《椭圆》方程典型例题20例
典型例题一
例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
解：（1）当()02，
A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11
42
2=+
y x ； （2）当()02，
A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116
42
2=+
y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
典型例题二
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
解：3
1
222??=c a c Θ ∴223a c =， ∴333
1-=
e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．
典型例题三
例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，
M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
解：由题意，设椭圆方程为1222
=+y a
x ，
由?????=+=-+1012
22y a
x y x ，得()0212
22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2
11
1a x y M M +=-=， 41
12===
a
x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14
22
=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
例4椭圆19252
2=+
y x 上不同三点()11y x A ，，??
?
??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．
（1）求证821=+x x ；
（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：
a
c x c
a AF =-12
，
∴ 115
4
5x ex a AF -
=-=． 同理 254
5x CF -=．
∵ BF CF AF 2=+，且5
9=
BF ， ∴ 51854554521=??? ??-+??? ?
?
-x x ，
即 821=+x x ．
（2）因为线段AC 的中点为??
?
??+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为
()422
12
121---=
+-
x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，
x ，代入上式，得 ()
2122
21024x x y y x --=-
又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，
∴ ()212125259
x y -=
(
)
2
2
222525
9x y -= ∴ ()()21212
221259x x x x y y -+-=-．
将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 25
3640-
=-x ∴ 4
5
40
590=--=x k BT
． 典型例题五
例5 已知椭圆13
42
2=+
y
x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得
2=a ，3=b ，∴1=c ，2
1
=
e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：
11
121
2x ex a MF -=-=， 11221
2x ex a MF +=+=．
∵212
MF MF MN ?=，
∴()??? ??+??? ?
?-=+112
12122124x x x ．
整理得048325121=++x x ． 解之得41-=x 或5
12
1-
=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：
（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．
（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．
（3）本例也可设()
θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．
典型例题六
例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点??
?
??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．
分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为??? ?
?
-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得
()()
02
3
21222122
2
2
=+-+--+k k x k k
x k ．
由韦达定理得2
2212122k
k
k x x +-=+． ∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21
-=k ．
所以所求直线方程为0342=-+y x ．
分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：
2
12
1x x y y --． 解法二：设过??
?
??2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得
?
????????=+=+=+=+④
1.
③1②12
①1221212
2222
121y y x x y x y x ，，， ①－②得02
2
2212
221=-+-y y x x ． ⑤
将③、④代入⑤得
212121-=--x x y y ，即直线的斜率为2
1
-． 所求直线方程为0342=-+y x ． 说明：
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．
（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
典型例题七
例7 求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，
； （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．
分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由122
22=+b y a x 求出
1482
=a ，372
=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程137
1482
2=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或122
22=+b
x a y ．
由已知b a 2=． ①
又过点()62-，
，因此有 ()16222
22=-+b a 或()12622
22
=+-b
a ． ②
由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为
13714822=+y x 或113
522
2=+x y ． （2）设方程为122
22=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所
求方程为19
182
2=+
y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于
焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或122
22=+b
x a y ．
典型例题八
例8 椭圆
112
162
2=+y x 的右焦点为F ，过点()
31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．
分析：本题的关键是求出离心率2
1
=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF e
AM 1
+
均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以2
1
=e ，右准线
8=x l ：．
过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故
MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故
32=M x ．所以()
332，M ．
说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，
2
1
=
e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．
典型例题九
例9 求椭圆13
22
=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．
分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．
解：椭圆的参数方程为???==.
sin cos 3θθy x ，
设椭圆上的点的坐标为
(
)
θθsin cos 3，，
则点到直线的距离为
2
63sin 226sin cos 3+??
?
??-=
+-=
θπθθd ． 当13sin -=??
?
??-θπ时，22=最小值d ．
说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．
典型例题十
例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=
e ，已知点??
?
??230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．
分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求
d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用
椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．
解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是122
22=+b y a x ，其中0>>b a 待定．
由22
222222
1a
b a b a a
c e -=-=
=可得 2
1
43112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则
4931232
2222
2
2
+-+???
? ??-=??? ??-+=y y b y a y x d 342134933422
2
2
++??? ?
?
+-=+--=b y y y b
其中b y b ≤≤-． 如果2
1
<
b ，则当b y -=时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得
()
2
2
237??? ?
?
+=b ，由此得21237>-=b ，与21
因此必有21≥b 成立，于是当2
1
-=y 时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得
()3472
2
+=b
，可得1=b ，2=a ．
∴所求椭圆方程是11
42
2=+
y x ． 由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点??? ??--213，，点??? ??
-213，到点??
?
??230，P 的距离是7．
解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是???==θ
θ
sin cos b y a x ，其中0>>b a ，
待定，πθ20≤≤，θ为参数．
由2
222222
1??
? ??-=-==a b a b a a c e 可得
2
1
43112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点??
?
??230，P 的距离为d ，则
2
2222
2
23sin cos 23??? ?
?
-+=??? ??-+=θθb a y x d
4
9
sin 3sin 34222+
--=θθb b b 3421sin 322
2++??? ??
+-=b b b θ
如果
121>b ，即2
1
()
2
2
237??? ?
?
+=b ，由此得21237>-=b ，与21
121
≤b
成立． 于是当b
21
sin -=θ时2d （从而d ）有最大值． 由题设知
()3472
2
+=b
，∴1=b ，2=a ．
∴所求椭圆的参数方程是?
??==θθ
sin cos 2y x ．
由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是??? ?
?
--213，
，??? ??-213，． 典型例题十一
例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．
分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的