投资组合之——有效边界(Efficient frontier)

概述：

有效边界是用来描述一项投资组合的风险与回报之间的关系，在以风险为横轴，预期回报率为纵轴的坐标上显示为一条曲线，所有落在这条曲线上的风险回报组合都是在一定风险或最低风险下可以获得的最大回报。

基础：

1、追求收益最大化的规律特征

这一特征表现在：当风险水平相当时，理性投资者都偏好预期收益较高的交易。在可能的范围内，投资者总是选择收益率最高的资产；但是另一方面，与之相对的市场资金需求者为了自身收益最大化的要求则要选择成本最低的融资方式。

2、厌恶风险的规律特征

这一特征表现在，当预期收益相当时，理性投资者总是偏好风险较小的交易。风险越大，风险补偿额也就越高。

3、求效用最大化

追求效用最大化就是要选择能带来最大满足的风险与收益的资产组合。效用由无差异曲线表示，可供选择的最佳风险与收益组合的集合由有效益边界表示，效用曲线与有效益边界的切点就是提供最大效用的资产组合。

（1）风险厌恶的资金供应者的无差异曲线。金融市场的无差异曲线表示在一定的风险和收益水平下，资金供应者对不同资金组合的满足程度无区别的，即同等效用水平曲线。如下图是一组风险厌恶的资金供应者的无差异曲线。

不同水平的曲线代表着效用的大小，水平越高，效用越大，这里曲线C显然代表这最大效用。

风险厌恶投资者的无差异曲线图

曲线的凸向反映着资金供应者对风险的态度，由于X轴是风险变量，Y轴是预期收益变量，因此，曲线右凸反映风险厌恶偏好。风险厌恶者要求风险与收益成正比，曲线越陡，风险增加对收益补偿要求越高，对风险的厌恶越强烈；曲线斜度越小，风险厌恶程度越弱。风险中性的无差异曲线为水平线，风险偏好的无差异曲线为左凸曲线。

待续...

参考文献：

《证券投资学》第二版第10章证券组合管理

2016年金融学综合：证券投资学试题(9)

2016年金融学综合：证券投资学试题(9) 现代证券投资理论 一、判断题 1、现代证券投资理论是为解决证券投资中收益-风险关系而诞生的。 答案：是 2、以马柯维茨为代表的经济学家在20世纪50年代中期创立了名为“资本资产定价模型”的新理论。 答案：非 3、证券组合理论由哈里·马柯维茨创立，该理论解释了最优证券组合的定价原则。 答案：非 4、证券投资收益的最大化和投资风险的最小化这两个目标往往是矛盾的。 答案：是 5、证券组合的预期收益率仅取决于组合中每一证券的预期收益率。 答桠?：非 6、收益率的标准差可以测定投资组合的风险。 答案：是 7、有效组合在各种风险条件下提供最大的预期收益率。 答案：是 8、投资者如何在有效边界中选择一个最优的证券组合，取决于投资者对风险的偏好程度。 答案：是 9、投资者所选择的最优组合不一定在有效边界上。 答案：非 10、马柯维茨认为，证券投资过程可以分为四个阶段，其中首先应考虑各种可能的证券和证券组合，然后要计算这些证券和证券组合的收益率、标准差和协方差。 答案：是 11、CAPM的一个假设是存在一种无风险资产，投资者可以无限的以无风险利率对该资产进行借入和贷出。 答案：是 12、无风险资产的收益率为零，收益率的标准差为零，收益率与风险资产收益率的协方差也为零。 答案：非 13、引入无风险借贷后，所有投资者的最优组合中，对风险资产的选择是相同的。 答案：是 14???在市场的均衡状态下，有些证券在切点组合T中有一个非零的比例，有些证券的组合中的比例为零。 答案：非 15、资本市场线上的每一点都表示由市场证券组合和无风险借贷综合计算出的收益率与

第十一章投资组合管理基础

第十一章投资组合管理基础 本章要点：了解证券组合管理的概念；熟悉现代投解基金组合管理的过程。 了解证券投资组合理论的基本假设；熟悉单个证券和证券组合的收益风险衡量方法；熟悉风险分散原理；了解两种和多个风险证券组合的可行集与有效边界；了解无差异曲线的含义以及在最优证券组合中的运用；了解资产组合理论的运用以及在运用中要注意的问题。 了解资本资产定价模型的含义和基本假设；熟悉资本资产定价模型的推导。 第一节、证券组合管理与基金组合管理过程 (一) 证券组合管理的概念 证券组合管理是一种以实现投资组合整体风险一收益最优化为目标，选择纳入投资组合的证券种类并确定适当权重的活动。它是伴随着现代投资理论的发展而兴起的一种投资管理方式。 (二)基金组合管理的过程 1．设定投资政策； 2．进行证券分析； 3．构造投资组合； 4．对投资组合的效果加以评价； 5．修正投资组合。 第二节、现代投资理论的产生与发展 现代投资组合理论主要由投资组合理论、资本资产定价模型、APT模型、有效市场理论以及行为金融理论等部分组成。它们的发展极大地改变了过去主要依赖基本分析的传统投资管理实践，使现代投资管理日益朝着系统化、科学化、组合化的方向发展。 1952年3月，美国经济学哈里.马克威茨发表了《证券组合选择》的论文，作为现代证

