二次函数的表达式、图象、性质及计算（讲义）?知识点睛
1.一般地，形如（）的函
数叫做二次函数．
2.表达式、图象及性质：
①一般式通过可推导出
顶点式．
②二次函数的图象是，是图形，对称轴是
，顶点坐标是．
③当a 时，函数有最值，是；
当a 时，函数有最值，是．
④当a 时，图象以对称轴为界，当x 时，y 随x
的增大而，当x 时，y 随x 的增大而；
当a 时，图象以对称轴为界，当x 时，y 随x 的增大而，当x 时，y 随x 的增大而．
⑤a，b，c 符号与图象的关系
a 的符号决定了抛物线的开口方向，当时，开口向；
当时，开口向．
c 是抛物线与交点的．
b 的符号：与a ，根据可推导．
3.二次函数图象平移：
①二次函数图象平移的本质是，关键在．
②图象平移口诀：、
．平移口诀主要针对二次函数．
?精讲精练
1.下列函数（x，t 是自变量）是二次函数的有．（填
写序号）
①y =x2 -1
x - 3 ；②y =
2
1
- 2x + 3 ；③y =-
1
+ 3x 2 ；
x2 2
④x2 - 2 +y = 0 ；⑤y =-x2 ；⑥s = 1+t + 5t 2 ；
⑦y =1
x2 -x3 + 25 ；⑧y = 22 + 2x ．2
2.若函数y = (a - 3)x a2 -7 为二次函数，则a=（）
A．-3 B．3 C．±3 D．5
1
3.二次函数y =kx2 + 2x +1（k < 0 ）的图象可能是（）
A． B．
C．D．
4.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和函数y=-mx2+2x+2（m
是常数，且m≠0）的图象可．能．是（）
A． B．
C． D．
5.将抛物线y=x2-2x 向上平移3 个单位，再向右平移4 个单位得
到的抛物线是．
6.抛物线y=(x+2)2-3 可以由抛物线y =x2 平移得到，则下列平移
方法正确的是（）
A.先向左平移2 个单位，再向上平移3 个单位
B.先向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位
C.先向右平移2 个单位，再向下平移3 个单位
D.先向右平移2 个单位，再向上平移3 个单位
7.抛物线y =x2 +bx +c 的图象向右平移2 个单位，再向下平移3
个单位，所得图象的函数解析式为y =x2 - 2x + 3 ，则b，c 的值为（）
A．b=2，c=3 B．b=2，c=6
C．b=-2，c=-1 D．b=-3，c=2
2
8.如图，将抛物线y = (x +1)2 - 7 沿x 轴平移，若平移后的抛物
线经过点P(-2，2)，则平移后的抛物线解析式为（）
A．y = (x + 5)2 - 7
B．y = (x + 5)2 - 7 或y = (x +1)2 +1
C．y = (x +1)2 +1
D．y = (x + 5)2 - 7 或y = (x -1)2 - 7
9.抛物线y=2(x+m)2+n（m，n 是常数）的顶点坐标是；
y =ax2 +bx +c 的顶点坐标是（用含a，b，c 的代数式表示）；y=-2x2+4x+1的顶点坐标是，有最值，是．
10.已知抛物线y =-1
x2 - 3x -
15
，将它配成顶点式为，2 2
对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，y 有最值，是．
11.抛物线y =1-1
x2 开口向
2
，对称轴是直线，
顶点坐标是，当x= 时，y有最值，是．
3
12. （1）已知二次函数的图象经过A(-3，0)，B(1，0)，C(0，3)
三点，求此二次函数的解析式．
解：设二次函数的解析式为，
由题意得：
解得：
∴二次函数的解析式为．
（2）已知二次函数的图象经过A(-4，0)，B(2，0)，C(1，-5) 三点，求此二次函数的解析式．
13. （1）二次函数图象的顶点坐标是(1，-3)，且过点(3，-15)，
求此二次函数的解析式．
解：依题意可设这个函数的解析式为，∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为．
（2）二次函数图象的顶点坐标是(-1，-4)，且过点(1，0)．求
此二次函数的解析式．
4
) 【参考答案】 ? 知识点睛
1.
