九年级二次函数讲义全

二次函数

一．知识梳理

1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式：ax2+bx+c=0 （a≠0）

其中：ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项

a是二次项系数，b是一次项系数

2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）：

“△”读作德尔塔，在一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）中△=b2-4ac

△=b2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根，即：x1,x2

△=b2-4ac=0 <====> 方程有两个相等的实数根，即：x1=x2

△=b2-4ac<0 <====> 方程没有实数根。

注：“<====>”是双向推导，也就是说上面的规律反过来也成立，如：告诉我们方程没有实数根，我们便可以得出△<0

3、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0;△≥0），韦达定理。

ax2+bx+c=0 （a≠0）中，设两根为x1,x2,那么有：

因为：ax2+bx+c=0 （a≠0）化二次项系数为1可得，

所以：韦达定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。

注意：（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。

5、一元二次方程的求根公式：

注：任何一元二次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。

一、求二次函数的三种形式：

1.一般式：y=ax2+bx+c，（已知三个点）

顶点坐标（－2b

a

，244ac b a -）

2.顶点式：y=a （x －h ）2

+k ，（已知顶点坐标对称轴）

顶点坐标（h ，k ）

3.交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况）

与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2

对称轴为2

2

1x x h +=

二、a b c 作用分析

│a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大，

a ，

b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b

同号时，对称轴x=－

2b

<0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－2b

a

>0，即对称轴在y 轴右侧，c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，

c=0c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．

抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值

y=ax2+bx+c(a>0)

y=ax 2+bx+c (a<0)

由a,b 和c 的符号确定

由a,b 和c 的符号确定 a>0,开口向上

a<0,开口向下

在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小. .

在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大. 在

.

???? ??--a b ac a b 44,22???

? ??--a b ac a b 44,22a

b

x 2-

=直线a

b

x 2-

=直线

二．专题精练

专题一：二次函数与一元二次方程的关系

本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.

考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的围

一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况. 例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的围是（ ）

Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x << 考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.

二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.

例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.

考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况

当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax

2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程

ax 2+bx+c=0

没有实数根.反之亦然.

例3 在平面直角坐标系中，抛物线2

1y x

=-与x 轴的交点的个数是（ ）

A.3

B.2

C.1

D.0

专项练习3

1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值围是________.

图2

图1

2.已知二次函数2

2y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程

220x x m -++=的解为 ．

3.已知函数2

y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（ ）

A.无实数根

B.有两个相等实数根

C.有两个异号实数根

D.有两个同号不等实数根

4. 二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根

据图象解答下列问题：

（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．

（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值围．

（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值围．

专题二、探究几何图形中的二次函数关系

【例11】在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===，60ABC ∠=，点E F

，分别在线段AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合）

，且120BEF ∠=，设AE x =，DF y =．

（1）求y 与x 的函数表达式；（2）当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？

Ａ Ｅ

Ｄ Ｆ

Ｃ

Ｂ

课堂检测

1、二次函数342

++=x x y 的图像可以由二次函数2

x y =的图像平移而得到，下列平移正

确的是（ ）

A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位

B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位;

C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位

D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位

2、在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ） A ．y ＝2(x －2)2 + 2 B ．y ＝2(x + 2)2－2 C ．y ＝2(x －2)2－2

D ．y ＝2(x +

2)2 + 2 3、二次函数21

(4)52

y x =

-+的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ） A ．向上、直线x=4、（4，5） B ．向上、直线x=-4、（-4，5） C ．向上、直线x=4、（4，-5） D ．向下、直线x=-4、（-4，5） 4、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系

式

不正确的是（ ）

A 、a ＜0

B 、abc ＞0

C 、c b a ++＞0

D 、ac b 42-＞0

5、函数2

y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系的图象大致是 （ ）

6、二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，

.

.

则下列说法不正确的是（ ） A ．2

40b ac -> B ．0a >

C ．0c >

D ．02b

a

-

< 7、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）． A ．②④ B ．①④ C ．②③ D ．①③

8、已知关于x 的函数同时满足下列三个条件：

①函数的图象不经过第二象限；②当2

9、如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B. （1）求抛物线的解析式；

（2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标.

