04—正弦定理和余弦定理
突破点(一) 利用正、余弦定理解三角形
利用正弦定理解三角形
利用正弦定理可以解决的两类问题:(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况.
[例1] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1
2
b ，且
a >
b ，则B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π
6
(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π
6
，则b ＝________.
[解析] (1)利用正弦定理的变形，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 中，得2R sin A ·sin B cos C ＋2R sin C sin B cos A ＝12×2R sin B ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12
，即
sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12.已知a >b ，所以B 不是最大角，所以B ＝π
6
.
(2)在△ABC 中，∵sin B ＝12，0
6，
∴A ＝π－π6－π6＝2π
3.∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A
＝1.[答案] (1)A (2)1
(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍． (2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断．
利用余弦定理解三角形
边，求三个内角．
[例2] (1)在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，则这个三角形的最大边等于( ) A ．4 B ．14 C ．4或14 D ．24
(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋3
2
c ＝b ，则A ＝________.
[解析] (1)因为a －b ＝4，所以b ＝a －4且a >b .又a ＋c ＝2b ，所以c ＝a －8，所以a 大于c ，则A ＝120°.
由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)·(a －8)·???
?－12，所以a 2－18a ＋56＝0. 所以a ＝14或a ＝4(舍去)．故选B.
(2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将其代入a cos C ＋32c ＝b 中得，a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋3
2
c ＝b ，化简
整理得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，所以A ＝π6.[答案] (1)B (2)π6
利用正、余弦定理解三角形
[例3] 设△ABC 1，A ＝2B .
(1)求a 的值；(2)求sin ???
?A ＋π
4的值． [解] (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理，得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 2
2ac
.因为b
＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.
(2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.因为0 1 9 ＝223.故sin ????A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝4－26 . [方法技巧] 正、余弦定理的运用技巧 解三角形时，一般是根据正弦定理求边或列等式，若式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中一个角之间的关系，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到． 突破点(二) 利用正、余弦定理判断三角形的形状 1．应用余弦定理判断三角形形状的方法：在△ABC 中，c 是最大的边，若c 2a 2＋b 2，则△ABC 是钝角三角形． 2．判断三角形形状的常用技巧：若已知条件中既有边又有角，则：(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论. 利用正、余弦定理判断三角形的形状 [典例] (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c b A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 (2)(2017·锦州模拟)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形 [解析] (1)已知c b sin B A ，即sin B ·cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，则B 为钝角，所以△AB C 是钝角三角形． (2)∵cos 2 B 2＝a ＋c 2c ，∴1＋cos B 2＝a ＋c 2c ，即1＋cos B ＝a ＋c c .由余弦定理得1＋a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c c .整理得 c 2＝a 2＋b 2，即△ABC 为直角三角形．[答案] (1)A (2)B [易错提醒] 在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 突破点(三) 正、余弦定理的综合应用 三角形面积问题 练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解． [例1] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2b －c )cos A ＝a cos C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，b ＝2c ，求△ABC 的面积． [解] (1)根据正弦定理，由(2b －c )cos A ＝a cos C ，得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， 即2sin B cos A ＝sin(A ＋C )，所以2sin B cos A ＝sin B ，因为0