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微分中值定理有关证明

☆例1 设)(x f 在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f .

试证：必存在)3,0(∈ξ，使()0f ξ'=

证：∵ )(x f 在[0，3]上连续，∴ )(x f 在[0，2]上连续，且有最大值和最小值.于是

M f m ≤≤)0(；M f m ≤≤)1(；M f m ≤≤)2(，故M f f f m ≤++≤)]2()1()0([3

1. 由

连续函数介值定理可知，至少存在一点[0,2]c ∈使得1)]2()1()0([3

)(=++=

f f f c f ，因此)3()(f c f =，且)(x f 在[，3]上连续，（，3）内可导，由罗尔定理得出必存在

)3,0()3,(?∈c ξ使得()0f ξ'=。

☆例2 设)(x f 在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且?=1

2)0()(3f dx x f

求证：存在)1,0(∈ξ使0)('

=ξf

证：由积分中值定理可知，存在2

[,1]3

c ∈，使得

-=13

2)3

1)(()(c f dx x f

得到 ?

==13

2)0()(3

)(f dx x f c f

对)(x f 在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足）故存在)1,0(),0(?∈c ξ，使()0f ξ'=

☆例3 设)(x f 在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意1>k ，有?-=k x dx x f xe k f 1

1)()1(，

求证存在)1,0(∈ξ使1

()(1)()f f ξξξ-'=-

证：由积分中值定理可知存在1[0,]c k ∈使得)01)(()(11

01-=--?k

c f ce dx x f xe c

k x

令)()(1x f xe

x F x

-=，可知)1()1(f F =

这样1110

(1)(1)()()()x c k F f k

xe f x dx ce f c F c --====?

，对)(x F 在]1,[c 上用罗尔定理

（三个条件都满足）存在)1,0()1,(?∈c ξ，使()0F ξ'= 而111()()()()x

x x F x e

f x xe f x xe f x ---''=-+

∴ 11

()[()(1)()]0F e

f f ξ

ξξξξξ

-''=--=

又01≠-ξ

ξe

，则1

()(1)()f f ξξξ

'=-

在例3的条件和结论中可以看出不可能对)(x f 用罗尔定理，否则结论只是()0f ξ'=，而且条件也不满足。因此如何构造一个函数)(x F ，它与)(x f 有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从()0F ξ'=就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的)(x F 是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些选择。

模型Ⅰ：设)(x f 在],[b a 上连续，（b a ,）内可导，0)()(==b f a f 则下列各结论皆成立。

（1）存在),(1b a ∈ξ使11()()0f lf ξξ'+=（为实常数）

（2）存在),(2b a ∈ξ使1

222()()0k f k f ξξξ-'+=（为非零常数）

（3）存在),(3b a ∈ξ使333()()()0f g f ξξξ'+=（)(x g 为连续函数）证：（1）令)()(x f e x F lx

=，在],[b a 上用罗尔定理 ∵ ()()()lx lx

F x le f x e f x ''=+ ∴ 存在),(1b a ∈ξ使()()()011111

='+='ξξξξξf e f le F l l

消去因子，即证.

（2）令()()k

x F x e f x =，在],[b a 上用罗尔定理 1()()()

k x x F x kx e f x e f x -''=+ 存在),(2b a ∈ξ使2212222()()()0k

k F k e f e f ξξξξξξ-''=+=

消去因子，即证。

（3）令)()()

(x f e

x F x G =，其中()()G x g x '=

()

()()()

()G x G x F x g x e f x e f x ''=+ 由3()0F ξ'=

清去因子)

(3ξG e

，即证。

例4 设)(x f 在]1,0[上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(==f f ，1)2

(=f ，试证：

（1）存在)1,2

1(∈η，使ηη=)(f 。

（2）对任意实数，存在),0(ηξ∈，使得()[()]1f f ξλξξ'--=

证明：（1）令x x f x -=Φ)()(，显然它在[0, 1]上连续，又

)21(,01)1(>=Φ<-=Φ，根据介值定理，存在)1,21(∈η使0)(=Φη即ηη=)(f

（2）令])([)()(x x f e x e

x F x x

-=Φ=--λλ，它在],0[η上满足罗尔定理的条件，故存

在),0(ηξ∈，使()0F ξ'=，即

(){()[]}01=---'-ξξλξλξf f e 从而 ()[

()]1f f ξλξξ'--= （注：在例4（2）的证明中，相当于模型Ⅰ中（1）的情形，其中取为，)(x f 取为

x x f x -=Φ)()(）

模型Ⅱ：设)(x f ，)(x g 在],[b a 上皆连续，（b a ,）内皆可导，且0)(=a f ，0)(=b g ，则存在),(b a ∈ξ，使

()()()()0f g f g ξξξξ''+=

证：令)()()(x g x f x F =，则0)()(==b F a F ，显然)(x F 在[b a ,]上满足罗尔定理的条

件，则存在),(b a ∈ξ，使()0F ξ'=，即证.