《专题五。形积问题》

1.(中考变式）如图，抛物线c bx x y ++-=2

与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D 。交Y 轴于C

求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。

2.(08)如图所示，已知抛物线2

1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． 求A 、B 、C 三点的坐标．过A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．

三．课堂检测

1．已知函数y =ax 2+bx +c ，当x =3时，函数的最大值为4，当x =0时，y =－14，则函数关系式____.

2．请写出一个开口向上，对称轴为直线x =2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .

3．函数42

-=x y 的图象与y 轴的交点坐标是________.

4．抛物线y = ( x – 1)2 – 7的对称轴是直线 ..

5．二次函数y =2x 2-x -3的开口方向_____，对称轴_______，顶点坐标________.

6.已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴的两个交点的坐标是(5，0)，(-2，0)，则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的解是_______.

7.用配方法把二次函数y =2x 2+2x -5化成y =a (x -h )2+k 的形式为___________.

8.抛物线y =(m -4)x 2-2mx -m -6的顶点在x 轴上，则m =______.

9.若函数y =a (x -h )2+k 的图象经过原点，最小值为8，且形状与抛物线y =-2x 2-2x +3相同，则此函数关系式______.

快乐作业

1．抛物线y =-2(x -1)2-3与y 轴的交点纵坐标为（ ） （A ）-3 （B ）-4 （C ）-5 （Ｄ）-1

2．将抛物线y =3x 2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（ ） (A) y =3(x +2)2+4 (B) y =3(x -2)2+4 (C) y =3(x -2)2-4 (D)y =3(x +2)2-4 3.抛物线y =

2

1x 2

，y =-3x 2，y =x 2的图象开口最大的是（ ）

(A) y =

2

1x 2

(B)y =-3x 2 (C)y =x 2 (D)无法确定 4.二次函数y =x 2-8x +c 的最小值是0，那么c 的值等于（ ） (A)4 (B)8 (C)-4 (D)16

5已知抛物线2y ax bx c =++ 经过（-1，0），（0，-3），（2，-3）三点. ⑴求这条抛物线的表达式；

⑵写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

6.如图，△OAB 是边长为2的等边三角形，过点A 的直线。轴交于点与E x m x y +-=3

3

（1） 求点E 的坐标；

最新九年级二次函数讲义

二次函数 一．知识梳理 1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式：ax2+bx+c=0 （a≠0） 其中：ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项 a是二次项系数，b是一次项系数 2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）： “△”读作德尔塔，在一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）中△=b2-4ac △=b2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根，即：x1,x2 △=b2-4ac=0 <====> 方程有两个相等的实数根，即：x1=x2 △=b2-4ac<0 <====> 方程没有实数根。 注：“<====>”是双向推导，也就是说上面的规律反过来也成立，如：告诉我们方程没有实数根，我们便可以得出△<0 3、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0;△≥0），韦达定理。 ax2+bx+c=0 （a≠0）中，设两根为x1,x2,那么有： 因为：ax2+bx+c=0 （a≠0）化二次项系数为1可得，所以：韦达定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 注意：（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。 5、一元二次方程的求根公式： 注：任何一元二次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。

一、求二次函数的三种形式： 1. 一般式：y=ax 2 +bx+c ，（已知三个点） 顶点坐标（－2b a ，244ac b a -） 2.顶点式：y=a （x －h ）2 +k ，（已知顶点坐标对称轴） 顶点坐标（h ，k ） 3.交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2 2 1x x h += 二、a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大， a ， b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－ 2b <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－2b a >0， 即对称轴在y 轴右侧，c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置， c=0c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．

初三数学-二次函数讲义-详细

二次函数 一、二次函数的解析式 1. 二次函数解析式有三种： (1)一般式：y ax bx c a =++≠2 0() (2)顶点式：()y a x h k =-+2 顶点为() h k ， (3)交点式：()()y a x x x x =--12 ()()x x 12 0，，是图象与x 轴交点坐标。 2.根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式. 二、二次函数与一元二次方程 1. 二次函数()20y ax bx c a =++≠与一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的关系。 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值 0y =时的特殊情况。 2.图像与x 轴的交点个数：

①当240b ac ?=->时，图像与x 轴交于两点 ()()()1212,0,,0A x B x x x ≠，其中12,x x 是一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的两根； ②当0?=时，图像与x 轴只有一个交点； ③当0?<时，图像与x 轴没有交点。 1’ 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y > 2’ 当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。 板块一 二次函数解析式 1.(1)把函数232 12++=x x y 化成它的顶点式的形式为_______________________； (2)把函数6422++-=x x y 化成它的交点式形式为 ____________________________； (3)把函数()2 324y x =-+化为它的一般式的形式为 __________________________；

