椭圆练习题
一.选择题：
１.已知椭圆
上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ D ）
A ．２
B ．３
C ．５
D ．７
２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ C ）
A. B. C. D. ３.与椭圆9x 2+4y 2
=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( B )
A
４．椭圆的一个焦点是，那么等于（ A ）
A. B.
C.
D.
５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B ) A.
B.
C.
D.
６．椭圆两焦点为 ， ，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ B ）
A.
B .
C .
D . ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|
的等差中项，则该椭圆方程是（ C ）。
A ＋＝1
B ＋＝1
C ＋＝1
D ＋＝1
８.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( C )
(A)450 (B)600 (C)900 (D)120
９．椭圆
上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为（ A ） A. 4 B . 2 C. 8 D .
116
252
2=+y x 22143x y +=22134x y +=2214x y +=22
14
y x +=5185
801452012520120
252222222
2=+=+=+=+y x D y x C y x B y x 2
2
55x ky -=(0,2)k 1-1512
2
21(4,0)F -2(4,0)F 12PF F 221169x y +=221259x y +=2212516x y +=22
1254
x y +=16x 29y 216x 212y 24x 23y 23x 24
y 222
1259
x y +=2
3
10．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2
3＋y 2
＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外
一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( C )
（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12
二、填空题：
11．方程表示焦点在轴的椭圆时，实数的取值范围
_____
12．过点且与椭圆有共同的焦点的椭圆的标准方程为_13．设,,△的周长是，则的顶点的轨迹方程为
14．如图：从椭圆上一点向
轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴端点及短轴的端点的连线∥，
则该椭圆的离心率等于_____________
三、解答题：
15.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程。 或 16.已知点和圆：，点在圆上运动，点在半径
上，且，求动点的轨迹方程。
17．已知A 、B 为椭圆+=1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为，求该椭圆方程．
设，，由焦半径公式有 =，∴
22
1||12
x y m +=-y m (1,3)(3,1)m ∈--U (2,3)-22
9436x y +=22
1
1510
y x +=(5,0)M -(5,0)N MNP 36MNP ?P 22
1(0)169144x y y +=≠M x 1F A
B AB u u u r
OM u u u u
r 23
2
=
e 5818014422=+y x 1144
802
2=+y x ()
3,0A 1O (
)
163
2
2
=+
+y x M 1O P M O 1PA PM =P 1
42
2
=+y x 22a x 2
2925a y 5
8
23
)y ,A(x 11)y ,B(x 22,5
4=e Θ21ex a ex a -+-a 58
21x x +
=， 即AB 中点横坐标为，又左准线方程为，∴，即=1，∴椭圆方程
为x 2+y 2
=1．
18．（10分）根据条件，分别求出椭圆的方程： （1）中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为
，长轴长为； （1）
或 （2）中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在
轴上，短轴的一个顶点与两个焦点组成的三角形的周长为，且。
19．（12分）已知为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点。 （1）求的最大值；（2）若且
，求的值；
（当且仅当时取等号）
， （2）， ① 又 ② 由①②得
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)2
3
,25(-，则椭圆方程是 （ D ）
A
．14
822=+x y B ．16102
2=+x y C ．18
42
2=+x y D ．16
102
2=+y x
3．若方程x 2
+ky 2
=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为 （ D ）
A ．（0，+∞）
B ．（0，2）
C ．（1，+∞）
D ．（0，1） 4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a a
a PF PF ，则点P 的
轨迹是
（ D ） A ．椭圆
B ．线段
C ．不存在
D ．椭圆或线段
a 2
1
a 41a x 4
5
-=234541=+a a a 9
251
2
82211612x y +=22
11612
y x +=x B 12
,F F 4+1223
F BF π∠=22
141x y +=12,F F 22
2
1(010)100x y b b +=<
12F PF ?b 2
1212||||||||1002PF PF PF PF +??
≤= ???
