10月20日（线面垂直、面面垂直）
1.已知平面α及α外一直线l ，给出下列命题正确的有________.
（1）若l 垂直于α两条直线，则α⊥l ；
（2）若l 垂直于α所有直线，则α⊥l ；
（3）若l 垂直于α任意一条直线，则α⊥l ；
（4）若l 垂直于α两条平行直线，则α⊥l ；
2.设n m 、是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若α//,//m n m ，则;//αn
B.若αβα//,m ⊥，则;β⊥m
C.若ββα⊥⊥m ,，则;//αm
D.若βα⊥⊥⊥n m n m ,,，则βα⊥
3.对于直线n m 、和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是（ ）
A. βα//,//,n m n m ⊥
B.αβα?=⊥n m n m ,,I
C.αβ?⊥m n n m ,,//
D.βα⊥⊥n m n m ,,//
4. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，
N M ,分别是棱AB AA ,1上的点，若MN B 1∠是直角，
则=∠MN C 1______.
5. 如图，定点B A ,都在平面α，定点C PB P ,,αα⊥?是平面α异于B A ,的定点，
且,AC PC ⊥则ABC ?为（ ）
A. 锐角三角形
B.直角三角形
B. C.钝角三角形 D.无法确定
例：在正方体1111D C B A ABCD -中.
（1）直线B A 1与平面ABCD 所成角的大小为_____________.
（2）直线B A 1与平面11D ABC 所成角的大小为_____________.
（3）直线B A 1与平面D C AB 11所成角的大小为_____________.
例1.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：.1EBD O A 平面⊥
例2.如图，在四棱锥ABCD P -中，,90,//,?=∠=∠⊥PAB ADC BC AD CD PA .2
1AD CD BC =
=证明：平面⊥PAB 平面.PBD
1.如图，在三棱锥ABC S -中，
,SC SB SA ==且?=∠?=∠=∠90,60BSC ASC ASB .
求证：平面⊥
BSC
ABC平面.
2.如图，在三棱锥ABC
SAC
ACB
SC⊥
∠90
BC
SAB求证：.
=
S-中，?
=
∠
=
∠
3.如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，M AA AD AB ,2,11===是棱1CC 的中点. 证明：平面⊥ABM 平面.11M B A
4.如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，E 是1AA 的中点.
求证：平面⊥BD C 1平面.BDE
5.如图，已知，
，，平面523//,111===⊥BC AC AB AA BB ABC AA 71=AA , 721=BB ,点E 和F 分别为BC 和C A 1的中点.
（1）求证：BA B A EF 11//平面;
（2）求证：直线1BCB AE 平面⊥;
（3）求直线11B A 与平面1BCB 所成角的大小.
6.如图，AB 是O Θ的直径，PA 垂直于O Θ所在的平面，M 为圆周上任意一点，N PM AN ,⊥为垂足.
（1）求证：PBM AN 平面⊥;
（2）若PB AQ ⊥,垂足为Q ,求证：.PB NQ ⊥
7.如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD PC 平面⊥，.,//AC DC DC AB ⊥
（1）求证：PAC DC 平面⊥；
（2）求证：PAC PAB 平面平面⊥；
（3）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得CEF PA 平面//?
8.如图所示，已知ACD AB DE ACD AB ?⊥,//,平面是正三角形，AB DE AD 2==, 且F 是CD 的中点.
（1）求证：BCE AF 平面//；
（2）求证：CDE BCE 平面平面⊥.
线面平行、线面垂直的性质
1.已知b a ,表示两条直线，γβα,,为三个不重合的平面，则下列叙述正确的是（ ）
A.;////,,βαγβγα?==b a b a I I
B.b a ,相交且都在βα,外，;////,//,//,//βαββαα?b a b a
C.;////,//βαβα?b a
D..//,//,b a b a a ?=?βαβαI
2.如图所示的三棱柱111C B A ABC -中，过11B A 的平
面与平面ABC 交于DE ，则DE 与AB 的位置关系
是（ ）
A. 异面
B.平行
B. C.相交 D.以上都有可能
3. 如图，在多面体DCBA D B A 111中，四边形B B AA 11,ABCD A ADD ,11均为正方形，E 为11D B 的中点，过E D A ,,1的平面交1CD 于F .证明：.//1C B EF
4.如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PC的中点，在DE 上任取一点F，过点F和AP作平面PAGF交平面BDE于FG，求证：.
AP
//GF
10月21日（续垂直）
1.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF//DB.
（1）已知AB=BC,AE=EC.求证：AC FB.
（2）已知G、H分别是EC和FB的中点.求证：GH//平面ABC.
2.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M,N分别是AB,PC的中点.
（1）求证：MN//平面PAD;
（2）若PD与平面ABCD所成的角为?
45，求证：MN⊥平面PCD.
3.已知三棱锥ABC
SA底面S-中，底面ABC是边长等于2的等边三角形，⊥ABC，
SA，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为_________.