一元二次函数辅导讲义

一元二次函数解法讲义 【知识梳理】 1．定义：一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 都是常数，,那么的二次函数是x y 2。二次函数c bx ax y ++=2 ()0≠a 配方得:()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 44,22 -=-= 3。抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①的符号决定抛物线的开口方向： （1）当 时,开口向上;顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大,当 a b x 2-= ,y 值最小，最小值为 a b ac 442- （2）当 时，开口向下;顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y 随ｘ的增大而减小，当 a b x 2-= ,y 值最大,最大值为 a b ac 442- （3）a 相等,抛物线的开口大小、形状相同。 ②平行于y 轴（或重合）的直线记作 ．特别地,ｙ轴记作直线 . 4.顶点决定抛物线的位置：几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、 开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 5.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1)公式法：a b a c a b x a c bx ax y 44)2(2 22 -++=++=, ∴顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线a b x 2-=． （２）配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为k h x a y +-=2 )(的形式，得到顶点为),(k h , 对称轴是直线 . (３）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失． 6.抛物线的作用中，c b a c bx ax y ,,2 ++= （１）决定开口方向及开口大小,这与2 ax y =中的完全一样.

精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数

二次函数 第01课 二次函数及其图像 知识点： (1)若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 (2)形如 的函数是一次函数，当 时，它是 函数。 (3)定义：一般地，形如 ，（a,b,c 常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 注意：当b 、c 为零时，解析式分别为 均为二次函数。 二次函数2y ax =的图象 复习：画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。 一次函数图象的形状是 抛物线2ax y =的性质 (2)当a ＞0时，在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ； 在对称轴的右侧，即x 0时,y 随x 的增大而 。 (3)在前面图中，关于x 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？ 答： 。由此可知和抛物线2ax y =关于x 轴对称的抛物线是 。 (4)当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，a 越大，抛物线的开口越_________； 因此，a 越大，抛物线的开口越________。 自主学习： 1.用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔,圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。(分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y= ，整理为y= .)

2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 例1.已知32)4(2 32 -+-=--x m y m m 是二次函数,求m 的值. 例2.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面 积为y m 2 ．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． 例3.画出函数2x y =，2 2 1x y =，22x y =的图象． 解：列表： 例4.请画出函数2 2 1x y -=，2x y -=，22x y -=的图象． 解：列表：

二次函数讲义 详细

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 第一讲 二次函数的定义 知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数， )0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0 考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式 例1、 函数y=（m ＋2）x 2 2-m ＋2x －1是二次函数，则m= ． 例2、 下列函数中是二次函数的有（ ） ①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2 ；④y=21 x ＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式． 例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，

如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ． 训练题: 1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2、若函数y=(m 2 +2m －7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 3、已知函数y=(m －1)x 2m +1 +5x －3是二次函数，求m 的值。 4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系． 5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让c bx ax y ++=2 为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限 6．下列不是二次函数的是（ ） A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31 x 2 C ．y=52-x D ．y=（x ＋1）（x －2） 7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ） A ．m 、n 为常数，且m ≠0 B ．m 、n 为常数，且m ≠n C ．m 、n 为常数，且n ≠0 D ．m 、n 可以为任何常数

沪教版九年级上册-二次函数复习 讲义

教学内容—二次函数综合复习 知识精要 二次函数的概念：形如 2 (0)y ax bx c a =++≠的函数。定义域是一切实数。 二次函数的图像 函数 对称轴 顶点 开口方向 最值 () 20y ax a =≠ y 轴 （0，0） a>0,图像开口向上,顶 点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点. () 2 0y ax c a =+≠ y 轴 ) ,0(c c ()() 2 0y a x m a =+≠ m x -= ()0,m - )0()(2≠++=a k m x a y m x -= ),(k m - k ()02 ≠++=a c bx ax y a b x 2- = ??? ? ??--a b ac a b 44,22 a b a c 442 - )0)()((1≠--=a x x x x a y x 22 1x x x += 一、选择题典型例题 1）有关二次函数图像与系数关系 1．如果0k <（k 为常数），那么二次函数22y kx x k =-+的图像大致为 （ ）． 2. 已知二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图像如图所示， 以下关于实数c b a ,,的符号判断中，正确的是（ ） A.0,0,0>>>c b a B.0,0,0><>c b a C.0,0,0<>>c b a D.0,0,0<<>c b a 第6题 A B C D y O x y O x y O x y O x

