投资组合中的可行集与有效边界问题研究
王晓乐
（常州工学院经济与管理学院，江苏常州213002）
摘要：本文从从马科维茨的投资组合理论思想出发，在已有结论基础之上，利用均值方差模型分别研究了风险资产组合和引入无风险资产后各自有效边界的确定和解析表达式，随之引入CAPM模型着重分析了资本市场中，投资者如何确定投资组合来均衡收益与风险之间的关系。文末就CAPM的有效性问题和股票收益与风险的关系这两个延伸问题进行了简单的探讨。
关键词：投资可行集有效边界CAPM模型
一、引言
（一）课题研究的背景
面对五花八门的投资对象，大家都明白“鸡蛋不要都放在同一个篮子里”的简单道理，那么“鸡蛋”应该放在几个“篮子”里，这些“篮子”各有什么特点？在资本市场中，马科维茨的投资组合选择理论和在此基础上发展形成的CAPM模型，历来是投资者面对风险和收益决策投资组合的重要理论依据。投资者在资本市场中，如何平衡风险与收益之间的关系，如何有效决策资产组合，这些都是关键问题。
（二）课题研究的价值
投资有效组合，使资产风险合理分散化，通过充分利用数学知识，借助计量经济学的帮助，分析投资理论中的风险类型和收益模型，推导在各种风险资产组合中的可行集和有效边界，风险最小的情况下，使得投资组合获得最大利益，从而更好地服务于现代证券市场。二、已有相关研究观点评介
关于资产定价的原理和模型的研究，国内不乏众多学者。合肥工业大学经济管理学院的邓英东教授（2004）在他的文章中评述：Markowitz的证券组合选择理论，在今天已经成为现代金融经济学的基石，人们在处理证券组合的收益-风险分析时，Markowitz理论始终是一种基本工具。[1]东华大学理学院的陈静、胡良剑教授认为：金融决策的核心问题就是权衡证券收益与风险的问题。[2]在论述有关CAPM模型的作用时，中国人民大学金融专业博士生导师吴晓求教授在他的文章里写道：CAPM给出了一个非常简单的结论，只有一种原因会使投资者得到更高回报，那就是投资高风险的股票。不容怀疑，这个模型在现代金融理论里占据着主导地位。[3]
三、马科维茨投资组合理论
风险资产的投资首先需要解决的是两个核心问题：即预期收益与风险，那么如何测定_____________________________________
作者小传：王晓乐（1994- ），女，常州工学院经管学院，学生，研究方向：经济学
组合投资的风险与收益和如何平衡这两项指标进行资产分配是市场投资者迫切需要解释的问题。在这样的背景下，1952年，马科维茨（H.M.Markowitz）在《金融月刊》上发表了“资产选择的有效分散化”一文。他在这篇文章中，首先采用风险资产的期望收益率和用方差（或标准差）代表风险来研究组合投资问题，1959年，他又出版了同名著作进一步阐述了他的组合投资理论。在此以前，金融学通常以定性研究为主，马科维茨的投资组合选择理论从此成为金融定量分析的开端，马科维茨创立的现代证券组合理论，实际上市帮助投资者从若干可供选择的证券中，挑选出若干证券组成有效组合的理论和方法，研究了如何利用投资组合，即同时购买多种证券，使得在一定的预期收益率下，使投资风险达到可能的最小程度。其核心思想是分散风险，并从风险资产的收益率与风险之间的关系出发，讨论在不确定经济系统中最优资产组合该如何选择的重要问题。
四、投资组合中有效边界的确定
（一）均值-方差思想理论
马科维茨的投资组合理论是从风险资产的收益率和风险之间的关系出发，在马克维茨均值–方差的模型中，每一种证券或证券组合可由均值–方差坐标系中的点来表示。其中，他以期望收益率(收益率均值)来衡量未来实际收益率的总体水平，以收益率的方差（即偏离收益的程度）来衡量收益率的风险，将收益和风险量化，用数理统计的方法来进行决策，其决策目标本质上可以这样概括：在一定的风险水平上，投资者期望收益最大，相对应地，在一定的收益水平上，投资者希望风险最小。
（二）投资组合中的可行集和有效边界问题
1.可行区域和有效边界的定义
可行集(Feasible Set)是指资本市场上由风险资产可能形成的所有投资组合的总体。在马克维茨均值–方差模型中，每一种证券或证券组合可以用坐标系中的点来表示，所有存在的证券组合在平面上构成一个区域，这个区域就是所谓的可行集。投资者可以实现的既定风险下，最高收益的投资组合或者在一定收益水平，风险最小的投资组合的集合即有效边界，又称有效前沿。
整个可行集呈雨伞状，可行集的左侧边界即有效边界。如图1所示，阴影部分代表资产组合的可行域，黑线边界即为有效边界，也是最小方差资产组合。
依据有效边界定理，在各种可行的投资组合中，投资者在选择最优的组合时往往遵循以下两个原则：(1)在一定的风险水平条件下，获得最大的期望收益率；(2)在一定期望收益率水平条件下，接受最小的投资风险。投资者将根据自己的风险偏好（取决于无差异曲线），选择有效边界上的点进行投资。
2.多种风险资产组合有效边界的确定
假设一投资者对n支股票进行投资，每只股票的收益率记为ri(i=1，2，……n)，其中ri视为随机变量，将其期望值记为Ri，方差记为σ2。若投资于第i只股票的资金比例为
Wi,比例系数向量系数为W=（W 1, W 2, W 3, ……W n ）T 1W n
1i i =∑=,则收益率∑==n 1
i i i r w r ,期望收益率Rp 为：Rp=R W T =wR 1+w 2R 2+……+w n Rn(其中R=（R 1，R 2，……R n )t ),再设r i 和r j 的协方差为ij σ，协方差矩阵为G=（ij σ）n x n ,则投资组合的方差GW W σT p 2=。由于在一定的期望收益条件下，投资者追求的是投资风险最小，转换成数学思想也就是在一定的约束条件下的线性规划问题求解，即在p i n 1i i
R R W =∑=的条件之下，求GW W σT p 2=的最小值。
运用矩阵的知识，记???? ??=I 1I r r r A n 21 ???? ??=-2221
1211T 1m m m m A AG ???? ??=1r E ，则求有效边界表达式的问题就可以表示为：min GW W T p =2σ，S.t.E AW =。
建立拉格朗日函数求解，得有效边界的数学表达式为：22p 12p 211p 2m R m 2R m ++=σ，根据以上数学表达式，已知T
A AG 1-是正定对称阵，所以我们可以得出以下结论：多种风险资产，投资组合的有效边界用直观图形表示，即纵坐标为)(p R E ，横坐标为p 2σ
的坐标系内（图1）第一象限内上凹的一段曲线。
图2
切线FT 的斜率n
f n n n R R d dR K σσ-==，已知风险资产组合的有效边界表达式是： 221221122m R m R m p p p ++=σ，其中11m >0,22m >0,两边同时对p σ求导： p p p p p p d dR m d dR R m σσσ1211222+=，所以1211m R m d dR p p p p +=σσFT 与AB 于T 点相切
p f p p p
R R m R m σσ-=+12
11，(令p p p p p p d dR m d dR R m σσσ1211222+=一式中p n R R =，p n σ=σ), 与221221122m R m R m p p p ++=σ并联，可以得出:
