二次函数
第01课 二次函数及其图像
知识点：
(1)若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。
(2)形如 的函数是一次函数，当 时，它是 函数。 (3)定义：一般地，形如 ，（a,b,c 常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．
注意：当b 、c 为零时，解析式分别为 均为二次函数。 二次函数2y ax =的图象
复习：画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。 一次函数图象的形状是 抛物线2ax y =的性质
(2)当a ＞0时，在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ； 在对称轴的右侧，即x 0时,y 随x 的增大而 。 (3)在前面图中，关于x 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？
答： 。由此可知和抛物线2ax y =关于x 轴对称的抛物线是 。 (4)当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，a 越大，抛物线的开口越_________； 因此，a 越大，抛物线的开口越________。 自主学习：
1.用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔,圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。(分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y= ，整理为y= .)
2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．
3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 例1.已知32)4(2
32
-+-=--x m y m m 是二次函数,求m 的值.
例2.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面
积为y m 2
．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
例3.画出函数2x y =，2
2
1x y =，22x y =的图象． 解：列表：
例4.请画出函数2
2
1x y -=，2x y -=，22x y -=的图象． 解：列表：
例5.二次函数2
ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．
(1)求a 、b 的值；
(2)写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小．
课堂练习：
1.下列函数中，是二次函数的是（ ） A.y=x 2
－1
B.y=x －1
C.y=8x
D.y=8
x
2
2.函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）
归纳：
(1)由图象可知二次函数2x y =的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，
即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；
(2)抛物线y=x 2
是轴对称图形，对称轴是 ； (3)y=x 2的图象开口_______；
(4) 与 的交点叫做抛物线的顶点。
抛物线y=x 2
的顶点坐标是 ；
它是抛物线的最 点（填“高”或“低”）， 即当x=0时，y 有最 值等于0.
(5)在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势； 即x<0时，y 随x 的增大而 ， x>0时，y 随x 的增大而 。
?
3.抛物线y=-x 2不具有的性质是（ ）
A 、开口向下
B 、对称轴是 y 轴
C 、与 y 轴不相交
D 、最高点是原点
4.苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足s=12
gt 2
（g=9.8），则 s 与 t 的函数图像
大致是（ ）
A B C D
5.观察：①26y x =；②235y x =-+；③y=200x 2＋400x ＋200；④3
2y x x =-；⑤2
1
3y x x
=-
+； ⑥()2
21y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。（只填序号） 6.已知13)1(2
+-+=-x x m y m
m 是二次函数，则m 的值为___________
7.若1
222
)(--+=m m
x m m y 是二次函数，则m=
8.当____m =时，函数x x m y m m
3)4(6
52
+-=+-是关于x 的二次函数。
9.若点 A ( 2, m) 在函数12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿
10.若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为252s t t =+，则当t=4秒时，该物体所经过的路程为 11.函数2
7
3x y =
的图象顶点是________，对称轴是_______，开口向_____，当x=_____时， 有最____值是____,当x>0时，y 随x 的增大而________；当x<0时，y 随x 的增大而________. 12.点)2
1(b A ，是抛物线2x y =上的一点，则b= ；过点A 作x 轴的平行线交抛物线另一点B 的坐标是
13.当m= 时，抛物线m
m
x m y --=2
)1(开口向下．
14.如图，A 、B 分别为2ax y =上两点，且线段AB ⊥y 轴于点（0,6），若AB=6， 则该抛物线的表达式为
15.对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称。其中正确的是 。
s
t O s
t O s
t
O
s t O
16.下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）231x y -=
（2）x x y 232-=
（3）2)5(+-=x x y
（4）2323x x y += （5）x
x y 1
+
= (6)32)21(2++-=x x x y
17.一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积S 与宽x 之间的函数关系式．
18.正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S （cm 2
）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．
19.二次函数1
2
-=m mx y 在其图象对称轴的左则，y 随x 的增大而增大，求m 的值。
20.二次函数2
2
3x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系。
21.已知二次函数32++-=bx x y ．当x=2时，y=3，求 这个二次函数解析式．
22.已知函数()4
2
2-++=m m
x m y 是关于x 的二次函数，求：
(1)满足条件的m 的值；
(2)m 为何值时，抛物线有最底点？求出这个最底点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大； (3)m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？
23.已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.
24.富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.