2）二次函数性质的判断：对称轴，开口方向，顶点，增减性 1． 已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2 1y x =-上，下列说法中正确的是 （ ） A. 若12y y =，则12x x = B. 若12x x =-，则12y y =- C. 若120x x <<，则12y y > D. 若120x x <<，则12y y > 2．关于抛物线4)1(32 -+-=x y ，下列说法正确的是 （ ） A ．抛物线的对称轴是直线1=x ； B ．抛物线在y 轴上的截距是4-； C ．抛物线的顶点坐标是（41--，） ； D ．抛物线的开口方向向上． 3．已知函数2 22y x x =--的图像如图所示，根据图像提供的信息，可得y ≤1时，x 的取值范围是 （ ） A ．3x -≥ B ．31x -≤≤ C ． 13x -≤≤ D ．1x -≤或3x ≥ 4．对于抛物线23y x =-，下列说法中正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下 ； B ．顶点（0，－3）是抛物线的最低点 ； C ．顶点（0，－3）是抛物线的最高点； D ．抛物线在直线0x =右侧的部分下降的． 3）二次函数的平移问题 1．把抛物线22y x =--平移后得到抛物线2y x =-,平移的方法可以是（ ）． A. 沿y 轴向上平移2个单位； B. 沿y 轴向下平移2个单位； C. 沿x 轴向右平移2个单位； D. 沿x 轴向左平移2个单位． 2. 把抛物线()2 16+=x y 平移后得到抛物线2 6x y = ，平移的方法可以是 （ ）. A. 沿y 轴向上平移1个单位； B. 沿y 轴向下平移1个单位； C. 沿x 轴向左平移1个单位； D. 沿x 轴向右平移1个单位. 巩固练习 1．已知抛物线解析式为243y x x =--，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的 坐标是__________．

二次函数讲义

第1页共12页 二次函数 【知识点1】二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义：形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝___ax 2＋bx ＋c (a ≠0)___. 已知三个点的坐标时，宜用一般式. ②顶点式：f (x )＝__a (x －m )2＋n (a ≠0)____.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式. ③零点式：f (x )＝___a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)__.已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便. 点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.2.二次函数的图象和性质 图象函数性质 a >0 定义域 x ∈R (个别题目有限制的，由解析式确定) 值域 a >0 a <0 y ∈[4ac －b 24a ，＋∞) y ∈(－∞，4ac －b 2 4a ] a <0 奇偶性 b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数 单调性 x ∈(－∞，－ b 2a ]时递减，x ∈[－b 2a ，＋∞)时递增 x ∈(－∞，－ b 2a ]时递增， x ∈[－b 2a ，＋∞) 时递减 图象特点 ①对称轴：x ＝－ b 2a ；②顶点：(－b 2a ，4ac －b 2 4a ) 3.二次函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2 －4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、

九年级数学上册二次函数讲义

初三数学 二次函数讲义 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．

一元二次函数解法 辅导讲义

课题一元二次方程的解法 重点、难点熟练掌握一元二次方程的解法 教学内容 一元二次方程的解法： ①因式分解法： 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零. →因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 例题：用因式分解法解方程：3(x-3)=(x-3)2 练习：(2x+3)2=24x （2x-1）(3x+4)=x-4 1.2y-0.04=9y2 (2x-1)2+3(2x-1)=0 ②开平方法：方程的左边是完全平方式，右边是非负数x2=a（a》0） 例题：3x2－27=0; 练习：(x＋1)2=4 (2x－3)2=7 x2＋2x-3=0 ③配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 例题：x2-6x=-8

练习：(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0 ④公式法： 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0). 2.b 2-4ac ≥0. 例题：X 2+2x-3=0 练习： -2m 2+4=-3m 23a 2-a-4 1=0 8y 2-2y-15=0 △ 用三种方法解方程：2532=-x x （1）用因式分解法解: 解:移项,得 3x2-5x-2=0 （ 使方程右边为零） 方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成A`B=0的形式） 即 x-2=0或3x+1=0（A=0或B=0） 31 ,221-==∴x x （2）用配方法解: 解：两边同时除以3，得: 32352=-x x 左右两边同时加上 2 )65( ，得: .3625323625352+=+-x x 即 .3649652=??? ? ?-x 开平方，得:.36496 5±=-x .31,221-==∴x x （3）用公式法解: 解:移项,得02532=--x x （ 这里a=3,b=-5,c=-2） ())2(34542 2-??--=-∴ac b =49 6753249)5(±=?±--=∴x () .04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-=

