课时作业1 正弦定理
时间：45分钟 满分：100分
课堂训练
1．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )
A.π
12 B.π
6 C.π4 D.π3
【答案】 D
【解析】 本题考查了正弦定理由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝3
2， ∴∠A ＝π
3.
2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π
3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )
A ．1
B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】 B
【解析】 由正弦定理a sin A ＝b
sin B ， 可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12，
故∠B ＝30°或150°， 由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°，
由勾股定理得c ＝2，故选B.
3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝5
6π，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】
102
【解析】 ∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝10
10.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π
1010
＝10
2.
4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长．
【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A .
【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∵AB >AC ，∴∠C >∠B ，
又∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°或120°.
(1)如图(1)，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，
BC ＝4，△ABC 的周长为6＋23；
(2)如图(2)，当∠C ＝120°时，∠A ＝30°，∠A ＝∠B ，BC ＝AC ＝2，△ABC 的周长为4＋2 3.
综上，△ABC 的周长为6＋23或4＋2 3.
【规律方法】 已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角．
课后作业
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形
【答案】 B
【解析】 ∵sin A ＝sin C ，∴由正弦定理得a ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，故选B.
2．已知△ABC 的三个内角之比为A :B :C ＝1:2:3，那么a b c ＝( )
A ．1:2:3
B ．1:2: 3
C ．1: 2 : 3
D ．1: 3 :2 【答案】 D
【解析】 设∠A ＝k ，∠B ＝2k ，∠C ＝3k ，由∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°得，k ＋2k ＋3k ＝180°，∴k ＝30°，故∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°.
由正弦定理得a :b :c ＝sin A :sin B :sin C ＝sin30°:sin60°:sin90°＝1: 3 :2.
3．在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则( ) A ．b ＝4 2 B ．b ＝4 3 C ．b ＝4 6
D ．b ＝32
3
【答案】 C
【解析】 ∠A ＝180°－60°－75°＝45°，由a sin A ＝b
sin B 可得b ＝a sin B sin A ＝8sin60°
sin45°＝4 6.
4．已知△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝π
6，则B ＝( ) A.π3 B.23π C.π3或23π D.56π或π6
【答案】 C
【解析】 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A
a ， ∴sin B ＝3·sin30°1
＝32，∴B ＝π3或2
3π. 5．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积S 等于( )
A ．32 3
B ．16
C ．326或16
D ．323或16 3 【答案】 D
【解析】 由正弦定理，知 sin B ＝b sin A a ＝83sin30°8
＝32， 又b >a ，∴∠B >∠A ，∴∠B ＝60°或120°. ∴∠C ＝90°或30°.
∴S ＝1
2ab sin C 的值有两个，即323或16 3.
6．在△ABC 中，cos A cos B ＝b a ＝8
5，则△ABC 的形状为( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰三角形
D ．直角三角形
【答案】 D
【解析】 ∵cos A cos B ＝b a ＝sin B
sin A ，即sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2，又cos A ≠cos B ，∴∠A ≠∠B ，∴∠A ＋∠B ＝π
2，∴△ABC 为直角三角形．
7．已知△ABC 中，2sin B －3sin A ＝0，∠C ＝π
6，S △ABC ＝6，则a ＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】 B
【解析】 由正弦定理得a sin A ＝b
sin B ，故由2sin B －3sin A ＝0， 得2b ＝3a .①
又S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π
6＝6， ∴ab ＝24.②
解①②组成的方程组得a ＝4，b ＝6.故选B.
8．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C 等于( )
A.833
B.2393
C.263
3 D ．2 3 【答案】 B
【解析】 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C
＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝239
3.
二、填空题(每小题10分，共20分)
9．在△ABC 中，b 2－c 2a 2sin 2A ＋c 2－a 2b 2sin 2B ＋a 2－b 2c 2sin 2
C 的值为________．
【答案】 0
【解析】 可利用正弦定理的变形形式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入原式即可．
10．在锐角三角形ABC 中，若∠A ＝2∠B ，则a
b 的取值范围是________．
【答案】 (2，3)
【解析】 ∵△ABC 为锐角三角形，且∠A ＝2∠B ， ∴?????
0<2∠B <π2，
0<π－3∠B <π2，
∴π6<∠B <π
4.
∵∠A ＝2∠B ，∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，∴a b ＝sin A
sin B ＝2cos B ∈(2，3)．
三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．(1)在△ABC 中，已知a ＝5，∠B ＝45°，∠C ＝105°，求b . (2)在△ABC 中，已知∠A ＝45°，a ＝2，b ＝2，求B .
【解析】 (1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a ·sin B sin A ＝
5·sin45°sin30°
＝5 2. (2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin45°2＝1
2. 又∵0°<∠B <180°，且a >b ，∴∠B ＝30°.
【规律方法】 (1)中要注意在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°的运用，另外sin105°＝sin75°＝sin(45°＋30)＝6＋24.(2)中要注意运用三角形中大边对大角的性质，判定解的个数．
12．在△ABC 中，已知sin A ＝sin B ＋sin C
cos B ＋cos C ，判断△ABC 的形状．
【分析】 当式子中只有角或只有边时，一般将其一端化为零，另一端化为因式之积，再因式分解，进而判断三角形的形状．
【解析】 ∵sin A ＝
sin B ＋sin C
cos B ＋cos C
，
∴sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C . ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，
∴sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＋sin(A ＋B )． ∴sin A cos B ＋sin A cos C
＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A cos B ＋cos A sin B . ∴cos A sin C ＋sin B cos A ＝0. ∴cos A (sin B ＋sin C )＝0.
∵∠B ，∠C ∈(0，π)，∴sin B ＋sin C ≠0.
∴cos A ＝0，∴∠A ＝π
2，∴△ABC 为直角三角形．