12||||PF PF =()12max |||100PF PF ∴?=12121||||sin 6023F PF S PF PF ?=
?=o Q 12256
||||3
PF PF ∴?=22212122221212||||2||||4||||42||||cos60
PF PF PF PF a PF PF c PF PF ?++?=?+-=??o
2
123||||4004PF PF c ??=-68c b =∴=
5．椭圆122
22=+b
y a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有 （ A ）
A ．相同的离心率
B ．相同的焦点
C ．相同的顶点
D ．相同的长、短轴 6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 （ D ）
A ．
4
1
B ．
2
2 C ．
4
2 D ．
2
1 7．已知P 是椭圆136
1002
2=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点
的距离是 （ B ）
A ．
16
B ．
66 C ．
75 D ．
778．椭圆14
162
2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是
（ D ）
A ．3 B
．11 C ．2
2
D ．10
22
x y +=14cos 2sin 164
+0d 4P P ααα??
?
?
?试题分析：
∵椭圆方程，可设椭圆上任意一点坐标（，）
∴到直线的距离π∵≤≤方法二：由题意只需求于直线
2
y =14
相切的点取到最大值或最小值
设此直线为x+2y+c=0,x=-2y-c
2
y =1
4
化简得22
8y +4cy+c -16=0
()()2
2=-484c c -06=1???
c=±解两直线的距离max d
9．在椭圆13
42
2=+y x 内有一点P
（1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是
（ C ）
A ．
25 B ．2
7 C ．3
D ．4
()2
2
a c
01(M )a x==4
1e=
2
c
4-1=3.
e e MF MN MP MF P PN N PN MP MF <<=++到定点（焦点）距离与到定直线（准线）的距离的比
等于定值的点的轨迹叫椭圆。可知2点到准线距离所以2的最小值，就是由作垂直于椭圆的准线于。的长即为所求解：由已知，椭圆的离心率由椭圆的第二定义，。椭圆右准线方程2的最小值： 10．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆12
22=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线
m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 （ ）
A ．2
B ．－2
C ．
2
1
D ．－
21
1222211122
111222112111
11
2221112121-2,0y=k x+22k +1x 8k 8k 20-8k -4k x +x =2k +12k +1
2k -4k 2k k x +2)2k +12k +12k +1-11
k =
k k =-2k 2
M x P P P ++-==解析：设过（）的直线方程为（）
代入椭圆方程整理得（）∴，∴的横坐标
的纵坐标为（得（，）OP 斜率，
二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）
11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 127
362
2=+x y .
12．与椭圆4 x 2
+ 9 y 2
= 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_110
152
2=+y x ___．
13．已知()y x P ,是椭圆125
1442
2=+y x 上的点，则y x +的取值范围是__]13,13[-____ ．
14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率
等于____
5
4_ 高考及模拟题：
1. (文科)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( B ) A.12 B.22 C. 2 D.32
2． (理科)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为( B ) A.
54B.32C.22D.12
3．若椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，抛物线y 2
＝2bx 的焦点为F .若F 1F →＝
3FF 2→
，则此椭圆的离心率为( B ) A.12B.22C.13D.33
4．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→
＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( C )
A ．(0,1)
B ．(0，12]C.? ?
???0，22 D.????
??22，1
解：由向量垂直可知M 点轨迹是以原点为圆心，半径等于半焦距的圆。所以圆在椭圆内部，
22
2
2
2
2c 1c b c a -c e =0e a 2＜，即＜，解＜，所以＜
5．过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2
＝60°，则椭圆的离心率为( B ) A.
22B.33C.12D.13
6．(2008年全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－7
18.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，
则该椭圆的离心率e ＝____.3
8
_______.(余弦定理)
7．(2009年田家炳中学模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的四个顶点分别为A 、B 、C 、D,若菱形
ABCD 的内切圆恰好经过椭圆的焦点，则椭圆的离心率为_（只能求出e 的平方）_______
．
4224422(a b x y
+=1a b
a -3a c +c =0e -3e +1=0e 0e 1A 解：设，0），B （0，）
则直线AB 的方程为，由内切圆恰好经过交点得
整理得，即，解得∵＜＜，所以 8．(2008年江苏卷)在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，以O 为圆心，
a 为半径作圆，过点? ??
??a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝__22______.（利用45
度的余弦值求e ）