=
3
等体积法求高：如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，求A 到平面 BD A 1的距离.d
4. 如图，DA ⊥平面ABC ，ED ⊥平面BCD ，DE=DA=AB=AC,M BAC ,120?=∠为BC 的中点，则直线EM 与平面BCD 所成角的正弦值为（ ）
A. 33
B.3
2 B. C.
35 D.22
5.如图，已知BOC ∠在平面α，OA 是平面α的斜线，且?=∠=∠60AOC AOB , OA=OB=OC=a ，a BC 2=,求OA 和平面α所成角的大小.
两个平面平行的判定和性质（一） ●教学目标 (一)教学知识点 1．两个平面的位置关系． 2．两个平面平行的判定方法． (二)能力训练要求 1．等价转化思想在解决问题中的运用． 2．通过问题解决提高空间想象能力． (三)德育渗透目标 1．渗透问题相对论观点． 2．通过问题的证明寻求事物的统一性． ●教学重点 两个平面的位置关系；两个平面平行的判定． ●教学难点 判定定理、例题的证明． ●教学方法 启发式 在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程． 平面的位置关系也需以实物(教室)为例，启发诱思完成．通过师生互议，解决例1问题． ●教具准备 投影片两张 第一张：(记作§9．5．1 A) 第二张：(记作§9．5．1 B)
●教学过程 Ⅰ．复习回顾 师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理． 性质定理：归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题． 立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题；二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会． 下面继续研究面面位置关系． Ⅱ．讲授新课 1．两个平面的位置关系 除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系． ［师］观察教室前、后两个面，左、右两个面及上、下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的．［师］打开教材竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线．观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线．结合生观察教室的结论，引导其寻找平面公共点，然后给出定义． 定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行． 如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线． 两个平面的位置关系只有两种： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线． ［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β． 下面给出两个示意图，同学们考虑哪个较直观？ ［生］图(1)较直观，图(2)不直观． ［师］从以上两种画法，告诉我们画图过程中应注意什么？图(2)为何不直观？
§2.3.4平面与平面垂直的性质 教学目标： 1.进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定 2.使学生理解和掌握面面垂直的性质定理 3.让学生在观察物体模型的基础上进行操作确认，获得对性质定理的认识 教学重、难点： 重点：理解和掌握面面垂直的性质定理和推导 难点：运用性质定理解决实际问题 教学过程： 师：好，在上课之前我们来回顾一下前面的面面垂直的定义和判定。我们了解到两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 这是面面垂直的定义，假设我们把定义中的条件和结论交换，也就是说两个平面垂直，那么它们所成的二面角是直二面角这个命题是成立的。 而判定定理是：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。这是通过线面垂直得到的面面垂直，那么能否通过面面垂直得到线面垂直呢？而这一问题就是这就可要研究的： （§2.3.4平面与平面垂直的性质）
那我们来探究这样一个问题：黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，能否在黑板所在的平面内作一条直线与地面垂直？ 现在把这个问题数学符号化： 已知：α⊥βα∩β=CD 求证：β内一直线与α垂直 在右边把这两个平面的形象图作出来： 分析：要证明一条直线与一个平面垂直，这就需要证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直，这是前面学的直线与平面垂直的判定定理，那么就需要在这个平面内找两条相交直线都与这条直线垂直，那不妨在β内作BE⊥CD于点B,在α内过点B作AB⊥CD
证明： 在β内作BE⊥CD于点B，在α内过点B作AB⊥CD BE⊥CD 二面角∠ABE为直二面角α⊥βα∩β=CD AB⊥BE CD⊥BE BE⊥α AB∩CD＝B 这样上面的问题就得以解决证明 像这样的，两个平面垂直，其中一个平面内一条直线垂直于两个平面的交线，那么这条直线垂直与另一个平面，我们把满足这样的性质叫做面面垂直的性质定理 定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直。 我们的性质定理是通过面面垂直得到线面垂直，前面所学的面面垂直判定是由线面垂直得到面面垂直，这些转化关系在以后解题中有很大的作用，所以啊在解题的时候同学们需要抓住解题的关键之处。 接下来看到书上第二个思考题 思考一：设α⊥β，点P在平面α内，过点P 作β的垂线a，那么直线a与α有什么位置关系？