券组合管理理论的开端。马克威茨对风险和收益进行了量化，建立的是均值方差模型，提出了确定最佳资产组合的基本模型。由于这一方法要求计算所有资产的协方差矩阵，严重制约了其在实践中的应用。 1963年，威廉·夏普提出了可以对协方差矩阵加以简化估计的单因素模型，极大地推动了投资组合理论的实际应用。 20世纪60年代，夏普、林特和莫森分别于1964、1965和1966年提出了资本资产定价模型CAPM。该模型不仅提供了评价收益一风险相互转换特征的可运作框架，也为投资组合分析、基金绩效评价提供了重要的理论基础。 1976年，针对CAPM模型所存在的不可检验性的缺陷，罗斯提出了一种替代性的资本资产定价模型，即APT模型。该模型直接导致了多指数投资组合分析方法在投资实践上的广泛应用。 第三节、证券投资组合理论的基本假设 (一)投资者以期望收益率和方差(或标准差)来评价单个证券或证券组合 (二)投资者是不知足的和厌恶风险的 (三)投资者的投资为单一投资期 (四)投资者总是希望持有有效资产组合 第四节、单个证券收益风险衡量 投资涉及到现在对未来的决策。因此，在投资上，投资者更多地需要对投资的未来收益率进行预测与估计。马克威茨认为，由于未来收益率往往是不确定的，表现为一个随机变量。因此，可以以期望收益率作为对未来收益率的最佳估计。 数学上，单个证券的期望收益率(或称为事前收益率)是对各种可能收益率的概率加权，用公式可表示为：

投资组合中的可行集与有效边界问题研究剖析

投资组合中的可行集与有效边界问题研究 王晓乐 （常州工学院经济与管理学院，江苏常州213002） 摘要：本文从从马科维茨的投资组合理论思想出发，在已有结论基础之上，利用均值方差模型分别研究了风险资产组合和引入无风险资产后各自有效边界的确定和解析表达式，随之引入CAPM模型着重分析了资本市场中，投资者如何确定投资组合来均衡收益与风险之间的关系。文末就CAPM的有效性问题和股票收益与风险的关系这两个延伸问题进行了简单的探讨。 关键词：投资可行集有效边界CAPM模型 一、引言 （一）课题研究的背景 面对五花八门的投资对象，大家都明白“鸡蛋不要都放在同一个篮子里”的简单道理，那么“鸡蛋”应该放在几个“篮子”里，这些“篮子”各有什么特点？在资本市场中，马科维茨的投资组合选择理论和在此基础上发展形成的CAPM模型，历来是投资者面对风险和收益决策投资组合的重要理论依据。投资者在资本市场中，如何平衡风险与收益之间的关系，如何有效决策资产组合，这些都是关键问题。 （二）课题研究的价值 投资有效组合，使资产风险合理分散化，通过充分利用数学知识，借助计量经济学的帮助，分析投资理论中的风险类型和收益模型，推导在各种风险资产组合中的可行集和有效边界，风险最小的情况下，使得投资组合获得最大利益，从而更好地服务于现代证券市场。二、已有相关研究观点评介 关于资产定价的原理和模型的研究，国内不乏众多学者。合肥工业大学经济管理学院的邓英东教授（2004）在他的文章中评述：Markowitz的证券组合选择理论，在今天已经成为现代金融经济学的基石，人们在处理证券组合的收益-风险分析时，Markowitz理论始终是一种基本工具。[1]东华大学理学院的陈静、胡良剑教授认为：金融决策的核心问题就是权衡证券收益与风险的问题。[2]在论述有关CAPM模型的作用时，中国人民大学金融专业博士生导师吴晓求教授在他的文章里写道：CAPM给出了一个非常简单的结论，只有一种原因会使投资者得到更高回报，那就是投资高风险的股票。不容怀疑，这个模型在现代金融理论里占据着主导地位。[3] 三、马科维茨投资组合理论 风险资产的投资首先需要解决的是两个核心问题：即预期收益与风险，那么如何测定_____________________________________ 作者小传：王晓乐（1994- ），女，常州工学院经管学院，学生，研究方向：经济学

第七章 证券组合管理理论-两种证券组合的可行域

2015年证券从业资格考试内部资料 2015证券投资分析 第七章 证券组合管理理论 知识点：两种证券组合的可行域 ● 定义： 任意一种证券都可用在以期望收益率为纵坐标和标准差为横坐标的坐标系中的一点来表示；相应的，任何一个证券组合也可以由组合的期望收益率和标准差确定出坐标系中的一点 ● 详细描述： 给定证券A、B的期望收益率和方差，证券A与证券B的不同的关联性将决定A、B的不同形状的组合线。可行域满足一个共同的特点：左边界必然向外凸或呈线性，即不会出现凹陷。 例题： 1.由证券A和证券B建立的证券组合一定位于（）。 A.A的上方，B的下方 B.A的左方，B的右方 C.A和B的组合线上 D.A和B相连的直线上 正确答案：C 解析：由证券A和证券B建立的证券组合一定位于A和B的组合线上。 2.在马柯维茨模型中，如果不允许卖空，由两种风险证券构建的证券组合的 可行域可能是均值标准差平面上（）。 A.一个无限区域 B.一条折线段 C.一条直线段 D.一条光滑的曲线段 正确答案：B,C,D 解析：考查两种证券组合的可行域。 3.下列表述正确的有()。

A.由三种或三种以上不完全相关证券构成组合的可行域是一个平面区域 B.由两种证券构成组合的可行域可能是一条曲线,该曲线的弯曲程度由这两种证券收益率之间的联动关系所决定 C.由两种证券构成组合的可行域可能是一条曲线,该曲线的弯曲程度由这两种证券风险之间的联动关系所决定 D.由两种证券构成组合的可行域可能是一条曲线,该曲线的弯曲程度由这两种证券投资比重所决定 正确答案：A,B 解析：组合线实际上在期望收益率和标准差的坐标系中描述了证券A和证券B所有可能的组合；一般而言，当由多种证券（不少于三种证券）构造证券组合时，组合可行域是所有合法证券组合构成的坐标系中的一个区域。 4.如果证券A的投资收益率等于7%、9%、10%和12%的可能性均为25%，那么，证券A的期望收益率等于（ ）。 A.9.5% B.9.0% C.1.8% D.1.2% 正确答案：A 解析：P326求期望收益率的公式 ，E（r)=7%*25%+9%*25%+10%*25%+12*25%=9.5% 5.设有两种证券A和B，某投资者将一笔资金以xA的比例投资于A，以xB比例投资于B，如果到期时，A的收益率为rA，B的收益率为rB，则投资组合收益率rP为（ ）。 A.rA+rB B.xArA+xBrB C.rA/rB D.xArA/xBrB 正确答案：B 解析：P328中间，rP = xArA + xBrB 6.在投资组合构造过程中，面对不完全相关的多种风险资产，只关心风险的投资者选取的最佳组合为（ ）。

