2.3线面垂直和面面垂直
线面垂直专题练习
一、定理填空：
1.直线和平面垂直
如果一条直线和，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理
线面垂直判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么
判定定理2：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么.
线面垂直性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
性质定理1：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。
二、精选习题：
1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：
①M
b
M
a
b
a
⊥
?
?
?
?
⊥
//
②b
a
M
b
M
a
//
?
?
?
?
⊥
⊥
③?
?
?
?
⊥
⊥
b
a
M
a
b∥M④?
?
?
?
⊥b
a
M
a//
b⊥M.
其中正确的命题是( )
A.①②
B.①②③
C.②③④
D.①②④
2.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF 中，必有( )
A.DP⊥平面PEF
B.DM⊥平面PEF
C.PM⊥平面DEF
D.PF⊥平面DEF
3.设a、b是异面直线，下列命题正确的是( )
A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交
B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直
C.过a一定可以作一个平面与b垂直
D.过a一定可以作一个平面与b平行
4.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么必有( )
A.α⊥γ且l⊥m
B.α⊥γ且m∥β
C.m∥β且l⊥m
D.α∥β且α⊥γ
5.有三个命题：
第3题图
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直
其中正确命题的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3
6.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题
①若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，
其中真命题
．．．的序号是( )
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
7.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.
求证:VC⊥AB;
8.如图所示，P A⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证：MN∥平面P AD.
(2)求证：MN⊥CD.
(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．
10.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.
(1)求证：NP⊥平面ABCD.
(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.
11.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.
解：已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.
12. 已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.
13.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
14.如图，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.
15.如图11(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，
已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.
(1)求证：D1C⊥AC1；
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，
并说明理由.
16.如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，
O为底面ABCD的中心.
求证：A1O⊥平面GBD.
17.如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长为定值m，定长为n（n＞m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点.
求证：（1）AB⊥MN；（2）MN的长是定值.
18.如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,
AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.
（1）求证：AC⊥BC1;
（2）求证：AC1∥平面CDB1.
面面垂直专题练习
一、定理填空
面面垂直的判定定理： 面面垂直的性质定理：
二、精选习题
1、正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后，AB 与CD 所成的角等于____________
2、三棱锥P ABC -的三条侧棱相等，则点P 在平面ABC 上的射影是△ABC 的____心.
3、一条直线与两个平面所成角相等，那么这两个平面的位置关系为______________
4、在正三棱锥中，相邻两面所成二面角的取值范围为___________________
5、已知l αβ--是直二面角，,,A B A B l αβ∈∈?、，设直线AB 与α成30角，AB=2，B
到A 在l 上的射影N
，则AB 与β所成角为______________.
6、在直二面角βα--AB 棱AB 上取一点P ，过P 分别在βα,平面内作与棱成
45°角的斜线PC 、PD ，则∠CPD 的大小是_____________
7、正四面体中相邻两侧面所成的二面角的余弦值为___________________.
8. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中. 求证：平面ACD 1 ⊥ 平面BB 1D 1D
D 1
C 1
B 1A 1
D C
B
A
10、如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．
11、如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．问△ABC 是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．
A B C P A
B P