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D三角函数正弦定理和余弦定理

(文）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =

， (sin ,sin )n B A = ，(2,2)p b a =--

(1)若m //n

，求证：ΔABC 为等腰三角形；

(2)若m ⊥p ，边长c = 2，角ΔABC 的面积 .

答案：

证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v

即22a b

a b R R

=?，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b =. ABC ∴?为等腰三角形

（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v

即

a b ab ∴+=

由余弦定理可知， 2

4()3a b ab a b ab =+-=+-

2()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去.

sin 4sin 223

S ab C π

∴=

=??=

来源：09年高考上海卷题型：解答题，难度：中档

(文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===

（Ⅰ）求AB 的值。（Ⅱ）求)4

2sin(π

A 的值。

答案：

（1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理，

C AB sin sin =，于是522sin sin ===BC A

AB （2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC

AB BC AC AB A ?-+=2cos 2

于是A A 2cos 1sin -==

5，从而5

3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-==

=A A A A A A 10

4sin 2cos 4cos 2sin )42sin(=-=-πππA A A

来源：09年高考江西卷题型：解答题，难度：容易

在⊿ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且

3cos 2,sin 5A B ==

（I ）求A B +的值；（II ）若1a b +=

，求,,a b c 的值。

答案：

（Ⅰ）A 、B 为锐角，sin B =cos B ∴== 又2

cos 212sin 5

A A =-=

，

sin A ∴=

，cos A ==，

cos()cos cos sin sin 5105102

A B A B A B ∴+=-=-=

0A B π<+<

A B π

∴+=

…………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知34C π=,sin 2

C ∴=.. 由正弦定理

sin sin sin a b c A B C

==得

=，即a =，c =

1a b -=

Q ， 1b -=，1b ∴=

a ∴= ……………………………………12分

来源：09年高考四川卷题型：解答题，难度：中档

（文）在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=

(Ⅰ)确定角C 的大小：（Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为

3,求a ＋b 的值。

答案：

（1

2sin c A =

及正弦定理得，

sin sin a A c C ==.

sin 0,sin 2

A C ≠∴=

Q ABC ?Q 是锐角三角形，3

C π

∴=

（2）解法1

：.3

c C π

Q 由面积公式得

1sin 623ab ab π==即 ① 由余弦定理得

22222cos

7,73

a b ab a b ab π

+-=+-=即 ②

由②变形得25,5a b =+=2

（a+b)故解法2：前同解法1，联立①、②得

2222766

a b ab a b ab ab ??+-=+??

?==??＝１３

消去b 并整理得4

13360a a -+=解得2

49a a ==或所以23

a a

b b ==???

==??或故5a b +=.

来源：09年高考湖北卷题型：解答题，难度：容易

为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。

答案：

方案一：①需要测量的数据有：A

点到M ，N 点的俯角；B 点到M ，

N 的俯角22,αβ；A ，B 的距离 d （如图所示） . ……….3分 ②第一步：计算AM . 由正弦定理2

12sin sin()

d AM ααα=

+ ；

第二步：计算AN . 由正弦定理2

21sin sin()

d AN βββ=- ；

第三步：计算MN. 由余弦定理

,αβ

MN = .

方案二：①需要测量的数据有：

A 点到M ，N 点的俯角1α，1β；

B 点到M ，N 点的府角2α，2β；A ，B 的距离 d （如图所示）.

②第一步：计算BM . 由正弦定理1

12sin sin()

d BM ααα=

+ ；

第二步：计算BN . 由正弦定理1

21sin sin()

d BN βββ=- ；

第三步：计算MN .

由余弦定理

MN =

来源：09年高考宁夏海南卷题型：解答题，难度：中档

(文)在ABC ?中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、

，且

sin 510

A B =

（I ）求A B +的值（II

）若1a b -=，求a b c 、、的值。

答案：

（I ）∵A B 、

为锐角，sin A B =

= ∴

cos A B ==

cos()cos cos sin sin 5105102

A B A B A B +=-=

-= ∵ 0A B π<+< ∴ 4

A B π

…………………………………………6分

（II ）由（I ）知34C π=，∴ sin 2

C = 由

sin sin sin a b c

A B C

==得

=，即,a c =

又∵ 1a b -=

∴

b -=

∴ 1b =

∴ ,a c ==

…………………………………………12分

来源：09年高考四川卷题型：解答题，难度：中档

△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，

sin sin tan cos cos A B

C A B

+,sin()cos B A C -=.

（1）求,A C ；（2）若3ABC S ?=求,a c ..

答案：

(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=

+，即sin sin sin cos cos cos C A B

C A B

+=+，

所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，

得 sin()sin()C A B C -=-. 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立).