121122
12m R m m R m R f f T ++=,22122112m R m R m T T r ++=σ
即切点T 的坐标为（121122
12m R m m R m f f ++，22122112m R m R m T T ++）
综合以上推导过程，我们可以得出以下结论：当投资者的偏好是规避风险时，此时的投资组合就是f R 为收益率的无风险资产和风险资产，其有效边界为图2中的射线FT ，其表达式为：)0(12211≥++=p p T T
f p m R m R R σσσ。当投资者偏好风险投资时，有效边界即图2中的直线FT 和曲线TB 段，其表达式为：)(222122112r p p P
p m R m R m σσσ ++=[4] 4.有效边界的特征
根据以上两种投资组合各自有效边界的计算和分析，结合图1和图2，我们不难发现有F
效集曲线具备以下几个特征：①向右上方倾斜，体现了“高收益、高风险”的原则；②是一条向上凸的曲线，曲线上不可能有凹陷的地方；③厌恶风险程度较高的投资者，其无差异曲线的斜率较陡，那么其最优投资组合越接近A 点（图2），厌恶风险程度较低的投资者，其无差异曲线的斜率较小，其最优投资组合越接近B 点（图2）。
五、CAPM 模型
（一）CAPM 模型产生基础
马科维茨开创的均值-方差模型有效解决了应该如何最优持有有效证券组合的问题，正是由于这一开创性的重要关系式，使得夏普等人能够在此基础上，利用竞争均衡定价的概念，在具有众多资产和众多投资者的资本市场中导出每种资产的超额收益率和市场资产组合超额收益率之间的关系，也就是后来的资产定价模型（CAPM ）。
（二）CAPM 的基本假设和表达形式
标准的CAPM 是在理想的资本市场中建立的，建立模型的基础性假设有以下九种： ①投资者具有均值—方差效用函数；②对所有投资者信息充分且畅通无阻，对资产收益概率分布模式一致认同，因此市场有效前沿曲线只有一条；③所有投资者都有相同投资日期和固定的投资期限；④资产是无限可分的，而投资者可以以任意金额投资于各种资产，市场上的资产数量是固定的；⑤市场没有卖空限制；⑥市场存在无风险资产，投资者能以固定无风险利率借入任意数量的这种资产；⑦资本市场没有税收，交易成本，资产没有红利分配；⑧没有通货膨胀和利率变化；⑨市场上的任何投资者均不能通过其投资行为影响资产价格。
假设市场存在无风险资产时，那么任意风险资产的超额收益率可以表示为：
)(()(f M Mi f i R R E R R E -=-β，其中)(f M R R E -是市场风险资产组合的超额收益率
值的大小可以说明单个证券与市场组合风险的相关程度，)var(M R 表示市场组合收益率的方差,由此可以推导出CAPM 的表达形式就是：[]iM f M f i R )R (E R )R (E β-+=，其实质是关于风险补偿的精确描述。[5]用夏普的思想解释就是，系统风险可以带来收益的补偿，而非系统风险则得不到收益补偿。
（三）资本市场线（CML ）和证券市场线（SML ）
上文讨论到马科维茨“均值-方差模型”中引入风险资产并允许风险资产卖空的情况下，曾得出有效边界变为一条射线FT （图2），那条射线就被称为资本市场线（CML ）。资本市场线是指表明有效组合的期望收益率和标准差之间的一种简单的线性关系的一条射线。它是沿
着投资组合的有效边界，由风险资产和无风险资产构成的投资组合。其表达式为：
风险和报酬的权衡关系，位于资本市场线上的点就是有效组合。
证券市场线（SML ）其实也就是资本资产定价模型（CAPM ）的图示形式，如图4所显示的在以Ep 为纵坐标、βp 为横坐标的坐标系中的一条直线，其中R 和β分别表示证券组合的必要报酬率和β系数：于市场组合的风险度量，也就是测量风险的工具。证券市场线揭示的是“证券的本身的风险和报酬”之间的对应关系，因为证券市场线表明的是任何一种单个资产或者组合的期望收益与其系统风险之间的关系，所以证券市场线上的点不一定在资本市场线上。[6]需要说明的是，资本市场线实质是证券市场线的一个特例。当一个证券组合与市场组合的相关系数等于1，此时，证券市场线与资本市场线便是相同的。
六．CAPM 的实用性和有效性讨论
（一）CAPM 的重要含义与广泛应用
根据上述对CAPM 模型的推导和表述，我们不难发现 CAPM 的重要含义大概有以下几点：①股票系统风险的衡量指标是β值，β=1时系统性风险等于市场组合风险，β＞1和β＜1时股票的系统性风险则相应大于和小于市场组合风险。②股票风险处于均衡状态时，每只股票与股票组合的预期收益率呈线性关系。③系统性风险决定股票价格是唯一变量，非
系统性风险可以通过持有充分分散的组合趋向零。[7]
CAPM实质是一个可以衡量风险大小的模型，来帮助投资者决定所得到的额外回报是否与当中的风险相匹配，从理论上来看，我们利用资本资产定价模型，就可以对任一证券的预期收益率的作出估计，关键因素是要估算出β的值，如果证券市场的发展是平稳、有秩序的，我们就可以利用有关历史数据来作回归分析，从而得到β系数估计值，在现实中，β值的计算量很大，过程也比较复杂。
CAPM模型在金融投资理论的地位显著，得到了普遍认可，证券投资界投资专家用它来对证券的预期收益进行度量；立法机构用它来规范基金界人士的费用率；评级机构用它来测定投资管理者的业绩对资金成本进行估计等等，应用非常广泛。
（二）关于CAPM有效性的讨论
由于受到一系列假设条件的限制，CAPM模型的实用性在不同的现实市场中受到不同程度的挑战，国内外学者就CAPM模型在各国资本市场上的适用程度进行了大量的实证研究：著名经济学家法玛和弗兰奇(Kenneth French) 在研究1963年到1990年期间纽约证交所，美国证交所，以及纳斯达克市场里的股票回报时发现：在短时间内，单个股票的Beta和回报率之间的线性关系并不存在，而从长时期来看，β值并不能充分解释股票的表现，似乎在现实资本市场，CAPM的有效性并不高。我国学者通过CAMP的构造研究上海股票市场，通过回归分析结果，发现拟合出的SML计算出的收益率和实际值的吻合程度并不高，β值对收益率有一定的解释力，但对市场风险度量缺乏显著作用，如此看来，CAPM对我国股票定价的有效性不够明显。[8]深究其中原因，我国股市发展还不成熟，存在投资者的短期投机动机很强，禁止卖空，市场缺乏退出机制，无法实现上市公司的优胜劣汰等问题，这些导致在这样的股市环境与CAPM成立的假设条件相差甚远，导致CAPM有效性不显著。
七、结论
（一）CAPM在允许卖空和退出的长期投资组合中有效性显著
实证的有效性检验,只能用来说明CAPM在某个证券市场上是否适用,而不能冲击这个模型在理论上的正确性。具体来说，当资本市场环境基本符合CAPM成立的假设条件，比如资本主义国家发达成熟的资本市场，CAPM有效性是显著的。在禁止卖空，缺乏退出机制，短期投机动机强的资本市场中，CAPM有效性则很低。
（二）风险不是决定收益的唯一因素，股本规模、可流通股占总股本的比例等产因素均生不同程度的影响
CAPM自诞生起，传达给众投资者的重要结论就是：风险决定收益，只有一种原因会使投资者得到更高回报，那就是投资高风险的股票。然而，在现实资本市场中，是否“高风险=高收益”，低风险收益注定就很小呢？在现实股票市场中研究后就会发现，风险和收益的关系并不完全是CAPM理论所预期的那样，其中，系统风险并不是决定收益的唯一因素，其他因素如如股本规模、可流通股占总股本的比例等都对股票收益产生不同程度的影响作