可行集、有效集

内容摘要：在证券投资中可以运用证券组合投资通过分散投资达到降低投资风险的目标。采用马科威茨理论中的约定，风险证券的评价采用预期收益率和收益率方差两项指标，从风险控制的角度出发，建立证券投资组合，以确定最优化的投资组合。 关键词：投资组合最优投资组合投资风险 在进行投资时，投资者最关心的就是收益和风险。证券投资者在市场经济的客观经济环境中面临着许多不能预测、经常变动的因素。这些因素的变动，往往使投资者的原有决策受到冲击，从而导致一些意外损益的发生。这就要求投资者在投资过程中预先估计这些可能发生的变动，从而减少风险。投资组合理论正是探讨在风险条件下如何进行分散投资，使投资总体结构达到最优，从而获得可能的最高收益的理论。所谓投资组合，就是把一定的资金分散投资于多种证券，使单个证券按一定的比例构成证券集合，从而实现既定风险水平下的预期收益率最大化。 要解决的问题是投资组合的优化问题，这一问题的实质是在给定风险水平下，寻求产生最大期望收益率的投资组合。或是在给定期望收益率下，寻求风险水平最低的投资组合。投资者进行投资决策必须遵循一定的标准。 马科威茨的投资组合选择理论 具体而言，马科威茨假设投资者遵循的是均值——方差标准。所谓均值——方差标准，是指投资者在证券收益率的均值(作为收益率的未来期望值)和方差(即观测到的收益率偏离均值的程度，作为风险的量化指标)之间进行权衡。如果两只证券的期望收益率相同，投资者总是愿意选择方差较小的那一只，即厌恶风险；反之，如果两只证券的方差相同，投资者总是愿意选择期望收益率较大的那一只，即永不满足。 无差异曲线 任一经济决策问题必须确定一个机会集和一个偏好函数。在投资组合理论中，效用函数代表着投资者偏好。 用于投资决策的效用函数是从微观经济学中借用过来的。投资者的目标是投资效用最大化，而投资效用取决于投资的预期收益率和风险，投资决策过程就是在预期收益率和风险(方差)之间进行取舍权衡的过程。投资者的效用函数可以通过在预期收益率-风险平面上，通过无差异曲线族表现出来。如图1所示。 一条无差异曲线(Indifferce Curve)代表着给投资者带来同等水平效用的预期收益率和风险的所有组合，因而也被称为等效用线。预期收益率一风险平面上的无差异曲线具有以下特点： 斜率为正()。即为了保证效用相同，如果投资者承担的风险增加，则其所要求的收益率也会增加。对于不同的投资者，其无差异曲线斜率越陡峭，表示其越厌恶风险，因为在一定风险水平上，为了让其多冒等量的额外风险，必须给予更高的额外补偿；反之，无差异曲线越平坦，表示其风险厌恶的程度越小。 下凸()。这意味着，随着风险的增加，要使投资者多承担等量的风险，其期望收益率补偿越来越高。直观表现在无差异曲线越来越陡峭。这一现象实际上是边际效用递减规律在投资上的表现。 不同的无差异曲线代表着不同的效用水平，给定不同的效用值，就可以得到上面的无差异曲线族。任两条无差异曲线都不会相交。越靠左上方，无差异曲线代表的效用水平越高。这一点理解起来也比较符合直觉。如图1所示，给定某一风险水平，越靠上方的曲线其对应

投资组合之——有效边界(Efficient frontier)

概述： 有效边界是用来描述一项投资组合的风险与回报之间的关系，在以风险为横轴，预期回报率为纵轴的坐标上显示为一条曲线，所有落在这条曲线上的风险回报组合都是在一定风险或最低风险下可以获得的最大回报。 基础： 1、追求收益最大化的规律特征 这一特征表现在：当风险水平相当时，理性投资者都偏好预期收益较高的交易。在可能的范围内，投资者总是选择收益率最高的资产；但是另一方面，与之相对的市场资金需求者为了自身收益最大化的要求则要选择成本最低的融资方式。 2、厌恶风险的规律特征 这一特征表现在，当预期收益相当时，理性投资者总是偏好风险较小的交易。风险越大，风险补偿额也就越高。 3、求效用最大化 追求效用最大化就是要选择能带来最大满足的风险与收益的资产组合。效用由无差异曲线表示，可供选择的最佳风险与收益组合的集合由有效益边界表示，效用曲线与有效益边界的切点就是提供最大效用的资产组合。 （1）风险厌恶的资金供应者的无差异曲线。金融市场的无差异曲线表示在一定的风险和收益水平下，资金供应者对不同资金组合的满足程度无区别的，即同等效用水平曲线。如下图是一组风险厌恶的资金供应者的无差异曲线。 不同水平的曲线代表着效用的大小，水平越高，效用越大，这里曲线C显然代表这最大效用。 风险厌恶投资者的无差异曲线图 曲线的凸向反映着资金供应者对风险的态度，由于X轴是风险变量，Y轴是预期收益变量，因此，曲线右凸反映风险厌恶偏好。风险厌恶者要求风险与收益成正比，曲线越陡，风险增加对收益补偿要求越高，对风险的厌恶越强烈；曲线斜度越小，风险厌恶程度越弱。风险中性的无差异曲线为水平线，风险偏好的无差异曲线为左凸曲线。 待续... 参考文献： 《证券投资学》第二版第10章证券组合管理

有效边界概念与最佳投资组合确定.