即 2C A B =+, 得3

C π

，所以.23

B A π+=

又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56

B A π-=（舍去）得5,4

A B π

(2)1sin 328

ABC S ac B ac ?=

== 又

sin sin a c A C =, 即

=，

得a c ==

来源：09年高考江西卷题型：解答题，难度：中档

(文）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6

A π

，(12c b =.

（1）求C ；

（2

）若1CB CA ?=

a ,

b ，

c .

答案：

（1

）由(12c b = 得

1sin 22sin b B

c C

=+=

则有

55sin()

sin

cos cos sin 666sin sin C C C

ππ

π-

--=

=11cot 22C +=+ 得cot 1C = 即4

C π

（2）

由1CB CA ?=

推出

cos 1ab C =；而4

C π

即得

ab =则有

12(12sin sin ab c b a c A C =+??

+=???=?? 解得

12a b c ?=??

=+??=??

来源：09年高考江西卷题型：解答题，难度：容易

在?ABC 中，sin()1C A -=, sin B=

. （I ）求sin A 的值； (II)设

?ABC 的面积.

答案：

（Ⅰ）由2C A π-=

，且C A B π+=-，∴42

A π=-，∴

sin sin()sin )42222

B B B

A π=-=-，

∴2

11sin (1sin )23A B =-=，又sin 0A >

，∴sin A =

（Ⅱ）如图，由正弦定理得sin sin AC BC

B A

∴sin 31sin 3

AC A

BC B

=sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+

133333

+?=

∴11sin 223

ABC S AC BC C ?=

??==

来源：09年高考安徽卷题型：解答题，难度：容易

在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,,3

a b c B π

，4

cos ,5

A b =

= （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ?的面积.

答案：

（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4,cos 3

B A π

， A B

∴23,sin 35

C A A π=

-=，

∴21sin sin sin 32C A A A π??

=-=+=

???.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知33sin ,sin 510

A C +==

，

又∵,3

B b π

=ABC 中，由正弦定理，得

∴sin 6

sin 5

b A a B =

∴△ABC 的面积116sin 225S ab C =

=?=

来源：09年高考北京卷题型：解答题，难度：中档

(文）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos

A =

， 3AB AC ?=

. （I ）求ABC ?的面积；（II ）若1c =，求a 的值.

答案：

（Ⅰ）5

31)552(212cos

2cos 22

=-?=-=A A .

又),0(π∈A ，54cos 1sin 2

=-=A A ，而353cos .===bc A AC AB ，

所以5=bc ，所以ABC ?的面积为：25

521sin 21=??=A bc

（Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b

所以5232125cos 222=?-+=

-+=A bc c b a

来源：09年高考浙江卷题型：解答题，难度：容易

在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 2A =，3AB AC ?=

（I ）求ABC ?的面积；（II ）若6b c +=，求a 的值.

答案：

（I ）因为cos 2A =，234cos 2cos

1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ?= ，得cos 3,bc A =5bc ∴=，1

sin 22

ABC S bc A ?∴==.

（II ）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得

2222cos 20a b c bc A =+-=，a ∴=

来源：09年高考浙江卷题型：解答题，难度：容易

在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知2

2a c b -=，且

sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b

答案：

解法一：在ABC ?中sin cos 3cos sin ,A C A C = 则由正弦定理及余弦定理

有:222222

3,22a b c b c a a c ab bc +-+-=

化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.

解法二:由余弦定理得: 2

2cos a c b bc A -=-.又2

2a c b -=,0b ≠。所以2cos 2b c A =+…………………………………①

又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=

sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =

由正弦定理得sin sin b

B C c

，故4cos b c A =………………………② 由①，②解得4b =。

来源：09年高考全国卷一题型：解答题，难度：容易

在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，且满足5

522A cos =，3

AB AC ?=

(1)求△ABC 的面积；

(2)若b +c =6，求a 的值.

