典型例题一
例1 椭圆的一个顶点为()02，
A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11
42
2=+
y x ； （2）当()02，
A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116
42
2=+
y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
典型例题二
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
解：3
1
222??=c a c Θ ∴223a c =， ∴333
1-=
e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的
齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．
典型例题三
例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，
OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
解：由题意，设椭圆方程为1222
=+y a
x ，
由?????=+=-+1012
22y a
x y x ，得()0212
22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211
1a x y M M +=-=， 41
12===
a
x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14
22
=+y x 为所求．
说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
例4椭圆19252
2=+y x 上不同三点()11y x A ，，??
?
??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．
（1）求证821=+x x ；
（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．
证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：
a c x c
a AF =
-12
，∴ 115
4
5x ex a AF -=-=． 同理 2545x CF -=．∵ BF CF AF 2=+，且5
9
=BF ，
∴ 51854554521=??? ??-+??? ?
?
-x x ，即 821=+x x ．
（2）因为线段AC 的中点为???
?
?+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为
()422
12
121---=
+-
x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 ()
212
2
21024x x y y x --=-
又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，
∴ ()212125259
x y -=
(
)
2
2
222525
9x y -= ∴ ()()21212
221259x x x x y y -+-=-．
将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得25
36
40-
=-x ∴ 4
5
40
590=--=x k BT ． 典型例题五
例5 已知椭圆13
42
2=+y
x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN
是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得
2=a ，3=b ，∴1=c ，2
1=
e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=．
又由焦半径公式知：
111212x ex a MF -=-=，1122
1
2x ex a MF +=+=． ∵2
12MF MF MN ?=，∴()??? ??+??? ?
?-=+112
12122124x x x ． 整理得048325121=++x x ． 解之得41-=x 或5
12
1-
=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②
则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：
（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．
（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．
（3）本例也可设()
θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．
典型例题六
例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点??
?
??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．
分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为??? ?
?
-=-
2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得 ()()
02
3
21222122
2
2
=+-+--+k k x k k
x k ．
由韦达定理得2
2212122k k
k x x +-=+．
∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21
-=k ．
所以所求直线方程为0342=-+y x ．
分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2
12
1x x y y --．
解法二：设过??
?
??2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得
?
????????=+=+=+=+④
1.
③1②12
①1221212
2222
121y y x x y x y x ，，， ①－②得02
2
2212
221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得
212121-=--x x y y ，即直线的斜率为2
1
-．所求直线方程为0342=-+y x ． 说明：
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
典型例题七
例7 求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，
； （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．
分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由122
22=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，
在得方程
13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程137
1482
2=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或122
22=+b
x a y ．
由已知b a 2=． ①
又过点()62-，
，因此有 ()16222
22=-+b a 或()12622
22
=+-b
a ． ② 由①、②，得1482=a ，372=
b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为
13714822=+y x 或113
522
2=+x y ．
（2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182
=a ．故所求方程为19
1822=+y x ．
说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，
若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或122
22=+b
x a y ．
典型例题八
例8 椭圆112
162
2=+
y x 的右焦点为F ，过点()
31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．
分析：本题的关键是求出离心率2
1
=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF e
AM 1
+
均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以2
1
=e ，右准线8=x l ：． 过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故
MF MQ 2=．
显然3=M y ，且M 在
MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此椭圆上．故32=M x ．所以()
332，M ．
说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实
上，如图，2
1
=
e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．
典型例题九
例9 求椭圆13
22
=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．
分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．
解：椭圆的参数方程为?
??==.sin cos 3θθy x ，
设椭圆上的点的坐标为
(
)
θθsin cos 3，，则点到直线的距离为
2
63sin 226sin cos 3+??
? ??-=
+-=
θπθθd ． 当13sin -=??
?
??-θπ时，22=最小值d ．
说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．
典型例题十
例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=
e ，已知点??
?
??230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．
分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注
意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．
解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是122
22=+b y a x ，其中0>>b a 待定．
由22
222222
1a
b a b a a
c e -=-=
=可得 2
1
43112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则
4931232
2222
2
2
+-+???
? ??-=??? ??-+=y y b y a y x d 342134933422
2
2
++??? ?
?
+-=+--=b y y y b
其中b y b ≤≤-． 如果2
1
<
b ，则当b y -=时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得
()
2
2
237??? ?