4、有效边界概念与最佳投资组合确定 了解了在证券投资组合中通过预期收益R和风险指标均方差COV两个指标来研究分析收益与风险的相互关系，以求得在风险即定的前提下，为追求收益的最大化，或在收益即定的前提下，达到最大限度的规避风险。这就是二维规划的含义。用图表表示： 此图的横轴表示证券组合的投资风险，纵轴表示为证券组合的预期收益水平，任何一种证券组合， 都将在图表中找到 所相对应的一点， 全部证券组合，即 构成图中ABCD所形 成的阴影部分，代 表人们面对的所有 投资机会。从中可 以看出，越是处于 图形上端的点。所对应的预期收益就越大，反之则越小；而越是位于图形右边的点，所对应的投资风险就越大，反之则越小。显然，A点代表了风险最小的证券组合，B点代表了预期收益最大的证券组合，除此之外，再也不可能存在其它比A点风险更小的和比B点预期收益更大的证券组合，从平面几何的筑图原理知道：这二维规划的可行性区域只能是在第二象限中，如果以360度为所有点的包容区域。那么最佳的组合点必定都落在90度~180度之间。如A点，它是证券组合中均方差最小的一点，即圆圈中180度此点必然可与纵轴相切，其它任何一点都只会加大风险度。而图中B点，它是证券组合中预期收益最大的一点，即圆圈中90度此点必然可与横轴相切，其它任何一点都只会减少预期收益。在圆内的任何一点，都可引伸出一条平行线在圆周上找到与其收益相对应的一点，但风险必然更大，即非有效组合。同理，也可引伸出一条垂直线在圆周上找到与其风险相对应的一点，但收益必然更小，也非有效组合。可见，只有落在AB曲线上的证券组合才是全部有效组合，AB曲线也是所有证券有效组合的有效边界，在有效边界以内的任何一点投资都是非有效的。我们曾提到的风险厌恶者，即保守的投资者，可选择A点附近的有效组合，虽然收益值较小，但是COV同样也小。反之，风险偏好者则可选择接近B点的有效组合，以搏取最大的收益值，同时承担相对应的高风险。

投资组合有效边界计算

6最优投资组合选择 最优投资组合选择的过程就是投资者将财富分配到不同资产从而使自己的效用达到最大的过程。然而，在进行这一决策之前，投资者首先必须弄清楚的是市场中有哪些资产组合可供选择以及这些资产组合的风险-收益特征是什么。虽然市场中金融资产的种类千差万别，但从风险-收益的角度看，我们可以将这些资产分为两类：无风险资产和风险资产。这样一来，市场中可能的资产组合就有如下几种：一个无风险资产和一个风险资产的组合；两个风险资产的组合；一个无风险资产和两个风险资产的组合。下面分别讨论。 一、 一个无风险资产和一个风险资产的组合 当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产的时候，我们可以假定投资者投资到风险资产上的财富比例为w ，投资到无风险资产上的财富比例为1-w ，这样一来，投资组合的收益就可以写为： 其中，r 为风险资产收益，这是一个随机变量；f r 为无风险资产的收益，这是一个常数。 这样，资产组合的期望收益和标准差就可以写出下述形式： (因为122 222122 )1(2)1(σσσσw w w w P -+-+=,2112122,0σσρσσ===0) 其中σ为风险资产的标准差。 根据上两式，我们可以消掉投资权重，并得到投资组合期望收益与标准差之间的关系： P f f P r r E r r E σσ -+ =)()( 3-1 当市场只有一个无风险资产和一个风险资产时，上式就是资产组合所以可能的风险-收益集合，又称为投资组合的可行集合。在期望收益-标准差平面上，3-1是一条直线，我们称这条直线为资本配置线。 随着投资者改变风险资产的投资权重w ，资产组合就落在资本配置线上的不同位置。具体来说，如果投资者将全部财富都投资到风险资产上1>w ，资产组合的期望收益和方差就是风险资产的期望收益和方差，资产组合与风险资产重合。如果投资者将全部财富都投资在无风险资产上0>w ，资产组合的期望收益和方差就是无风险资产的期望收益和方差，资产组合与无风险资产重合。风险资产r 与无风险资产f r 将配置线分为三段，其中，无风险资产和风险资产之间的部分意味着投资者投资在风险资产和无风险资产上的财富都是正值；此时10<w 。由于我们没有考虑卖空风险资产的问题，所以不存在0

财务估价基础 两种证券组合的机会集与有效集

2015年注册会计师资格考试内部资料 财务成本管理第四章　财务估价基础 知识点：两种证券组合的机会集与有效集 ● 详细描述： 【计算题】假设A证券的预期报酬率为10%，标准差是12%。B证券的预期报酬率是18%，标准差是20%。假设等比例投资于两种证券，即各占50%，且两种证券的相关系数为0.2。 要求： （1）计算该组合的预期报酬率； （2）计算该组合的标准差。　 【正确答案】该组合的预期报酬率为： rp＝10%×0.50＋18%×0.50＝14% σp＝12.65% 如果投资比例发生变化，投资组合的期望报酬率和标准差也会发生变化。计算结果见下表：不同投资比例的组合 将以上各点描绘在坐标图中，即可得到组合的机会集曲线 该图的几个主要特征：1.它揭示了分散化效应。2.它表达了最小方差的组合。3.它表达了投资的有效集合. 【相关性对机会集和有效集的影响】 组合对A的投资比例对B的投资比例组合的期望收益率组合的标准差11010.00%12.00%20.80.211.60%11.11%30.60.413.20%11.78%40.40.614.80%13.79%50.20.816.40%16.65%6 1 18.00% 20.00%

