本讲地位：
枚举法是学习计数知识的基础。而计数在竞赛中的地位是不言而喻的。学习好枚举法，能够锻炼有序思考的能力，对于培养思维的严谨性和逻辑性是很有帮助的。
有一天，金儿去摩比家找摩比一起去图书馆看书，而从金儿家到摩比家不能直接到达，必须要经过公园或阿宽家(如下图)，小朋友们找一找，从金儿家到摩比家共有几条路可以走？
如下图，用小鸡身上的数字组成不同的两个三位数，使它们的和最小。注意每笔只能用一次哦！每个数字也只能用一次。
枚举法（一）
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用分别写着7、8、9、0的四张卡片，可以组成多少个不同的四位数？(数字不能重复使用哦！
) 把4颗算珠放在计数器上，可以组成多少个数？
图中有多少个正方形？
博士家门前共有5级台阶。他发现每天上楼梯的方法都不相同，博士很想研究一下这个问题。如果规定一步只能登上一级或两级台阶，电脑前的小朋友帮他算一算上这个台阶共有多少种不同的走法？
【梧桐总结】
1．一一列举的枚举方法
2．图形计数的枚举方法
3．数字拆分的枚举方法
4．字典枚举的思考方法
5．“兔子”数列的枚举方法
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【梧桐小讲堂】
在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题。因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统” 的方式解答 。对此，我们可以先初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的顺序一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂。我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决的目的。这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。枚举法的特点是有条理，不重复或不遗漏，使人一目了然。适用于所求的对象为有限个数学计数问题。
将问题的所有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合适就丢弃,这种归纳方法叫做枚举法。 如右图所示，ABCD是一个正方形，沿着图中线段从A到D的最短路线共有多少条？请画出来。 备用图 下图中有6个点，9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着线段爬到F 点。行进中甲虫只能向右、向下或向右下方运动。问这只甲虫有多少种不同的走法？
把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请列出。 将15分拆成不大于9（0除外）的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请列出。 小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两 天不做同一门。如果小明第一天做语文，第五天也做语文。这五天作业他共有多少种不同的安排？ 小胖有10块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
12枚硬币的总值是4元，其中只有5角和1角的两种，问每种硬币各多少个？ 有四种不同面值的游戏币各一枚，它们的形状也不相同，用它们共能组成多少种不同钱数？ 在一个停车场上，停着小轿车和摩托车一共12辆，这些车一共有40个轮 子。求小轿车和摩托车各有多少辆？ 笼子中有一些鸡和兔，小红数了数，它们的头共有15个，它们的脚共有40只。请小朋友算一算，笼子中鸡和兔各有多少只？
小马虎给3个小朋友写信，由于粗心，把信装入信封时都给装错了，结果3个小朋友收到的都不是给自己的信，请问小马虎错装的情况共有多少种可能？ 如下图所示，从A地到B地，最近的道路有多少条？ 一个学生假期往A、B、C三个城市游览，相邻两天不在同一个城市，假如他第一 天在A市，第五天又回到A市。问他的游览路线共有几种不同的方案？ 三个自然数的乘积是24，问由这样的三个数所组成的数组共有多少个？（1，2，12） 和（2，12，1）是同一数组。
第四讲枚举法 1.计数问题分为两个大类，一类是“计次序”的问题，一类是“不计次序”的问题。 2.枚举需要按照一定的顺序和一定的规律来进行分类，这样可以做到不重复和不遗漏。 3.枚举法的根本思想在于分类，通过分类可以将原本复杂的问题拆分成若干个比较简单的问题，然后再逐一进行分析。分类的思想可以化繁为简，化复杂为简单。 4.可以利用“树形图”来方便的记录枚举的过程，有几类问题就分出几个分枝，逐层按照顺序不断分叉再一一筛选，留下符合条件的，去掉不符合条件的。注意在枚举“不计次序”的问题时，只需考虑从小到大（或从大到小）排列的分枝，而不用理会其他情况。 5.计次序：不但要挑选出来，而且还需要排列顺序，不同的排列顺序认为是不同的情况或方法。这类问题通常是“排列”的题目。 6.不计次序：只要挑选出来即可，不需要排列顺序，不同的排列顺序认为是相同的情况或方法。这类问题通常是“选取”的题目。 1.理解“枚举法”的含义。 2.能在题目中熟练运用枚举法解题。