?
+=b ，由此得21237>-=b ，与21
因此必有21≥b 成立，于是当2
1
-=y 时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得
()3472
2
+=b
，可得1=b ，2=a ．
∴所求椭圆方程是11
42
2=+
y x ． 由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点??? ??--213，，点??? ??-213，到点??
?
??230，P 的距离是7． 解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是?
??==θθ
sin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，
θ为参数．
由2
2
22222
1??
? ??-=-==a b a b a a c e 可得 2
1
43112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点??
?
??230，P 的距离为d ，则
2
2222
2
23sin cos 23??? ?
?
-+=??? ??-+=θθb a y x d
4
9
sin 3sin 34222+
--=θθb b b 3421sin 322
2
++??? ??
+-=b b b θ
如果
121>b ，即2
1
()
2
2
237??
? ??
+=b ，由此得21237>-=b ，与21
121≤b 成立． 于是当b
21
sin -=θ时2d （从而d ）有最大值． 由题设知
()3472
2
+=b
，∴1=b ，2=a ．
∴所求椭圆的参数方程是???==θ
θ
sin cos 2y x ．
由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是??? ?
?
--213，
，??? ??-213，． 典型例题十一
例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．
分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设
m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．
解：由x y x 63222=+，得
123492322
=+?
????
? ??
-y x
可见它表示一个椭圆，其中心在??
?
??
023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点． 设m x y x =++222，则 ()1122
+=++m y x
它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．
在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即
11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．
∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．
典型例题十二
例12 已知椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．
（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，ο120≠∠APB ． （2）如果椭圆上存在一个点Q ，使ο120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围．
分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭
圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据ο
120=∠AQB 得到32222
-=-+a y x ay ，将2222
2y b
a a x -=代入，消去x ，用a 、
b 、
c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．
解：（1）设()0，
c F ，()0，a A -，()0，a B ． ????
??????=+=a b c P b a y a x b c x 222222
2， 于是()a c a b k AP
+=2，()
a c a
b k BP -=2
．
∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()
222
2
242
221tan c
a a c a
b a
c a b a c a b APB -=-++-
-=∠
∵22c a >∴2tan -<∠APB 故3tan -≠∠APB ∴ο120≠∠APB ． （2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=
，a
x y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．
∴2
2222
221tan a y x ay a x y a x y
a x y AQB -+=-++-
-=∠ ∵ο120=∠AQB ， ∴
322
22-=-+a
y x ay
整理得()0232
2
2
=+-+ay a y x ∵2
222
2
y b a a x -=∴0213222=+???
? ??-ay y b a ∵0≠y ， ∴2232c ab y = ∵b y ≤， ∴b c
ab ≤2
2
32 232c ab ≤，()
222234c c a a ≤- ∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e
∴2
3
2≥
e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ． 典型例题十三
例13 已知椭圆
19822=++y k x 的离心率2
1
=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由2
1
=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．
由21=
e ，得
4191=-k ，即4
5
-=k ． ∴满足条件的4=k 或4
5
-=k ．
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．
典型例题十四
例14 已知椭圆1422
22=+b
y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．
分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．
解法一：由1422
22=+b
y b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．
由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得
b b b PF b PF 34421=-=-=． 由椭圆第二定义，
e d PF =1
1，1d 为P 到左准线的距离，
∴b e
PF d 3211==
，
即P 到左准线的距离为b 32． 解法二：∵
e d PF =2
2，2d 为P 到右准线的距离，2
3==
a c e ， ∴
b e
PF d 33222==
．又椭圆两准线的距离为b c a 3
3
822=?． ∴P 到左准线的距离为
b b b 323
3
2338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．
椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．
典型例题十五
例15 设椭圆???==.
sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π
=∠POx ，求P 点坐标．
分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解． 解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3
π
， ∴α
α
π
cos 4sin 323
tan
=
，即2tan =α．
而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =
α，55
2sin =α，∴P 点坐标为)5
154,554(
． 典型例题十六
例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点
（教师版）椭圆标准方程典型例题 例1已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值． 解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得． 又，所以，适合．故． 例2已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设 条件，运用待定系数法， 求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为． 当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为． 例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹． 分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解． （2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程． 解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，， 有， 故其方程为． （2）设，，则．① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）． 例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方 程． 解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即． 从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，， 可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或．
例5已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知：·．① 由椭圆定义知：②，则得． 故． 例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式． 解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点， 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径， 即．∴点的轨迹是以，为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标
椭 圆 1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c). 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx 2 +ny 2 =1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x 0 , y 0 ), 则x ＝x 0, y ＝ 2 0y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02 ＋y 02 ＝4, 得x 2 ＋(2y)2 ＝4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2 ，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里． 5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b)、B 2(0, b)是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a,0)、A 2(a,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a, 0)、A 2(a, 0)、B 1(0, －b)、B 2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a 叫做椭圆的 长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2， 即c 2＝a 2－b 2 ． a A 1y O F 1F 2 x B 2 B 1 A 2c b y O F 1F 2x M c c x F 2 F 1 O y M c c y x P O P ' M
椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆0632 2=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 例3 ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3 52，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 例5 已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）． 例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内 切，求动圆圆心P 的轨迹方程 例7 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点?? ? ??2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； （3）过()12， A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=?OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程． 例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为 5 102，求直线的方程． 例9 以椭圆13 122 2=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程． 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范 例10 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．
椭圆练习题 一、选择题 1.椭圆2x m +2 4 y =1的焦距为2，则m 的值为（ ） A .5 B .3 C .5或3 D .8 2.设椭圆)0( 122 22>>=+b a b y a x 的离心率为e=12,右焦点为F （c ,0)，方程ax 2+bx -c =0的两 个实根分别为x 1和x 2,则点P （x 1,x 2)（ ） A .必在圆x 2+y 2=2内 B .必在圆x 2+y 2=2上 C .必在圆x 2+y 2=2外 D .以上三种情形都有可能 3．在椭圆)0( 122 22>>=+b a b y a x 上取三点，其横坐标满足1322x x x +=，三点与某一焦 点的连线段长分别为123,,r r r ，则123,,r r r 满足（ ） A ．123,,r r r 成等差数列 B ． 123 112 r r r += C ．123,,r r r 成等比数列 D ．以上结论全不对 4．椭圆22 1 4x y m +=的离心率e 满足方程2 2520x x -+=，则m 的所有可能值的积为 （ ） A ．3 B ． 316 C ．16 D ．-16 5．已知c 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的半焦距,则a c b +的取值范围是 ( ) A (1, +∞) B ),2(∞+ C )2, 1( D ]2,1( 6. 过椭圆左焦点F 且倾斜角为 60的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为 （ ） A ． 32 B. 22 C. 21 D. 3 2 7.过原点的直线l 与曲线C:13 22 =+y x 相交,若直线l 被曲线C 所截得的线段长不大于6,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ( ) A 656παπ≤≤ B 326παπ<< C 323παπ≤≤ D. 434παπ≤≤ 8.椭圆)10(,2 222<<=+a a y x a 上离顶点A(0,a )最远点为(0,)a -成立的充要条件为 ( )
椭圆练习题 一.选择题： １.已知椭圆 上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ D ） A ．２ B ．３ C ．５ D ．７ ２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ C ） A. B. C. D. ３.与椭圆9x 2 +4y 2 =36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( B ) A ４．椭圆的一个焦点是，那么等于（ A ） A. B. C. D. ５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B ) A. B. C. D. ６．椭圆两焦点为 ， ，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ B ） A. B . C . D . ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2| 的等差中项，则该椭圆方程是（ C ）。 A ＋＝1 B ＋＝1 C ＋＝1 D ＋＝1 ８.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( C ) (A)450 (B)600 (C)900 (D)120 ９．椭圆 上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为（ A ） A. 4 B . 2 C. 8 D . 116 252 2=+y x 22143x y +=22134x y +=2214x y +=22 14 y x +=5185 8014520125201 20 252222222 2=+=+=+=+y x D y x C y x B y x 2 2 55x ky -=(0,2)k 1-1512 21(4,0)F -2(4,0)F 12PF F 221169x y +=221259x y +=2212516x y +=22 1254 x y +=16x 29y 216x 212y 24x 23y 23x 24 y 222 1259 x y +=2 3