用，这些因素对收益的具体影响有待以后的进一步研究。
（该文系2015暑期社会实践课程II的作业）
参考文献
[1]邓英东资本定价理论的发展[J] 合肥工业大学学报 2004，5:75-76；
[2]陈静胡良剑证券收益与风险的投资可行集与有效边界数学刻画[J] 科技与工程 2009，12:78-83；
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[4]唐小我曹长修组合证券投资有效边界的研究[J] 预测1998,15:53-56；
[5]叶中行林建忠数理金融[M] 科学出版社 2002年；
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[8]李剑峰资本资产定价模型（CAPM）对上海股市的实证研究[J]江苏统计 2002，6:12-17；
基本的投资组合模型 摘要 在市场经济活动中，投资成为了一个必不可少的环节。特别是如今物价上涨迅猛，人们生活水平逐渐提高，如何通过投资来获取更多的经济利益已成为一个社会的共同话题。也只有通过投资，消费者才能拥有多渠道的经济来源从而提高生活水平。投资方式的多样性决定了人们在投资过程中投资组合的多样性。而每一项投资在有其收益效果的同时也伴随着风险性，所以不同的投资组合方式将带来不同的效果。对于不同类型的投资者必然有不同的要求，从而适合不同的投资方式，所以意在建立在不同投资者的不同要求下应采用哪种投资方式的模型，使投资者能做出正确的选择。 关键词：股市；组合投资；均值；方差；收益；风险 目录 一、问题重述与分析 (2) 二、符号说明 (3) 三、模型假设 (3) 四、模型的建立与求解 (4) 五、模型的分析和检验 (9) 六、模型评价 (9) 七、参考文献 (9) 八、附录 (10)
一、问题重述与分析 1.1 问题重述 本案例中以投资股票为例，分析股票的选取和赢利问题。在股票市场上往往会有很多股票，每个股票都会有其对应所属的公司，公司的运作现况以及其未来在市场上的潜力都会影响该股票在股票市场的上涨或下跌，所以每一只股票都会有其内在的风险性。但是，对于不同股票，也就对应不同实力，不同前景的公司其收益性和风险性也会有所不同，所以不同的投资组合，以及每种组合中不同投入资金比例，将会造成其不同的收益效果。 1.2问题分析 在充满风险和机会的证券市场中，无论是个人还是机构投资者在进行证券投资时，总是以投入资金的安全性和流动性为前提，合理的运用投资资金，达到较小风险、较高收益的目的。投资于高收益的证券，很可能获得较高的投资回报；但是，高收益往往伴随着高风险，低风险常又伴随着低收益。如果投资者单独投资于某一种有价证券，那么一旦该有价证券的市场价格出现较大波动，投资者将蒙受较大的损失，所以，稳健的投资方法是将资金分散地投资到若干种收益和风险都不同的有价证券上，以“证券组合投资”的方式来降低风险。在马科维茨的组合投资模型中，数学期望代表着预期收益，方差或标准差代表着风险，协方差代表着资产之间的相互关系，进而资产组合的预期收益是资产组合中所有资产收益的简单加权平均，而资产组合的方差则为资产方各自方差与它们之间协方差的加权平均。确定最小方差资产组合首先要计算构成资产组合的单个资产的收益、风险及资产之间的相互关系，然后，计算资产组合的预期收益和风险。因此，研究证券投资组合的优化模型就显得十分重要了。对于我们的日常经济生活而言，也有了研究的实践意义。 风险可以用收益的方差（或标准差）来进行衡量：方差越大，则认为风险越小。在一定的假设下用收益的方差（或标准差）来衡量风险确实是合适的。 1.3 问题提出 案例美国某三种股票（A，B，C）12年（1943—1954）的价格（已经包括了粉红在内）每年的增长情况如表6—6所示（表中还给出了相应年份的500种股票的价格指数的增长情况）。例如，表中第一个数据1.300的含义是股票A在1943年末价值是其年初价值的1.300倍，即收益为30%，其余数据的含义依此类推。假设你在1955年时有一笔资金准备投资这三种股票，并期望年收益率至少达到15%，那么你应当如何投资？当期望的年收益率变化时，投资组合和相应的风险如何变化？ 表：股票收益数据
2016年金融学综合：证券投资学试题(9) 现代证券投资理论 一、判断题 1、现代证券投资理论是为解决证券投资中收益-风险关系而诞生的。 答案：是 2、以马柯维茨为代表的经济学家在20世纪50年代中期创立了名为“资本资产定价模型”的新理论。 答案：非 3、证券组合理论由哈里·马柯维茨创立，该理论解释了最优证券组合的定价原则。 答案：非 4、证券投资收益的最大化和投资风险的最小化这两个目标往往是矛盾的。 答案：是 5、证券组合的预期收益率仅取决于组合中每一证券的预期收益率。 答桠?：非 6、收益率的标准差可以测定投资组合的风险。 答案：是 7、有效组合在各种风险条件下提供最大的预期收益率。 答案：是 8、投资者如何在有效边界中选择一个最优的证券组合，取决于投资者对风险的偏好程度。 答案：是 9、投资者所选择的最优组合不一定在有效边界上。 答案：非 10、马柯维茨认为，证券投资过程可以分为四个阶段，其中首先应考虑各种可能的证券和证券组合，然后要计算这些证券和证券组合的收益率、标准差和协方差。 答案：是 11、CAPM的一个假设是存在一种无风险资产，投资者可以无限的以无风险利率对该资产进行借入和贷出。 答案：是 12、无风险资产的收益率为零，收益率的标准差为零，收益率与风险资产收益率的协方差也为零。 答案：非 13、引入无风险借贷后，所有投资者的最优组合中，对风险资产的选择是相同的。 答案：是 14???在市场的均衡状态下，有些证券在切点组合T中有一个非零的比例，有些证券的组合中的比例为零。 答案：非 15、资本市场线上的每一点都表示由市场证券组合和无风险借贷综合计算出的收益率与
第十一章投资组合管理基础 本章要点：了解证券组合管理的概念；熟悉现代投解基金组合管理的过程。 了解证券投资组合理论的基本假设；熟悉单个证券和证券组合的收益风险衡量方法；熟悉风险分散原理；了解两种和多个风险证券组合的可行集与有效边界；了解无差异曲线的含义以及在最优证券组合中的运用；了解资产组合理论的运用以及在运用中要注意的问题。 了解资本资产定价模型的含义和基本假设；熟悉资本资产定价模型的推导。 第一节、证券组合管理与基金组合管理过程 (一) 证券组合管理的概念 证券组合管理是一种以实现投资组合整体风险一收益最优化为目标，选择纳入投资组合的证券种类并确定适当权重的活动。它是伴随着现代投资理论的发展而兴起的一种投资管理方式。 (二)基金组合管理的过程 1．设定投资政策； 2．进行证券分析； 3．构造投资组合； 4．对投资组合的效果加以评价； 5．修正投资组合。 第二节、现代投资理论的产生与发展 现代投资组合理论主要由投资组合理论、资本资产定价模型、APT模型、有效市场理论以及行为金融理论等部分组成。它们的发展极大地改变了过去主要依赖基本分析的传统投资管理实践，使现代投资管理日益朝着系统化、科学化、组合化的方向发展。 1952年3月，美国经济学哈里.马克威茨发表了《证券组合选择》的论文，作为现代证