相关系数＝1，不具有风险分散化效应。 相关系数＜1，机会集为一条曲线，当相关系数足够小，机会集曲线向左侧凸出。　相关系数越小，风险分散效应越强；相关系数越大，风险分散效应越弱。 由两项资产构成的投资组合，其最高、最低预期报酬率组合点，以及最大方差组合点不变，但最小方差组合点却可能是变化的。 机会集不向左侧凸出——有效集与机会集重合。最小方差组合点为全部投资于A，最高预期报酬率组合点为全部投资于B。不会出现无效集。 机会集向左侧凸出——出现无效集。最小方差组合点不是全部投资于A，最高预期报酬率组合点不变。 例题： 1.有效集以外的投资组合与有效边界上的组合相比，不包括（）。 A.相同的标准差和较低的期望报酬率 B.相同的期望报酬率和较高的标准差 C.较低的报酬率和较高的标准差

证券组合管理与组合分析

第七章证券组合管理理论 第一节证券组合管理概述 一、证券组合的含义和类型 （一）证券组合的含义 证券组合：拥有的一种以上的有价证券的总称。其中可以包含各种股票、债券、存款 单等等。 （二）证券组合的类型 证券组合可以分为避税型、收入型、增长型、收入和增长型混合型、货币市场型、 国际型及指数化型 避税型证券组合通常投资于市政债券，这种债券免联邦税，也常常免州税和地方税。 收入型证券组合追求基本收益(即利息、股息收益)的最大化。能够带来基本收益的证 券有：附息债券、优先股及一些避税债券。 增长型证券组合以资本升值(即未来价格上升带来的价差收益)为目标。增长型组合往往选择相对于市场而言属于低风险高收益，或收益与风险成正比的证券。符合增长型证券 组合标准的证券一般具有以下特征： 1、收入和股息稳步增长； 2、收入增长率非常稳定； 3、低派息； 4、高预期收益； 5、总收益高，风险低。 此外，还需对企业做深入细致的分析，如产品需求、竞争对手的情况、经营特点、公 司管理状况等。 收入和增长混合型证券组合试图在基本收入与资本增长之间达到某种均衡，因此也称为均衡组合。二者的均衡可以通过两种组合方式获得，一种是使组合中的收入型证券和增

长型证券达到均衡，另一种是选择那些既能带来收益，又具有增长潜力。 货币市场型证券组合是由各种货币市场工具构成的，如国库券、高信用等级的商业票 据等，安全性极强。 国际型证券组合投资于海外不同国家，是组合管理的时代潮流，实证研究结果表明，这种证券组合的业绩总体上强于只在本土投资的组合。 指数化证券组合模拟某种市场指数，以求获得市场平均的收益水平。 二、证券组合管理的意义和特点 1、意义 实现投资目标——风险最小、收益最大 2、特点 （1）投资的分散性； （2）风险与收益的匹配。 三、证券组合管理的方法和步骤 （一）方法 被动管理和主动管理。 （二）步骤 1、确定证券投资政策； 2、进行证券投资分析； 3、组建证券投资组合； 4、投资组合修正； 5、投资组合业绩评估。 四、现代证券组组合理论体系的形成与发展 1952年，美国经济学哈里?马克威茨发表了《证券组合选择》的论文，作为现代证券组合管理理论的开端。马克威茨对风险和收益进行了量化，建立的是均值方差模型。 夏普、林特和莫森分别于1964．1965和1966年提出了资本资产定价模型 CAPM。 罗斯提出了套利定价理论APT。 第二节证券组合分析

均值-方差分析方法和投资组合有效边界模型。

该理论包含两个重要内容：均值－方差分析方法和投资组合有效边界模型。在发达的证券市场中，马科维茨投资组合理论早已在实践中被证明是行之有效的，并且被广泛应用于组合选择和资产配置。但是，我国的证券理论界和实务界对于该理论是否适合于我国股票市场一直存有较大争议。从狭义的角度来说，投资组合是规定了投资比例的一揽子有价证券，当然，单只证券也可以当作特殊的投资组合。本文讨论的投资组合限于由股票和无风险资产构成的投资组合。人们进行投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进行选择。投资组合理论用均值—方差来刻画这两个关键因素。所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例。当然，股票的收益包括分红派息和资本增值两部分。所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。人们在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢？这正是投资组合理论研究的中心问题。投资组合理论研究“理性投资者”如何选择优化投资组合。所谓理性投资者，是指这样的投资者：他们在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化，或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化。因此把上述优化投资组合在以波动率为横坐标，收益率为纵坐标的二维平面中描绘出来，形成一条曲线。这条曲线上有一个点，其波动率最低，称之为最小方差点（英文缩写是MVP）。这条曲线在最小方差点以上的部分就是著名的（马考维茨）投资组合有效边界，对应的投资组合称为有效投资组合。投资组合有

效边界一条单调递增的凹曲线。如果投资范围中不包含无风险资产（无风险资产的波动率为零），曲线AMB是一条典型的有效边界。A点对应于投资范围中收益率最高的证券。如果在投资范围中加入无风险资产，那么投资组合有效边界是曲线AMC。C点表示无风险资产，线段CM是曲线AMB的切线，M是切点。M点对应的投资组合被称为“市场组合”。如果市场允许卖空，那么AMB 是二次曲线；如果限制卖空，那么AMB是分段二次曲线。在实际应用中，限制卖空的投资组合有效边界要比允许卖空的情形复杂得多，计算量也要大得多。在波动率－收益率二维平面上，任意一个投资组合要么落在有效边界上，要么处于有效边界之下。因此，有效边界包含了全部（帕雷托）最优投资组合，理性投资者只需在有效边界上选择投资组合。 [编辑本段]现代投资理论的产生与发展 现代投资组合理论主要由投资组合理论、资本资产定价模型、APT模型、有效市场理论以及行为金融理论等部分组成。它们的发展极大地改变了过去主要依赖基本分析的传统投资管理实践，使现代投资管理日益朝着系统化、科学化、组合化的方向发展。1952年3月，美国经济学哈里·马考威茨发表了《证券组合选择》的论文，作为现代证券组合管理理论的开端。马克威茨对风险和收益进行了量化，建立的是均值方差模型，提出了确定最佳资产组合的基本模型。由于这一方法要求计算所有资产的协方差矩阵，严重制约了其在实践中的应用。1963年，威廉·夏普提出了可以对协方差矩阵加以