椭圆标准方程典型例题(参考答案) 例1 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 解：方程变形为 1262 2=+m y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2 262=-m ，5=m 适合．故5=m ． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x ． 由椭圆过点()03， P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92 =a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y ． 由椭圆过点()03， P ，知10922=+b a ．又 b a 3=，联立解得812=a ，92 =b ，故椭圆的方程为198122=+x y ． 例3 ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x ． ① 由题意有??? ????='='33 y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）． 例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3 5 2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541= PF ，3 5 22=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ?中，2 1 sin 12 21==∠PF PF F PF ，
典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c Θ ∴223a c =， ∴333 1-= e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的 齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点， OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211 1a x y M M +=-=， 41 12=== a x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求．
说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF = -12 ，∴ 115 4 5x ex a AF -=-=． 同理 2545x CF -=．∵ BF CF AF 2=+，且5 9 =BF ， ∴ 51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ，即 821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ? ?+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 () 212 2 21024x x y y x --=- 又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上， ∴ ()212125259 x y -= ( ) 2 2 222525 9x y -= ∴ ()()21212 221259x x x x y y -+-=-． 将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得25 36 40- =-x ∴ 4 5 40 590=--=x k BT ． 典型例题五 例5 已知椭圆13 42 2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
初步圆锥曲线 感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点12? ?? ,,M N 为平面上关于原点对称的两点,已知N 的坐 标为0,? ?? ,过N 作直线交圆于,A B 两点 （1）求圆O 的方程; （2）求ABM ?面积的取值范围 二. 曲线方程和方程曲线 （1）曲线上点的坐标都是方程的解； （2）方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程 例题：教材P.37 A 组.T3 T4 B 组 T2 练习1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3 ，则动点P 的轨迹方程是____ 练习2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________ 总结：求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系 （2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 四. 设直线方程 设直线方程：若直线方程未给出，应先假设. （1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y y k x x ； （2）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0，则假设方程为t kx y +=； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y += 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；
（4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设 直线为x my t 。 【反斜截式，1 m k 】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 例题：圆C 的方程为：.0222=-+y x （1）若直线过点）（4,0且与圆C 相交于A,B 两点，且2=AB ,求直线方程. （2）若直线过点）（3,1且与圆C 相切，求直线方程. （3）若直线过点） （0,4且与圆C 相切，求直线方程. 附加：4)4(3:22 =-+-y x C ）（ . 若直线过点） （0,1且与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ S ?最大时的直线方程. 椭圆 1、椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离c 2叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有 21||||2MF MF a +=. 注意：212F F a >表示椭圆；212F F a =表示线段21F F ；212F F a <没有轨迹； 2、椭圆标准方程 椭圆方程为12 2 222=-+c a y a x ，设2 2c a b -=，则化为()012222>>=+b a b y a x 这就是焦点在x 轴上的椭圆的标准方程,这里焦点分别是1F ()0,c -，2F ()0,c ，且22c a b -=. 类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的 标准方程()22 2210y x a b a b +=>>． 椭圆标准方程：22 221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）
《椭圆》方程典型例题20例 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ， 其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c ∴223a c =， ∴3 331- = e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点， M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴22 2112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，
4 1 12=== a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的 距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF =-12 ， ∴ 115 4 5x ex a AF -=-=． 同理 25 4 5x CF - =． ∵ BF CF AF 2=+，且5 9= BF ， ∴ 51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ， 即 821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ? ?+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 () 2122 21024x x y y x --=-
椭圆的经典例题 1．已知点A(2，5)、B(3，一1)，则线段AB 的方程是( )． (A)6x+y-17=0 (B)6x+y-17=0(x ≥3) (C)6x+y-17=0(x ≤3) (D)6x+y-17=0(2≤x ≤3) 2.（直接法）已知一条直线l 和它上方的一个点F ,点F 到l 的距离是2,一条曲线也在直线l 的上方,它上面的每一个点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求曲线的方程． 3.（相关点法） 动点M 在曲线x 2+y 2=1上移动，M 和定点B(3，O)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程，并指出点P 的轨迹． 4．已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 5. 已知椭圆0632 2=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 6.已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 7.已知M 是椭圆14 92 2=+y x 上的一点，21,F F 是椭圆的焦点，则||||21MF MF ?的最大值是（ ） A 、4 B 、6 C 、9 D 、12 8.点P 为椭圆22 154 x y +=上一点，以点P 以及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标是 （A ）(±2, 1) （B ）(2, ±1) （C ）(2, 1) （D ）(±2 , ±1) 9.已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为 354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
10.求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 11.已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点， α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）． 12.已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322 =+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 13.已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为 5 102，求直线的方程． 14.如果椭圆22 1369x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是
椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形， 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点 椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .
|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2． 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2 OM AB b k k a ?=-，即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e
（教师版)椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为（0,２)求m 的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程,由2=c ,根据关系2 2 2 c b a +=可求出m 的值. 解:方程变形为 1262 2=+m y x ．因为焦点在y 轴上,所以62>m ,解得3>m . 又2=c ,所以2 262=-m ,5=m 适合．故5=m . 例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点()03， P ,b a 3=,求椭圆的标准方程. 分析:因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法， 求出参数a 和b （或2 a 和2 b )的值，即可求得椭圆的标准方程． 解:当焦点在x 轴上时,设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x . 由椭圆过点()03， P ,知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92 =a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y . 由椭圆过点()03， P ,知10922=+b a .又 b a 3=,联立解得812=a ,92 =b ,故椭圆的方程为198122=+x y ． 例３ ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 分析：(１)由已知可得20=+GB GC ,再利用椭圆定义求解． (２)由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程． 解： (１）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ． (２)设()y x A ，,()y x G ''，,则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x ． ①
经典例题精析 类型一：求曲线的标准方程 1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）. 解析： 方法一：因为有焦点为， 所以设椭圆方程为，, 由，消去得， 所以 解得 故椭圆标准方程为 方法二：设椭圆方程,,, 因为弦AB中点,所以， 由得,（点差法）
所以 又 故椭圆标准方程为. 举一反三： 【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程. 【答案】依题意设椭圆标准方程为()， 并有，解之得，, ∴椭圆标准方程为 2．根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线有共同的渐近线，且过点； （2）与双曲线有公共焦点，且过点 解析： （1）解法一：设双曲线的方程为
由题意，得，解得， 所以双曲线的方程为 解法二：设所求双曲线方程为（）， 将点代入得， 所以双曲线方程为即 （2）解法一：设双曲线方程为－=1 由题意易求 又双曲线过点，∴ 又∵，∴， 故所求双曲线的方程为. 解法二：设双曲线方程为， 将点代入得， 所以双曲线方程为. 总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.
(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的 关系，并注意方程思想的应用. (2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为 （）. 举一反三： 【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）一渐近线方程为，且双曲线过点. （2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10. 【答案】 （1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方 程为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴所求双曲线方程为. （2）由已知设, ,则() 依题意，解得. ∴双曲线方程为或.
学生姓名 性别 男 年级 高二 学科 数学 授课教师 ? 上课时间 2014年12月13日 第（ ）次课 共（ ）次课 课时： 课时 教学课题 椭圆 教学目标 # 教学重点与难点 选修2-1椭圆 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点 、 的距离之和等于常数( )，这个动 点 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若，则动点的轨迹为线段； 若 ，则动点 的轨迹无图形. 讲练结合一.椭圆的定义 １．方程 ()()10222 22 2=+++ +-y x y x 化简的结果是 2．若ABC ?的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ?的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是 3.已知椭圆22 169 x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为 ; 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ； 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
注意： 1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有 和 ； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为， ；当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为， 。 讲练结合二．利用标准方程确定参数 1.若方程25x k -+2 3 y k -=1（1）表示圆，则实数k 的取值是 . （2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 . 2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 , " 3．椭圆22 14x y m + =的焦距为2，则m = 。 4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。 讲练结合三．待定系数法求椭圆标准方程 1．若椭圆经过点(4,0)-，(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。 2．焦点在坐标轴上，且213a =，212c =的椭圆的标准方程为 3．焦点在x 轴上，1:2:=b a ，6=c 椭圆的标准方程为 4. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0），求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；
X 1 X 2 2 x y 1 由 ~2 a 0 ，得 2x 2 2a 2x a 2 y M 1 X M 1 TV ， 《椭圆》方程典型例题 20例 典型例题一 例1椭圆的一个顶点为A 2,0，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程. 分析： 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置. 解：(1)当A 2,0为长轴端点时，a 2 , b 1 , 2 2 椭圆的标准方程为：— 1; 4 1 (2)当A 2,0为短轴端点时，b 2 , a 4, 2 2 椭圆的标准方程为：— 1 ； 4 16 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置， 是不 能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况. 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率. 解：2c a 1 2 2 2 — 二 3c 2 a 2, c 3 1 」3 e 3 3 . 说明：求椭 附圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求 a ，求c ,再求 比?二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可. 典型例题三 例3已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线x y 1 0交于A 、B 两点, M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程. 2 X 2 —y a 解：由题意，设椭圆方程为 1,