(1)如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2
）与x 有怎样的函数关系？
(2)请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2
，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？
25.已知二次函数)0(2≠=a ax y 与直线y=4交于A 、B 两点，顶点为坐标原点，连接OA,OB ，若△OAB 为
等腰直角三角形，求二次函数解析式并求出此△OAB 面积。
课堂测试题01
日期： 月 日 满分：100分 姓名： 得分：
1.下列函数中是二次函数的是（ ） A.y=x+1
2
B.y=3(x-1)2
C.y=(x+1)2-x 2
D.x x
y -=
2
1
2.若函数12)1(22-++-=a x x a y 是二次函数，则（ ） A.a ＝1
B.a ＝±1
C.a ≠1
D.a ≠-1
3.在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为s=5t 2+2t ，则当t=4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米
B ．48米
C ．68米
D ．88米
4.关于二次函数22x y x y -==与的图象,下列说法错误的是( )
A.它们的开口方向相同
B.对称轴都是y 轴
C.顶点都是原点
D.与x 轴都有且只有一个交点 5.二次函数2x y =和22x y =,以下说法中其中正确的说法有( )
①它们的图象都是开口向上; ②它们对称轴都是y 轴,顶点都是原点; ③当x ＞0时,它们的函数值y 都随x 的增大而增大; ④它们开口的大小是一样的. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.下列函数中:
①2x y -=；②3222x x y -+=；③x y 2=；④23t t m --=。是二次函数是的 ( x,t 为自变量 ) 7.函数)(3)2(2为常数m mx x m y -+-=。
(1)当m__________时，该函数为二次函数； (2)当m__________时，该函数为一次函数． 8.当____m =时，函数()2
221
m
m y m m x --=+是关于x 的二次函数
9.二次函数23y x bx =-++．当x=2时，y=4，则这个二次函数解析式为
10.函数26x y -=的图象顶点是________，对称轴是_______，开口向______，当x=_______时，有最______值是_____．当x>0时，y 随x 的增大而________；当x<0时，y 随x 的增大而________. 11.二次函数()23x m y -=的图象开口向下，则m_______ 12.二次函数2
2
-=m
mx y 有最高点，则m=________
13.二次函数2)1(x k y +=的图象如图所示，则k 的取值范围为
14.若二次函数2ax y =的图象过点（1，-2），则a 的值是___________
15.抛物线:①25x y -=；②22x y -=；③25x y =；④27x y =。开口从小到大排列是_____________；（只填序号）其中关于x 轴对称的两条抛物线是 和 。 16.已知y 与x 2成正比例，并且当1-=x 时，3-=y ．求： (1)函数y 与x 的函数关系式； (2)当x=4时，y 的值； (3)当3
1
-=y 时，x 的值．
17.如图,矩形的长是 4cm,宽是 3cm,如果将长和宽都增加xcm ，那么面积增加ycm 2，
(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.
第02课 函数k ax y +=2的图象与性质
知识点：
函数k ax y +=2图象性质
（1）形状：二次函数k ax y +=2的图象是 ，
（2）开口方向：当a 0时，开口向_____；当a 0时，开口向_____； （3）顶点坐标：
（4）对称轴： 或
（5）最值：当a 0时，有最 值；当a 0时，有最 值。
（6）增减性：当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；
（7）图象上下平移：2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（02>+=k k ax y 2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（02>-=k k ax y
例1.分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。
(1)22222-=-=x y x y 与； (2)131322-=+=x y x y 与
上下平移与 有关
平移规律：
例2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象.22
1
32212211222-=+==
x y x y x y ）；（）；（）（ 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。 试说出函数22
1
32212211222-=+==x y x y x y ）；（）；（）（的图象所具有的共同性质。
例3.抛物线y=2x 2
向上平移3个单位，就得到抛物线解析式为__________________； 抛物线y=2x 2向下平移4个单位，就得到抛物线解析式为__________________． 例4.二次函数k ax y +=2()0≠a 的经过点A （1，-1）、B （2，5）.
⑴求该函数的表达式； ⑵若点)m ,2(-C ,)7n (，
D 也在函数的上，求m 、n 的值。
例5.已知抛物线42+-=x y ，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC,BC.