券组合管理理论的开端。马克威茨对风险和收益进行了量化，建立的是均值方差模型，提出了确定最佳资产组合的基本模型。由于这一方法要求计算所有资产的协方差矩阵，严重制约了其在实践中的应用。 1963年，威廉·夏普提出了可以对协方差矩阵加以简化估计的单因素模型，极大地推动了投资组合理论的实际应用。 20世纪60年代，夏普、林特和莫森分别于1964、1965和1966年提出了资本资产定价模型CAPM。该模型不仅提供了评价收益一风险相互转换特征的可运作框架，也为投资组合分析、基金绩效评价提供了重要的理论基础。 1976年，针对CAPM模型所存在的不可检验性的缺陷，罗斯提出了一种替代性的资本资产定价模型，即APT模型。该模型直接导致了多指数投资组合分析方法在投资实践上的广泛应用。 第三节、证券投资组合理论的基本假设 (一)投资者以期望收益率和方差(或标准差)来评价单个证券或证券组合 (二)投资者是不知足的和厌恶风险的 (三)投资者的投资为单一投资期 (四)投资者总是希望持有有效资产组合 第四节、单个证券收益风险衡量 投资涉及到现在对未来的决策。因此，在投资上，投资者更多地需要对投资的未来收益率进行预测与估计。马克威茨认为，由于未来收益率往往是不确定的，表现为一个随机变量。因此，可以以期望收益率作为对未来收益率的最佳估计。 数学上，单个证券的期望收益率(或称为事前收益率)是对各种可能收益率的概率加权，用公式可表示为：
投资组合中的可行集与有效边界问题研究 王晓乐 （常州工学院经济与管理学院，江苏常州213002） 摘要：本文从从马科维茨的投资组合理论思想出发，在已有结论基础之上，利用均值方差模型分别研究了风险资产组合和引入无风险资产后各自有效边界的确定和解析表达式，随之引入CAPM模型着重分析了资本市场中，投资者如何确定投资组合来均衡收益与风险之间的关系。文末就CAPM的有效性问题和股票收益与风险的关系这两个延伸问题进行了简单的探讨。 关键词：投资可行集有效边界CAPM模型 一、引言 （一）课题研究的背景 面对五花八门的投资对象，大家都明白“鸡蛋不要都放在同一个篮子里”的简单道理，那么“鸡蛋”应该放在几个“篮子”里，这些“篮子”各有什么特点？在资本市场中，马科维茨的投资组合选择理论和在此基础上发展形成的CAPM模型，历来是投资者面对风险和收益决策投资组合的重要理论依据。投资者在资本市场中，如何平衡风险与收益之间的关系，如何有效决策资产组合，这些都是关键问题。 （二）课题研究的价值 投资有效组合，使资产风险合理分散化，通过充分利用数学知识，借助计量经济学的帮助，分析投资理论中的风险类型和收益模型，推导在各种风险资产组合中的可行集和有效边界，风险最小的情况下，使得投资组合获得最大利益，从而更好地服务于现代证券市场。二、已有相关研究观点评介 关于资产定价的原理和模型的研究，国内不乏众多学者。合肥工业大学经济管理学院的邓英东教授（2004）在他的文章中评述：Markowitz的证券组合选择理论，在今天已经成为现代金融经济学的基石，人们在处理证券组合的收益-风险分析时，Markowitz理论始终是一种基本工具。[1]东华大学理学院的陈静、胡良剑教授认为：金融决策的核心问题就是权衡证券收益与风险的问题。[2]在论述有关CAPM模型的作用时，中国人民大学金融专业博士生导师吴晓求教授在他的文章里写道：CAPM给出了一个非常简单的结论，只有一种原因会使投资者得到更高回报，那就是投资高风险的股票。不容怀疑，这个模型在现代金融理论里占据着主导地位。[3] 三、马科维茨投资组合理论 风险资产的投资首先需要解决的是两个核心问题：即预期收益与风险，那么如何测定_____________________________________ 作者小传：王晓乐（1994- ），女，常州工学院经管学院，学生，研究方向：经济学
投资组合优化模型研究 学生姓名:刘铭雪学号:20095031277 数学与信息科学学院数学与应用数学专业 指导老师:韩建新职称:讲师 摘要:本文在VaR方法约束的基础上,对Markwitz均值—方差模型进行深入研究,给出了一种几何求解方法,并分析了该组合的特性,研究了在VaR约束条件下的最优投资组合的确定问题． 关键词:VaR;均值;方差;投资组合 Research on Portfolio Optimization Modle under The VaR Constraint Abstract: The basic constraint in VaR(Value at Risk)method is used in the article, Markwitz mean-variance model is in-depth studied, a geometrical method is gave , and the characteristics of the portfolio is analyzed,Determination of optimal portfolio VaR constraint conditions are researched. Keywords: VaR(Value at Risk); mean value;variance;investment portfolio 前言 在丰富的金融投资理论中,组合投资理论占有非常重要的地位,投资决策也是金融机构经营活动中最基本的决策之一.现代投资组合理论试图解释获得最大投资收益与避免过分风险之间的基本权衡关系,也就是说投资者将不同的投资品种按一定的比例组合在一起作为投资对象,以达到在保证预定收益率的前提下把风险降到最小或者在一定风险的前提下使收益率最大.对金融机构和投资者来说,相对与资产向上波动,资产价格
2015年证券从业资格考试内部资料 2015证券投资分析 第七章 证券组合管理理论 知识点：两种证券组合的可行域 ● 定义： 任意一种证券都可用在以期望收益率为纵坐标和标准差为横坐标的坐标系中的一点来表示；相应的，任何一个证券组合也可以由组合的期望收益率和标准差确定出坐标系中的一点 ● 详细描述： 给定证券A、B的期望收益率和方差，证券A与证券B的不同的关联性将决定A、B的不同形状的组合线。可行域满足一个共同的特点：左边界必然向外凸或呈线性，即不会出现凹陷。 例题： 1.由证券A和证券B建立的证券组合一定位于（）。 A.A的上方，B的下方 B.A的左方，B的右方 C.A和B的组合线上 D.A和B相连的直线上 正确答案：C 解析：由证券A和证券B建立的证券组合一定位于A和B的组合线上。 2.在马柯维茨模型中，如果不允许卖空，由两种风险证券构建的证券组合的 可行域可能是均值标准差平面上（）。 A.一个无限区域 B.一条折线段 C.一条直线段 D.一条光滑的曲线段 正确答案：B,C,D 解析：考查两种证券组合的可行域。 3.下列表述正确的有()。
