二次函数
一．知识梳理
1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式：ax 2
+bx+c=0 （a≠0） 其中： ax 2
叫做二次项， bx 叫做一次项 ， c 叫做常数项 a 是二次项系数，b 是一次项系数2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）： “△”读作德尔塔，在一元二次方程ax 2
+bx+c=0 （a≠0）中△=b 2
-4ac
△=b 2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根，即：x 1,x 2 △=b 2
-4ac=0 <====> 方程
有两个相等的实数根，即：x 1=x 2 △=b 2
-4ac<0 <====> 方程没有实数根。 注：“<====>” 是双向推导，也就是说上面的规律反过来也成立，如：告诉我们方程没有实数根，我们便可以得出△<03、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0;△≥0），韦达定理。
ax 2
+bx+c=0 （a≠0）中，设两根为x 1,x 2,那么有：
因为：
ax 2
+bx+c=0 （a≠0）化二次项系数为1可得
， 所以：韦达
定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。注意：（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍
去一个跟。5、一元二次方程的求根公式：
注：任何一元二
次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。
一、求二次函数的三种形式：
1. 一般式：y=ax 2
+bx+c ，（已知三个点）
顶点坐标（－2b a
，244ac b a -）
2.顶点式：y=a （x －h ）2
+k ，（已知顶点坐标对称轴）
顶点坐标（h ，k ）
3.交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况）
与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2
对称轴为2
2
1x x h +=
二、a b c 作用分析
│a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大，
a ，
b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b
同号时，对称轴x=－
2b a <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－2b
a
>0，即对称轴在y 轴右侧，（左同右异y 轴为0）c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，
c=0c<0时，与y?轴交于负半轴，
以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．
二．专题精练
专题一：二次函数与一元二次方程的关系
本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.
考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的围
一元二次方程ax 2
+bx+c=0就是二次函数y=ax 2
+bx+c 当函数y 的值为0时的情况. 例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2
+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程
ax 2
+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的围是（ ）
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax
2+bx+c (a<0)
由a,b 和c 的符号确定
由a,b 和c 的符号确定 a>0,开口向上
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小. .
在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大. 在
.
???? ??--a b ac a b 44,22???
? ??--a b ac a b 44,22a
b
x 2-
=直线a
b
x 2-
=直线
Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x << 考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.
二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2
+bx+c=0的根.
例2 已知二次函数y=-x 2
+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2
+3x+m=0的解为________.
考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况
当二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2
+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2
+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2
+bx+c=0没有实数根.反之亦然.
例3在平面直角坐标系中，抛物线2
1y x =-与x 轴的交点的个数是（ ）
A.3
B.2
C.1
D.0
专项练习3
1.抛物线y=kx 2
-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值围是________.
2.已知二次函数2
2y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程
220x x m -++=的解为．
3.已知函数2
y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于
x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（ ）
A.无实数根
B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根
D.有两个同号不等实数根
4. 二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，
根据图象解答下列问题：
图2
图
1
（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．
（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值围．
（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值围．
专题二、探究几何图形中的二次函数关系
【例11】在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===，60ABC ∠=，点E F
，分别在线段AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合）
，且120BEF ∠=，设AE x =，DF y =．
（1）求y 与x 的函数表达式；（2）当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？
课堂检测
1、二次函数342
++=x x y 的图像可以由二次函数2
x y =的图像平移而得到，下列平移正
确的是（ ）
A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位;
C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
2、在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2
不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
Ａ Ｅ
Ｄ Ｆ
Ｃ
Ｂ
A．y＝2(x－2)2 + 2B．y＝2(x + 2)2－2C．y＝2(x－2)2－2D．y＝2(x + 2)2 + 2
3、二次函数2
1
(4)5
2
y x
=-+的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）
A．向上、直线x=4、（4，5） B．向上、直线x=-4、（-4，5）
C．向上、直线x=4、（4，-5） D．向下、直线x=-4、（-4，5）
4、二次函数c
bx
ax
y+
+
=2的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）
A、a＜0
B、abc＞0
C、c
b
a+
+＞0 D、ac
b4
2-＞0
5、函数2
y ax b y ax bx c
=+=++
和在同一直角坐标系的图象大致是（）6、二次函数2(0)
y ax bx c a
=++≠的图象如图4所示，
则下列说法不正确的是（）
A．240
b ac
->B．0
a>
C．0
c>D．0
2
b
a
-<
7、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给
出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）．A．②④B．①④C．②③D．①③
8、已知关于x的函数同时满足下列三个条件：
①函数的图象不经过第二象限；②当2
<
x时，对应的函数值0
<
y；③当2
<
x时，函数值y随x的增大而增大．你认为符合要求的函数的解析式可以是：（写出一个即可）．
9、如右图，抛物线n
x
x
y+
+
-
=5
2经过点)0
,1(
A，与y轴交于点B.
（1）求抛物线的解析式；
.
.
O
x
y
1
-1
B
A
（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是等腰三角形，试求点P的坐标.
《专题五。形积问题》
形积专题
1.(中考变式）如图，抛物线c
bx
x
y+
+
-
=2与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交Y轴于C
求该抛物线的解析式与△ABC的面积。
2.(08)如图所示，已知抛物线21
y x
=-与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
求A、B、C三点的坐标．过A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
三．课堂检测
1．已知函数y=ax2+bx+c，当x=3时，函数的最大值为4，当x=0时，y=－14，则函数关系式____.
2．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .
3．函数4
2-
=x
y的图象与y轴的交点坐标是________.
4．抛物线y= ( x– 1)2– 7的对称轴是直线 ..
5．二次函数y=2x2-x-3的开口方向_____，对称轴_______，顶点坐标________.