直线、平面垂直的判定与性质
【考纲说明】
1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。
2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
【知识梳理】
一、直线与平面垂直的判定与性质 1、 直线与平面垂直
（1）定义：如果直线l 与平面α的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。 （2）判定定理：一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.
//a b b a αα?
?⊥?⊥?
（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即,//a b a b αα⊥⊥?.
由定义知：直线垂直于平面的任意直线。 2、 直线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面，则此直线与平面所成的角是0
0的角。
3、 二面角的平面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小；围：0
0180θ<<.
二、平面与平面垂直的判定与性质
1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作
l l βαβα⊥?
?⊥???
.
3、性质：两个平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作
l
m
m
m l
αβ
αβ
β
α
⊥?
?
=?
?⊥
?
??
?
⊥?
.
【经典例题】
【例1】（2012文）设l是直线,a,β是两个不同的平面（）
A．若l∥a,l∥β,则a∥βB．若l∥a,l⊥β,则a⊥β
C．若a⊥β,l⊥a,则l⊥βD．若a⊥β, l∥a,则l⊥β
【答案】B
【解析】利用排除法可得选项B是正确的,∵l∥a,l⊥β,则a⊥β.如选项A:l∥a,l∥β时, a⊥β或a∥β;选项C:若a⊥β,l⊥a,l∥β或lβ
?;选项D:若若a⊥β, l⊥a,l∥β或l⊥β.
【例2】（2012文）下列命题正确的是（）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B．若一个平面有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
【答案】C
【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D错;故选项C正确.
【例3】（2012）已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是（）
A．①②③B．①④
C．①②④D．②④
【答案】C
【解析】如图1，当直线m或直线n在平面α时有可能没有符合题意的点；如图2，直线m、n到已知平面α的距离相等且所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.
【例4】（2012理）如图，在正方体
1111
ABCD A B C D
-中，M、N分别是CD、
1
CC的中
点，则异面直线
1
A M与DN所成的角的大小是____________.
【答案】90o
N
M
B1
A1
C1
D1
D C
【解析】方法一:连接D 1M,易得DN ⊥A 1D 1 ,DN ⊥D 1M,
所以,DN ⊥平面A 1MD 1,
又A 1M ?平面A 1MD 1,所以,DN ⊥A 1D 1,故夹角为90o
方法二:以D 为原点,分别以DA, DC, DD 1为x, y, z 轴,建立空间直角坐标系D —xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A 1(2,0,2)
故,），（），（2,121,2,01-=
=MA DN 所以,cos<|
MA ||DN |11
1MA DN MA DN ?=??，
= 0,故DN ⊥D 1M,所以夹角为90o
【例5】（2012大纲理）三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,1160BAA CAA ∠=∠=?,则异面直线
1AB 与1BC 所成角的余弦值为_____________.
【答案】
6
6
【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有1111,AB AB AA BC AC AA AB =+=+-,
则2
2
2
2
1111||()222cos603AB AB AA AB AB AA AA =+=+?+=+?=
222
22
11111||()2222BC AC AA AB AC AA AB AC AA AC AB AA AB =+-=+++?-?-?=
而1111()()AB BC AB AA AC AA AB ?=+?+-
111111111
1112222
AB AC AB AA AB AB AA AC AA AA AA AB =?+?-?+?+?-?=+-++-=
11111116
cos ,6||||23
AB BC AB BC AB BC ?∴<>=
==? 【例6】（2011·）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，
则线段EF 的长度等于________．
【答案】 2
【解析】∵EF ∥面AB 1C ，∴EF ∥AC .
又E 是AD 的中点，∴F 是DC 的中点．
∴EF ＝1
2
AC ＝ 2.
【例7】（2012年文）如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形,,CB CD EC BD =⊥.
（1）求证:BE DE =;
（2）若∠120BCD =?,M 为线段AE 的中点, 求证:DM ∥平面BEC .
【解析】（1）设BD 中点为O ,连接OC ,OE ,则由BC CD =知CO BD ⊥,
又已知CE BD ⊥,所以BD ⊥平面OCE .
所以BD OE ⊥,即OE 是BD 的垂直平分线,所以BE DE =.
（2）取AB 中点N ,连接,MN DN ,∵M 是AE 的中点,∴MN ∥BE ,
∵△ABD 是等边三角形,∴DN AB ⊥.由∠BCD =120°知,∠CBD =30°, 所以∠ABC =60°+30°=90°,即BC AB ⊥,所以ND ∥BC ,
所以平面MND ∥平面BEC ,又DM ?平面MND ,故DM ∥平面BEC .
