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线面垂直和面面垂直 线面垂直专题练习
一、定理填空： 1.直线和平面垂直
如果一条直线和 ，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理 线面垂直判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. `
判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么 判定定理2：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么 . 线面垂直性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
性质定理1：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。 二、精选习题：
1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：
①
M b M a b a ⊥????⊥// ②b a M b M a //????⊥⊥ ③????⊥⊥b a M a b ∥M ④??
??
⊥b a M a //b ⊥M .
…
其中正确的命题是 ( )
A.①②
B.①②③
C.②③④
D.①②④
2.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( )
`
⊥平面PEF ⊥平面PEF ⊥平面DEF ⊥平面DEF 3.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )
A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交
B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直 】
第3题图
C.过a一定可以作一个平面与b垂直
D.过a一定可以作一个平面与b平行
4.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m α和m⊥γ,那么必有 ( )
A.α⊥γ且l⊥m
B.α⊥γ且m∥β ∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ
5.有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直
、
其中正确命题的个数为 ( ) .1 C
6.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题
①若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，
其中真命题
．．．的序号是 ( )
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
7.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.
求证:VC⊥AB;
~
8.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD.
%
(2)求证：MN⊥CD.
(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
\
9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．
10.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.
(1)求证：NP⊥平面ABCD.
#
(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.
11.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.
解：已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.
、
12. 已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.
`
"
13.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
>
14.如图，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.
【
15.如图11(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，
已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.
(1)求证：D1C⊥AC1；
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，
并说明理由.
，
16.如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，
O为底面ABCD的中心.
|
求证：A1O⊥平面GBD.
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17.如图，已知a 、b 是两条相互垂直的异面直线，线段AB 与两异面直线a 、b 垂直且相交，线段AB 的长为定值m ，定长为n （n ＞m ）的线段PQ 的两个端点分别在a 、b 上移动，M 、N 分别是AB 、PQ 的中点. 求证：（1）AB⊥MN； （2）MN 的长是定值.
）
18.如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC —A 1B 1C 1中, AC=3，AB=5，BC=4,AA 1=4,点D 是AB 的中点. （1）求证：AC⊥BC 1;
（2）求证：AC 1∥平面CDB 1.
（
面面垂直专题练习
一、定理填空
面面垂直的判定定理： 面面垂直的性质定理： 二、精选习题
1、正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后，AB 与CD 所成的角等于____________
2、三棱锥P ABC -的三条侧棱相等，则点P 在平面ABC 上的射影是△ABC 的____心.
3、一条直线与两个平面所成角相等，那么这两个平面的位置关系为______________ "
4、在正三棱锥中，相邻两面所成二面角的取值范围为___________________
5、已知l αβ--是直二面角，,,A B A B l αβ∈∈?、，设直线AB 与α成30角，AB=2，B 到A 在l 上的射影N 的距离为2，则AB 与β所成角为______________.
6、在直二面角βα--AB 棱AB 上取一点P ，过P 分别在βα,平面内作与棱成 45°角的斜线PC 、PD ，则∠CPD 的大小是_____________
7、正四面体中相邻两侧面所成的二面角的余弦值为___________________. 8. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中. 求证：平面ACD 1 ⊥ 平面BB 1D 1D
D 1C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
10、如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．
11、如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．问△ABC 是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．
A B C P A
B
C
P
2.3线面垂直和面面垂直 线面垂直专题练习 一、定理填空： 1.直线和平面垂直 如果一条直线和，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理 线面垂直判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么 判定定理2：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么. 线面垂直性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行. 性质定理1：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。 二、精选习题： 1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题： ①M b M a b a ⊥ ? ? ? ? ⊥ // ②b a M b M a // ? ? ? ? ⊥ ⊥ ③? ? ? ? ⊥ ⊥ b a M a b∥M④? ? ? ? ⊥b a M a// b⊥M. 其中正确的命题是( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF 中，必有( ) A.DP⊥平面PEF B.DM⊥平面PEF C.PM⊥平面DEF D.PF⊥平面DEF 3.设a、b是异面直线，下列命题正确的是( ) A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 C.过a一定可以作一个平面与b垂直 D.过a一定可以作一个平面与b平行 4.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么必有( ) A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ 5.有三个命题： 第3题图
