线面、面面平行和垂直的八大定理
一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平
面平行。符合表示： β
ββ////a b a b a ????????
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示：
b a b a a a ////???
?
????=??βαβαα
二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： β
α//////??????????==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////???
???==γβγαβα （更加实用的性质：一个平
面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 符号表示：
α⊥??????
??????=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：
PA a A oA a po oA a ⊥???
?
????=⊥⊥??ααα
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。）
四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥??⊥a a , 2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。βαβαβα⊥?⊥?=?⊥a b a a b ,,，
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l m β α α b a N M C B A D A 1 B 1 C 1 D 1α D C B A 线面位置关系的八大定理 一、直线与平面平行的判定定理： 文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行 图形语言： 符号语言： //a b a b αα?? ? ???? ?//a α 作用：线线平行?线面平行 典例：在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11,A B CC 的中点， 求证：//MN ABCD 平面 二、直线与平面平行的性质定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直 线就和交线平行。 图形语言： 符号语言：//l l m α βαβ?? ????=? ?//l m 作用：线面平行?线线平行 典例：如图，//,//,,AB AC BD C D ααα∈∈，求证：AC BD =
C A B B 1 A 1 C 1 D E b a F E γ βαD C B A 三、平面与平面平行的判定定理 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言： //a b a b A a b αααβββ ?????? =?????? I ∥∥ 作用：线线平行? 面面平行 典例：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点,D E 分别是BC 与11B C 的中点， 求证：平面1//A EB 平面1ADC 四、平面与平面平行的性质定理: 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行 图形语言: 符号语言:////a a b b αβαγβγ? ? ?=????=? 作用: 面面平行?线线平行 典例：如图，////αβγ，直线a 与b 分别交,,αβγ于 点 ,,A B C 和点,,D E F ， 求证：AB DE BC EF =
线面平行性质基础训练题（作业)（含详解) 1．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是平行四边形 (1)求证:PN //平面BCD (2)求证：BD //PN 2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=?．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． (1)求证: //AB 平面PCD ； (2) 求证：//AB EF ； 3．已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点， 且 ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH ∥BD .
4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的 平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，求证：AB ∥GH .
参考答案 1．（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 (1)利用线面平行判定定理可证PN //平面BCD ； (2)利用线面平行性质定理可证BD //PN. 【详解】 证明：（1）∵PQMN 是平行四边形， ∴PN ∥QM ， 又PN ?平面BCD ，QM 平面BCD ， ∴PN //平面BCD ； （2）证明：由（1）知PN ∥平面BCD ． ∵PN ?平面ABD ，平面ABD ∩平面BCD =BD ， ∴PN ∥BD ， 【点睛】 本题考查线面平行的判定定理与性质定理，考查空间想象能力与推理能力，属于基础题. 2．（1）证明见解析；(2) 证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)本题首先可根据菱形的相关性质得出//AB CD ，然后根据线面平行的相关证明即可得出结论； (2)本题首先可根据(1)得出//AB 面PCD ，然后根据题意得出,,,A B E F 四点共面，最后根据线面平行的相关性质即可得出结果。 【详解】