平面与平面平行的判定 一、教材分析 1.1教材所处地位与作用 本节课是人教版数学必修（2）第二章第二节第2课内容——平面与平面平行的判定。本节课是在学生学习了线线、线面关系后，已具有一定的空间几何知识和一定的数学能力和方法的基础上进行的。两个平面平行的判定定理是立体几何中的一个重要定理。它揭示了线线平行，线面平行，面面平行的内在联系，体现了转化的思想。通过本课的学习不仅能进一步培养学生的空间想象能力，逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后继的知识学习中去，为以后学习平面与平面的垂直打下基础。 1.2教学重点、难点 1.2.1教学重点 平面与平面平行的判定定理的理解 1.2.2教学难点 平面与平面平行的判定定理的应用（新教材将线面平行的性质安排在面面平行的判定之后，使得定理无法用理论推理来完成。因此，我采用观察感知，操作发现的研究方法来解决这一难点。通过讨论加深印象，设计更多的例子练习直线与直线的平行。）根据上述教材内容分析，并结合学生的认知水平和思维特点，我将教学目标分为三部分进行说明： 1.3目标分析 1.3.1知识技能目标 1、了解面面平行判定定理的发现过程。 2、理解证明过程必须的三个条件。 3、运用定理进行证明和解决生活中有关的实际问题。 1.3.2过程与方法 1、学生通过观察、探究、思考，得出两平面平行的判定定理，体验如何把语言文 字描述为数学符号。 2、通过问题的提出与解决，培养学生探究问题、解决问题的能力。通过对例题的
推证，培养学生观察、归纳、猜想、论证的能力。进一步增强学生空间想象能力、空间问题平面化的思想。 1.3.3情感态度价值观 1、通过主动参与探究活动，体验在科学发现中获得成功的喜悦，体验生活中的数学美，激发学习兴趣，养成勇于开拓和创新的科学态度。 2、在师生对图形分析的过程中，培养学生积极进行教学交流，乐于探索创新的科学精神。 3、通过同学之间讨论、互动，培养互帮互助的合作精神。 二、教法、学法 2.1 教法 美国心理学家布鲁纳指出：“探索是数学教育的生命线”。遵循“教必须立足于学”的教学理念，为了立足于学生思维发展，着力于知识构建在教法上我采用启发式讲解法。通过采用提出疑问，引导学生自主思考、探索通过直观感知、操作确认逐步发现平面与平面平行判定的方法，加深对判定定理的理解。通过问题探究激发学生学习的积极性和创造性，让学生分享到探索知识的方法和乐趣。 2.2 学法 以学生观察实践、自主探究、合作交流为主要形式的启发式讲解法。强调动脑思考，动手操作，亲身体验，注重多感官参与，多心理能力的投入，通过教师在教学过程中的点拨，启发学生自主探究来达到对知识的发现与领悟。 三、教学设计 3.1 教材 普通高中课程标准实验教科书人教A版必修2 3.2 教学目标 知识与技能：理解平面与平面平行的判定定理，并会初步运用。 过程与方法：主动地去获取知识、发现问题并解决问题 情感态度与价值观:进一步培养观察、发现的能力及空间想象能力 3.3 教学重点
线面、面面平行和垂直的八大定理 一、线面平行。 1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平 面平行。符合表示： β ββ////a b a b a ??? ????? 2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ?????=??βαβαα 二、面面平行。 1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 符号表示： β α//////????? ?????==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα （更加实用的性质：一个平 面内的任一直线平行另一平面） 三、线面垂直。 1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直 线垂直这个平面。 符号表示： α⊥?????? ??????=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示： PA a A oA a po oA a ⊥??? ? ????=⊥⊥??ααα 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。） 四、面面垂直。 1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 βααβ⊥??⊥a a , 2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。βαβαβα⊥?⊥?=?⊥a b a a b ,,，
2、平行于同一个平面的两个平面平行。 问题1:若两个平面平行,则一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？ 学生借助长方体模型思考、交流得出结论:异面或平行。 问题2:分别在两个平行平面内的两条直线满足什么条件时平行？(共面) 问题3:长方体中,平面ABCD 内哪些直线会与直线D B ' '平行？怎么样找到这些直线？ (平面ABCD 内的直线只要与D B ''共面即可) (二)研探新知 例1、如图,已知平面α、β、γ满足b a ==γβγαβαI I ,,//,求证:a // b 。 证明:因为b a ==γβγαI I ,,所以βα??b a ,,又因为βα//,所以a ,b 没有公共点,又因为a ,b 同在平面γ内,所以a // b 。 归纳(两个平面平行的性质定理)如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号语言:b a b a //,,//?==γβγαβαI I 。 可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。 课堂练习1:判断下列命题就是否正确。 (1)如果a ,b 就是两条直线,且a // b ,那么a 平行于经过b 的任何平面。 (2)如果直线a 与平面α满足a // α,那么a 与α内的任何直线平行。 (3)如果直线a ,b 与平面α满足a // α,b // α,那么a // b 。 (4)如果直线a ,b 与平面α满足a // b ,a // α,b α?,那么b // α。 例2、求证夹在两个平行平面间的平行线段相等。 已知:ββααβα∈∈∈∈D B C A CD AB ,,,,//,//,求 证:AB = CD 。 证明:因为AB // CD ,所以过AB 、CD 可作平面γ,且平面γ与平面α与β分别相交于AC 与B D,因为α // β,所以BD // AC ,因此,四边形ABDC 就是平行四边形,所以AB = CD 。