最小方差套期保值比率

附录：最小方差套期保值比率（对冲率） 可以通过股票指数期货演示如何得到对冲现货头寸的最优期货合约数量。假设A 持有充分分散化的股票组合现货头寸，并且完全模拟市场指数（如S&P500），但是担心价格下跌，希望使用期货合约对持有的头寸对冲。已知： S=S&P500指数现价 TVS 0=初始持有现货总值（就是150万美元） F=期货价格（S&P500指数期货） FVF 0=一份期货合约的账面价值 N S,0=现货持有的指数单位数量 N f =持有的期货合约数量 S 0=1500 F 0= “合约乘数”或者S&P500指数每点价值z=250美元。因此 FVF 0=F 0z （） 如果现货头寸是TVS0美元，投资者初始持有NS,0单位指数，则 N S,0=TVS 0/S 0=1500000/1500=1000单位指数 （） t=0时，对冲者在现货市场上为多头，因此在期货市场上空头卖出N f 份合约。在t=1时刻，结清持有的头寸，对冲的组合价值变化如下： z F N S N z F F N S S N A V f S f S )()()() 3.3(0,01010,?-?=---=+=?期货头寸的变化 即期市场头寸的变化 。其中，0101,F F F S S S -=?-=? 对冲组合的方差是 )4.3(2)()(,2 2222A z N N z N N F S f S F f S S V ????-+=σσσσ 其中，2 V ?σ是S 的变化的方差。对公式（）的Nf 微分，并使之为零（来得到最小值），也就 是0 2 =??f V N σ，得到最优值： )5.3(,0,2 2A z N z N F S S F f ???=σσ )6.3()( 2,0,A z N N F F S S f ???=σσ 代替公式（）中的0,S N ，得到最小方差对冲率 )7.3(0)(,2,00A t zS TVS N F S F F S f ???????? ??===βσσ时现货指数的价值现货头寸的总价值 其中，“beta ”为现货资产绝对变化量△S 对期货价格绝对变化量△F 回归得到的回归系数： )8.3()(,0A F S t F S εβα+?+=???

资产组合有效集定理

资产组合的有效集定理 (一)资产组合收益与风险的测定 1、资产组合的收益 资产组合的预期收益是资产组合中所有资产预期收益率的加权平均。设一项资产组合中含有n项资产，令r i表示第i种资产的收益率，w i表示第i种资产在组合中的比例。则组合P的预期收益率为： E(r P)=E(w1r1+ w2r2…+ w n r n) = w1E(r1)+ w2E(r2)+…+ w n E(r n) =∑w i E(r i) 其中，∑w i =1，i=1，2，…，n。 2、资产组合的风险 衡量资产组合风险的工具是证券组合的方差。资产组合的方差不仅和其组成资产的方差有关，同时还与组成资产之间的相关程度有关。 对于有n项资产的组合P来说，其总方差为： σ P 2=∑∑w i w j cov(r i ，r j)；w i和w j分别表示资产i和资产j的投资权重 其中当i=j时，cov(r i，r j)表示资产i收益的方差，即cov(r i，r j)=σi2 当i≠j时，cov(r i，r j)表示资产i和资产j收益间的协方差。用公式表示： cov(r i ，r j) =E{[ r i- E(r i)][ r j- E(r j)]} 协方差反映了两个证券收益同时变化的测度。 如果cov(r i，r j)>0，即协方差为正数，那么证券i和证券j的收益呈同向变化，即当证券i的收益大于其预期收益E(r i)时，证券j的收益也大于它的预期收益。 反之，如果cov(r i，r j)<0，即协方差为负数，那么证券i和证券j的收益呈反向变化。

为了能更清晰地说明两个证券之间的相关程度，通常把协方差正规化，使用资产i和资产j收益间的相关系数ρij，用公示表示: ρij= cov(r i，r j)/σiσj，其中σi和σj分别表示证券i和j的标准差，ρij的取值范围为[-1,1]。 当ρij=1时，证券i和j是完全正相关的。 当ρij=-1时，证券i和j是完全负相关的。 当ρij=0时，证券i和j之间不存在相关关系 重点关注由两种证券构成的投资组合： 这一投资组合的收益： E(r P)=E(w1r1+ w2r2)= w1E(r1)+ w2E(r2) 这一投资组合的方差： σ P 2=w 1 2σ 1 2+w 2 2σ 2 2+ 2w 1 w 2 cov(r 1 ，r2) =w12σ12+w22σ22+ 2w1w2ρ12σ1σ2 当ρ 12=1时，σ P =w1σ1+w2σ2；此时组合标准差等于组合中单个证券标准差 的加权平均值。 当ρ 12=0时，σ P =(w12σ12+w22σ22)1/2 当ρ 12=-1时，σ P =｜w1σ1-w2σ2｜ 显然，投资组合的标准差在ρ 12=-1时最小，ρ 12 =1时最大。 例：已知证券组合P是由证券1和证券2构成，两种证券的预期收益和标准差分别为E(r1)=20%，σ1=10%；E(r2)=25%，σ2=20%，并且两种证券的权重分别为w1=w2=50%，请计算由这两种证券所构成的证券组合P的预期收益率，并分别 计算ρ 12=1，ρ 12 =0，ρ 12 =-1时证券组合P的标准差。 答：证券组合P的预期收益率为：