2.3.3 直线与平面垂直的性质教学设计课标要求： 以立体几何的定义、公理、定理为出发点，通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的性质定理，并加以证明。 学情分析： 在学习本节课的内容之前，刚刚学习了直线与平面垂直的定义以及判定定理，在学完判定定理之后紧接着的例1当中我们利用判定定理证明了线线平行的性质定理，即如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面，用符号语言表示为若a//b, a⊥α，则 b⊥α。而我们的直线与平面垂直的性质定理就是将上述命题的中的题设和结论改变一下得到的。所以在前面知识的基础上学习本节课的内容并不是很难。 教材分析： 1.本节的作用和地位：本节课是人教版必修 2 第二章直线与平面垂直的第三课时。空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范。空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着重要的地位和作用。 2.本节主要内容：直线与平面垂直的性质定理的证明及转化思想的渗透。 教学目标： 1.知识与技能：掌握直线与平面垂直的性质定理，了解线面关系与线线关系，垂直关系与平行关系之间的转化以及反证法的应用。 2.过程与方法：在观察长方体模型的基础上进行操作确认，获得
对性质定理正确性的认识，进一步推导出定理的证明过程。 3.情感态度与价值观：通过“直观感知、操作确认，推理证明”，提高空间想象的能力和逻辑推理能力。 教学重点：直线与平面垂直的性质定理的证明及转化思想的渗透。 教学难点：直线与平面垂直的性质定理的证明 教学理念： 高中学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，整节课主要以学生自主探究为主，老师只起一个组织，引导的作用。从而增强空间想象能力，养成质疑思辨、创新的精神。 教学方法： 探究讨论法 教学用具： 长方体模型，量角器，直角三角板，多媒体 教学设计： 一．创设情境，揭示课题 问题：（实物式引入）： （1）两根旗杆垂直于地面，给我们以旗杆平行的形象 （2）让学生双手各持一支笔直立与桌面，通过操作确认两支笔平行。 数学来源于生活，把这些问题抽象概括得到一个新的问题： 若a⊥α，b⊥α，那a和 b 会有怎样的位置关系呢？ 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、探讨。（自然进入课题内容） 设计意图：现实生活中的问题更能激发学生的学习兴趣，让学生从现实生活中发现数学，将问题化归为数学问题，感受数学来 源于生活，又服务于生活。
线面平行的判定定理和性质定理 教学目的： 1. 掌握空间直线和平面的位置关系； 2. 直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定 掌握理实现“线线”“线面”平行的转化 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型：新授课 课时安排： 1 课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面 平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 前面3 节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是 这三小节的重点 教学过程： 一、复习引入：
1 空间两直线的位置关系 （ 1 ）相交；（ 2 ）平行；（ 3）异面 2. 公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式： a // b,b // c a // c ． 3. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4. 等角定理的推论 : 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 ,那么这两条直线 所成的锐角 (或直角 )相等 . 5. 空间两条异面直线的画法 a b b D 1 C 1 b a a A 1 B 1 D C A B 6. ．异面直线定理： 连结平面内一点与平面外一点的直线， 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式： A , B ,l , B l AB 与 l 是异面直线 7. ．异面直线所成的角： 已知两条异面直线 a, b ，经过空间任一点 O a b ′ 作直线 a // a, b // b ， a , b 所成的角的大小与点 O 的选择无关，把 b O a , b 所成的锐角 （或直角） 叫异面直线 a, b 所成的角 （或夹角）．为 了简便，点 O 通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的范围： (0, ] 2 8. ．异面直线垂直： 如果两条异面直线所成的角是直角， 则叫两条异面直线垂直． 两
线面、面面平行和垂直的八大定理 一、线面平行。 1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平 面平行。符合表示： β ββ////a b a b a ??? ????? 2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ?????=??βαβαα 二、面面平行。 1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 符号表示： β α//////????? ?????==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα （更加实用的性质：一个平 面内的任一直线平行另一平面） 三、线面垂直。 1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直 线垂直这个平面。 符号表示： α⊥?????? ??????=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示： PA a A oA a po oA a ⊥??? ? ????=⊥⊥??ααα 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。） 四、面面垂直。 1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 βααβ⊥??⊥a a , 2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。βαβαβα⊥?⊥?=?⊥a b a a b ,,，