2.2.1 线面与面面平行的判定 【使用说明及学法指导】 1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲； 2．小组合作，动手实践。 【学习目标】 1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直线与平面平行的背景； 2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理，并会用其证明线面平行. 3. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、平面与平面的平行问题； 4. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用； 【重点】直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用 【难点】直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用 一、自主学习 1.预习教材P54～ P57,完成下列问题 复习：直线与平面的位置关系有______________，_______________，_________________. 讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？根据定义好判断吗？ 2.导学提纲 探究1：直线与平面平行的背景分析 实例1：如图，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，观察门扇转动 的一边l与墙所在的平面位置关系如何？ 实例2：如图，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？ 结论： 探究2：直线与平面平行的判定定理 问题：探究1两个实例中的直线l为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把这一 结论表示出来吗？ 直线与平面平行的判定定理 定理： 反思：思考下列问题 ⑴用符号语言如何表示上述定理；⑵上述定理的实质是什么？
探究3：两个平面平行的判定定理 问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 吗？由此你可以得到什么结论？ 问题2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外 一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？ 试试：在长方体中，回答下列问题 面,AA∥面BB C C，则面AA B B∥面BB C C吗？ ⑴如下图，AA AA B B 面，则A ADD 面吗？ 面∥DCC D ⑵如下图6-2，AA∥EF，AA∥DCC D 面，EF∥DCC D ⑶如下图，直线A C和B D相交，且A C、B D都和平面ABCD平行(为什么)，则平面A B C D∥平面ABCD吗？ 反思：由以上3个问题，你得到了什么结论？ 两个平面平行的判定定理： 如图所示，∥. 反思： ⑴定理的实质是什么? ⑵用符号语言把定理表示出来. 二、典型例题 例1. 有一块木料如图5-4所示，P为平面BCEF内一点，要求过点P在平面BCEF内作一条直线与平面ABCD平行，应该如何画线？
《直线与平面垂直的判定》教学设计 一、学习内容分析 本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2（人教A版）》第二章节。本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。 本节课中的线面垂直定义是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带。学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。 二、学习者分析 本节课的学生是高一的学生，在学习本节课之前，学生已经学习了掌握了线线垂直的证明，并且学习了空间内直线与平面位置关系以及直线与平面平行的知识，因此学生对于线面垂直的判定定理的学习有良好的认知基础。但是学生对于理解线面垂直的定义有一定的困难，受线面平行的影响，很容易由一直线垂直于一平面内一直线得出线面垂直，由于平面内看不到直线，要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难；同时，线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。 三、教学重点、难点 重点：直线与平面垂直的判定定理。 【 难点：探究得出出直线与平面垂直的判定定理及初步运用． 四、教学目标 （1）知识与技能目标： 1.描述直线与平面垂直的定义； 2.运用直线与平面垂直的判定定理证明简单的的空间位置关系问题. （2）过程与方法目标： 1.通过对实例、图片的观察，概括定义，正确理解定义，增强观察能力； 2.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想. ' （3）情感态度与价值观目标： 1.通过对空间中直线与平面垂直定义的归纳，感受生活中的数学美； 2.通过经历直线与平面垂直判定定理的探究，体验探索的乐趣 五、教学过程 1．复习回顾，引入新课
**教育ISO讲义 直线、平面垂直的判定及性质 思考：如何一条直线与一个平面不相交，该直线可能与平面垂直吗？如果一个平面与另一个平面不相交，这两个平面可能垂直吗？
一、知识梳理 1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ? ????a ，b ?αa ∩b ＝O l ⊥a l ⊥b ?l ⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ? ??? ?a ⊥αb ⊥α?a ∥b 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个 平面互相垂直 ? ??? ?l ?βl ⊥α?α⊥β 性质定理 两个平面互相垂直， 则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另 一个平面 ???? ?α⊥β l ?β α∩β＝a l ⊥a ?l ⊥ α 3.空间角 (1)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠P AO 就是斜线AP 与平面α所成的角． ②线面角θ的范围：θ∈????0，π 2． (2)二面角 ①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫
做二面角的面． 如图的二面角，可记作：二面角α-l -β或二面角P -AB -Q ． ②二面角的平面角 如图，过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角α-l -β的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]． ④当θ＝π 2时，二面角叫做直二面角． 常用结论 1．线线、线面、面面垂直间的转化 2．两个重要定理 (1)三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 3．重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 考点1 线面垂直的判定与性质(多维探究) 【例1】如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝1 2 AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．
面面垂直性质定理及习题《必修2》1.2.4 一、学习目标撰稿：第四组审稿：高二数学组时间：2009-9-8 1．理解面面垂直的性质定理 2．会用性质定理解决有关问题 3．线线、线面、面面之间的位置关系及相互转化 4．利用面面位置关系解决有关问题 二、学习重点 面面垂直的性质定理及应用 学习难点 “线线、线面、面面”判定及性质定理的应用 三、知识链接 1．面面垂直的判定定理 2．面面平行的判定与性质定理 3．直线与面平行、垂直的判定与性质定理 四、学习过程 1．回顾上节内容，问：如果两个平面垂直，那么一个面内的直线是否一定垂直于另一个平面？ 通过以上讨论，得平面与平面垂直的性质定理 （1）符号语言： （2）图形语言： 2．如何对定理加以证明： 性质定理体现了什么关系？ 它反映了面面垂直与线面垂直之间的密切关系，两者可以互相转化。 3．对性质定理的应用 例：P44 练习4
拓展：P43 例3 五、基础达标 1、判断下列命题是否正确，说明理由： （1）若α⊥β，α⊥γ，则α∥β （2）若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ （3）若α∥α1，β∥β1，α⊥β，则α1⊥β1。 2、如图α，β，γ，为平面，α∩β＝l,α∩γ＝a, β∩γ＝b,l⊥γ,指出图中哪个角是二面角 α-l-β的平面角，并说明理由。 3、判断下列说法是否正确： （1）若平面α内的两条相交直线分别平面β内的两条相交直线，则平面α平行与平面β；（2）若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行； 4、已知平面α、β直线l,且α∥β，l?α，且l∥α,求证：l∥β。 5、（1）已知平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，试判断这条直线与该平面的位置关系；
平面与平面垂直的判定 教学目标 1、知识与技能 （1）理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小； （2）理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系； （3）熟悉线线垂直、线面垂直的转化． 2、过程与方法 （1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对二面角的平面角及面面垂直的认识； （2）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力． 3、情感、态度与价值观 通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力. 教学重点 二面角的概念和二面角的平面角的作法，面面垂直的判定． 教学难点 二面角的平面角的一般作法及面面垂直的判定． 教学过程 一、课前准备 （预习教材P 67~ P 69，找出疑惑之处） 复习1：若直线垂直于平面，则这条直线________平面内的任何直线； 直线与平面垂直的判定定理_______________________________． 复习2：什么是直线与平面所成的角? 直线与平面所成的角的范围为_______________. 二、新课导学 探索新知 探究1：二面角的有关概念 图１ 问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么? 新知1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图2中的二面角可记作：二面角AB αβ--或l αβ--或P AB Q --．
图2 问题：二面角的大小怎么确定呢？ 新知2：如图3，在二面角l αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线,OA OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角． 图3 反思:(1)两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系？ (2)你觉的二面角的大小范围是多少？ (3)二面角平面角的大小和O 点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？ 探究2：平面与平面垂直的判定 问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？ 新知3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图4，α垂直β，记作αβ⊥ . 图4 问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？ 新知4：两个平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 重难点突破 例1 如下图 AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于B A ,的任意一点， 求证：ABC PAC ABC PAB 平面，平面平面平面⊥⊥， PBC PAC 平面平面⊥． l
线面垂直 ●知识点 1.直线和平面垂直定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理. 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直. 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直. ●题型示例 【例1】如图所示，已知点S是平面ABC外一点， ∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的 射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC. 【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样 SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明 AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC， ∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平 例1题图 面SBC的证明. 【规范解答】 【解后归纳】题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.
