为零），曲线AMB是一条典型的有效边界。A点对应于投资范围中收益率最高的证券。如果在投资范围中加入无风险资产，那么投资组合有效边界是曲线AMC。C点表示无风险资产，线段CM是曲线AMB的切线，M是切点。M点对应的投资组合被称为“市场组合”。如果市场允许卖空，那么AMB 是二次曲线；如果限制卖空，那么AMB是分段二次曲线。在实际应用中，限制卖空的投资组合有效边界要比允许卖空的情形复杂得多，计算量也要大得多。在波动率－收益率二维平面上，任意一个投资组合要么落在有效边界上，要么处于有效边界之下。因此，有效边界包含了全部（帕雷托）最优投资组合，理性投资者只需在有效边界上选择投资组合。 [编辑本段]现代投资理论的产生与发展 现代投资组合理论主要由投资组合理论、资本资产定价模型、APT模型、有效市场理论以及行为金融理论等部分组成。它们的发展极大地改变了过去主要依赖基本分析的传统投资管理实践，使现代投资管理日益朝着系统化、科学化、组合化的方向发展。1952年3月，美国经济学哈里·马考威茨发表了《证券组合选择》的论文，作为现代证券组合管理理论的开端。马克威茨对风险和收益进行了量化，建立的是均值方差模型，提出了确定最佳资产组合的基本模型。由于这一方法要求计算所有资产的协方差矩阵，严重制约了其在实践中的应用。1963年，威廉·夏普提出了可以对协方差矩阵加以 边界元法发展综述 刘娅君 学号：11080922005 从工程实际中提出的力学问题，一般可归结为数学的定解问题。但其中只有极少数简单情况可以求得解析解，而大多情况都必需借助于有效的数值方法来求解。有限元法是目前工程中应用最广泛的数值方法，已有很多通用程序和专用程序在各个工程领域投人了实际应用。然而，有限元法本身还存在一些缺点。例如，在应力分析中对于应力集中区域必须划分很多的单元，从而增加了求解方程的阶数，计算费用也就随之增加；用位移型有限元法求解出的应力的精度低于位移的精度，对于一个比较复杂的问题必须划分很多单元，相应的数据输人量就很大，同时，在输出的大量信息中，又有许多并不是人们所需要的。 边界积分方程—边界元法在有限元法之后发展起来成为工程中广泛应用的一种有效的数值分析方法。它的最大特点就是降低了问题的维数，只以边界未知量作为基本未知量，域内未知量可以只在需要时根据边界未知量求出。在弹性问题中，由于边界元法的解精确满足域内的偏微分方程，因此它相对有限元法的解具有较高的精度。同时在一些领域里，例如线弹性体的应力集中问题，应力有奇异性的弹性裂纹问题，考虑脆性材料中裂纹扩展的结构软化分析，局部进人塑性的弹塑性局部应力问题以及弹性接触问题…等，边界元法已被公认为比有限元法更为有效。正是因为这些特点，使边界元法受到了力学界、应用数学界及许多工程领域的研究人员的广泛重视。 边界元与有限元相比有很多优点：首先，它能使问题的维数降低一维，如原为三维空间的可降为二维空间，原为二维空间的问题可降为一维。其次，它只需将边界离散而不象有限元需将区域离散化，所划分的单元数目远小于有限元，这样它减少了方程组的方程个数和求解问题所需的数据，不但减少了准备工作，而且节约了计算时间。第三，由于它是直接建立在问题控制微分方程和边界条件上的，不需要事先寻找任何泛函，不像以变分问题为基础的有限元法，如果泛函不存在就难于使用。所以边界元法可以求解经典区域法无法求解的无限域类问题。最后，由于边界元法引入基本解，具有解析与离散相结合的特点，因而具有较高的精度。 实验报告 证券投资 学院名称 专业班级 提交日期 评阅人____________ 评阅分数____________ 实验五：运用Excel规划求解进行最优投资组合的求解 【实验目的】 1、理解资产组合收益率和风险的计算方法，熟练掌握收益率与风险的计算程序； 2、进一步理解最优投资组合模型，并据此构建多项资产的最优投资组合； 【实验条件】 1、个人计算机一台，预装Windows操作系统和浏览器； 2、计算机通过局域网形式接入互联网； 3、matlab或者Excel软件。 【知识准备】 理论知识：课本第三章收益与风险，第四章投资组合模型，第五章CAPM 实验参考资料：《金融建模—使用EXCEL和VBA》电子书第三章，第四章，第五章 【实验项目容】 请打开参考《金融建模—使用EXCEL和VBA》电子书第四章相关章节（4.3）完成以下实验 A．打开“实验五组合优化.xls”，翻到“用规划求解计算最优组合”子数据表； B．调用规划求解功能进行求解。 点击“工具”在下拉菜单点击“规划求解”，如没有此选项说明需要加载规划求解后才能使用，如何加载见实验补充文档“EXCEL规划求解功能的安装”。 C． D．在规划求解选项卡里面选择“选项”，再选择“非负”再运行一次，比较两次返回的投资比例值的正负。在实验报告中记录两次得到的最优投资组合，并说明投资比例是负值说明什么？ E．（选做）借助连续调用规划求解的VBA过程生成有效组合以及资本市场线。 参考实验参考电子书《金融建模—使用EXCEL和VBA》电子书第四章P83 F．对比可卖空和不可卖空的有效前沿图试对比说明其不同？ 【实验项目步骤与结果】 A. 