教学目的： 1.掌握空间直线和平面的位置关系； 2.直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面 ”平行的转化 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点 教学过程： 一、复习引入： 1 空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：//,////a b b c a c ?． 3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 a b 1A A 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：,,,A B l B l ααα?∈???AB 与l 是异面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2 , 0(π 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． 9．求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 10．两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度， 叫做两条异面直线间的距离． 两条异面直线的公垂线有且只有一条 二、讲解新课： 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． a α?，a A α=，//a α． a α a α 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式：,,////l m l m l ααα???． 证明：假设直线l 不平行与平面α， ∵l α?，∴l P α=， 若P m ∈，则和//l m 矛盾， 若P m ?，则l 和m 成异面直线，也和//l m 矛盾，
**教育ISO讲义 直线、平面垂直的判定及性质 思考：如何一条直线与一个平面不相交，该直线可能与平面垂直吗？如果一个平面与另一个平面不相交，这两个平面可能垂直吗？
一、知识梳理 1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ? ????a ，b ?αa ∩b ＝O l ⊥a l ⊥b ?l ⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ? ??? ?a ⊥αb ⊥α?a ∥b 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个 平面互相垂直 ? ??? ?l ?βl ⊥α?α⊥β 性质定理 两个平面互相垂直， 则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另 一个平面 ???? ?α⊥β l ?β α∩β＝a l ⊥a ?l ⊥ α 3.空间角 (1)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠P AO 就是斜线AP 与平面α所成的角． ②线面角θ的范围：θ∈????0，π 2． (2)二面角 ①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫
做二面角的面． 如图的二面角，可记作：二面角α-l -β或二面角P -AB -Q ． ②二面角的平面角 如图，过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角α-l -β的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]． ④当θ＝π 2时，二面角叫做直二面角． 常用结论 1．线线、线面、面面垂直间的转化 2．两个重要定理 (1)三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 3．重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 考点1 线面垂直的判定与性质(多维探究) 【例1】如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝1 2 AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．
2.2 线面平行、面面平行的判定 例题解读: 例1.如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点. 求证：SA ∥平面MDB. 例2.正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB ，M 、N 在对角线 求证：//MN 平面BCE 例3.已知ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP∥GH、 例4. 如图，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心.求证：PQ ∥平面ACD.
例5.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO? 巩固练习： 1.若α//l ，α∈A ，则下列说法正确的是（ ） A.过A 在平面α内可作无数条直线与l 平行 B.过A 在平面α内仅可作一条直线与l 平行 C.过A 在平面α内可作两条直线与l 平行 D.与A 的位置有关 2.若直线a∥直线b ，且a∥平面α，则b 与a 的位置关系是（ ） A 、一定平行 B 、不平行 C 、平行或相交 D 、平行或在平面内 3. 如图在四面体中，若直线EF 和GH 相交，则它们的交点一定（ ）. A.在直线DB 上B.在直线AB 上 C.在直线CB 上 D.都不对 4.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线( A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．不确定 5.已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ?α；④α⊥β；⑤α∥β.为使m ∥β，应选择下面四个选项中的( ) A ．①④ B．①⑤C．②⑤ D．③⑤ 6.若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是 () A.α?l B.α//l C.αα//l l 或? D.相交和αl 7若直线a 在平面α内，直线a,b 是异面直线，则直线b 和α平面的位置关系是 ( ) A ．相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交且垂直 8.若直线l 上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是( ) A.平行 B.相交C.平行或相交 D.平行、相交或在平面α内 9.下列命题正确的个数是( ) (1)若直线l 上有无数个点不在α内，则l ∥α (2)若直线l 与平面α平行，l 与平面α内的任意一直线平行 (3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行 (4)若一直线a 和平面α内一直线b 平行，则a ∥α A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