【例2】已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB. 【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥c?b⊥c;(2)a⊥α,b?α?a ⊥b;(3)三垂线定理及其逆定理. 由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行. 【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”. 所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线. 【例3】已知如图(1)所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1. 例3题图解(1)
《线面垂直的判定定理》教学设计 一、内容解析： 《直线与平面垂直的判定》是高中新教材人教A版必修2第2章的内容，本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法；直线与平面垂直的判定定理本节是通过折纸试验来感悟的，即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条垂直转化为只要与两条相交直线垂直就行了，概言之，线不在多，相交就行。本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。 线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。
教学重点和难点 《课程标准》指出本节课学习目标是：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；又考虑到学生的认知水平所以我将本节课的教学重点确立为：操作确认并概括直线与平面垂直的定义及判定定理。教学难点确立为：概括出直线与平面垂直的定义及判定定理，定理的初步应用。 二、教学目标 根据以上分析，结合学生的认知水平和课容量，将教材中线面成角问题安排在下节课进行。故而确立本节课的教学目标为： （1）知识与技能 掌握直线和平面、平面和平面垂直的判定定理及性质定理，并能应用． （2）过程与方法 ' 通过“观察”“认识”“画出”空间图形及垂直关系相关定理的学习过程，进一步培养学生的空间想象力及合情推理能力． （3）情感、态度与价值观 垂直关系在日常生活中有广泛的实例，通过本节的教学，可让学生进一步认识到数学和生活的联系，体会数学原理的广泛应用． 三、教学问题诊断分析
空间中的垂直关系 1．线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：（线面垂直?面面垂直） 如果 ，那么这两个平面互相垂直。 推理模式： 两平面垂直的性质定理：（面面垂直?线面垂直） 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系 为：线线垂直???→←???判定性质线面垂直???→←???判定性质 面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明． 例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． 2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC 3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ． 5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使 得AB 1 ⊥平面C 1DF 并证明你的结论
αα⊥?? ?? ⊥l m l m 内任一直线是平面2.3.1直线与平面垂直的判定 教学目标： 知识与技能：了解、感受直线与平面垂直的定义；理解线面垂直判定定理。 过程与方法：亲身经历直观感知，操作，探究归纳的数学活动过程，学习“空间问题转 化为平面问题”、“无限转化为有限”的化归思想方法，发展合情推理能力。 情感态度与价值观：体会从现实生活的经历与体验出发来学习数学，感受学习数 学的乐趣，形成主动学习的态度。 教学重点：线面垂直的定义和判定定理的理解 教学难点：线面垂直的判定定理的探究过程 教学方法：采用“引导— 探究式”教学方法 教学工具：几何画板、PPT 、三角纸片 教学过程： 一、 创设情境，启发定义 1．通过复习空间直线与平面的位置关系和举生活实例及多媒体展示，让学生举感知直线与 平面相交中线面垂直的位置关系，从而引出课题． 2． 让学生从与生活有关的直线与平面垂直现象的实例中抽象归纳出直线与平面垂直的定义，并展示随着太阳的东升西落国旗与其投影的关系，引导他们观察国旗与地面所有直线的位置关系，引出直线与平面垂直的定义． 二、 知识构建 （一）直线与平面垂直的定义 1. 定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直．记作：l ⊥α. 直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足。 2. 图形语言： 3. 符号语言： 4. 重点强调：（“任意一条”，“所有的”“全部的”，“每一条”），并说明“无数条” 5. 定义的两面性： α α⊥?? ?? ⊥a m a m 内任一直线是平面
平面与平面垂直的性质定理教学设计 一．教材分析 （1）教材的地位和作用：《平面与平面垂直的性质》选自《普通高中课程标准实验教科书》数学第二册（人 教A版）第三节第4课时，平面与平面垂直问题是 平面与平面的重要容，也是高考考查的重点，求解 的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅 助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把 问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和 应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空 间想象力和逻辑推理能力，这些都是学生今后学习 和工作中必备的数学素养。 （2）从知识体系看，“平面与平面垂直的性质”是线面垂直与面面垂直容的延续，不仅可以加深利用线面 垂直证线线垂直，也可以实现面面垂直的证明。因 此，我们可以说线面垂直关系是线线垂直关系的纽 带，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直的 相互转化。 二．学情分析： （1）学生已有的知识结构：在学习本课之前，学生已掌握了线线垂直、线面垂直及面面垂直的概念，