线面垂直与面面垂直 基础要点 1、若直线αβ所成的角相等，则平面αβ B ） A 、//αβ B 、α不一定平行于β C 、α不平行于β D 、以上结论都不正确 2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则H 一定在（ B ） A 、直线AC 上 B 、直线AB 上 C 、直线BC 上 D 、△ABC 的内部 3、如图示，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6 π ，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，则:AB A B ''=（ A ） A 、2:1 B 、3:1 C 、3:2 D 、4:3 4、如图示，直三棱柱11ABB DCC -中，190,4ABB AB ∠==, 12,1BC CC ==DC 上有一动点P ，则△1APC 周长的最小值是 5.已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB A A , 若棱AB 上存在点P ，使得PC P D ⊥1,则棱AD 长 的取值范围是 。 题型一：直线、平面垂直的应用 1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC 中，D ，E ，F 分别为 PC ，AC ，AB 的中点. 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===，，. 求证：(1) PA DEF 平面；(2) BDE ABC ⊥平面平面 . 证明： (1) 因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥PA. 又因为PA ? 平面DEF ，DE ?平面DEF ， 所以直线PA ∥平面DEF. (2) 因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝ 12PA ＝3，EF ＝1 2 BC ＝4. 又因 DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE 丄EF. 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC. 因为AC∩EF ＝E ，AC ?平面ABC ，EF ?平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC. 线面垂直 线线垂直 面面垂直 B` A` B A α β A B C D 1 B 1 C B 1 1 D A D B A
立体几何证明 【知识梳理】 1. 直线与平面平行 判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行?线面平行”） 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行?线线平行”） 2.．直线与平面垂直 判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直?线面垂直”） 判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。 （线面垂直?线线垂直） 性质2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 三。平面与平面 空间两个平面的位置关系：相交、平行. 1. 平面与平面平行 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行?面面平行”） 2. 两个平面垂直 判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直?面面垂直”） 性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直?线面垂直）
知识点一 【例题精讲】 1.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点。 （1）求证：EF//平面11D ABC ；（2）求证： 平面B 11D C C B 1⊥ EF C B 1⊥； （3）求三棱锥EFC B -1的体积V. 2.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的 中点, PA ＝AD ＝AB ＝1. （1）证明: //EB PAD 平面; （2）证明: BE PDC ⊥平面; （3）求三棱锥B -PDC 的体积V . 3、如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点，证明： （1）AE ⊥CD （2）PD ⊥平面ABE ．
理科数学复习专题 立体几何 线面垂直与面面垂直专题复习 【知识点】 一．线面垂直 (1)直线与平面垂直的定义： 如果直线l 和平面α内的__________一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作__________． 重要性质：__________________________________________________________ (2)直线与平面垂直的判定方法： ①判定定理：一条直线与一个平面内的两条__________都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．用符号表示为： ②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号可表示为： (3)直线与平面垂直的性质： ①由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的_______直线． ②性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．用符号可表示为： 二、面面垂直 (1)平面与平面垂直的定义： 两平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条__________，那么这两个平面互相垂直．简述为“线面垂直，则面面垂直”， 用符号可表示为： (3)平面与平面垂直的性质： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．用符号可表示为： 【题型总结】 题型一 小题：判断正误 1．“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2．已知如图，六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ．则下列结论不正确的是( )． A.CD ∥平面PAF B.DF ⊥平面PAF C.CF ∥平面PAB D ．CF ⊥平面PAD 2. 设m ，n, l 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，判断命题正误： α αααααββααβαβα//n ,,m //,,n ,//,,//,//,,则⑤则④则③则②则①n m n m n m n m m m m m m ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥ γ αβγβαγαγββααα⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥则，⑩则⑨则，⑧则⑦则⑥,//m ,//,m //,//m ,,m n ,//,n m l l n n l l n n m