《线面平行判定定理及性质定理的应用》学案 例1.（13山东）如图所示，在三棱锥P-ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA=BP=BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ=2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH 。 （Ⅰ）求证：AB//GH ； （Ⅱ）求二面角D-GH-E 的余弦值 例2. （13安徽）如图，圆锥顶点为p 。底面圆心为o ，其母线与底面所成的角为22.5°。 AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°， （Ⅰ）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （Ⅱ）求cos COD ∠。 练习： 1．如图，在四棱锥ABCD P -中，PA=PB ，底面ABCD 是菱形，且0 60=∠ABC ，点M 是AB 的中点，点E 在棱PD 上，满足DE=2PE ，求证：EMC //面PB 。 A P E B C D
2．如图，四棱锥ABCD E -，ABCD 为直角梯形，ABE 为直角三角形， EB EA BC CD AB BC AB CD AB ⊥==⊥,22,,//。问：线段EA 上是否存在点F ，使FBD //面EC ，若存在，求出 EA EF 的值；若不存在，说明理由。 3．如图，五面体4AB 111=-中，B BCC A ，底面ABC 是正三角形，AB=2.四边形1 1B BCC 是矩形。问：D 在AC 上运动，当D 在何处时，有11BDC //AB 面，并说明理由。 4．(12福建改编)如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点。 问：在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由。 A B C D E B C D 1 C 1 B
2.2.1 直线与平面平行的判定 ：知识要点 直线与平面平行的判断方法有两种 1 根据定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行 . （ 一般用反证法． ） 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平 面平行. （符号表示为： a ,b ,a//b a// . 图形如图所示） . 二：例题 判定定理证明：已知： a α， b α，且 a ∥b 求证： a∥α 例 1 ：求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另 外两边所在的平面。 已知：如图空间四边形 ABCD 中，E 、F 分 别是 AB 、 求证： EF ∥平面 BCD 证明： 例 2: 正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为 DD 1的中点，试判断 BD 1与平面 AEC 的位置 关系，说明理由 a A F 点 B C1 C B
三练习： 1. 判断下列说法是否正确，并说明理由． ○1 平面 外的一条直线 a 与平面 内的无数条直线平行则直线 a 和平面 平行； ○2平面 外的两条平行直线 a,b ，若 a// ，则b// ； ○3 直线a 和平面 平行，则直线 a 平行于平面 内任意一条直线； ○ 4 直线 a 和平面 平行，则平面 中必定存在直线与直线 a 平行． A. l 1 ∥α B. l 2 α C. l 2 ∥α或l 2 α D. l 2 与α相交 3．以下说法（其中 a ，b 表示直线， 表示平面） ①若 a ∥b ， b ，则 a ∥ ②若 a ∥ ，b ∥ ，则 a ∥b ③若 a ∥b ， b ∥ ，则 a ∥ ④若 a ∥ ，b ，则 a ∥b 其中正确说法的个数是（ ） . A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 4.已知a ，b 是两条相交直线， a ∥ ，则 b 与 的位置关系是（ ）. A. b ∥ B. b 与 相交 C. b α D. b ∥ 或 b 与 相交 5. 如果平面 外有两点 A 、B ，它们到平面 的距离都是 a ，则直线 AB 和平面 的 位置关系一定是（ ） . A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB 6．平面 与△ ABC 的两边 AB 、 AC 分别交于 D 、E ，且 AD ∶DB=AE ∶EC ，求证： BC ∥平面 . 7．P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， E 为PB 的中点， O 为 AC ， BD 的交点. （1）求证：EO ‖平面PCD ； （2）图中EO 还与哪个平 面平行？ 8. 在正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别为棱 BC 、C 1D 1的中点. 求证： EF ∥平面 BB 1D 1D 2. 已知直线 l 1、l 2 , 平面α, l 1 ∥l 2 , l 1∥α 那么 l 2 与平面 α 的关系是（ ）.