另证:延长BC AD ,相交于点F ,连接EF.因为CB=CD,090=∠ABC . 因为△ABD 为正三角形,所以0
90,60=∠=∠ABC BAD ,则030=∠AFB , 所以AF AB 2
1
=
,又AD AB =, 所以D 是线段AF 的中点,连接DM,
又由点M 是线段AE 的中点知EF DM //,
而?DM 平面BEC , ?EF 平面BEC ,故DM ∥平面BEC . 【例8】（2011）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．
（1）证明：PB ∥平面ACM ； （2）证明：AD ⊥平面PAC ；
（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．
【解析】（1）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .
（2）证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC ，又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，
所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC .
（3）取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝1
2PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平
面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，所以DO ＝52，从而AN ＝1
2DO
＝
5
4
.在Rt △ANM 中， tan ∠MAN ＝MN AN
＝
1
54
＝455，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455.
【例9】（2012文）如图，在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,底面ABCD 是等腰梯形,AD ∥BC,AC ⊥BD.
（1）证明:BD ⊥PC;
（2）若AD=4,BC=2,直线PD 与平面PAC 所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD 的体积.
D
【解析】（1）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥?⊥平面平面所以
又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 的两条相较直线,所以BD ⊥平面PAC, 而PC ?平面PAC,所以BD PC ⊥.
（2）设AC 和BD 相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD ⊥平面PAC, 所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角,从而DPO ∠30=. 由BD ⊥平面PAC,PO ?平面PAC,知BD PO ⊥. 在Rt POD 中,由DPO ∠30=,得PD=2OD. 因为四边形ABCD 为等腰梯形,AC BD ⊥,所以,AOD BOC 均为等腰直角三角形,
从而梯形ABCD 的高为
111
(42)3,222
AD BC +=?+=于是梯形ABCD 面积 1
(42)39.2
S
=?+?
=
在等腰三角形AOD 中
,
OD AD =
= 所以2 4.PD OD PA ===
故四棱锥P ABCD -的体积为11
941233
V S PA =
??=??=. 【例10】（2012新课标理）如图,直三棱柱111ABC A B C -中,11
2
AC BC AA ==
,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1 （1）证明:BC DC ⊥1
（2）求二面角11C BD A --的大小. 【解析】（1）在Rt DAC ?中,AD AC =
得:45ADC ?
∠=
同理:1114590A DC CDC ??
∠=?∠=
得:111,DC DC DC BD DC ⊥⊥?⊥面1BCD DC BC ?⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥?⊥面11ACC A BC AC ?⊥ 取11A B 的中点O ,过点O 作OH BD ⊥于点H ,连接11,C O C H
1111111AC B C C O A B =?⊥,面111A B C ⊥面1A BD 1C O ?⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥?⊥ 得:点H 与点D 重合
且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角 设AC a =,则122
a
C O =
,1112230C D a C O C DO ?==?∠= 既二面角11C BD A --的大小为30?
【课堂练习】
1．（2012理）已知矩形ABCD ,AB =1,BC =2.将?ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中
（ ）
A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直
B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直
C ．存在某个位置,使得直线A
D 与直线BC 垂直
D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直 2．（2012理）下列命题正确的是
（ ）
A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B ．若一个平面有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 3．（2011）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( )
A ．只有1个
B ．恰有3个
C ．恰有4个
D ．有无穷多个 4．（2012）已知空间三条直线l ，m ，n 若l 与m 异面,且l 与n 异面,则 （ ）
A ．m 与n 异面.
B ．m 与n 相交.
C ．m 与n 平行.
D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能. 5．（2011）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n .
其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2011潍坊）已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
B ．若m ∥n ，m ?α，n ?β，则α∥β
C ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α
D ．若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β 7.（2010全国卷文）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=?，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ）
A ．30°
B ．45° C．60° D．90°
8.（2010全国卷）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为（ ）
A ．
3
B ．3
C ．23
D ．3
9.（2010全国Ⅱ卷理）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）
A ．1
B
C ．2
D ．3
10.（2010全国Ⅰ卷）已知在半径为2的球面上有A ．B ．C ．D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值
为（ ）
A ．
B
C ． ． 11.（2010理）过正方体1111ABC
D A B C D -的顶点A 作直线L ，使L 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等，这样的直线L 可以作（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
12.（2012大纲）已知正方形1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为1BB ,1CC 的中点,那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为___ _.