二次函数讲义详细

第一讲二次函数的定义 知识点归纳 :二次函数的定义：一般地，如果y =aχ2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）,那么y叫做X的二次函数.二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为O 考点：二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式 例1、函数y= ( m + . 2 ) X m2 + 2x —1是二次函数，则m= __________ 例2、下列函数中是二次函数的有（) 1 2 2 2 1 ① y=x + :② y=3 (X —1) 2+ ③ y= (X + 3) —2x ;④ y= 2+ X X X A . 1个 B . 2个 C . 3个D. 4个 例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套.据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为X,请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式. 例4、如图，正方形ABCD的边长为4, P是BC边上一点，QP⊥AP交DC于Q,如果BP=X, △ ADQ的面积为y,用含X 的代数式表示y. A D B

训练题： 1、 已知函数y=aχ2+ bx + C （其中a , b , C 是常数），当a ____ 时，是二次函数；当 a_, b ______ 时，是一次函数; 当a ___ , b ___ , C ___ 时，是正比例函数. 2、 若函数y=（m 2+2m- 7）x 2+4x+5是关于X 的二次函数，贝U m 的取值范围为 __________ 。 2m +1 3、 已知函数y=（m — 1） X +5x - 3是二次函数，求 m 的值。 4、已知菱形的一条对角线长为 a ,另一条对角线为它的 3倍，用表达式表示出菱形的面积 S 与对角线a 的关系. 5、请你分别给a , b , C 一个值，让y = aχ2 ■ bx C 为二次函数，且让一次函数 y=ax+b 的图像经过一、 象限 6. 下列不是二次函数的是（ ） C . m 、n 为常数，且n ≠0 D . m 、n 可以为任何常数 8 .如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为 135°的两面墙，另外两边是总长为 30米的铁 栅栏.（1）求梯形的面积y 与高X 的表达式；（2）求X 的取值范围. 9. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm , BC=12cm .点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm∕s 的速度移动，同 时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动.如果 P 、Q 两点分别到达 B 、C 两点停止移动，设运动 开始后第t 秒钟时，五边形 APQCD 的面积为Scm 2,写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量 t 的取值范围. A . y=3χ2+ 4 B . y=— C . y-.x^5 7 .函数y= （m — n ） x 2 + mx + n 是二次函数的条件是（ A . m 、n 为常数，且m ≠0 D . y= (X + 1) (X — 2) ) B . m 、n 为常数，且m ≠ n A D

人教版九年级数学讲义二次函数与一元二次方程(含解析)(2020年最新)

第6讲二次函数与一元二次方程 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础一般 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函 数与一元二次方程之间的联系，能够根据二次函数与x轴的交点坐标联系相应方程的解的情况，此外了解二次函数与不等式之间的关系，能够根据图象写出相应不等式的解集等，本节课的难点是二次函数与方程、不等式之间的联系考查，希望同学们能够认真学习。 知识梳理 讲解用时：10分钟 二次函数与一元二次方程之间的关联 求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠０）与x轴的交点坐标， 令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标。（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠０）的交点与一元二次方程 ax2+bx+c=0根之间的关系： ①①=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数； ①①=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； ①①=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点； ①①=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠０）， 可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0），相应一元二次方 程的根就是x1和x2.