直线、平面垂直的判定与性质 【知识梳理】 一、直线与平面垂直的判定与性质 1、 直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。 （2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα? ?⊥?⊥? （3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即,//a b a b αα⊥⊥?. 由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。 2、 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角或者直角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是0 0的角。 3、 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小；范围：0 0180θ≤≤. 二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作 l l βαβα⊥? ?⊥??? . 3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作l m m m l αβαββα⊥??=? ?⊥??? ?⊥? I . 【经典例题】 【例1】（2012浙江文）设l 是直线,a,β是两个不同的平面 （ ） A ．若l ∥a,l ∥β,则a ∥β B ．若l ∥a,l ⊥β,则a ⊥β C ．若a ⊥β,l ⊥a,则l ⊥β D ．若a ⊥β, l ∥a,则l ⊥β 【答案】B
怎么证明面面垂直证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB 在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD 垂直面ACE 2 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。Ⅱ.垂直关系： 线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。 线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。 面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。
如何证明线面垂直∵PA⊥平面α，直线L∈平面α ∴PA⊥L========================① ∵PB⊥平面β，直线L∈平面β ∴PB⊥L========================② 综合①②得： 直线L⊥平面PAB(垂直于平面两条相交直线的直线垂直于这个平面) ∴L⊥AB(垂直于平面的直线垂直于平面内的任一直线) 线面垂直的判定定理证明，我一直觉得证明过程太过复杂。前年曾经这样证明，今天写在这里。m和n为平面中两条相交直线，通过平移或者说原本就在，使得l经过m、n的交点O，我们只需证明l垂直与平面中的任意一条直线g 即可!在m、n上分别以O点为中点截取AC、BD，则得到平行四边形ABCD。此时不难由三角形全等的知识得到l⊥g。 答案补充 证明：已知直线L1 L22相交于O点且都与直线L垂直，L3是L1 L2所在平面内任意1条不与L1 L2重合或平行的直线(重合或平行直接可得它与L1平行) 在L3上取E、F令OE=OF，分别过E、F作ED、FB交L2于D、B (令OD=OB)则⊿OED ≌⊿ OFB (SAS) 延长DE、BF分别交 L1于A、C 则⊿OEA≌⊿OFC(ASA)(注意角AEO与角CFO的补角相等所以它们相等)。所以OA=OC，所以⊿OAD≌⊿OBC(SAS)所以AD=CB 因为L3垂直于L1 L2所以MA=MC，MD=MB 所以⊿MAD≌⊿MCD(SSS)所以角MAE= 角MCF 所以⊿MAE≌⊿MCF(SAS) 所以ME=MF，所以⊿MOE≌⊿MOF(SSS)，所以角MOE=角MOF 又因为角MOE与角MOF互补，所以角MOE=角MOF=90度，即L⊥L3 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。
直线、平面垂直的判定与性质 【考纲说明】 1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。 2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【知识梳理】 一、直线与平面垂直的判定与性质 1、 直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。 （2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα? ?⊥?⊥? （3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即,//a b a b αα⊥⊥?. 由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。 2、 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是0 0的角。 3、 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小；范围：0 0180θ<<. 二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作 l l βαβα⊥? ?⊥??? .
空间中的垂直关系 1.线面垂直 直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式: 直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。 2.面面垂直 两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理:(线面垂直?面面垂直) 如果 ,那么这两个平面互相垂直。 推理模式: 两平面垂直的性质定理:(面面垂直?线面垂直) 若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。 一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系 为:线线垂直???→←???判定性质线面垂直???→←???判定性质 面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明. 例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC. (1)求证:平面PAC ⊥平面PBC; (2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.
2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥ 证明:平面1AB C ⊥平面11A BC 3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .
线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案1．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形． (1)求证：BC⊥AD； 2如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面 ABC，平面SAB⊥平面SBC． (第1题) （1）求证：AB⊥BC； 3.如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB． （1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离． 4. 如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，求证：SH⊥平面ABC.
5. 如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D 为斜边AC的中点. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC. 6. 证明：在体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D 11 A B1 D C B 7. 如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M. 求证：CD⊥平面BDM.
8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD， 作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD． 9. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC． 10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB． (1)求证：平面EDB⊥平面EBC； (2)求二面角E－DB－C的正切值. 11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC^平面PBC。 12..如图1-10-3所示，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，若截取SA=SB=SC.