y = ax 2 + bx + c ；a ，b ，c 为常数，a ≠0 2. ① y = ax 2
+ bx + c ；配方法； y = a (x + b 2 +
4ac - b 2 2a 4a b b 4ac - b 2
②抛物线；轴对称；直线 x = - ； (- ， ) ；
③＞0；小；
4ac - b 2
4a 2a ；＜0；大； 2a 4a 4ac - b 2
； 4a ④＞0； x < - b 2a ；减小； > - b
2a ；增大；
＜0； < - b 2a ；增大； > - b
2a
；减小；
⑤a ＞0；上；a ＜0；下 y 轴；纵坐标；左同右异；对称轴位置
3. ①点的平移；坐标；②左加右减；上加下减；顶点式
? 精讲精练
1. ①③④⑤⑥
2. A
3. C
4.
D
5. y = x 2 -10x + 27
6. B
7. B
8. D
b 4a
c - b 2
9. (-m ，n )； (- ， ) ；(1，3)；大；3
2a 4a
10.
y = - 1 (x + 3)2 - 3 ；x =-3；(-3，-3)；x ＞-3；-3；大；-3 2
11. 下；x =0（y 轴）；(0，1)；0；大；1 12. （1） y = -x 2 - 2x + 3 ；（2） y = x 2 + 2x - 8 ． 13. （1） y = -3(x -1)2 - 3 ；（2） y = (x +1)2 - 4 ．
5
；
期末二次函数复习讲义 班级___________姓名__________ 【课前复习】： 1.二次函数基本性质： 函数 示意图（顶点、对称轴） 对称轴 最值 y 值随x 值的变化关系 y=2x 2 2.根据图像回答下列问题： （1）抛物线的对称轴是____________________________; （2）抛物线与x 轴的交点坐标是______________________, 则一元二次方程02=++c bx ax 的根是_______________， 则一元二次方程02 c bx ax ++的解集是_______________， （3）若A(-1.5,2)则关于对称轴的对称点坐标为_______, 当55.1 x ≤-时，函数y 值的范围是_________________; 当03≤≤-y 时，则x 的范围是______________________. （4）图像上两点坐标为（-2，y 1）、（1，y 2），则y 1、y 2的大小关系是_______; （5）试求c bx ax y ++=2 的函数关系式，并说明该函数图象与2 ax y =图象的关系。 （6）将该函数图像沿y 轴翻折后的函数关系式为_______________,沿x 轴翻折后的函数关系式为________. 1 )2(2 1 2---=x y 1 422+-=x x y 1 32--=x y
3.用描点法画出122 12 -+= x x y 的图像. ⑴用两种法求顶点坐标： ⑵列表：顶点坐标填在 x … … … ⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： ⑷观察图像，该抛物线与y 轴交与点 ，与x 轴有 个交点； (5)函数122 12 -+=x x y 的图象与221x y =的图像有何关系？ 4.二次函数的图象与性质具体如下图所示：（铅笔填写） 【典型例题】： 1.已知3)1(2--=-k k x k y 是二次函数. ⑴当0 二次函数图象性质及应用（讲义） ?课前预习 回顾一次函数、反比例函数与二次函数的相关知识，回答下列 问题： 1.对二次函数y =ax2 +bx +c 来说，a，b，c 符号与图象的关系： a 的符号决定了抛物线的开口方向，当时，开口向； 当时，开口向． c 是抛物线与交点的． b 的符号：与a ，根据可推 导．判断下面函数图象的a，b，c 符号： （1）已知抛物线y =ax2 +bx +c 经过原点和第一、二、三象限，那么（） A．a > 0，b > 0，c > 0 C．a < 0，b < 0，c > 0 B．a < 0，b < 0，c = 0 D．a > 0，b > 0，c = 0 （2）二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，给出下列结论：①abc＞0；②2a-b=0．其中正确的是． 2.函数y 值比大小，主要利用函数的增减性和数形结合．如点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y=kx+b 上，当k＞0，x1＜x2时，y1y2． 1 ?知识点睛 1.二次函数对称性：两点对称，则相等；纵坐标相等， 则两点；由(x1，y1)，(x2，y1)知，对称轴为直线．2.二次函数增减性：y 值比大小、取最值，常利用， 借助求解． 3.观察图象判断a，b，c 符号及组合： ①确定符号及信息； ②找特殊点的，获取等式或不等式； ③代入不等式，组合判断残缺式符号． ?精讲精练 1.若二次函数y=ax2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表： x -7 -6 -5 -4 -3 -2 y -27 -13 -3 3 5 3 A．5 B．-3 C．-13 D．-27 2.抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值 如下表： x …-2 -1 0 1 2 … y …0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号） ①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)； ②二次函数y =ax2 +bx +c 的最大值为6； ③抛物线的对称轴是直线x =1 ； 2 ④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大． 3.已知二次函数y =x2 - 2mx + 4m - 8 ．若x ≥2 时，函数值y 随 x 的增大而增大，则m 的取值范围是；若x≤1 时，函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是． 4.在二次函数y=-x2+2x+1 的图象中，若y 随x 的增大而增大， 则x 的取值范围是． 2 二次函数草图的画法： 1. 一般草图 1找准开口方向、对称轴、顶点坐标，画二次函数； 2根据各点与对称轴的距离描点（或结合函数间关系画图）．2. 坐标系下画草图时，往往要根 据四点一线来确定大致图 象．四点：二次函数顶点，二 次函数与y 轴的一个交点，二 次函数与x 轴的两个交点． 一线：二次函数对称轴． 二次函数与一次函数、反比例函数、 一元二次方程、不等式组 课程目标： 灵活运用二次函数的性质解一元二次方程； 熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。 课程要求： 完成讲义中的练习； 完成课后配套练习。 