6投资组合有效边界计算要点

6最优投资组合选择 最优投资组合选择的过程就是投资者将财富分配到不同资产从而使自己的效用达到最大的过程。然而，在进行这一决策之前，投资者首先必须弄清楚的是市场中有哪些资产组合可供选择以及这些资产组合的风险-收益特征是什么。虽然市场中金融资产的种类千差万别，但从风险-收益的角度看，我们可以将这些资产分为两类：无风险资产和风险资产。这样一来，市场中可能的资产组合就有如下几种：一个无风险资产和一个风险资产的组合；两个风险资产的组合；一个无风险资产和两个风险资产的组合。下面分别讨论。 一、一个无风险资产和一个风险资产的组合 当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产的时候，我们可以假定投资者投资到风险资产上的财富比例为w ，投资到无风险资产上的财富比例为1-w ，这样一来，投资组合的收益就可以写为： f P r w r w r )1(-+= 其中，r 为风险资产收益，这是一个随机变量；f r 为无风险资产的收益，这是一个常数。 这样，资产组合的期望收益和标准差就可以写出下述形式： f P r w r wE r E )1()()(-+= σσw P = (因为122 22212 2 )1(2)1(σσσσw w w w P -+-+=,2112122,0σσρσσ===0) 其中σ为风险资产的标准差。 根据上两式，我们可以消掉投资权重，并得到投资组合期望收益与标准差之间的关系： P f f P r r E r r E σσ -+ =)()( 3-1 当市场只有一个无风险资产和一个风险资产时，上式就是资产组合所以可能的风险-收益集合，又称为投资组合的可行集合。在期望收益-标准差平面上，3-1是一条直线，我们称这条直线为资本配置线。

投资组合有效边界的实证应用分析【开题报告】

毕业论文开题报告 数学与应用数学 投资组合有效边界的实证应用分析 一、选题的背景、意义 随着我国社会主义市场经济的确立与发展，各种各样的投资手段正以前所未有的速度出现，投资组合作为筹集社会闲散资金、调节社会资本分配的一种有效方式和直接融资的一种手段，必将在社会经济生活中占据日益重要的地位。在进行投资时，投资者最关心的就是收益和风险。投资者在市场经济的客观经济环境中面临着许多不能预测、经常变动的因素。这些因素的变动，往往使投资者的原有决策受到冲击，从而导致一些意外损益的发生。这就要求投资者在投资过程中预先估计这些可能发生的变动，从而减少风险。 1952年，Markowitz首先提出了投资者在不确定条件下配置金融资产的理论，即投资组合的均值-方差模型。他提出的投资组合选择理论奠定了现代组合投资理论的基础，带动了金融市场理论的创新，并被誉为金融领域的一场革命。在此基础上，1964年，Sharpe建立了资本资产定价模型（CAPM）。该模型给出了资产的收益、风险以及两者之间的精确描述。投资组合理论的模型均是在其间接前提假设和直接均衡条件下推导出来的。Markowitz的均值-方差模型是根据投资者力求收益最大和风险最小这两个相互制约的目标达到平衡的条件而建立的，从而得出有效组合，或者说，在有相同风险水平的可行投资组合中，期望收益最大的组合集构成投资组合的有效边界，即有相同收益水平的可行投资组合中，风险最小的组合集的上半部分构成投资组合的有效边界。 投资组合理论是探讨在风险条件下如何进行分散投资，使投资总体结构达到最优，从而获得可能的最高收益的理论。投资组合理论，尤其是现代投资组合理论的出现，无疑为投资者进行投资决策提供了有力的工具，使投资方案的优劣有了明确的度量方法。投资组合理论中的绝大部分都隐含着信息完全对称的假设，而我国市场目前仍然处于发展初期，信息的完整性、均匀分布性、完全实用性较差，这必然为投资组合理论的应用带来了障碍，但是我们应该看到投资组合理论对投资的指导意义是不容置疑的。 目前，我国市场的一个特点是价格波动幅度大，系统风险较大，当投资者进行投资时应该针对各资产之间的相关性对其进行分组, 使每组内资产的相关性尽量大，而使每组资产之

数理金融学作业1最优投资组合的计算(1)：不存在无风险资产情形

最优投资组合的计算（1）：不存在无风险资产情形 1.(1)什么是最小方差资产组合？ （2）写出标准的最小方差资产组合的数学模型。（即不存在无风险资产时期望收益率为p r 的模型） （3）求解该模型，即求权重表达式及最小方差表达式 （4）已知市场上有两种证券，它们的收益率向量为12(,)T X X X =,假设X 服从联合正态分布，其期望收益率向量为()(1,2,0.5)T E X m ==,X 的 协方差矩阵为230 350001轾犏犏=犏犏臌 ? ，设某投资者的投资选择组合为12(,)T w w w = 求由这两种证券组成的均值-方差最优资产组合（允许卖空）12(,)T w w w =与其对应的最小方差，并画出有效前沿图。 2.解：(1)最小方差资产组合是指对确定的期望收益率水平有最小的方差之资产组合。 (2)对一定期望收益率p r ，选择资产组合使其总风险最小的数学模型为： 211min 22..()11 T p T p p T w w s t E X w r w s m ==壮?? （3）应用标准的拉格朗日乘数法求解：令 其中1l 和2l 为待定参数，最优解应满足的一阶条件为： 121 2 10; 0;110; T T p T L w w L r w L w l m l m l l ?=-????=-???=-??? 得最优解：* 1 12(1)w l m l -=? ? 。 令1 1 1 ,11,T T T a b m m m m ---===邋 1 211,T c ac b -=D =-? 则12,.p p r c b a r b l l --= = D D 最小方差资产组合方差为：2 **21()T p p c b w w r c c s == -+D ? 当p b r c =时，资产组合达到最优组合，最优组合*1 11w c -= ? ， 最优组合方差为：*2 1p c s =。

证券投资组合理论运用.