理科数学复习专题立体几何 线面垂直与面面垂直专题复习 【知识点】 一.线面垂直 (1)直线与平面垂直的定义： 如果直线I和平面a内的_______________ 一条直线都垂直，我们就说直线I与平面a垂直, 记作 ___________ . 重要性质：______________________________________________________________________ (2)直线与平面垂直的判定方法： ①判定定理：一条直线与一个平面内的两条________________ 都垂直，那么这条直线就垂直于 这个平面.用符号表示为： ②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平 面.用符号可表示为： (3)直线与平面垂直的性质： ①由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的_____________ 直线. ②性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.用符号可表示为： 二、面面垂直 (1)平面与平面垂直的定义： 两平面相交，如果它们所成的二面角是_________________ ，就说这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条_________________ ，那么这两个平面互相垂直.简述为 "线面垂直，则面面垂直”，用符号可表示为： (3)平面与平面垂直的性质： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平
面.用符号可表示为：【题型总结】
题型一小题：判断正误 1.“直线I垂直于平面a 内的无数条直线”是“ I丄a”的（）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.已知如图，六棱锥P— ABCDEF勺底面是正六边形，PA丄平面ABC则下列结论不正确的 是（）. //平面PAF丄平面PAF //平面PAB D. CF丄平面PAD 2.设m n, 1是三条不同的直线，,,是三个不同的平面，判断命题正误： ①m ,m ,则// ⑥m n,m// ,则n ②m ,// ,则m ⑦m n,n 1,则 m//l ③m ,m//n,则n ⑧, ,则 ④m ,n ,则m//n ⑨m n,n//I,则m 1 ⑤m ,m n,则n// ⑩,// ，则 题型二证明线面垂直 1.如图，四棱锥F- ABCD中，底面ABCD为平行四边形, / DAB= 60°, AB= 2AD PDL底面ABCD （1）证明：BD丄面PAD （2）证明：PAI BD 归纳：①证明异面直线垂直的常用方法：___________________________________ ②找垂线（线线垂直）的方法一：_________________________________________ J*
线面垂直与面面垂直 基础要点 、若直线a 与平面,αβ所成的角相等，则平面α与β的位置关系是（ B ） A 、//αβ B 、α不一定平行于β C 、α不平行于β D 、以上结论都不正确 、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=o ,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面，垂足为H ，则H 一定在（ B ） A 、直线上 B 、直线上 C 、直线上 D 、△的内部 、如图示，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6 π，过A 、B 分别作两平面交线的垂 线，垂足为,A B ''，则:AB A B ''=（ A ） A α
A 、2:1 B 、3:1 C 、3:2 D 、4:3 、如图示，直三棱柱11ABB DCC -中，190,4ABB AB ∠==o , 12,1BC CC ==上有一动点P ，则△1APC 周长的最小值是 5.已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB A A , 若棱上存在点P ，使得PC P D ⊥1,则棱长 的取值范围是 。 题型一：直线、平面垂直的应用 1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥中，D ，E ，F 分别为棱，，的中点. 已知 ,685PA AC PA BC DF ⊥===，，. 求证：(1) PA DEF P 平面；(2) BDE ABC ⊥平面平面 . 证明： (1) 因为D ，E 分别为棱，的中点， 所以∥. 又因为 ? 平面， 平面， 所以直线∥平面. (2) 因为D ，E ，F 分别为棱，，的中点，＝6，＝8，所以∥，＝ 12 ＝3，＝12 ＝4. 又因 ＝5，故2 ＝2 ＋2 ， 所以∠＝90°，即丄. 又⊥，∥，所以⊥. C D 1 B 1 B 1 1 D A D B A
线面、面面平行和垂直的八大定理 一、线面平行。 1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平 面平行。符合表示： β ββ////a b a b a ??? ????? 2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ?????=??βαβαα 二、面面平行。 1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 符号表示： β α//////????? ?????==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα （更加实用的性质：一个平 面内的任一直线平行另一平面） 三、线面垂直。 1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直 线垂直这个平面。 符号表示： α⊥?????? ??????=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示： PA a A oA a po oA a ⊥??? ? ????=⊥⊥??ααα 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。） 四、面面垂直。 1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 βααβ⊥??⊥a a , 2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。βαβαβα⊥?⊥?=?⊥a b a a b ,,，
线面垂直的证明中的找线技巧 ◆ 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1，在正方体1111ABCD A B C D - 中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ． 证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥ 1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =， ∴DB ⊥平面 11A ACC ，而1 AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2 234MO a =． 在Rt △11A C M 中，2 21 94 A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ． 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明． ◆ 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ． 证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ． 