（1）求A 、B 、C 三点坐标；（2）求△ABC 的面积；（3）若点P 在此抛物线上，且△PAB 的面积是△ABC 的面积的
2
3
，求P 点坐标。
二次函数 一．知识梳理 1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式：ax2+bx+c=0 （a≠0） 其中：ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项 a是二次项系数，b是一次项系数 2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）： “△”读作德尔塔，在一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）中△=b2-4ac △=b2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根，即：x1,x2 △=b2-4ac=0 <====> 方程有两个相等的实数根，即：x1=x2 △=b2-4ac<0 <====> 方程没有实数根。 注：“<====>”是双向推导，也就是说上面的规律反过来也成立，如：告诉我们方程没有实数根，我们便可以得出△<0 3、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0;△≥0），韦达定理。 ax2+bx+c=0 （a≠0）中，设两根为x1,x2,那么有： 因为：ax2+bx+c=0 （a≠0）化二次项系数为1可得，所以：韦达定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 注意：（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。 5、一元二次方程的求根公式： 注：任何一元二次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。
一、求二次函数的三种形式： 1. 一般式：y=ax 2 +bx+c ，（已知三个点） 顶点坐标（－2b a ，244ac b a -） 2.顶点式：y=a （x －h ）2 +k ，（已知顶点坐标对称轴） 顶点坐标（h ，k ） 3.交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2 2 1x x h += 二、a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大， a ， b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－ 2b <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－2b a >0， 即对称轴在y 轴右侧，c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置， c=0c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=
12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1-
二次函数 一、二次函数的解析式 1. 二次函数解析式有三种： (1)一般式：y ax bx c a =++≠2 0() (2)顶点式：()y a x h k =-+2 顶点为() h k ， (3)交点式：()()y a x x x x =--12 ()()x x 12 0，，是图象与x 轴交点坐标。 2.根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式. 二、二次函数与一元二次方程 1. 二次函数()20y ax bx c a =++≠与一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的关系。 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值 0y =时的特殊情况。 2.图像与x 轴的交点个数：
①当240b ac ?=->时，图像与x 轴交于两点 ()()()1212,0,,0A x B x x x ≠，其中12,x x 是一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的两根； ②当0?=时，图像与x 轴只有一个交点； ③当0?<时，图像与x 轴没有交点。 1’ 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y > 2’ 当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。 板块一 二次函数解析式 1.(1)把函数232 12++=x x y 化成它的顶点式的形式为_______________________； (2)把函数6422++-=x x y 化成它的交点式形式为 ____________________________； (3)把函数()2 324y x =-+化为它的一般式的形式为 __________________________；
22．1二次函数的图像和性质（一） 一、学习目标 1．知识与技能目标： （1）理解并掌握二次函数的概念； （2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式； （3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。 三、教学过程 （一）创设情境、导入新课： 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ （二）自主探究、合作交流： 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。 问题5：什么是二次函数？ 形如。 问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？
（三）尝试应用： 例1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值． 注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2． 已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法) （四）巩固提高： 1．下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x － 2+x ． 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5， 求这个二次函数的解析式． （五）小结： 1．二次函数的一般形式是 。2．会用 法求二次函数解析式。 （六）作业设计 22．1二次函数 y=ax 2的图像和性质（二） 一．学习目标： m m 2 21)x (m y --=
远航教育初三寒假第一次诊断试题 (测试时间：120分钟，满分：150分) 姓名: 成绩： 一、选择题(每题5分，共50分) 1. sin30°值为( ) A.1／3 B.1／2 C.1 D. 0 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的 横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()
9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线 上的点，且-1 二次函数 第01课 二次函数及其图像 知识点： (1)若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 (2)形如 的函数是一次函数，当 时，它是 函数。 (3)定义：一般地，形如 ，（a,b,c 常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 注意：当b 、c 为零时，解析式分别为 均为二次函数。 二次函数2y ax =的图象 复习：画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。 一次函数图象的形状是 抛物线2ax y =的性质 (2)当a ＞0时，在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ； 在对称轴的右侧，即x 0时,y 随x 的增大而 。 (3)在前面图中，关于x 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？ 答： 。由此可知和抛物线2ax y =关于x 轴对称的抛物线是 。 (4)当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，a 越大，抛物线的开口越_________； 因此，a 越大，抛物线的开口越________。 自主学习： 1.用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔,圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。