A.由三种或三种以上不完全相关证券构成组合的可行域是一个平面区域 B.由两种证券构成组合的可行域可能是一条曲线,该曲线的弯曲程度由这两种证券收益率之间的联动关系所决定 C.由两种证券构成组合的可行域可能是一条曲线,该曲线的弯曲程度由这两种证券风险之间的联动关系所决定 D.由两种证券构成组合的可行域可能是一条曲线,该曲线的弯曲程度由这两种证券投资比重所决定 正确答案：A,B 解析：组合线实际上在期望收益率和标准差的坐标系中描述了证券A和证券B所有可能的组合；一般而言，当由多种证券（不少于三种证券）构造证券组合时，组合可行域是所有合法证券组合构成的坐标系中的一个区域。 4.如果证券A的投资收益率等于7%、9%、10%和12%的可能性均为25%，那么，证券A的期望收益率等于（ ）。 A.9.5% B.9.0% C.1.8% D.1.2% 正确答案：A 解析：P326求期望收益率的公式 ，E（r)=7%*25%+9%*25%+10%*25%+12*25%=9.5% 5.设有两种证券A和B，某投资者将一笔资金以xA的比例投资于A，以xB比例投资于B，如果到期时，A的收益率为rA，B的收益率为rB，则投资组合收益率rP为（ ）。 A.rA+rB B.xArA+xBrB C.rA/rB D.xArA/xBrB 正确答案：B 解析：P328中间，rP = xArA + xBrB 6.在投资组合构造过程中，面对不完全相关的多种风险资产，只关心风险的投资者选取的最佳组合为（ ）。
内容摘要：在证券投资中可以运用证券组合投资通过分散投资达到降低投资风险的目标。采用马科威茨理论中的约定，风险证券的评价采用预期收益率和收益率方差两项指标，从风险控制的角度出发，建立证券投资组合，以确定最优化的投资组合。 关键词：投资组合最优投资组合投资风险 在进行投资时，投资者最关心的就是收益和风险。证券投资者在市场经济的客观经济环境中面临着许多不能预测、经常变动的因素。这些因素的变动，往往使投资者的原有决策受到冲击，从而导致一些意外损益的发生。这就要求投资者在投资过程中预先估计这些可能发生的变动，从而减少风险。投资组合理论正是探讨在风险条件下如何进行分散投资，使投资总体结构达到最优，从而获得可能的最高收益的理论。所谓投资组合，就是把一定的资金分散投资于多种证券，使单个证券按一定的比例构成证券集合，从而实现既定风险水平下的预期收益率最大化。 要解决的问题是投资组合的优化问题，这一问题的实质是在给定风险水平下，寻求产生最大期望收益率的投资组合。或是在给定期望收益率下，寻求风险水平最低的投资组合。投资者进行投资决策必须遵循一定的标准。 马科威茨的投资组合选择理论 具体而言，马科威茨假设投资者遵循的是均值——方差标准。所谓均值——方差标准，是指投资者在证券收益率的均值(作为收益率的未来期望值)和方差(即观测到的收益率偏离均值的程度，作为风险的量化指标)之间进行权衡。如果两只证券的期望收益率相同，投资者总是愿意选择方差较小的那一只，即厌恶风险；反之，如果两只证券的方差相同，投资者总是愿意选择期望收益率较大的那一只，即永不满足。 无差异曲线 任一经济决策问题必须确定一个机会集和一个偏好函数。在投资组合理论中，效用函数代表着投资者偏好。 用于投资决策的效用函数是从微观经济学中借用过来的。投资者的目标是投资效用最大化，而投资效用取决于投资的预期收益率和风险，投资决策过程就是在预期收益率和风险(方差)之间进行取舍权衡的过程。投资者的效用函数可以通过在预期收益率-风险平面上，通过无差异曲线族表现出来。如图1所示。 一条无差异曲线(Indifferce Curve)代表着给投资者带来同等水平效用的预期收益率和风险的所有组合，因而也被称为等效用线。预期收益率一风险平面上的无差异曲线具有以下特点： 斜率为正()。即为了保证效用相同，如果投资者承担的风险增加，则其所要求的收益率也会增加。对于不同的投资者，其无差异曲线斜率越陡峭，表示其越厌恶风险，因为在一定风险水平上，为了让其多冒等量的额外风险，必须给予更高的额外补偿；反之，无差异曲线越平坦，表示其风险厌恶的程度越小。 下凸()。这意味着，随着风险的增加，要使投资者多承担等量的风险，其期望收益率补偿越来越高。直观表现在无差异曲线越来越陡峭。这一现象实际上是边际效用递减规律在投资上的表现。 不同的无差异曲线代表着不同的效用水平，给定不同的效用值，就可以得到上面的无差异曲线族。任两条无差异曲线都不会相交。越靠左上方，无差异曲线代表的效用水平越高。这一点理解起来也比较符合直觉。如图1所示，给定某一风险水平，越靠上方的曲线其对应
概述： 有效边界是用来描述一项投资组合的风险与回报之间的关系，在以风险为横轴，预期回报率为纵轴的坐标上显示为一条曲线，所有落在这条曲线上的风险回报组合都是在一定风险或最低风险下可以获得的最大回报。 基础： 1、追求收益最大化的规律特征 这一特征表现在：当风险水平相当时，理性投资者都偏好预期收益较高的交易。在可能的范围内，投资者总是选择收益率最高的资产；但是另一方面，与之相对的市场资金需求者为了自身收益最大化的要求则要选择成本最低的融资方式。 2、厌恶风险的规律特征 这一特征表现在，当预期收益相当时，理性投资者总是偏好风险较小的交易。风险越大，风险补偿额也就越高。 3、求效用最大化 追求效用最大化就是要选择能带来最大满足的风险与收益的资产组合。效用由无差异曲线表示，可供选择的最佳风险与收益组合的集合由有效益边界表示，效用曲线与有效益边界的切点就是提供最大效用的资产组合。 （1）风险厌恶的资金供应者的无差异曲线。金融市场的无差异曲线表示在一定的风险和收益水平下，资金供应者对不同资金组合的满足程度无区别的，即同等效用水平曲线。如下图是一组风险厌恶的资金供应者的无差异曲线。 不同水平的曲线代表着效用的大小，水平越高，效用越大，这里曲线C显然代表这最大效用。 风险厌恶投资者的无差异曲线图 曲线的凸向反映着资金供应者对风险的态度，由于X轴是风险变量，Y轴是预期收益变量，因此，曲线右凸反映风险厌恶偏好。风险厌恶者要求风险与收益成正比，曲线越陡，风险增加对收益补偿要求越高，对风险的厌恶越强烈；曲线斜度越小，风险厌恶程度越弱。风险中性的无差异曲线为水平线，风险偏好的无差异曲线为左凸曲线。 待续... 参考文献： 《证券投资学》第二版第10章证券组合管理
4、有效边界概念与最佳投资组合确定 了解了在证券投资组合中通过预期收益R和风险指标均方差COV两个指标来研究分析收益与风险的相互关系，以求得在风险即定的前提下，为追求收益的最大化，或在收益即定的前提下，达到最大限度的规避风险。这就是二维规划的含义。用图表表示： 此图的横轴表示证券组合的投资风险，纵轴表示为证券组合的预期收益水平，任何一种证券组合， 都将在图表中找到 所相对应的一点， 全部证券组合，即 构成图中ABCD所形 成的阴影部分，代 表人们面对的所有 投资机会。从中可 以看出，越是处于 图形上端的点。所对应的预期收益就越大，反之则越小；而越是位于图形右边的点，所对应的投资风险就越大，反之则越小。显然，A点代表了风险最小的证券组合，B点代表了预期收益最大的证券组合，除此之外，再也不可能存在其它比A点风险更小的和比B点预期收益更大的证券组合，从平面几何的筑图原理知道：这二维规划的可行性区域只能是在第二象限中，如果以360度为所有点的包容区域。那么最佳的组合点必定都落在90度~180度之间。如A点，它是证券组合中均方差最小的一点，即圆圈中180度此点必然可与纵轴相切，其它任何一点都只会加大风险度。而图中B点，它是证券组合中预期收益最大的一点，即圆圈中90度此点必然可与横轴相切，其它任何一点都只会减少预期收益。在圆内的任何一点，都可引伸出一条平行线在圆周上找到与其收益相对应的一点，但风险必然更大，即非有效组合。同理，也可引伸出一条垂直线在圆周上找到与其风险相对应的一点，但收益必然更小，也非有效组合。可见，只有落在AB曲线上的证券组合才是全部有效组合，AB曲线也是所有证券有效组合的有效边界，在有效边界以内的任何一点投资都是非有效的。我们曾提到的风险厌恶者，即保守的投资者，可选择A点附近的有效组合，虽然收益值较小，但是COV同样也小。反之，风险偏好者则可选择接近B点的有效组合，以搏取最大的收益值，同时承担相对应的高风险。