1为所求. 说明： 题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题. 典型例题四 2 -1上不同三点A* y 1，B 4,9 ，C X 2，氐与焦点F 4,0的 9 5 距离成等差数列. 若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . (1)由椭圆方程知a 5 , b x 1 x 2 8 y 1 y 2 y "V 又???点T 在x 轴上，设其坐标为X o ,O ，代入上式，得 2 y 2 2 % x 2 (1) 求证x 1 x 2 8 ； 同理 CF AF CF 2BF ，且BF 5 4 5 x 1 5 4 5X 2 5 18 k OM y M ??? a 2 4， X M (1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法；(2)直线与曲线的综合问 2 例4椭圆— 25 (2) 证明: 由圆锥曲线的统一定义知: AF 2 a X i AF a ex 1 5 4 5X 1. (2) 因为线段AC 的中点为4,笃 亚，所以它的垂直平分线方程为
椭圆经典精讲 1、基本概念、基本图形、基本性质 题1、 题面：集合}12|),{(}4|),{(2 2 2 2 =+==+=y x y x B y x y x A 与的关系可表述为（ ）. A.A B A =I B.A B ? C.B A ? D.A ∩B = ? 答案：D. 变式一 题面： 设双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，左，右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是( ) A ．在线段MN 的内部 B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部 C ．点N 或点M D ．以上三种情况都有可能 答案：C. 详解： 若P 在右支上，并设内切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B ，则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|P A |＋|AF 1|)－(|PB |＋|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|. 所以N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点． 变式二 题面： 若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4 没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋ y 2 4 ＝1的交点个数为( ) A ．至多1个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 答案：B. 详解： 由题意得 4 m 2＋n 2 ＞2，即m 2＋n 2＜4，则点(m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆x 29＋y 2 4＝1的内部． 题2、
题面：如图，倾斜圆柱形容器，液面的边界近似一个椭圆。 若容器底面与桌面成角为60o ，则这个椭圆的离心率是 。 答案： 解题步骤： 由图，短轴就是内径2r ，长轴为4r ， 即：2,,a r b r c ===， 2 e =. 变式一 题面： 已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是 以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) A. 3－1 2 B.5－1 2 C.1＋54 D. 3＋1 4 答案：B. 详解： 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±5 2. 又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－1 2 . 变式二 题面： 60o 4r 2r
椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系2 2 2 c b a +=可求出m 的值． 解：方程变形为 1262 2=+m y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2 262=-m ，5=m 适合．故5=m ． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数a 和b （或2 a 和2 b ）的值，即可求得椭圆的标准方程． 解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x ． 由椭圆过点()03， P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92 =a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y ． 由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又 b a 3=，联立解得812=a ，92 =b ，故椭圆的方程为198122=+x y ． 例3 ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解． （2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程． 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x ． ① 由题意有??? ????='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．
椭圆标准方程典型例题 例１ 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为（０,2)求m 的值． 分析:把椭圆的方程化为标准方程,由2=c ，根据关系2 2 2 c b a +=可求出m 的值. 解:方程变形为 1262 2=+m y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m . 又2=c ，所以2 262=-m ,5=m 适合．故5=m ． 例２ 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ,b a 3=,求椭圆的标准方程. 分析:因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法, 求出参数a 和b （或2 a 和2 b ）的值，即可求得椭圆的标准方程. 解:当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x . 由椭圆过点()03， P ,知10922=+b a ．又b a 3=,代入得12=b ，92 =a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y ． 由椭圆过点()03， P ，知10922=+b a .又 b a 3=,联立解得812=a ,92 =b ，故椭圆的方程为198122=+x y . 例３ ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 分析:（１）由已知可得20=+GB GC ,再利用椭圆定义求解. （2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系,利用代入法求A 的轨迹方程． 解: (１)以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由 20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b ， 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x . (２）设()y x A ，，()y x G ''，,则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x . ①