例5 设)(x f 在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，0)0(=f ，为正整数。求证：存在)1,0(∈ξ使得()()()f kf f ξξξξ''+=

证：令k

x x g )1()(-=，1,0==b a ，则0)0(=f ，0)1(=g ，用模型Ⅱ，存在

)1,0(∈ξ使得

1()(1)(1)()0k k f k f ξξξξ-'-+-=

故()(1)()0f kf ξξξ'-+= 则()()()f kf f ξξξξ''+=

例6 设)(),(x g x f 在),(b a 内可导，且()()()()f x g x f x g x ''≠，求证)(x f 在),(b a 内任

意两个零点之间至少有一个)(x g 的零点

证：反证法：设b x x a <<<21，0)(1=x f ，0)(2=x f 而在)(2,1x x 内0)(≠x g ，

则令)

()

()(x g x f x F =

在],[21x x 上用罗尔定理 [

12121212()()

()()0,()0,()0()()

f x f x f x f x F x F x

g x g x ==∴=

===] （不妨假设0)(,0)(21≠≠x g x g 否则结论已经成立）

则存在),(21x x ∈ξ使()0F ξ'=，得出()()()()0f g f g ξξξξ''-=与假设条件矛盾。所以在),(21x x 内)(x g 至少有一个零点

例7 设)(),(x g x f 在[b a ,]二阶可导，且()0g x ''≠，又0)()()()(====b g a g b f a f 求证：（1）在（b a ,）内0)(≠x g ；（2）存在),(b a ∈ξ，使

()()()()

f f

g g ξξξξ''='' 证：（1）用反证法，如果存在),(b a c ∈使0)(=c g ，则对)(x g 分别在[c a ,]和[b c ,]

上用罗尔定理，存在),(1c a x ∈使1()0g x '=，存在),(2b c x ∈使2()0g x '=，再对()g x '在[21,x x ]上用罗尔定理存在),(213x x x ∈使3()0g x ''=与假设条件()0g x ''≠矛盾。所以在),(b a 内0)(≠x g （2）由结论可知即()()()()0f g f g ξξξξ''''-=，因此

令)()(')(')()(x f x g x f x g x F -=，可以验证)(x F 在[b a ,]上连续，在),(b a 内可导，0)()(==b F a F 满足罗尔定理的三个条件故存在),(b a ∈ξ，使()0F ξ'= 于是()()()()0f g f g ξξξξ''''-=成立

例8 设()f x 在[]0,3上连续，（0，3）内二阶可导，且

2(0)()(2)(3)f f x dx f f ==+?

（I ）

证明存在[]0,2η∈ 使()()0f f η=

（II ）证明存在()0,3ξ∈ 使()''0f ξ= 证：（I ）由积分中值定理，存在[]0,2η∈，使

()()()2

20f x dx f η=-?

故存在[]0,2η∈使()()202f f η=

即()()0f

f η=

（Ⅱ）由()()()2023f f f =+，可知

()()

()2302

f f f +=，

∵()f x 在[]2,3上连续由价值定理可知存在[]2,3c ∈，使()()0f c f =，由于()f x 在[]0,η上连续，()0,η内可导，且()()0f f η=

根据罗尔定理存在()10,ξη∈，使()1'0f ξ= 又()f x 在[],c η上连续，(),c η内可导，且()()f

f c η=根据罗尔定理存在

()2,c ξη∈（可知21ξξ>）使()2'0f ξ=，最后对()'f x 在1,2ξξ????上用罗尔

定理可知存在()

()1,20,3,ξξξ∈?使()"0f ξ

第3章微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<；一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞ ∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。如果极限是0 lim () x x f x → 那么就在0x 附近展开。如果极限是

(完整版)利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理证明不等式微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()f x ',()g x '不同时为零；（4）()()g a g b ≠；则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

第六章微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用引言在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理教学章节：第六章微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程：一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

微分中值定理及其应用

分类号UDC 单位代码密级公开学号 2006040223 四川文理学院学士学位论文论文题目：微分中值定理及其应用论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学提交论文日期：2010年4月20日论文答辩日期：2010年4月28日学位授予单位：四川文理学院中国达州 2010年4月

目录摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言第一章微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16)

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。