高一数学直线与平面平行的判定和性质教案 教学目标 （一）本节知识点 直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定定理，直线与平面平行的性质定理。 （二）课时安排 在学习了前面关于平面、空间直线等立体几何中的基础概念之后接触到的立体几何中的又一研究重点直线与平面的位置关系，所以本节内容处于一个承上启下的位置。安排用三个课时来完成。 （三）本堂课教学目标 1．教学知识目标 进一步熟悉掌握空间直线和平面的位置关系。理解并掌握直线与平面平行的判定定理及直线与平面平行的性质定理。 2．能力训练：掌握由“线线平行”证得“线面平行”和“线面平行”证得“线线平行”的数学证明思想。进一步熟悉反证法；进一步培养学生的观察能力、空间想象力和类比、转化能力，提高学生的逻辑推理能力。 3．德育渗透：培养学生的认真、仔细、严谨的学习态度。建立“实践――理论――再实践”的科学研究方法。 （四）教学重点、难点 重点：直线与平面平行的判定和性质定理。 难点：灵活的运用数学证明思想。 （五）教学方法：启发式、引导式、找错教学。多注重观察和分析，理论联系实际。 （六）教具：模型、尺、多媒体设备 二、教学过程 （一）内容回顾 师：在上节课我们介绍了直线与平面的位置关系，有几种？可将图形给以什么作为划分的标准？出引导作答生：三种，以直线与平面的公共点个数为划分标准，分别是 直线与平面有两个公共点——直线在平面内(直线上所有的点都在这个平面内） 直线与平面只有一个公共点——直线与平面相交 直线与平面平行 注：我们也将直线与平面相交和平行统称为直线在平面外 （二）新授内容 1．如何判定直线与平面平行 师：请同学回忆，我们昨天是受用了什么方法证明直线与平面平行？有直线在平面外能不能说明直线与平面平行？ ①生：借助定义，用反证法说明直线与平面没有公共点（证明直线在平面外不能说明直线与平面平行） ②直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 已知：a?α，b?α，且a∥b 从学生的直观感
空间中的垂直关系 1．线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：（线面垂直?面面垂直） 如果 ，那么这两个平面互相垂直。 推理模式： 两平面垂直的性质定理：（面面垂直?线面垂直） 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系 为：线线垂直???→←???判定性质线面垂直???→←???判定性质 面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明． 例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． 2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC 3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ． 5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使 得AB 1 ⊥平面C 1DF 并证明你的结论
课题：直线与平面平行的性质 教材：普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修2 § 223 授课教师：无为第一中学范德泉 【三维目标】 1 ?知识与技能 通过教师的适当引导和学生的自主学习，使学生由直观感知获得猜想，经过逻辑论证，推导出直线与平面平行的性质定理，并掌握这一定理. 2.过程与方法 通过直观感知和操作确认的方法，发展几何直觉、运用图形语言进行交流的能力；体会和感受通过自己的观察、操作等活动进行合情推理发现并获得数学结论的过程；通过直线与平面平行的性质定理的实际应用，让学生体会定理的现实意义与重要性. 3 ?情感、态度、价值观 通过主动参与、积极探究的学习过程，提高学习数学的自信心和积极性，培养合作意识和交往能力，领悟化归与转化的数学思想，提高学生分析解决问题的能力. 【教学重点与难点】 1?教学重点直线与平面平行的性质定理. 2.教学难点综合应用线面平行的判定定理和性质定理.
★解答过程 证明：连接 因为ABCD 是平行四边形， 因为MP =MC ,所以OM 因为PA 二平面BDM ， OM 平面BDM ， 所以PA//平面BDM . 因为平面PAG 平面BDM AC,设 AC BD =O ,连接 OM 所以OA=OC . // PA . =GH , PA 平面 PAG , 所以PA//GH 定理 线面平行的性质定理 线血平行的判定定理 團形 -S7- a 厂 7 b Λ~7 ￡ 符号表示 aH a ) ? => a∕lb tl< bun -匸二> af! a aiib 一 用途 证明线线平4f 证明线面平行 恿想方祛 转化的??方法'?t ?4q kτ I -→???H 性虞定理 【小结】 【布置作业】 教材 P64 5、6. 上黑板板演证明过程，教 师最后进行点评. 小结回顾：注意线面 平行 的性质定理与判定 定理联系和区别，“线面 平行”与“线线平行”问 题是互相联系的，在解题 时要善于将问题进行转 化.
§2.3.4平面与平面垂直的性质 教学目标： 1.进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定 2.使学生理解和掌握面面垂直的性质定理 3.让学生在观察物体模型的基础上进行操作确认，获得对性质定理的认识 教学重、难点： 重点：理解和掌握面面垂直的性质定理和推导 难点：运用性质定理解决实际问题 教学过程： 师：好，在上课之前我们来回顾一下前面的面面垂直的定义和判定。我们了解到两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 这是面面垂直的定义，假设我们把定义中的条件和结论交换，也就是说两个平面垂直，那么它们所成的二面角是直二面角这个命题是成立的。 而判定定理是：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。这是通过线面垂直得到的面面垂直，那么能否通过面面垂直得到线面垂直呢？而这一问题就是这就可要研究的： （§2.3.4平面与平面垂直的性质）
那我们来探究这样一个问题：黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，能否在黑板所在的平面作一条直线与地面垂直？ 现在把这个问题数学符号化： 已知：α⊥βα∩β=CD 求证：β一直线与α垂直 在右边把这两个平面的形象图作出来： 分析：要证明一条直线与一个平面垂直，这就需要证明这条直线与平面的两条相交直线垂直，这是前面学的直线与平面垂直的判定定理，那么就需要在这个平面找两条相交直线都与这条直线垂直，那不妨在β作BE⊥CD于点B,在α过点B作AB⊥CD