证券投资组合理论运用 摘要：本文分析了建立现代证券投资组合（Portfolio）理论的基本假设，对假设中的市场效率、风险测度、参数估计时效性、零交易费用等，提出了马科维茨（Markowitz）证券组合理论在我国运用存在的主要问题，并对组合证券投资优化模型的改进提出了自己的思路。关键词：证券市场；投资组合模型；投资收益投资组合（Portfolio）是投资者同时投资于多种证券，如股票、债券、存款单等，投资组合不是券种的简单随意组合，它体现了投资者的意愿和投资者所受到的约束，即受到投资者对投资收益的权衡、投资比例的分配；投资风险的偏好等的限制。对此，西方现代投资组合理论中马科维茨（Markowitz）投资组合理论、夏普资本资产定价理论等为我们提供了理论上的指导，然而由于该诸理论与中国实际之间存在较大差距。因而本文着重探讨马科维茨证券投资组合理论在我国运用存在的问题及解决思路。一、证券组合的收益—风险衡量与马科维茨假设条件设一投资组合具有n种证券，其收益率分别为r1，r2……rn，用向量表示为r=（r1，r2……rn）T，期望值向量E（r）=（u1，u2……un）T反映了各种证券的期望收益率，方差 δ2i=D（r1）反映了第i种证券的风险，协方差δij=δji=cov（ri，rj）反映了第i种证券与第j种证券收益率的相关系数（i，j；1、2……n），V=（δij）为r的协方差阵。X=（x1，x2……xn）T表示组合证券投资比例向量，满足enT=1，其中en=（1，1……1）T为元素全为1的n维列向量。组合证券投资的收益率为R=rTX=∑xiri.则投资组合的期望收益率m=E（R）=UTX，投资组合的风险（方差）δ2=D（R）=∑∑XiXjδij=XTVX 马科维茨证券组合理论认为：投资者进行决策时总希望尽可能小的风险获得尽可能大的收益，或在收益率一定的情况下，尽可能降低风险，即研究在满足预期收益率m≥m0的情况下，使其风险最小；或在满足既定风险δ2≤δ2.的情况下，使其收益最大，也即通过下面模型（A）或（B）来进行证券组合投资决策。 minδ2=XTVX maxm=uTx {uTx≥m0 {XTVX≤δ20 模型（A）S.t.{eTx=1 模型（B）S.t.{eTnx=a {X≥0{X≥1 Markowitz组合投资思想被投资者广泛接受，但他的定量模型是建立在一系列严格的假设条件基础之上的，主要包括：（1）证券市场是有效的，证券的价格反映了证券的内在经济价值，每个投资者都掌握了充分的信息，了解每种证券的期望收益率及标准差，不存在交易费用和税收，投资者是价格接受者，证券是无限可分的，必要的话可以购买部分股权。（2）证券投资者的目标是：在给定的风险水平上收益最大，或在给定的收益水平上风险最低，就是说，投资者都是厌恶风险的。（3）投资者将基于收益的均值和标准差或方差来选择最优资产投资组合，如果要他们选择风险（方差）较高的方案，他们都要求有额外的收益率作为补偿。（4）投资者追求其每期财富期望效用的极大化，投资者具有单周期视野，所有Xi是非负的，即不允许买空与卖空。二、马科维茨证券投资组合理论在我国运用存在的问题除马科维茨理论不允许买空和卖空的假设与我国当前的金融证券市场的情况比较吻合外，该理论与我国证券市场投资者组合投资实践尚存在众多的问题。 1.市场有效性问题。据美国财务学教授尤金。法玛（EugeneFama）的有效市场假说，只有当股票市场上股票价格能够及时且不偏不倚地充分反映市场上的所有信息时，市场才是有效的。有效的股票市场是一

投资组合管理第二次作业计算有效边界及

第二次作业 龚晓飞目录： 一、数据说明 二、计算有效边界 三、计算最小方差点 四、计算市场组合 五、计算资本市场线 六、计算结果 一、数据说明 这里选取了中国股票市场的四支股票，计算出了其从2004-2012年的年平均收益率及协方差矩阵。结果如下： 编号协方差矩阵预期收益1 2 3 4 假定无风险利率是。 二、计算有效边界 假定为资产组合的权重向量，为协方差矩阵，是股票预期收益向量（历史数据的平均值），为资产组合的收益，为资产组合的标准差，为各个分量都为1且与 维数相同的列向量，为无风险利率。 对于无卖空限制的市场： 对于有卖空限制的市场：

对于第一个优化问题，可以使用Lagrange乘子法直接算出解的显式表达，有效前沿的表达式为： 利用上面的表达式可以直接用matlab或excel画出有效前沿。 另外对第一个优化问题，可以用更加简单的方法来画有效前沿。可以证明，给定后，可以得到与之对应的最小方差，只要赋给两个不同的值，同时得到两个相应的最小方差组合，这两个资产组合的凸组合可以形成整个有效前沿。也就是说，假定及是两个不同的前沿组合，那么，任何其它的前沿组合都可以用来表达。 对于第二个优化问题，无法直接求得显式解，只能使用matlab或excel的二次规划函数（quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)）来求解出不同的所对应的最小方差，然后用这两组数据来画出有效前沿。 三、计算最小方差点 以下所用记号的含义与前面相同，计算最小方差点仍然要分下面两种情况。 对于无卖空限制的市场： 对于有卖空限制的市场： 对于第一个优化问题，与前面一样可以使用Lagrange乘子法直接算出解的显式表达，最小方差点的收益与标准差的表达式为： 上面结果也可以直接从下面表达式得到：