一、二次函数与一元二次方程、不等式（组） 例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个 例2.已知实数x ，y 满足x 2 ＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为 . 例3.设函数y=x 2 ﹣（k+1）x ﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1：4，则k= _________ ． 例4. 如图10-2，是二次函数y ＝ax 2 +bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 . 例5. 已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线2 21y x bx =++上的两点． （1）求b 的值； （2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有， 2 2y mx x m =+-m x 求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线2 21y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值． 【当堂练】 1.已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2 －4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0 2.如图所示，函数的图像与轴只有一个交 点，则交点的横坐标 ． 3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 ． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________ 5. 抛物线与轴有 个交点，因为其判别式 0，相应二次方程的根的情况为 ． 6.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数 与轴必然相交于 点，此时 ． 2 (2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =2 69y x x =-+-x 2 283y x x =--x 2 4b ac -= 2 3280x x -+=x 2 5mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =Ｏ 《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？ 学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个） 教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？ 学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！ 教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？ 学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾） 学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的） 学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏） 热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。 学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路） 教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？ 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？ 学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论） 教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？ 第1页共12页 二次函数 【知识点1】二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义：形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝___ax 2＋bx ＋c (a ≠0)___. 已知三个点的坐标时，宜用一般式. ②顶点式：f (x )＝__a (x －m )2＋n (a ≠0)____.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式. ③零点式：f (x )＝___a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)__.已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便. 点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.2.二次函数的图象和性质 图象函数性质 a >0 定义域 x ∈R (个别题目有限制的，由解析式确定) 值域 a >0 a <0 y ∈[4ac －b 24a ，＋∞) y ∈(－∞，4ac －b 2 4a ] a <0 奇偶性 b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数 单调性 x ∈(－∞，－ b 2a ]时递减，x ∈[－b 2a ，＋∞)时递增 x ∈(－∞，－ b 2a ]时递增， x ∈[－b 2a ，＋∞) 时递减 图象特点 ①对称轴：x ＝－ b 2a ；②顶点：(－b 2a ，4ac －b 2 4a ) 3.二次函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2 －4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质： 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ；开口向上；在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移。 （2）抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移；当0二次函数图象性质及应用(讲义及答案)
【讲义】二次函数与一次函数、一元二次方程、不等式(组)
二次函数的图像及性质
二次函数讲义
二次函数图像与性质总结
二次函数的图像和性质总结