6最优投资组合选择 最优投资组合选择的过程就是投资者将财富分配到不同资产从而使自己的效用达到最大的过程。然而，在进行这一决策之前，投资者首先必须弄清楚的是市场中有哪些资产组合可供选择以及这些资产组合的风险-收益特征是什么。虽然市场中金融资产的种类千差万别，但从风险-收益的角度看，我们可以将这些资产分为两类：无风险资产和风险资产。这样一来，市场中可能的资产组合就有如下几种：一个无风险资产和一个风险资产的组合；两个风险资产的组合；一个无风险资产和两个风险资产的组合。下面分别讨论。 一、 一个无风险资产和一个风险资产的组合 当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产的时候，我们可以假定投资者投资到风险资产上的财富比例为w ，投资到无风险资产上的财富比例为1-w ，这样一来，投资组合的收益就可以写为： 其中，r 为风险资产收益，这是一个随机变量；f r 为无风险资产的收益，这是一个常数。 这样，资产组合的期望收益和标准差就可以写出下述形式： (因为122 222122 )1(2)1(σσσσw w w w P -+-+=,2112122,0σσρσσ===0) 其中σ为风险资产的标准差。 根据上两式，我们可以消掉投资权重，并得到投资组合期望收益与标准差之间的关系： P f f P r r E r r E σσ -+ =)()( 3-1 当市场只有一个无风险资产和一个风险资产时，上式就是资产组合所以可能的风险-收益集合，又称为投资组合的可行集合。在期望收益-标准差平面上，3-1是一条直线，我们称这条直线为资本配置线。 随着投资者改变风险资产的投资权重w ，资产组合就落在资本配置线上的不同位置。具体来说，如果投资者将全部财富都投资到风险资产上1>w ，资产组合的期望收益和方差就是风险资产的期望收益和方差，资产组合与风险资产重合。如果投资者将全部财富都投资在无风险资产上0>w ，资产组合的期望收益和方差就是无风险资产的期望收益和方差，资产组合与无风险资产重合。风险资产r 与无风险资产f r 将配置线分为三段，其中，无风险资产和风险资产之间的部分意味着投资者投资在风险资产和无风险资产上的财富都是正值；此时10< 提要： 马柯威茨模型及资本资产定价模型（CAPM）传统的证券投资组合理论更为注重定性分析，50年代，马柯威茨通过研究预期收益率和投资组合方差创建了均值方差模型给投资组合理论带来了重要的突破，其学生夏普等人在60年代提出了著名的资本资产定价模型（CAPM）。投资者的无差异曲线无差异曲线与有效边界的切点资本资产定价模型证券市场线主要内容：马柯威茨均值方差理论和CAPM理论的假设前提1、投资者以期望收益率来衡量实际收益率的总体水平，以收益率的方差（标准差）来衡量收益率的不确定性（风险），因而投资者在决策中只关心投资的期望收益率和方差。2、投资者是不知足的和厌恶风险的，即投资者总是希望期望收益率越高越好，而方差越小越好3、资本市场没有摩擦，不考虑交易成本和征税，假定市场资金自由流动，在借贷和卖空上没有限制。投资者的无差异曲线马柯威茨在几个假设的前提下得出了投资者总是在有效边界上选择其证券组合，但是不同的投资者会在有效边界上选择不同的投资组合。这样我们就要研究投资者偏好并在此基础上得出不同投资偏好的最优证券组合模型。风险偏好可以通过满足程度无差异曲线来衡量。所谓无差异曲线，是给投资者带来相同满足程度的收益率和风险组合形成的轨迹。如图：A只关心收益而不考虑风险，C只关心风险而不考虑收益，这两种体现了偏好的极端。具有显示意义的是B和D，B相对更偏好于收益，爱好冒险；D比较保守，厌恶冒险。无差异曲线也说明除非从风险中获得报酬，否则投资者不会增加风险的理性投资，同时，增加一单位的边际收益投资者愿意承受的边际风险越来越小，体现了边际效用递减的规律。最优证券组合我们可以结合无差异曲线和投资组合的有效边界分析出，投资者的最佳组合为无差异曲线与有效边界的切点。图中的M点为最佳组合点，此点在有效边界上，同时又给投资者带来最大的满足程度。 2015年注册会计师资格考试内部资料 财务成本管理第四章 财务估价基础 知识点：两种证券组合的机会集与有效集 ● 详细描述： 【计算题】假设A证券的预期报酬率为10%，标准差是12%。B证券的预期报酬率是18%，标准差是20%。假设等比例投资于两种证券，即各占50%，且两种证券的相关系数为0.2。 要求： （1）计算该组合的预期报酬率； （2）计算该组合的标准差。 【正确答案】该组合的预期报酬率为： rp＝10%×0.50＋18%×0.50＝14% σp＝12.65% 如果投资比例发生变化，投资组合的期望报酬率和标准差也会发生变化。计算结果见下表：不同投资比例的组合 将以上各点描绘在坐标图中，即可得到组合的机会集曲线 该图的几个主要特征：1.它揭示了分散化效应。2.它表达了最小方差的组合。3.它表达了投资的有效集合. 【相关性对机会集和有效集的影响】 组合对A的投资比例对B的投资比例组合的期望收益率组合的标准差11010.00%12.00%20.80.211.60%11.11%30.60.413.20%11.78%40.40.614.80%13.79%50.20.816.40%16.65%6 1 18.00% 20.00% 相关系数＝1，不具有风险分散化效应。 相关系数＜1，机会集为一条曲线，当相关系数足够小，机会集曲线向左侧凸出。 相关系数越小，风险分散效应越强；相关系数越大，风险分散效应越弱。 由两项资产构成的投资组合，其最高、最低预期报酬率组合点，以及最大方差组合点不变，但最小方差组合点却可能是变化的。 机会集不向左侧凸出——有效集与机会集重合。最小方差组合点为全部投资于A，最高预期报酬率组合点为全部投资于B。不会出现无效集。 机会集向左侧凸出——出现无效集。最小方差组合点不是全部投资于A，最高预期报酬率组合点不变。 例题： 1.有效集以外的投资组合与有效边界上的组合相比，不包括（）。 A.相同的标准差和较低的期望报酬率 B.相同的期望报酬率和较高的标准差 C.较低的报酬率和较高的标准差 第七章证券组合管理理论 第一节证券组合管理概述 一、证券组合的含义和类型 （一）证券组合的含义 证券组合：拥有的一种以上的有价证券的总称。其中可以包含各种股票、债券、存款 单等等。 （二）证券组合的类型 证券组合可以分为避税型、收入型、增长型、收入和增长型混合型、货币市场型、 国际型及指数化型 避税型证券组合通常投资于市政债券，这种债券免联邦税，也常常免州税和地方税。 收入型证券组合追求基本收益(即利息、股息收益)的最大化。能够带来基本收益的证 券有：附息债券、优先股及一些避税债券。 