判定定理，及线面垂直的性质定理，学生已具备 了对空间几何图形的一定水平层次的想象能力和 一定的逻辑推理能力和分析问题的能力。 （2）教学对象：高一年级的学生，已有一定的立体感，学习兴趣较浓，具有一定的想象能力和分析问题、 解决问题的能力。但由于年龄的原因，思维尽管 活跃，敏捷，却缺乏冷静，深刻，因而片面，不 够严谨。这个阶段的学生还以抽象逻辑思维为主 要发展趋势，他们的思维正在从经验性的逻辑思 维向抽象的逻辑思维发展，仍需依赖一定的具体 形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。本课借 助生活中丰富的典型实例，让学生通过实验、分 析、猜想、归纳、论证等活动过程，从中了解和 体验空间线面、面面之间的垂直关系，在实验、 猜想和论证中发展学生的逻辑推理能力、空间想 象能力和分析问题、解决问题的能力。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节容与线面垂直的性质定理及应用进行类比，这是积极 因素，应因式利导，不利因素是学生的抽象概括 能力和空间想象力有待提高，故采用多媒体辅助 教学。 三．设计理念
“5+1”模式数学导学案 班级: 姓名:编号: 日期: - - 课题：直线与平面垂直的判定设计者: 主备组长： 旧知链接：1、回顾空间中线面的位置关系有哪些？ 2、当两条直线的夹角为，这两条直线互相垂直。 展示课（时段：正课时间： 45分钟） 【学习目标】 1、理解直线与平面垂直的定义； 2、掌握直线与平面垂直的判定定理及其简单应用。 【定向导学〃互动展示〃当堂反馈】 课堂元素 自研自探环节合作探究环节 展示提升环节 质疑评价环节 总结归纳环节自学指导 （内容〃学法〃时间） （12分钟） 互动策略 （内容〃形式〃时间） （12分钟） 展示主题 （内容〃方式〃时间） （16分钟） 随堂笔记 (成果记录〃知识生成〃同步演练) （5分钟） ︻导学︼概念认知与例题导析（45 mi n）【学法指导】 【自我探究一】 ◎请同学们观察图片，说出 旗杆与地面、树干与地面的 位置有什么关系？ ◎请把自己的数学书打开直 立在桌面上，观察书脊与桌 面有什么关系？书脊所在直 线与桌面内的任意直线具有 什么样的位置关系？ 【归纳总结】：由上述发现， 请你总结垂直的定义，并用 多种语言描述. 【自我探究二】 ◎阅读课本65页探究和思 考，并认真解答问题。 【归纳总结】：由上述发现， 请你总结线面垂直的判定定 理，并用多种语言描述. ①两人帮扶对： 小对子头碰头交流 自研环节中存在的 问题，用红笔及时 的修正和标记. ②四人互助组： 在四人小组长的带 领下探讨： A.如何才能保证铅 笔所在直线垂直于 书本所在的平面？ B.将三角形纸片的 折痕不断变化，要 使AD垂直于桌面所 在的平面，需要满 足什么条件？ C.总结垂直的定义 及线面垂直的判定 定理，并用多种语 言描述。 注：（1）画直线与 平面垂直时应注意 什么问题？ （2）线面垂直的判 定定理中应该注意 哪些关键词？ ③八人共同体： D.两至三人板书 E.做好展示任务分 工，完成版面设计， 做好展示前的预演 F.每个组安排一人 进行帮扶，确保组 内人人过关。 方案预设1： 通过生活中的实 物及在黑板作图 的办法展示【自我 探究一】及结论。 方案预设2： 通过对三角形纸 片的翻折，展示 【自我探究二】及 结论. 方案预设3： 例题解析 〃再现课本例1 的解题过程，熟悉 相关定理和公理 的应用，同时注意 解题过程的规范 性. 方案预设4： 〃回顾两条平行线 间的关系及线面 垂直的判定定理， 展示66页的探 究。 注：每组派一至两 名代表上大黑板 自主板演. 【重点识记】 总结空间中线面垂直的定 义及线面垂直的判定定理，并用 3种语言表示。 等级评定： 【同步演练】 1．若三条直线OA，OB，OC两两 垂直，则直线OA垂直于（） A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC 2．若直线l⊥平面α，直线m?α， 则（） A．l⊥m B．l可能和m平行 C．l和m相交 D．l和m不相交 3.直线a⊥直线b，直线b⊥平 面β，则直线a与平面β的关系 是（） A．a⊥β B.a∥β C．a?β D．a?β或a∥β 训练课（时段：晚自习，时间：30分钟） “日日清巩固达标训练题”自评：师评：基础题： 1、如果一条直线垂直于一个平面内的：
2．2．2面面平行的判定 教学目标 一、知识与技能 1.理解面面平行判定定理并初步应用； 2.化归与转化思想在解决实际问题中的应用。 1.体会“类比”的数学思想; 2.经历面面平行定理的探究过程,得出面面平行的判定定理. 三、情感态度与价值观 引导学生反思新旧知识间的联系，促进学生养成善于联系的思考问题，从实际生活中获知数学知识。 教学重点 面面平行的判定定理及其应用 教学难点 面面平行判定定理的探究过程及其应用 教辅手段 黑板，PPT 教学过程 一、问题导入： 复习线面平行的判定方法，引入本节课的课题 二、新知探究 1、两平面的位置关系（借助PPT），引导学生发现两平面的位置关系——即平行和相交； 2、教师提问：如何能判别两平面平行呢？显然当一个平面内的所以直线都和另一个平面不相交时，两平面平行。 教师总结：这个问题告诉我们，判定两平面平行问题，可以证明一个平面内的所有直线与另一个平面平行，即面面平行转化为线面平行，但要证明所有直线和另一个平面平行是很困难的。 教师提问：同学们思考一下，能否将“所有直线：化为有代表性的”一条“或”几条直线“呢？ 3、学生探究(以长方体模型为例）: α,平行吗？ （1）平面β内有一条直线与平面α平行，β α,平行吗？ （2）平面β内有两条直线与平面α平行，β 4、经过观察讨论解决问题 （PPT）定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 5、教师分析并书写证明过程。 三、理解应用：
四、课堂练习: 五、作业：课本58页 1、2、3