答案：

(1)因为cos 2A =，234cos 2cos

1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ?= ，得cos 3,bc A =5bc ∴=，1

sin 22

ABC S bc A ?∴==

(2)对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得

2222cos 20a b c bc A =+-=，a ∴=

来源：09年高考浙江卷题型：解答题，难度：容易

(文）设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3

cos()cos 2

A C

B -+=

，2b ac =，求B 。

答案：

由3cos()cos 2A C B -+=

，易想到先将()B A C π=-+代入3cos()cos 2A C B -+=得3cos()cos()2A C A C --+=

。然后利用两角和与差的余弦公式展开得3

sin sin 4

A C =；

又由2

b a

c =，利用正弦定理进行边角互化，得2

sin sin sin B A C =，进而得sin B =.故23

3B π

π=

或

。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当23

B π=时，由

1cos cos()2B A C =-+=-，进而得3

cos()cos()212

A C A C -=++=>，矛盾，应舍去。

也可利用若2

b a

c =则b a b c ≤≤或从而舍去23

B π=。不过这种方法学生不易想到。

来源：09年高考全国卷二题型：解答题，难度：中档

(文）在锐角ABC ?中，1,2,BC B A ==则cos AC

的值等于________，AC 的取值范围

为__________

答案：

设,2.A B θθ∠=?=由正弦定理得

,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC

θθθθ

=∴=?=

由锐角ABC ?得0290045θθ<

，

又01803903060θθ<-

，故3045cos 2θθ<

，

2cos AC θ∴=∈

来源：09年高考江苏卷题型：填空题，难度：中档

高中数学三角函数：正弦、余弦、正切

三角函数：正弦、余弦、正切 (一)复习指导 1．能画出y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π ]的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等) 3．理解正切函数在区间)2 π ,2π(- 的单调性． (二)基础知识 1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0， 3,, ,22 2 π π ππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 2、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质：（1）定义域：都是R 。（2）值域：都是[]1,1-，对s i n y x =，当()22x k k Z π π=+∈时，y 取最大值1；当() 322 x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。（3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2 π；②()sin()f x A x ω?=+和 ()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2|| T πω= 。（4）奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线 ()2x k k Z π π=+ ∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z π π?? + ∈ ?? ?，对称轴是直线 ()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。（5）单调性： ()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ? ?++∈??? ?单调递减； cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ 3、正切函数tan y x =的图象和性质：（1）定义域：{|,}2 x x k k Z π π≠+∈。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？（2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x = cos x +的周期为 2 π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ =-+=-+，|tan |y x =的周期不变；（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π?? ??? ()k Z ∈，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ?? -++∈ ??? 内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。如下图：

正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A

三角函数大题专项(含问题详解)

三角函数专项训练 1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a ﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c． 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值． 3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值． 4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC． 5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值． 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；

（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值 7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值． 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值． 9．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长． 10．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b． 11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．

高中数学必备知识点正弦与余弦定理和公式

三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？首先，我们要了解下正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域：（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径）其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径）（4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1．在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为 2．已知α为锐角，且，则α的度数是（） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是（） A．75° B．90° C．105° D．120° 4．若∠A为锐角，且，则A=（） A．15° B．30° C．45° D．60° 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝，E是AC中点， EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。

三角函数正弦定理和余弦定理

(文）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- . (1)若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c = 2，角ΔABC 的面积 . 答案：证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v Q 即22a b a b R R ? =? ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b =. ABC ∴?为等腰三角形（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v 即 a b ab ∴+= 由余弦定理可知， 2 2 2 4()3a b ab a b ab =+-=+- 2()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去. 11 sin 4sin 223 S ab C π ∴==??= 来源：09年高考上海卷题型：解答题，难度：中档

(文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。（Ⅱ）求)4 2sin(π - A 的值。答案：（1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理， A BC C AB sin sin = ，于是522sin sin ===BC A BC C AB （2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC AB BC AC AB A ?-+=2cos 2 22 于是A A 2cos 1sin -== 5 5，从而5 3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-== =A A A A A A 10 2 4 sin 2cos 4 cos 2sin )4 2sin(= -=- π π π A A A 来源：09年高考江西卷题型：解答题，难度：容易在⊿ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且

解三角形题型5正、余弦定理判断三角形形状(供参考)(新)

解三角形题型5：正、余弦定理判断三角形形状 1、（2013·陕西高考文科·Ｔ9）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c , 若 cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 2、（2010上海文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形. （C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 3、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 4、在△ABC 中，已知2a b c =+，2 sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 5、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 6、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA= 12 7 , 则ΔABC 是______三角形. 7、在△ABC 中，若c C b B a A sin cos cos = =，则△ABC 是（） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一内角为30°的等腰三角形 D ．等边三角形 8、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 9、（2010辽宁文数17）在ABC ?中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ?的形状. 10、在ABC ?中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +?-=-?+,判断该三角形的形状。 11、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC= B A B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).

高中数学三角函数公式大全全解

三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试注：奇变偶不变，符号看象限。注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限注：三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：

函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：

最全高中数学三角函数公式

定义式） ct 函数关系倒数关系：；；商数关系：；．平方关系：；；．诱导公式

公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及与的三角函数值之间的关系：

记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：

记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．以诱导公式二为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．以诱导公式四为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

三角函数之正余弦定理

教师寄语：天才=1％的灵感+99％的血汗 1 戴氏教育中高考名校冲刺教育中心【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！！！】主管签字：________ §3.6 正弦定理和余弦定理一、考点、热点回顾 2014会这样考 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．复习备考要这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识.自主学习 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r . 4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数一解两解一解一解