课堂精讲精练 【例题1】 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+x+1的图象如图所示，则方程x2+ x+1=0的根的情况是（）。 A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根D．无法判断 【答案】B 【解析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点， 二次函数y=x2+x+1的图象如图所示，图象与x轴有两个交点， 则方程x2+x+1=0的根的情况是：有两个不相等的实数根，故选：B． 讲解用时：3分钟 解题思路：直接利用二次函数图象得出方程x2+x+1=0的根的情况，即抛物线与x轴的交点情况，进而得出答案。 教学建议：利用数形结合分析。 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：朝阳区模拟年份：2018【练习1】 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解为。 【答案】x1=1，x2=﹣3 【解析】本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法， 由图象可知，抛物线与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x=﹣1， ①抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣3，0）， ①一元二次方程2x2﹣4x+m=0的解为x1=1，x2=﹣3． 讲解用时：2分钟 解题思路：直接观察图象，抛物线与x轴交于1，对称轴是x=﹣1，所以根据抛

二次函数讲义

5. 已知抛物线22 2n-1)1y x x n =+ +-（ (n 为常数)。 (1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式； (2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长； ②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这 个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由。 三：【课后训练】 1．把抛物线y=－1 2 （x －2）2－1经平移得到（ ） A ．向右平移2个单位，向上平移1个单位； B ．向右平移2个单位，向下平移1个单位 C ．向左平移2个单位，向上平移1个单位； D ．向左平移2个单位，向下平移1个单位 2．某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（ ） A ．y=x 2+a ； B ．y= a （x －1）2； C ．y=a （1－x ）2； D ．y ＝a （l+x ）2 3．设直线 y=2x —3，抛物线 y=x2－2x ，点P （1，－1），那么点P （1，－1）（ ） A ．在直线上，但不在抛物线上； B ．在抛物线上，但不在直线上 C ．既在直线上，又在抛物线上； D ．既不在直线上，又不在抛物线上 4．二次函数 y=2（x －3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3，5） B ．开口向下，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5） C ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3，5) D ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3，－5） 5．已知2 (3)21y a x x =-+-是二次函数；当a ______时，它的图 象是开口向上的抛物线，抛物线与y 轴的交点坐标 。 6．抛物线2 y ax bx c =++如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式是 7．求下列函数的解析式

精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第09课 二次函数综合复习

第09课 二次函数综合复习 1.把242+--=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式是（ ） A.y=-(x-2 )2 -2 B.y=-(x-2 )2 +6 C. y =-(x+2 )2 -2 D. y=-(x+2 )2 +6 2.图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（ ） A.y=12(x+2 )2 -2 B.y=12 (x-2 )2 -2 C. y = 2(x+2 )2 -2 D. y= 2(x-2 )2 -2 3.把二次函数215322y x x = ++的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是（ ） A.21(5)12 y x =-+ B.21(1)52y x =+- C.21322y x x =++ D.21722y x x =+- 4.抛物线y=2x 2-5x+3与坐标轴的交点共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=- 12 D.x=12 6.二次函数522-+=x x y 有( ) A.最大值-5 B.最小值-5 C.最大值-6 D.最小值-6 7.抛物线2)1(2 12+-=x y 的对称轴是直线__________顶点坐标为__________ 8.把322---=x x y 配方成k h x a y +-=2)(的形式为__________ 9.抛物线262+--=x x y 与x 轴的交点的坐标是_________ 10.方程ax 2+bx+c=0的两根为-3，1则抛物线y=ax 2 +bx+c 的对称轴是直线__________ 11.已知直线y=2x-1与两个坐标轴的交点是A 、B ，把y=2x 2平移后经过A 、B 两点，则平移后的二次函数解析式为______________ 12.已知抛物线222)1(2k k x k x y -+-+-=，它的图象经过原点，求①解析式; ②与x 轴交点O 、A 及顶点C 组成的△OAC 面积。

二次函数辅导讲义

名思教育辅导讲义 学员姓名 张晓楠 辅导科目 数学 年级 初三 授课教师 刘琳琳 课题 二次函数 授课时间 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 一、知识点梳理 一、定义与定义表达式 一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y =ax 2+bx +c （a ≠0），则称y 为x 的二次函数。 二、二次函数的三种表达式 一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0） 顶点式：y =a (x -h ) 2+k （a ≠0），此时抛物线的顶点坐标为P （h ，k ） 交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2)（a ≠0）仅用于函数图像与x 轴有两个交点时，x 1、x 2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A （x 1，0）和 B （x 2，0）），对称轴所在的直线为x= 2 x x 2 1+ 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： h =-a 2b ，k =a 4b -4ac 2 ； x 1, x 2=a 24ac -b b -2± ；x 1+x 2=-a 2b 三、二次函数的图像 从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。 四、抛物线的性质

