定积分与微积分基本定理(理)
基础巩固强化
1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??0
1(x 2-x )d x
B .S =??0
1(x -x 2)d x
C .S =??0
1(y 2-y )d y
D .S =??0
1(y -y )d y
[答案] B
[分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图形的面积S =??0
1(x -x 2)d x .
2.如图,阴影部分面积等于(
)
A .2 3
B .2- 3 C.323 D.353
[答案] C
[解析] 图中阴影部分面积为
S =?
?-3
1
(3-x 2
-2x )d x =(3x -13x 3-x 2)|1-3=32
3. 3.??0
24-x 2d x =( )
A .4π
B .2π
C .π D.π2
[答案] C [解析] 令y =
4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),
由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积,
∴S =1
4×π×22=π.
4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( )
A .在t 1时刻,甲车在乙车前面
B .在t 1时刻,甲车在乙车后面
C .在t 0时刻,两车的位置相同
D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A
[解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后
的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:
车在某段时间内行驶的路程就是该时
间段内速度函数的定积分,即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积.从图象知:在t 0时刻,v 甲的图象与t 轴和t =0,t =t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t =0,t =t 0围成区域的面积,因此,在t 0时刻,甲车在乙车的前面,而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度,所以选项C ,D 错误;同样,在t 1时刻,v 甲的图象与t 轴和t =t 1围成区域的面积,仍然大于v 乙的图象与t 轴和t =t 1围成区域的面积,所以,可以断定:在t 1时刻,甲车还是在乙车的前面.所以选A.
5.向平面区域Ω={(x ,y )|-π4≤x ≤π
4,0≤y ≤1}内随机投掷一点,该点落在曲线y =cos2x 下方的概率是( )
A.π4
B.12
C.π
2-1 D.2π
[答案] D
[解析] 平面区域Ω是矩形区域,其面积是π
2,在这个区
6.的值是( )
A .0 B.π
4 C .2 D .-2 [答案] D
[解析] 2
(cos sin )
2x x π
π---=2(cos sin )2
x x π
π---
=-2. 7.??0
2(2-|1-x |)d x =________.
[答案] 3 [解析]
∵y =??
?
1+x 0≤x ≤1
3-x 1 , ∴??0 2(2-|1-x |)d x =??0 1(1+x )d x +??1 2(3-x )d x =(x +12x 2)|10+(3x -12x 2)|21 =32+32=3. 9.已知a =20 (sin cos )x x dx π+? ,则二项式(a x - 1x )6 的展开式中含x 2项的系数是________. [答案] -192 [解析] 由已知得a =20(sin cos )x x dx π +?=(-cos x +sin x )|π20=(sin π 2 -cos π 2)-(sin0-cos0)=2, (2x -1x )6的展开式中第r +1项是T r +1=(-1)r ×C r 6×26-r ×x 3-r ,令 3-r =2得,r =1,故其系数为(-1)1×C 16×25 =-192. 10.有一条直线与抛物线y =x 2相交于A 、B 两点,线段AB 与抛 物线所围成图形的面积恒等于4 3,求线段AB 的中点P 的轨迹方程. [解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ,a 2),B (b ,b 2),不妨设a 则直线AB 的方程为y -a 2=b 2-a 2b -a (x -a ), 即y =(a +b )x -ab . 则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S =??a b [(a +b )x -ab -x 2]d x =(a +b 2x 2-abx -x 33)|b a =1 6(b -a )3, ∴16(b -a )3 =43, 解得b -a =2.设线段AB 的中点坐标为P (x ,y ), 其中??? ?? x =a +b 2,y =a 2 +b 2 2. 将b -a =2代入得? ?? x =a +1, y =a 2 +2a +2. 消去a 得y =x 2+1. ∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y =x 2+1. 能力拓展提升 11.等比数列{a n }中,a 3=6,前三项和S 3=??0 34x d x ,则公比q 的 值为( ) A .1 B .-12 C .1或-1 2 D .-1或-1 2 [答案] C [解析] 因为S 3=?? 3 4x d x =2x 2|3 0=18,所以6q +6q 2+6=18,化简得 2q 2-q -1=0,解得q =1或q =-1 2,故选C. 12.已知(x ln x )′=ln x +1,则??1 e ln x d x =( ) A .1 B .e C .e -1 D .e +1 [答案] A [解析] 由(x ln x )′=ln x +1,联想到(x ln x -x )′=(ln x +1)-1=ln x ,于是??1 e ln x d x =(x ln x -x )|e 1=(e ln e -e )-(1×ln1-1)=1. 13.抛物线y 2=2x 与直线y =4-x 围成的平面图形的面积为________. [答案] 18 [解析] 由方程组?? ? y 2=2x , y =4-x , 解得两交点A (2,2)、B (8,-4), 选y 作为积分变量x =y 2 2、x =4-y , ∴S =? ?-4 2 [(4-y )-y 22]dy =(4y -y 22-y 36)|2 -4=18. 14. 已知函数f (x )=e x -1,直线l 1:x =1,l 2:y =e t -1(t 为常数,且0≤t ≤1).直线l 1,l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示,其面积用S 2表示.直线l 2,y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示,其面积用S 1表示.当t 变化时,阴影部分的面积的最小值为________. [答案] (e -1)2 [解析] 由题意得S 1+S 2=??0 t (e t -1-e x +1)d x +??t 1(e x -1-e t + 1)d x =??0 t (e t -e x )d x +??t 1(e x -e t )d x =(xe t -e x )|t 0+(e x -xe t )|1t =(2t -3)e t +e +1,令g (t )=(2t -3)e t +e +1(0≤t ≤1),则g ′(t )=2e t +(2t -3)e t =(2t -1)e t ,令g ′(t )=0,得t =12,∴当t ∈[0,1 2)时,g ′(t )<0,g (t )是减函数,当t ∈(12,1]时,g ′(t )>0,g (t )是增函数,因此g (t )的最小值为g (1 2)=e +1-2e 1 2=(e -1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e -1)2. 