证明： 在β作BE⊥CD于点B，在α过点B作AB⊥CD BE⊥CD ABE为直二面角 α⊥βα∩β=CD AB⊥BE CD⊥BE BE⊥α AB∩CD＝B 这样上面的问题就得以解决证明 像这样的，两个平面垂直，其中一个平面一条直线垂直于两个平面的交线，那么这条直线垂直与另一个平面，我们把满足这样的性质叫做面面垂直的性质定理 定理：两个平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线与另一平面垂直。 我们的性质定理是通过面面垂直得到线面垂直，前面所学的面面垂直判定是由线面垂直得到面面垂直，这些转化关系在以后解题中有很大的作用，所以啊在解题的时候同学们需要抓住解题的关键之处。 接下来看到书上第二个思考题 思考一：设α⊥β，点P在平面α，过点P 作β的垂线a，那么直线a与α有什么位置关系？
线面、面面平行的判定与性质 基础巩固强化 1.(文)(2011·海淀期中)已知平面α∩β＝l，m是α不同于l 的直线，那么下列命题中错误 ．．的是( ) A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β [答案] D [解析]A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立． (理)(2011·模拟)设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β D．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，则n∥β [答案] D [解析]A选项不正确，n还有可能在平面α，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β，选项D正确． 2．(文)(2011·期末)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是( ) A．若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β [答案] D [解析]选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．(理)(2011·省市测试)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．α∥β，m?α，n?β?m∥n B．l⊥β，α⊥β?l∥α C．m⊥α，m⊥n?n∥α D．α∥β，l⊥α?l⊥β [答案] D [解析]对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l?α这种情形；对于选项C，可能出现n?α这种情形．故选D. 3．(2011·模拟)已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中的假命题是( ) A．若α∥β，l?α，则l∥β B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若α⊥β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，则m⊥β [答案] C [解析]对于选项C，直线l与m可能构成异面直线，故选C. 4．(2011·揭阳模拟)若a不平行于平面α，且a?α，则下列结论成立的是( ) A．α的所有直线与a异面
直线与平面平行的性质 【学习目标】 理解并掌握直线与平面平行的性质定理,并能运用定理解决简单的相关问题。 【教学重点】： 通过直观感知、提出猜想进而操作确认，获得直线与平面平行的性质定理。 【教学难点】： 综合应用线面平行的判定定理和性质定理进行线线平行与线面平行的相互转化。 【教学过程】： 一、回顾复习： 1．直线与平面平行的判定定理：----------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------。 符号表示： 平面与平面平行的判定定理：---------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------。 符号表示： 2. 思考：①直线与一个平面平行，那么这条直线和平面内的直线有何位置关系？ ②直线a与一个平面平行，在平面内如何作一条直线与直线a平行？ 二、讲授新课： 1. 教学线面平行的性质定理： ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线 的位置关系如何？ 结论： ②结论的证明： ③线面平行的性质定理：------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------。 符号语言：
线面、面面平行的判定、性质定理 1、已知：b αβ=I ，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ） Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥ Ｃ．a ，b 相交但不垂直 Ｄ．a ，b 异面 2、已知：b αβ=I ，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ）． Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥ Ｃ．a 、b 相交但不垂直 Ｄ．a 、b 异面 3、过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为（ ） Ａ．都平行 Ｂ．都相交且一定交于同一点 Ｃ．都相交但不一定交于同一点 Ｄ．都平行或都交于同一点 4、a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结 论成立的是（ ） Ａ．过A 且平行于a 和b 的平面可能不存在 Ｂ．过A 有且只有一个平面平行于a 和b Ｃ．过A 至少有一个平面平行于a 和b Ｄ．过A 有无数个平面平行于a 和b 5、如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ． 6、如图，正方形ABCD 的边长为13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13，M ，N 分别是PA ，DB 上的点，且58PM MA BN ND ==∶∶∶． （1）求证：直线MN //平面PBC ； （2）求线段MN 的长． 7、如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点， 求证：PD //平面MAC ． 