浅谈边界元法及ANSYS简介 摘要本文先从边界元法的起源和发展及数学分析的角度对其作了简要的介绍，然后又结合国际上目前比较先进的边界元快速算法指明边界元的特点，并且列举了常见的几类边界元法；讨论了铸件锻造模拟技术与方法，举例说明数值模拟在大锻件中的最优解问题；最后又介绍了ANSYS软件的特点和使用方法，并列举了其在材料力学教学和研究中的一些应用。 关键词边界元法数值模拟 ANSYS Abstract This paper begins with the perspective of the origin and development and mathematical analysis of the boundary element method for its brief introduction, and then combined with the current advanced international fast algorithm about boundary element ,and cited the common types of boundary element method; discussed forging simulation techniques and methods of casting, numerical simulations illustrate the optimal solution of the problem in large forgings; finally describing the characteristics and use of ANSYS software, and cited its teaching and research in mechanics of materials in some applications. Key words boundary element method numerical simulations ANSYS 最优投资组合模型 陈家跃1 肖习雨2 杨珊珊3 1．韶关学院2004级数学与应用数学广东韶关 512005 2．韶关学院2003级信息技术(1)班广东韶关 512005 3．韶关学院2004级信息技术班广东韶关 512005 摘要 本文通过各种投资回报数据,对各种投资方案的回报效益进行分析,以平均回报期望为回报率,用回报方差来衡量风险,建立了在VaR(风险价值)约束下的经典马柯维茨(Markowitz)均值-方差模型，并从几何角度具体地阐述了此模型的算法,最后根据此算法和借助数学软件LINGO、MATLAB计算出在VaR=1%,…,10%下的最优投资组合为方案一投资1421万美元,方案二投资2819.5万美元,方案三投资759.5万美元,得到的最大净收益为500.00万美元,结果令人满意. 关键词:马柯维茨均值-方差模型;VaR约束;置信水平 1问题的提出 某基金会有科学基金5000万美元，现有三种不同的投资方式，分别为政府债券、石化产业股票、信息产业股票，为了保证其基金安全增殖，设计收益最大且安全的投资方案，要求(1)获得最大的投资回报期望(2)投资的风险限制在一定的范围。保证该投资方案资金保值概率不低于95%。（假设石化产业的投资回报率变化与信息产业的投资回报率变化彼此独立） 三种投资方式分别为： 投资方式一： 购买政府债券，收益为5.6％/年； 投资方式二： 投资石化产业股票 根据有关的随机抽样调查，得到四十宗投资石化产业股票的案例记录(如附录图表一)； 投资方式三： 投资信息产业股票 根据有关的随机抽样调查，得到四十宗投资信息产业股票的案例记录(如附录图表二)。 2 模型的假设 2．1 该基金投资持有期为一年； 2．2 投资政府债券的风险为零； 2．3 方案二和方案三中选取的八十只股票具有代表性，能反映总体股市情况； 2．4 不考虑交易过程中的手续费，即手续费为零； 2．5 总体投资金额设为单位1. 3 符号的约定 ?：表示证券组合在持有期t?内的损失； P X：表示第i种方案的投资权重（投资比例）； i c：表示置信水平，反映了投资主体对风险的厌恶程度； 2 σ：表示第i种方案的投资回报方差； i投资组合中的可行集与有效边界问题研究剖析
证券投资组合优化组合习题解答
投资组合之——有效边界(Efficient frontier)
投资组合管理第二次作业计算有效边界及
有限差分法、边界元法和离散元法
有效边界概念与最佳投资组合确定.
方差分析公式
边界元与有限元
投资组合有效边界计算
最优投资组合的计算
方差概念及计算公式
固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述
方差 — 标准差
均值-方差分析方法和投资组合有效边界模型。
边界元法发展综述
实验五：运用Excel规划求解进行最优投资组合地求解
边界元法和ANSYS简介
最优投资组合模型剖析
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