(分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y= ，整理为y= .) 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 例1.已知32)4(2 32 -+-=--x m y m m 是二次函数,求m 的值. 例2.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面 积为y m 2 ．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． 例3.画出函数2x y =，2 2 1x y =，22x y =的图象． 解：列表： 例4.请画出函数2 2 1x y -=，2x y -=，22x y -=的图象． 解：列表： 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 二次函数单元测评 一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 二、4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第 ___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么 AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3， y3)是直线上的点，且-1 二次函数 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线 =x D. 直线 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点) ,(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数 c bx ax y ++=2，且0+-c b a ， 则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是 532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 已知反比例函数x k y = 的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ） x 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） D 7.抛物线3 2 2+ - =x x y的对称轴是直线（） A. 2- = x B. 2 = x C. 1- = x D. 1 = x 8.二次函数2 )1 (2+ - =x y的最小值是（） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9.二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所示，若 c b a M+ + =2 4c b a N+ - =，b a P- =4，则 （） A. 0 > M，0 > N，0 > P B. 0 < M，0 > N，0 > P C. 0 > M，0 < N，0 > P D. 0 < M，0 > N，0 < P 二、填空题： 10.将二次函数3 2 2+ - =x x y配方成 k h x y+ - =2) (的形式，则y=______________________. 11.已知抛物线c bx ax y+ + =2与x轴有两个交点，那么一元二次方程0 2= + +c bx ax的根的情况是______________________. 12.已知抛物线c x ax y+ + =2与x轴交点的横坐标为1 -，则c a+=_________. 13.请你写出函数2)1 (+ =x y与1 2+ =x y具有的一个共同性质：_______________. 14.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点： 甲：对称轴是直线4 = x； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 目录 本次培训具体计划如下，以供参考： 第一讲如何做几何证明题 第二讲平行四边形（一） 第三讲平行四边形（二） 第四讲梯形 第五讲中位线及其应用 第六讲一元二次方程的解法 第七讲一元二次方程的判别式 第八讲一元二次方程的根与系数的关系 第九讲一元二次方程的应用 第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式 第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形 第十二讲专题复习三：相似三角形 第十三讲结业考试（未装订在内，另发） 第十四讲试卷讲评 第一讲：如何做几何证明题 【知识梳理】 1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2、掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【例题精讲】 【专题一】证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 【例1】已知：如图所示，?A B C 中，∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。 求证：DE ＝DF 【巩固】如图所示，已知?A B C 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。 求证：EC ＝ED F E D C B A 教学内容—二次函数综合复习 知识精要 二次函数的概念：形如 2 (0)y ax bx c a =++≠的函数。定义域是一切实数。 二次函数的图像 函数 对称轴 顶点 开口方向 最值 () 20y ax a =≠ y 轴 （0，0） a>0,图像开口向上,顶 点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点. () 2 0y ax c a =+≠ y 轴 ) ,0(c c ()() 2 0y a x m a =+≠ m x -= ()0,m - )0()(2≠++=a k m x a y m x -= ),(k m - k ()02 ≠++=a c bx ax y a b x 2- = ??? ? ??--a b ac a b 44,22 a b a c 442 - )0)()((1≠--=a x x x x a y x 22 1x x x += 一、选择题典型例题 1）有关二次函数图像与系数关系 1．如果0k <（k 为常数），那么二次函数22y kx x k =-+的图像大致为 （ ）． 2. 已知二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图像如图所示， 以下关于实数c b a ,,的符号判断中，正确的是（ ） A.0,0,0>>>c b a B.0,0,0><>c b a C.0,0,0<>>c b a D.0,0,0<<>c b a 第6题 A B C D y O x y O x y O x y O x 2）二次函数性质的判断：对称轴，开口方向，顶点，增减性 1． 已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2 1y x =-上，下列说法中正确的是 （ ） A. 若12y y =，则12x x = B. 若12x x =-，则12y y =- C. 若120x x <<，则12y y > D. 若120x x <<，则12y y > 2．关于抛物线4)1(32 -+-=x y ，下列说法正确的是 （ ） A ．抛物线的对称轴是直线1=x ； B ．抛物线在y 轴上的截距是4-； C ．抛物线的顶点坐标是（41--，） ； D ．抛物线的开口方向向上． 3．已知函数2 22y x x =--的图像如图所示，根据图像提供的信息，可得y ≤1时，x 的取值范围是 （ ） A ．3x -≥ B ．31x -≤≤ C ． 13x -≤≤ D ．1x -≤或3x ≥ 4．对于抛物线23y x =-，下列说法中正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下 ； B ．顶点（0，－3）是抛物线的最低点 ； C ．顶点（0，－3）是抛物线的最高点； D ．抛物线在直线0x =右侧的部分下降的． 3）二次函数的平移问题 1．把抛物线22y x =--平移后得到抛物线2y x =-,平移的方法可以是（ ）． A. 沿y 轴向上平移2个单位； B. 沿y 轴向下平移2个单位； C. 沿x 轴向右平移2个单位； D. 沿x 轴向左平移2个单位． 2. 把抛物线()2 16+=x y 平移后得到抛物线2 6x y = ，平移的方法可以是 （ ）. A. 沿y 轴向上平移1个单位； B. 沿y 轴向下平移1个单位； C. 沿x 轴向左平移1个单位； D. 沿x 轴向右平移1个单位. 巩固练习 1．已知抛物线解析式为243y x x =--，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的 坐标是__________． 22.1.1 二次函数 一、教学目标 1．知识与技能目标: （1）．