因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ， AD ?平面PAC ，且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ?平面PBC ， ∴ AD ⊥BC ． ∵PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ． （另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PAC ）． 评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直． 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直???→←???判定性质 线面垂直???→←??? 判定性质 面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明 问题．下面举例说明． 3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过 A 且垂直于SC 的平面分别交S B S C S D ，，于 E F G ，，．求证：AE SB ⊥， AG SD ⊥． 证明：∵SA ⊥平面ABCD ， ∴SA BC ⊥．∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ?平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥． 评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化． 4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ， 作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥． ∵AD BD =，∴DF AB ⊥． 又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ?平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥． ∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =， ∴ AH ⊥平面BCD ．
第3讲线面垂直与面面垂直 考试要求 1.空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，B级要求；2.运用线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题，B级要求． 知识梳理 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与一个平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理
(1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.() (2)垂直于同一个平面的两平面平行．() (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．() (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()
2．给出下列命题： ①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β； ②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β； ③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ； ④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β. 其中错误的命题是________(填序号)． 3．(2016·浙江卷改编)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，给出下列结论： ①m∥l；②m∥n；③n⊥l；④m⊥n. 其中正确的是________(填序号)． 4．(2017·盐城模拟)设α，β，γ为互不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题： ①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ； ②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ； ③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直； ④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β. 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)． 5．(必修2P42习题16)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O， (1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．
线面垂直与面面垂直 基础要点 1、若直线αβαβ( B ) A 、//αβ B 、α不一定平行于β C 、α不平行于β D 、以上结论都不正确 2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=o ,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ,垂足为 H ,则H 一定在( B ) A 、直线AC 上 B 、直线AB 上 C 、直线BC 上 D 、△ABC 的内部 3、如图示,平面α⊥平面β,,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π与6 π ,过A 、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为,A B '',则:AB A B ''=( A ) A 、2:1 B 、3:1 C 、3:2 D 、4:3 4、如图示,直三棱柱11ABB DCC -中,190,4ABB AB ∠==o , 12,1BC CC ==DC 上有一动点P ,则△1APC 周长的最小值就是 5、已知长方体1111D C B A ABCD -中,21==AB A A , 若棱AB 上存在点P,使得PC P D ⊥1,则棱AD 长 的取值范围就是 。 题型一:直线、平面垂直的应用 1、(2014,江苏卷)如图,在三棱锥P-ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点、 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===，，、 求证:(1) PA DEF P 平面;(2) BDE ABC ⊥平面平面 、 证明: (1) 因为D,E 分别为棱PC,AC 的中点, 所以DE ∥PA 、 又因为PA ? 平面DEF,DE ?平面DEF, 所以直线PA ∥平面DEF 、 (2) 因为D,E,F 分别为棱PC,AC,AB 的中点,PA ＝6,BC ＝8,所以DE ∥PA,DE ＝ 12PA ＝3,EF ＝1 2 BC ＝4、 又因 DF ＝5,故DF 2＝DE 2＋EF 2, 所以∠DEF ＝90°,即DE 丄EF 、 又PA ⊥AC,DE ∥PA,所以DE ⊥AC 、 线面垂直 线线垂直 面面垂直 B` A`B A α β C D 1 B 1 C B 1 1 D A D B A