增长型证券组合以资本升值(即未来价格上升带来的价差收益)为目标。增长型组合往往选择相对于市场而言属于低风险高收益，或收益与风险成正比的证券。符合增长型证券 组合标准的证券一般具有以下特征： 1、收入和股息稳步增长； 2、收入增长率非常稳定； 3、低派息； 4、高预期收益； 5、总收益高，风险低。 此外，还需对企业做深入细致的分析，如产品需求、竞争对手的情况、经营特点、公 司管理状况等。 收入和增长混合型证券组合试图在基本收入与资本增长之间达到某种均衡，因此也称为均衡组合。二者的均衡可以通过两种组合方式获得，一种是使组合中的收入型证券和增 长型证券达到均衡，另一种是选择那些既能带来收益，又具有增长潜力。 货币市场型证券组合是由各种货币市场工具构成的，如国库券、高信用等级的商业票 据等，安全性极强。 国际型证券组合投资于海外不同国家，是组合管理的时代潮流，实证研究结果表明，这种证券组合的业绩总体上强于只在本土投资的组合。 指数化证券组合模拟某种市场指数，以求获得市场平均的收益水平。 二、证券组合管理的意义和特点 1、意义 实现投资目标——风险最小、收益最大 2、特点 （1）投资的分散性； （2）风险与收益的匹配。 三、证券组合管理的方法和步骤 （一）方法 被动管理和主动管理。 （二）步骤 1、确定证券投资政策； 2、进行证券投资分析； 3、组建证券投资组合； 4、投资组合修正； 5、投资组合业绩评估。 四、现代证券组组合理论体系的形成与发展 1952年，美国经济学哈里?马克威茨发表了《证券组合选择》的论文，作为现代证券组合管理理论的开端。马克威茨对风险和收益进行了量化，建立的是均值方差模型。 夏普、林特和莫森分别于1964．1965和1966年提出了资本资产定价模型 CAPM。 罗斯提出了套利定价理论APT。 第二节证券组合分析 该理论包含两个重要内容：均值－方差分析方法和投资组合有效边界模型。在发达的证券市场中，马科维茨投资组合理论早已在实践中被证明是行之有效的，并且被广泛应用于组合选择和资产配置。但是，我国的证券理论界和实务界对于该理论是否适合于我国股票市场一直存有较大争议。从狭义的角度来说，投资组合是规定了投资比例的一揽子有价证券，当然，单只证券也可以当作特殊的投资组合。本文讨论的投资组合限于由股票和无风险资产构成的投资组合。人们进行投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进行选择。投资组合理论用均值—方差来刻画这两个关键因素。所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例。当然，股票的收益包括分红派息和资本增值两部分。所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。人们在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢？这正是投资组合理论研究的中心问题。投资组合理论研究“理性投资者”如何选择优化投资组合。所谓理性投资者，是指这样的投资者：他们在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化，或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化。因此把上述优化投资组合在以波动率为横坐标，收益率为纵坐标的二维平面中描绘出来，形成一条曲线。这条曲线上有一个点，其波动率最低，称之为最小方差点（英文缩写是MVP）。这条曲线在最小方差点以上的部分就是著名的（马考维茨）投资组合有效边界，对应的投资组合称为有效投资组合。投资组合有 效边界一条单调递增的凹曲线。如果投资范围中不包含无风险资产（无风险资产的波动率为零），曲线AMB是一条典型的有效边界。A点对应于投资范围中收益率最高的证券。如果在投资范围中加入无风险资产，那么投资组合有效边界是曲线AMC。C点表示无风险资产，线段CM是曲线AMB的切线，M是切点。M点对应的投资组合被称为“市场组合”。如果市场允许卖空，那么AMB 是二次曲线；如果限制卖空，那么AMB是分段二次曲线。在实际应用中，限制卖空的投资组合有效边界要比允许卖空的情形复杂得多，计算量也要大得多。在波动率－收益率二维平面上，任意一个投资组合要么落在有效边界上，要么处于有效边界之下。因此，有效边界包含了全部（帕雷托）最优投资组合，理性投资者只需在有效边界上选择投资组合。 [编辑本段]现代投资理论的产生与发展 现代投资组合理论主要由投资组合理论、资本资产定价模型、APT模型、有效市场理论以及行为金融理论等部分组成。它们的发展极大地改变了过去主要依赖基本分析的传统投资管理实践，使现代投资管理日益朝着系统化、科学化、组合化的方向发展。1952年3月，美国经济学哈里·马考威茨发表了《证券组合选择》的论文，作为现代证券组合管理理论的开端。马克威茨对风险和收益进行了量化，建立的是均值方差模型，提出了确定最佳资产组合的基本模型。由于这一方法要求计算所有资产的协方差矩阵，严重制约了其在实践中的应用。1963年，威廉·夏普提出了可以对协方差矩阵加以 资产组合的有效集定理 (一)资产组合收益与风险的测定 1、资产组合的收益 资产组合的预期收益是资产组合中所有资产预期收益率的加权平均。设一项资产组合中含有n项资产，令r i表示第i种资产的收益率，w i表示第i种资产在组合中的比例。则组合P的预期收益率为： E(r P)=E(w1r1+ w2r2…+ w n r n) = w1E(r1)+ w2E(r2)+…+ w n E(r n) =∑w i E(r i) 其中，∑w i =1，i=1，2，…，n。 2、资产组合的风险 衡量资产组合风险的工具是证券组合的方差。资产组合的方差不仅和其组成资产的方差有关，同时还与组成资产之间的相关程度有关。 对于有n项资产的组合P来说，其总方差为： σ P 2=∑∑w i w j cov(r i ，r j)；w i和w j分别表示资产i和资产j的投资权重 其中当i=j时，cov(r i，r j)表示资产i收益的方差，即cov(r i，r j)=σi2 当i≠j时，cov(r i，r j)表示资产i和资产j收益间的协方差。用公式表示： cov(r i ，r j) =E{[ r i- E(r i)][ r j- E(r j)]} 协方差反映了两个证券收益同时变化的测度。 如果cov(r i，r j)>0，即协方差为正数，那么证券i和证券j的收益呈同向变化，即当证券i的收益大于其预期收益E(r i)时，证券j的收益也大于它的预期收益。 反之，如果cov(r i，r j)<0，即协方差为负数，那么证券i和证券j的收益呈反向变化。 为了能更清晰地说明两个证券之间的相关程度，通常把协方差正规化，使用资产i和资产j收益间的相关系数ρij，用公示表示: ρij= cov(r i，r j)/σiσj，其中σi和σj分别表示证券i和j的标准差，ρij的取值范围为[-1,1]。 当ρij=1时，证券i和j是完全正相关的。 当ρij=-1时，证券i和j是完全负相关的。 