8、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ， 11C D 的中点，求证：EF //平面11BB D D ． 9、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，试作出过AC 且与直线1D B 平行的截面，并说明理由． 10、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面 1A BD //平面11CD B ． 11、如图，M 、N 、P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且AM MB CN NB CP PD ==∶∶∶． 求证：（１）AC //平面MNP ，BD //平面MNP ； （２）平面MNP 与平面ACD 的交线AC //． 12、如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点． 求证：MN //平面PAD ． 13、如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E 、F 分别是PA 、BD 上的点且::PE EA BF FD =，求证：EF //平面PBC ． A C 1 C A 1 C 1 C A 1 C 1C A D
10月20日（线面垂直、面面垂直） 1.已知平面α及α外一直线l ，给出下列命题正确的有________. （1）若l 垂直于α两条直线，则α⊥l ； （2）若l 垂直于α所有直线，则α⊥l ； （3）若l 垂直于α任意一条直线，则α⊥l ； （4）若l 垂直于α两条平行直线，则α⊥l ； 2.设n m 、是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A.若α//,//m n m ，则;//αn B.若αβα//,m ⊥，则;β⊥m C.若ββα⊥⊥m ,，则;//αm D.若βα⊥⊥⊥n m n m ,,，则βα⊥ 3.对于直线n m 、和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是（ ） A. βα//,//,n m n m ⊥ B.αβα?=⊥n m n m ,,I C.αβ?⊥m n n m ,,// D.βα⊥⊥n m n m ,,// 4. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别是棱AB AA ,1上的点，若MN B 1∠是直角， 则=∠MN C 1______. 5. 如图，定点B A ,都在平面α，定点C PB P ,,αα⊥?是平面α异于B A ,的定点，且,AC PC ⊥则ABC ?为（ ） A. 锐角三角形 B.直角三角形 B. C.钝角三角形 D.无法确定
例：在正方体1111D C B A ABCD -中. （1）直线B A 1与平面ABCD 所成角的大小为_____________. （2）直线B A 1与平面11D ABC 所成角的大小为_____________. （3）直线B A 1与平面D C AB 11所成角的大小为_____________. 例1.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：.1EBD O A 平面⊥ 例2.如图，在四棱锥ABCD P -中，,90,//,?=∠=∠⊥PAB ADC BC AD CD PA .2 1AD CD BC = =证明：平面⊥PAB 平面.PBD
线面平行的判定与性质练习 一、基本内容 1.线面平行的判定 2.线面平行的性质 二、练习题 题型一：概念性习题 1．下列命题正确的是 （ ） A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行 B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行 C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行 D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面 2．若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是 ( ) A. α?l B.α//l C.αα//l l 或? D.相交和αl 3．若直线a 在平面α内，直线a,b 是异面直线，则直线b 和α平面的位置关系是 ( ) A ．相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交且垂直
4．下列各命题中假命题的个数为 ( ) （1） 经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线； （2） 若一条直线平行于两相交平面，则这条直线和交线平行； （3） 空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。 A 0 B 1 C 2 D 3 5．若直线上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 平行或相交 D 或平行、或相交、或在内 6．a,b 为两异面直线，下列结论正确的是 ( ) A 过不在a,b 上的任何一点，可作一个平面与a,b 都平行 B 过不在a,b 上的任一点，可作一直线与a,b 都相交 C 过不在a,b 上任一点，可作一直线与a,b 都平行 D 过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行 7．判断下列命题是否正确： (1)过平面外一点可作无数条直线与这个平面平行 ( ) (2)若直线α?l ，则l 不可能与α内无数条直线相交 ( ) (3)若直线l 与平面α不平行，则l 与α内任一直线都不平行 ( ) (4)经过两条平行线中一条直线的平面平行于另一条直线 ( ) (5)若平面α内有一条直线和直线l 异面，则α?l ( ) 题型二：证明题 8．P 为平行四边形ABCD 外一点，E 是PA 的中点，O 是AC 和BD 的交点，求证：OE//平面 PBC 。 9．求证：如果一条直线和两相交平面都平行，那么这条直线就和它们的交线平行。 10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是 1A B 、1A C 的中点，求证： EF ∥平面ABC ；