1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x = - a 2b ，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P 。特别地，当b =0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x =0） 2．抛物线有一个顶点P ，坐标为P （-a 2b ，a 4b -4ac 2）。 当x =-a 2b 时，y 最值=a 4b -4ac 2，当a >0时，函数 y 有最小值；当a <0时，函数y 有最大值。 当- a 2b =0时，P 在y 轴上（即交点的横坐标为0）；当Δ= b 2-4ac =0时，P 在x 轴上（即函数与x 轴只有一个交点）。 3．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。 当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。|a |越大，则抛物线的开口越小。 对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a 相等；若形状相同，开口方向相反，则a 互为相反数。 4．二次项系数a 和一次项系数b 共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即： 当对称轴在y 轴左边时，a 与b 同号（即ab ＞0）； 当对称轴在y 轴右边时，a 与b 异号（即ab ＜0）。 5．常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置，抛物线与y 轴交于点（0，c ）。 6．抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交点个数与方程ax 2+bx +c=0的根的判定方法： Δ= b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根； Δ= b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。 Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点，对应方程没有实数根。 五、二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y =ax 2+bx +c （a ≠0），当y =0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx +c =0，此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。（参考四-6） 二、考点分析 考点一、图象 1、根据二次函数图象提供的信息，判断与a 、b 、c 相关的代数式是否成立 例1、已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象如图1所示，有下列5个结论： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（ 的实数）其 中正确的结论有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

人教版初三数学(九年级上册)课程讲义 第二十二章：二次函数的概念与解析式-解析版

第4讲 二次函数的概念与解析式 知识定位 讲解用时：3分钟 A 、适用范围：人教版初三，基础一般 B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习一类新函数——二次函数，重点掌握二次函数的概念以及三种解析式，能够准确判断函数的类型，能够根据点的坐标求出二次函数的解析式，本节课的难点在于三种解析式之间的区分，需要学生能够根据点的坐标特点准确选择合适的解析式形式进行求解。 知识梳理 讲解用时：20分钟 课堂精讲精练 【例题1】 下列函数中，二次函数是（ ）。 c bx +（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项，a ≠0，b 或c 可以为0。 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0 （2）定义域 （1）一般式)0(2≠++=a c bx ax y 形如)0(2≠++=a c bx ax y 的式子叫做二次函数的一般式。如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式。 （2）顶点式)0()(2≠++=a k m x a y 形如)0()(2≠++=a k m x a y ，k ）称为抛物线的顶点坐标，直线x=-m 称为抛物线的对称轴。如果已知二次函②根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x 1，a ）、（x 2，a ），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为122x x x +=； ②对于任意二次函数2y ax bx c =++，当0x =时，即20ax bx c ++=，根据一元二次方程的求根公式可得：1x =2x =

2021年二次函数讲义详细

第一讲 二次函数的定义 欧阳光明（2021.03.07） 知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0 考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式 例1、函数y=（m ＋2）x 22-m ＋2x －1是二次函数，则m=． 例2、下列函数中是二次函数的有（） ①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x ＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式． 例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ． 训练题: 1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为。 3、已知函数y=(m －1)x 2m +1+5x －3是二次函数，求m 的值。 4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系． 5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让c bx ax y ++=2为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限 6．下列不是二次函数的是（） A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31x 2 C ．y=52-x D ．y=（x ＋1）（x －2） 7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（）

二次函数复习专题讲义52547解析

二次函数 【知识清单】 ※一、网络框架 ※二、清单梳理 1、一般的，形如2 (0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。例如 22221 2,26,4,5963 y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。注意：系数a 不能为零，,b c 可以为零。 2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ?=≠???? ><>???? <<>??最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线 对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。在对称轴右边（即）,随的增大而增大。 增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。在对称轴右边（即）,随的增大而减小。二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ???????? ??????????=++≠?><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。开口方向：，开口向上；，开口向下。图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ????????????? ?? ?????????????????<>??????????<<>????????????????边（即-）,随的增大而减小。在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。在对称轴右边（即-）,随的增大而减小。待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题???? ???? ??????????????????? ?? ????

二次函数的性质讲义.doc

复习 集合的概念，集合的特点，区间的表示 定义域，值域，映射 初中知识回顾 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗 1． 理解二次函数的概念； 2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象； 3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解 特殊与一般相互联系和转化的思想； 4． 会用待定系数法求二次函数的解析式； 5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 增加内容：一定区间上的最值问题，根的分布 主要思想：分类讨论 二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．