使学生理解并掌握二次函数的概念 （2）．能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式 （3）．能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，体会函数的模型思想 2．过程与方法目标; 通过“探究----感悟----练习”，采用探究、讨论等方法进行。 3．情感态度与价值观: 通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育 二、教学重、难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解二次函数的概念. 三、教学过程 1、知识回顾 （1）．什么是变量，常量？ （2）．函数的定义是什么，有什么表现形式？ （3） 函数的图象怎么构成，如何作函数的图象？ 2、合作学习，探索新知 : 问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x ,表面积为y ,那么y 与x 的关系可表示为? y=6x 2 问题2: n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系? m=21122 n n 问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果 每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示? y=20x 2+40x+20 观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?引导学生从自变量最高次数思考。 经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式,(a,b,c 是常数, a≠0 ). 我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数 称：a 为二次项系数，ax 2叫做二次项;b 为一次项系数，bx 叫做一次项;c 为常数项. 又例：y=x2 + 2x – 3 满足什么条件时 当，是常数其中函数c b,a,)c b,a,c(bx ax y 2++= (1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 3、巩固练习: 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x. 2.做一做: （1）正方形边长为x （cm ），它的面积y （cm2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x 厘米，宽增加2x 厘米,则面积增加到y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． 4、例题讲解: 例1: 关于x 的函数是二次函数, 求m 的值. 解: 由题意可得 注意:二次函数的二次项系数不能为零 m m x m y -+=2)1(012 2≠+=-m m m 时，函数为二次函数。当解得，22 =∴=m m 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 初三数学暑假班讲义第05讲一平行四边形综 合-学案 高效提分源于优学 第05讲平行四边形温故知新问题1你能利用手中两张全等的三角形纸板拼出平行四边形吗请同学将拼出的六种形状不同的四边形展示在黑板上问题2观察拼出的这个四边形的对边有怎样的位置关系说说你的理由结合拼出的这个特殊四边形，给出平行四边形定义定义的几何语言表述ABCDADBC四边形ABCD是平行四边形课堂导入知识要点一 一.平行四边形的性质（1）平行四边形的概念定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 表示方法用符号“”表示，平行四边形记作“”。 （2）平行四边形的边.角性质边的性质平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等。 角的性质平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补。 （3）两条平行线之间的距离两条平行线中，一条直线上任意一点到另外一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。 （4）平行四边形的对角线的性质平行四边形的对角线互相平分。.（5）平行四边形的周长与面积面积公式平行四边形的面积 底高；等底等高的平行四边形的面积相等；平行四边形的周长等于两邻边和的2倍。 二.平行四边形判定方法（1）从边看两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）从角看两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）从对角线看对角线互相平分的四边形是平行四边形。 三.三角形的中位线（1）定义连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；（2）中位线定理三角形的中位线平行于三角形的 第三边，并且等于第三边的一半。 典例分析例 1.如图，在平行四边形ABCD中，ABC的平分线交AD于E，BED150，则A的大小为（）A150B130C120D100例 2.如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD8，BD12，AC6，则OBC的周长为（）A13B17C20D26例 3.已知四边形ABCD是平行四边形，对角线A C.BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）AOEDCBOAOCCBOEOBADOBEOCE例 4.如图，在ABCD中，E为边CD上一点，将ADE沿AE折叠至ADE处，AD与CE交于点F若B52，DAE20，则FED的大小为例 初三数学 二次函数讲义 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当12 x += 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题） （3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式. 1．图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B 为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C， 构成△ABC，设AB=x． （1）求x的取值范围； （2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？ 2．如图，抛物线y=1 3 x2+bx+c经过A(－3，0)，B（0，－3）两点，此抛物线的对称轴为 直线l，顶点为C，且l与直线AB交于点D． （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）连接BC，求证：BC=CD． 2．已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0），C（0，-2） （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请 求出点P的坐标； （3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重 合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 4．如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60度．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这 里规定：点和线段是面积为O的三角形），解答下列问题： （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是_________秒； （2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形 时x的值 是________秒； （3）求y与x之间的函数关系式． 5．正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE=1，OD=4，抛物线y=ax2+bx－4过A、D、F三点． （1）求抛物线的解析式； （2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线 交边AD于M，交BC所在直线于N，若S四边形AFQM=3 2 S△FQN，则 判断四边形AFQM的形状； （3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得AP⊥PH且AP=PH？若存在，请给予严格证明；若不存精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数
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