15.求下列定积分. (1)? ? 1-1|x |d x; (2)? ?0 π cos 2x 2d x ; (3)∫e +1 2 1 x -1 d x . [解析] (1)? ? 1-1|x |d x =2??0 1x d x =2× 12x 2|1 0=1. (2)??0π cos 2x 2d x =??0 π 1+cos x 2d x =12x |π0+12sin x |π =π2. (3)∫e +12 1 x -1 d x =ln(x -1)| e +12=1. 16.已知函数f (x )=-x 3+ax 2+bx (a ,b ∈R )的图象如图所示,它与x 轴在原点处相切,且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为1 12,求a 的值. [解析] f ′(x )=-3x 2+2ax +b ,∵f ′(0)=0,∴b =0, ∴f (x )=-x 3+ax 2,令f (x )=0,得x =0或x =a (a <0). ∴S 阴影=??a 0[0-(-x 3+ax 2)]d x =(14x 4-13ax 3)|0a =112a 4=112, ∵a <0,∴a =-1. 1.已知函数f (x )=sin 5x +1,根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义,探求22 ()f x dx π π-?的值,结果是( ) A.16+π 2 B .π C .1 D .0 [答案] B [解析] 2 2 ()f x dx ππ-?=2 2 π π-?sin 5 x d x +22 π π-?1d x ,由于函数y =sin 5x 是 奇函数,所以22 π π- ?sin 5 x d x =0,而22 π π- ?1d x =x |π2-π 2=π,故选B. 2.若函数 f (x )=??? -x -1 (-1≤x <0),cos x (0≤x <π 2), 的图象与坐标轴所围 成的封闭图形的面积为a ,则a 的值为( ) A.2+π4 B.1 2 C .1 D.32 [答案] D [解析] 由图可知a =12+?? ??0 π2cos x d x =12+sin x |π20=3 2 . 3.对任意非零实数a 、b ,若a ?b 的运算原理如图所示,则2???0 π sin x d x =________. [答案] 2 2 [解析] ∵??0 πsin x d x =-cos x |π0=2>2, ∴2?? ?0 πsin x d x =2?2=2-12=22. 4.设函数f (x )=ax 2+c (a ≠0),若??0 1f (x )d x =f (x 0),0≤x 0≤1,则 x 0的值为________. [答案] 3 3 [解析] ??0 1f (x )d x =? ?0 1(ax 2+c )d x =(ax 33+cx )|10=a 3+c ,故a 3+c =ax 2 +c ,即ax 20=a 3,又a ≠0,所以x 2 0=13,又0≤x 0≤1,所以x 0=33.故填33. 5.设n =??1 2 (3x 2 -2)d x ,则(x -2x )n 展开式中含x 2项的系数是 ________. [答案] 40 [解析] ∵(x 3-2x )′=3x 2-2, ∴n =??1 2(3x 2-2)d x =(x 3-2x )|2 1 =(23-2×2)-(1-2)=5. ∴(x -2x )5的通项公式为T r +1=C r 5x 5-r (-2x )r =(-2) r C r 5x 5-3r 2 ,令5-3r 2 =2,得r =2, ∴x 2项的系数是(-2)2C 2 5=40. 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结:大概知道解题方向了,但没有解出来,请老师分析 考查知识点: ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程: 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为(4,2), 因此曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为: 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案:C 规律方法: 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点,确定出积分区间和被积函数,然后利用导数和积分的关 系求解. 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx (0≤x ≤π)与直线y=?围成的封闭图形面积是? 问题症结:找不到突破口,请老师帮我理一下思路 考查知识点: ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程: 规律方法: 利用定积分的知识求解。 知识点:定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点: [导数及其应用] 包含次级知识点: 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解,不能死记硬背。只有理解了定积分的概念,才能理解定积分的几何意义。 专题06 定积分与微积分基本定理 1.由曲线,直线轴所围成的图形的面积为() A.B.4C.D.6 【答案】A 【解析】 联立方程得到两曲线的交点(4,2), 因此曲线y,直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为: S. 故选:A. 2.设f(x)=|x﹣1|,则=() A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示,根据定积分的几何意义可知,定积分等于阴影部分的面积,故定积分为 ,故选A. 3.曲线与直线围成的封闭图形的面积是() A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 令,则,所以曲线围成的封闭图形面积为 ,故选D 4.为函数图象上一点,当直线与函数的图象围成区域的面积等于时,的值为 A.B.C.1D. 【答案】C 【解析】 直线与函数的图象围成区域的面积S dx = ∴ 故选:C 5.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A.B.1C.D. 【答案】B 【解析】 题目所求封闭图形的面积为定积分,故选B. 6.如图,矩形中曲线的方程分别是,在矩形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ) A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 依题意的阴影部分的面积,根据用几何概型概率计算公式有所求概率为,故选A. 7.() A.B.-1C.D. 【答案】C 【解析】 解: . 故选:C. 8.,则T的值为 A.B.C.D.1 【答案】A 【解析】 由题意得表示单位圆面积的四分之一,且圆的面积为π, ∴, ∴. 故选A. 9.下列计算错误 ..的是() A.B. C.D. 【答案】C 【解析】 在A中,, 在B中,根据定积分的几何意义,, 在C中,, 根据定积分的运算法则与几何意义,易知,故选C. 7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 11-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理练习题及答案
定积分及微积分基本定理练习题及答案
高中数学~定积分和微积分基本原理
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7.微积分基本定理练习题