六、小结: 1、两个平面的位置关系：相交、平行 2、判定两个平面平行的方法： 1）使用“两个平面互相平行”的定义 2）两平面平行的判定定理或推论 3、找线线平行的方法：三角形中位线定理；平行四边形的平行关系 4、数学思想方法：转化的思想 七.板书设计 2.2.2 面面平行的判定 知识总结 1、两个平面的位置关系：相交、平行； 2、判定两个平面平行的方法； 3、数学思想方法： 转化的思想课题 例题分析过程： 八、教学后记：
第九届全国高中青年数学教 师优秀课观摩与评比活动 《平面与平面垂直的判定》（人教A版高中课标教材数学必修2）
平面与平面垂直的判定教学设计 一、教学内容解析： 1.教材的地位与作用： 本节课是人教A版必修2第2章第3节的第2课时，它是在直线与平面垂直的基础上，介绍二面角、二面角的平面角、面面垂直的定义及判定定理，本节课既是前面知识的巩固升华，又是后面研究线面、面面垂直性质的基础，在面面垂直的判定定理探究中有利于培养学生的空间想象能力、直观感知能力和逻辑推理能力，培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学核心素养，同时本节课体现了转化化归、类比归纳等数学思想，是高中立体几何课程中的重点课题之一。 2.教学重点、难点： 重点：平面与平面垂直的判定定理及应用 难点：二面角大小的度量 二、教学目标设置： 1.通过直观感受生活中的二面角实物图，抽象出二面角的概念，提高学生观察、分析、类比、化归能力，培养学生数学抽象核心素养。 2.通过分组合作探究作二面角的平面角的过程，达到利用平面角刻画二面角的目标，深化刻画空间角的唯一性思想方法，体验数学的严谨性，培养学生严谨的数学思维习惯和自我反思纠错习惯。 3.通过动手操作实验探究过程，归纳猜想出面面垂直的关键，再通过推理论证得出判定定理，提升学生归纳分析，猜想论证能力，培养学生逻辑推理、抽象概括数学核心素养。 4. 通过运用定理的过程，达到巩固理解所学知识的目标，提高学生类比化归能力，培养学生降低空间维数的化归与转化的数学思想。 三、学生学情分析：
1.学生前面已经学习了面面平行以及线面垂直，有了知识储备，课前也已经预习了课本内容. 2.大部分同学已经具备了一定的空间想象能力、基本的逻辑推理思维、书写的规范性等.但是，本节课的教学难点在于探究二面角的平面角，学生不容易理解，通过小组合作探究，给出不同的解决方案，分析利弊，最终解决问题、加深理解，让学生体会数学的严谨性. 3.经过高一一年的学习，绝大多数同学能够积极主动地参与到课堂探究、讨论活动中.在知识建构的过程中，各小组能够很快形成自己的看法并主动推选出代表发言.小组间既有竞争又有合作，能够实现“生本愉悦课堂”，保证课堂的高效. 四、教学策略分析： 我采用启发引导、分组合作、讲练结合的教学方法，使学生形成“直观感知—操作确认—数学抽象—归纳猜想—严谨证明—灵活应用”的探究式学习方法，从而达到以学生为主体，教师为主导，师生共同发展的课堂教学效果. 为此我采用如下形式： 1.实物投影——现场投影学生作品，及时发现问题、解决问题，充分体现问题来自于学生、解决于学生，最终提高学生的能力. 2.教具——自制教具、现场演示门、打开着的书，尊重学生由直观感知到数学抽象的认知规律，充分体现数学源于生活又高于生活的基本理念. 3.各种制图软件的综合利用——巧妙地将几何画板及录屏软件结合使用，实现二面角的动态转动效果，既满足了学生直观感知的需要，又为培养学生数学抽象思维提供了帮助. 五、教学基本流程(总体设计) 从人类生产实践的需要引入二面角的有关概念 ↓ 构建二面角的的平面角 ↓ 直二面角 ↓
线面、面面平行的判定、性质定理 1、已知：b αβ=I ，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ） Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥ Ｃ．a ，b 相交但不垂直 Ｄ．a ，b 异面 2、已知：b αβ=I ，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ）． Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥ Ｃ．a 、b 相交但不垂直 Ｄ．a 、b 异面 3、过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为（ ） Ａ．都平行 Ｂ．都相交且一定交于同一点 Ｃ．都相交但不一定交于同一点 Ｄ．都平行或都交于同一点 4、a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结 论成立的是（ ） Ａ．过A 且平行于a 和b 的平面可能不存在 Ｂ．过A 有且只有一个平面平行于a 和b Ｃ．过A 至少有一个平面平行于a 和b Ｄ．过A 有无数个平面平行于a 和b 5、如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ． 6、如图，正方形ABCD 的边长为13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13，M ，N 分别是PA ，DB 上的点，且58PM MA BN ND ==∶∶∶． （1）求证：直线MN //平面PBC ； （2）求线段MN 的长． 7、如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点， 求证：PD //平面MAC ． 8、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ， 11C D 的中点，求证：EF //平面11BB D D ． 9、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，试作出过AC 且与直线1D B 平行的截面，并说明理由． 10、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面 1A BD //平面11CD B ． 11、如图，M 、N 、P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且AM MB CN NB CP PD ==∶∶∶． 求证：（１）AC //平面MNP ，BD //平面MNP ； （２）平面MNP 与平面ACD 的交线AC //． 12、如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点． 求证：MN //平面PAD ． 13、如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E 、F 分别是PA 、BD 上的点且::PE EA BF FD =，求证：EF //平面PBC ． A C 1 C A 1 C 1 C A 1 C 1C A D