. . 理科数学复习专题 立体几何 线面垂直与面面垂直专题复习 【知识点】 一．线面垂直 (1)直线与平面垂直的定义： 如果直线l 和平面α的__________一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作__________． 重要性质：__________________________________________________________ (2)直线与平面垂直的判定方法： ①判定定理：一条直线与一个平面的两条__________都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．用符号表示为： ②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号可表示为： (3)直线与平面垂直的性质： ①由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面的_______直线． ②性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．用符号可表示为： 二、面面垂直 (1)平面与平面垂直的定义： 两平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条__________，那么这两个平面互相垂直．简述为“线面垂直，则面面垂直”， 用符号可表示为： (3)平面与平面垂直的性质： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．用符号可表示为： 【题型总结】 题型一 小题：判断正误 1．“直线l 垂直于平面α的无数条直线”是“l ⊥α”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2．已知如图，六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ．则下列结论不正确的是( )． A.CD ∥平面PAF B.DF ⊥平面PAF C.CF ∥平面PAB D ．CF ⊥平面PAD 2. 设m ，n, l 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，判断命题正误：
线面垂直、面面垂直及其证明 一 线面垂直的判定定理 (1)线面垂直定义:如果一条直线与一个平面内的任何一条直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直、 (2)判定定理:如果直线l 与平面α内的两条相交的直线,m n 都垂直,那么直线l 垂直于平面α、(线面垂直→线线垂直) (3)三垂线定理及其逆定理 ①三垂线定理:如果平面内一条直线与穿过该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影、 ②三垂线逆定理:在平面内的一条直线,如果它与这个平面的一条斜线垂直,那么它也与这条斜线在平面内的射影垂直、 (4)线面垂直的证明 例1已知正方体1111ABCD A B C D -,求证:1AC ⊥面11AB D . 例2 如图１所示,ABCD 为正方形,SA ⊥平面ABCD ,过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，.求证:AE SB ⊥,AG SD ⊥. 例3已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面 ABC ,AD SC ⊥,求证:AD ⊥面SBC . 例4在正方体1111ABCD A B C D -中,M 为1CC 的中 点,AC 交BD 于点O ,求证:1AO ⊥平面MBD 、 练习1 在正方体1111ABCD A B C D -中、 (1)求证:AC ⊥平面11B D BD 、 (2)求证:1BD ⊥平面1ACB 、 S D C B A D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C
练习2在三棱锥A BCD -中,BC AC =,AD BD =,作BE CD ⊥,E 为垂足,作 AH BE ⊥于H 、求证:AH ⊥平面BCD 、 练习3 在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面 ABCD ,AB AD ⊥,AC CD ⊥,60ABC ?∠=,PA AB BC ==,E 就是PC 的中点、 (1)求证:CD AE ⊥、 (2)求证:PD ⊥面ABE 、 二 面面垂直 (1)二面角定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面,若棱为l ,两个面分别为,,αβ二面角记作为l αβ--、 (2)二面角的平面角定义:在二面角l αβ--棱l 上取一点O ,在半平面α与β内,从点O 分别作垂直于棱l 的射线,OA OB ,射线组成AOB ∠、则AOB ∠叫做二面角的平面角、 二面角的取值范围为[0,180]?? 、 (3)面面垂直定义:若两个平面的二面角为直二面角(平面角就是直角的二面角),则 这两个平面互相垂直、 (4)面面判定定理:一个平面过另一个平面,则这两个面相互垂直、 (5)面面垂直的正面即:面面垂直→线面垂直→线线垂直、 例1如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 就是1AA 的中点、 (1)求证:1//A C 平面BDE ; (2)求证:平面1A AC ⊥平面BDE 、 、 例2如图,直三棱柱111C B A ABC -中,侧棱垂直于底 面,90ACB ?∠=12 1 AA BC AC ==,D 就是棱1AA 的中点,求 证:平面1BDC 平面BDC . 练习 如图,过S 引三条长度相等但不共面的线段,,SA SB SC ,且 60ASB ASC ?∠=∠=,90BSC ?∠=,求证:平面ABC ⊥平面BSC . A C B 1 B 1 A D 1 C
垂直证明 3．直线与平面垂直(1)定义:如果直线l 与平面α内的_____直线都垂直，则直线l 与平面α垂直． (2)性质 l ⊥α α?m ? l ⊥m 2 证明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边.（三线合一） 2.利用勾股定理的逆定理. 3.矩形，直角三角形，直角梯形的定义。 4.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角. 5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条. 6.利用菱形的对角线互相垂直. 7.利用半圆上的圆周角是直角. 8.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦. 9.邻补角的平分线互相垂直. 10.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
三、解答题(共32小题,每小题12.0分,共384分) 1.如图，直角三角形ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点． (1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O. 3.如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于点D，求证：AD⊥平面SBC.
4.如图，已知四边形ABCD是正方形，GC⊥平面ABCD.求证：BD⊥平面GAC. 5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝a，AB＝2a，E为C1D1的中点． (1)求证：DE⊥平面BEC； (2)求三棱锥C－BED的体积． 6.如图，在锥体P－ABCD中，ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD，E，F，G分别是BC，PC，AD的中点．证明：(1)AD⊥平面PGB； (2)AD⊥平面DEF.