当ρij=0时，证券i和j之间不存在相关关系 重点关注由两种证券构成的投资组合： 这一投资组合的收益： E(r P)=E(w1r1+ w2r2)= w1E(r1)+ w2E(r2) 这一投资组合的方差： σ P 2=w 1 2σ 1 2+w 2 2σ 2 2+ 2w 1 w 2 cov(r 1 ，r2) =w12σ12+w22σ22+ 2w1w2ρ12σ1σ2 当ρ 12=1时，σ P =w1σ1+w2σ2；此时组合标准差等于组合中单个证券标准差 的加权平均值。 当ρ 12=0时，σ P =(w12σ12+w22σ22)1/2 当ρ 12=-1时，σ P =｜w1σ1-w2σ2｜ 显然，投资组合的标准差在ρ 12=-1时最小，ρ 12 =1时最大。 例：已知证券组合P是由证券1和证券2构成，两种证券的预期收益和标准差分别为E(r1)=20%，σ1=10%；E(r2)=25%，σ2=20%，并且两种证券的权重分别为w1=w2=50%，请计算由这两种证券所构成的证券组合P的预期收益率，并分别 计算ρ 12=1，ρ 12 =0，ρ 12 =-1时证券组合P的标准差。 答：证券组合P的预期收益率为： 投资组合优化模型 摘要 长期以来，金融资产固有的风险和由此产生的收益一直是金融投资界十分关注的课题。随着经济的快速发展，市场上的新兴资产也是不断涌现，越来越多的企业、机构和个人等都用一部分资金用来投资，而投资方式的多样性决定了人们在投资过程中投资组合的多样性。而每一项投资在有其收益效果的同时也伴随着风险性，所以不同的投资组合方式将带来不同的效果。对于不同类型的投资者必然有不同的要求，从而适合不同的投资方式，所以意在建立在不同投资者的不同要求下应采用哪种投资方式的模型，使投资者能做出正确的选择。 本文研究的主要是在没有风险的条件下，找出投资各类资产与收益之间的函数关系，合理规划有限的资金进行投资，以获得最高的回报。 对于问题一，根据收益表中所给的数据，我们首先建立二元线性回归模型来模拟收益U与x,y之间的关系，对于模型中的各项自变量前的系数估计量，利用spss软件来进行逐步回归分析。发现DW值为0.395，所以原模型的随机误差项违背了互相独立的基本假设的情况，即存在自相关性。为了处理数据间的自相关问题，运用了迭代法，先通过Excel进行数据的处理和修正，达到预定精度时停止迭代，再一次用spss软件来进行检验，发现DW值变为2.572，此时DW值落入无自相关性区域。在进一步对模型进行了改进后，拟合度为进行了残差分析和检验预测，这样预测出的结果更加准确、有效，希望能为投资者实践提供某种程度的科学依据。 对于问题二，根据问题一建立的模型和问题二中所给出的条件，确定目标函数，进行线性规划，用MATLAB软件来求得在资金固定的情况下，选择哪种投资方式能使达到利益最大化。 最后，对模型的优缺点进行评价，指出了总收益与购买A 类资产x份数和B 类资产y份数之间的关系模型的优点与不足之处，并对模型做出了适度的推广和优化。 关键字：经济效益回归模型自相关迭代法线性规划有效投资方法 6最优投资组合选择 最优投资组合选择的过程就是投资者将财富分配到不同资产从而使自己的效用达到最大的过程。然而，在进行这一决策之前，投资者首先必须弄清楚的是市场中有哪些资产组合可供选择以及这些资产组合的风险-收益特征是什么。虽然市场中金融资产的种类千差万别，但从风险-收益的角度看，我们可以将这些资产分为两类：无风险资产和风险资产。这样一来，市场中可能的资产组合就有如下几种：一个无风险资产和一个风险资产的组合；两个风险资产的组合；一个无风险资产和两个风险资产的组合。下面分别讨论。 一、一个无风险资产和一个风险资产的组合 当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产的时候，我们可以假定投资者投资到风险资产上的财富比例为w ，投资到无风险资产上的财富比例为1-w ，这样一来，投资组合的收益就可以写为： f P r w r w r )1(-+= 其中，r 为风险资产收益，这是一个随机变量；f r 为无风险资产的收益，这是一个常数。 这样，资产组合的期望收益和标准差就可以写出下述形式： f P r w r wE r E )1()()(-+= σσw P = (因为122 22212 2 )1(2)1(σσσσw w w w P -+-+=,2112122,0σσρσσ===0) 其中σ为风险资产的标准差。 根据上两式，我们可以消掉投资权重，并得到投资组合期望收益与标准差之间的关系： P f f P r r E r r E σσ -+ =)()( 3-1 当市场只有一个无风险资产和一个风险资产时，上式就是资产组合所以可能的风险-收益集合，又称为投资组合的可行集合。在期望收益-标准差平面上，3-1是一条直线，我们称这条直线为资本配置线。 毕业论文开题报告 数学与应用数学 投资组合有效边界的实证应用分析 一、选题的背景、意义 随着我国社会主义市场经济的确立与发展，各种各样的投资手段正以前所未有的速度出现，投资组合作为筹集社会闲散资金、调节社会资本分配的一种有效方式和直接融资的一种手段，必将在社会经济生活中占据日益重要的地位。在进行投资时，投资者最关心的就是收益和风险。投资者在市场经济的客观经济环境中面临着许多不能预测、经常变动的因素。这些因素的变动，往往使投资者的原有决策受到冲击，从而导致一些意外损益的发生。这就要求投资者在投资过程中预先估计这些可能发生的变动，从而减少风险。 1952年，Markowitz首先提出了投资者在不确定条件下配置金融资产的理论，即投资组合的均值-方差模型。他提出的投资组合选择理论奠定了现代组合投资理论的基础，带动了金融市场理论的创新，并被誉为金融领域的一场革命。在此基础上，1964年，Sharpe建立了资本资产定价模型（CAPM）。该模型给出了资产的收益、风险以及两者之间的精确描述。投资组合理论的模型均是在其间接前提假设和直接均衡条件下推导出来的。Markowitz的均值-方差模型是根据投资者力求收益最大和风险最小这两个相互制约的目标达到平衡的条件而建立的，从而得出有效组合，或者说，在有相同风险水平的可行投资组合中，期望收益最大的组合集构成投资组合的有效边界，即有相同收益水平的可行投资组合中，风险最小的组合集的上半部分构成投资组合的有效边界。 投资组合理论是探讨在风险条件下如何进行分散投资，使投资总体结构达到最优，从而获得可能的最高收益的理论。投资组合理论，尤其是现代投资组合理论的出现，无疑为投资者进行投资决策提供了有力的工具，使投资方案的优劣有了明确的度量方法。投资组合理论中的绝大部分都隐含着信息完全对称的假设，而我国市场目前仍然处于发展初期，信息的完整性、均匀分布性、完全实用性较差，这必然为投资组合理论的应用带来了障碍，但是我们应该看到投资组合理论对投资的指导意义是不容置疑的。 目前，我国市场的一个特点是价格波动幅度大，系统风险较大，当投资者进行投资时应该针对各资产之间的相关性对其进行分组, 使每组内资产的相关性尽量大，而使每组资产之第四节 马柯威茨模型与投资组合
财务估价基础 两种证券组合的机会集与有效集
证券组合管理与组合分析
均值-方差分析方法和投资组合有效边界模型。
资产组合有效集定理
投资组合优化模型
6投资组合有效边界计算要点
投资组合有效边界的实证应用分析【开题报告】
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