例1：小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。 分析与解：将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。 出现7的情况共有6种，它们是： 1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。 出现8的情况共有5种，它们是： 2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。 所以，小明获胜的可能性大。 注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有2＋6，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。 例2：数一数，右图中有多少个三角形。 分析与解：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的……再一类一类地列举出来。
实验五常用算法：枚举法递推法迭代法 一、实验目的 掌握枚举法，递推法、迭代法这3种常用算法。 二、实验内容 1.编程求和： [提示] 令各项为b0,b1,b2,…bn 则b0 = a b1 = b0×10+a b2 = b1×10+a… 即每一项由前一项乘以10加a递推得到，然后求和。 2.编程求出所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其 各位数字的立方和等于该数本身，例如153是一个“水仙花数”，因为153＝ 13+53+33。要求采用枚举法。 3. 范例：设函数f(x)定义在区间[a,b]上，f(x)连续且满足f(a) ×f(b)<0,求f(x)在[a,b]上的根。采用割线法，迭代公式为： x i+1= x i+( x i-1- x i)/(f(x i)-f(x i-1))*f(x i) 其代换规律为：首先用两端点函数值的绝对值较大者的对应点作为x i-1，较小者 作为x i，即如果|f(a)|<|f(b)|，则将a赋给x i-1，将b赋给x i。用迭代公式得出x i+1， f(x i+1)。 误差定义为： ⊿x =( x i-1- x i)/(f(x i)-f(x i-1))*f(x i) 当⊿x<ε或f(x i+1)==0则结束运算。否则用(x i,f(x i))代替(x i-1,f(x i-1))，(x i+1,f(x i+1))代替(x i,f(x i))，继续迭代。 求解方程：x*lg(x)=1的实根的近似值，误差不超过0.001。 [提示]令 f(x)=xlgx-1,则f(2)≈-0.398<0,而f(3)≈0.431>0，由此可知根 在2与3之间。 #include 第七讲枚举法（一） 学习内容：用枚举法一一列举可能的情况 学习目标：1、做到不重补漏，把复杂的问题简单化 2、按照一定的规律，特点去枚举 3、从思想上认识到枚举的重要性 课题引入 枚举法是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是容易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意一下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 知识点拨 在数学问题中，有些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答，让人感到无从下手。对此，我们可以先初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的顺序，一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂，我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。 这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。 例题精讲 例1、用数字1、3、4可以组成多少个不同的三位数？ 例2、用0，2，5，9可以组成多少个能被5整除的三位数？ 例3、从1数到100，一共数了多少个3？ 例4、有8张卡片，上面分别写着自然数1至8。从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9。问有多少种不同的取法？ 例5、现在1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法？ ——数学广场《列表枚举》说课稿 纪王学校唐晓庆 本节内容在全书及章节的地位： 《列表枚举》是小学数学二年级下整理与提高单元，数学广场中的内容。教材主要以我国古代“鸡兔同笼”的故事为背景，介绍了解这一典型问题的基本方法——列表枚举法，并通过两种列表方式的对比，使学生感受数学思考的条理性。与小学数学第八册教材中的问题解决一内容，发挥着承上启下的重要地位。因此除了要设计合理教学情境之外，还须通过在师生、生生之间的交流、合作、互动中，以学生的生活经验和已有的数学知识为依托，让学生在实践操作和自主研究中构建数学思想。 数学思想方法分析： 《课标》认为，课程的目的不只是让学生获得必要的数学知识、技能，它还包括启迪思想、解决问题及情感与态度等方面的发展。 “鸡兔同笼”这个问题，从解题的角度而言，可以有一系列的方法：画图法、列表法、假设法、方程法。也蕴含着丰富的数学思想方法：化归、枚举、数形结合、假设、方程、建模。数学思想方法和具体的解题方法有一定的对应关系，比如，枚举与列表法，数形结合和画图法，方程和方程法。在小学阶段，不同的定位就有不同的教学设计，不同的年级代表着不同的认知接受水平，当然同一个课堂、同一个年级，不同的学生会表现出不同的思维层次，采用不同的方法。 我所执教的二年级学生，就是要初步运用列表枚举法，把符合问题的所有可能答案逐个找出，并用某种形式进行整理，从而得到问题的答案。因为枚举是一种朴素的思想方法，又是一种实用的解决问题的策略。在学生刚接触“鸡兔同笼”问题时，学生要列式计算往往感到困难。所以，对于数据较小的问题，一些可能的答案却很容易凭经验或直觉得到，学生可以运用猜测、验证的方法，实际上就是用枚举法（即一一列举）来解决问题，考虑到学生一般会用顺序枚举法，按从大到小或从小到大依次枚举，可以有效避免疏漏或重复。 初中数学竞赛：用枚举法解题 【知识精读】 有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： ① 按一定的顺序，有系统地进行； ② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏； ③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。 【分类解析】 例1 如图由西向东走， 从A 处到B 处有几 种走法？ 解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如 从A 到C 有三种走法，在C 处标上3， 从A 到M （N ）有3＋1＝4种， 从A 到P 有3＋4＋4＝11种，这样逐步累计到B ，可得1＋1＋11＝13（种走法） 例2 写出由字母X ，Y ，Z 中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项 式。 解法一：按X 4，X 3，X 2，X ，以及不含X 的项的顺序列出（如左） 解法二：按X →Y →Z →X 的顺序轮换写出（如右） X 4 ， X 4 ， Y 4 ， Z 4 X 3Y ， X 3Z ， X 3Y ， Y 3Z ， Z 3X X 2Y 2， X 2Z 2， X 2YZ ， X 3Z ， Y 3X ， Z 3Y XY 3， XZ 3， XY 2Z ， XYZ 2， X 2Y 2， Y 2Z 2 ， Z 2X 2 Y 4， Z 4 Y 3Z ， Y 2Z 2， YZ 3。 X 2YZ ， Y 2ZX ， Z 2XY 解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略) 例3 讨论不等式ax0时，解集是xa , 当a=0,b>0时，解集是所有学过的数， 当a=0,b ≤0时，解集是空集(即无解) 例4 如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数 解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位， 13A B 共有几条路？ 有一天，小兔去小猴家找小猴一起去图书馆看书，而从小兔家到小猴家不能直接到达，必须要经过公园或小田鼠家(如下图)，小朋友们找一找，从小兔家到小猴家共有几条路可以走？ 枚举法（一） 用3、6、9三个数字可以组成多少个不同的三位数？(不能重复使用) 【拓展】(★★★) 用3、6、9、0四个数字可以组成多少个不同的四位数？(不能重复使用) 请问：从“1”写到“50”一共写了多少个数字“1”呢？ 【拓展】(★★★) 乐乐在家做寒假作业，其中有一道题是要从1写到100，你知道当她写完时一共写了多少个数字“9”吗？ 1、2、3、4、…、98、99、100 把16个同样大小的正方形拼成1个长方形，可以拼成几个不同的长方形。 露露最近迷上了集邮，一天她收集到了3张3角邮票和2张5角邮票，请你帮她算一算，她用这些邮票可以组成多少种不同的邮资？ (★★) (★★★) (★★★) (★★★★) 小蜜蜂家门前共有5级台阶。她发现每天上楼梯的方法都不相同，小蜜蜂很想研究一下这个问题。如果规定一步只能登上一级或两级台阶，小朋友帮她算一算上这个台阶共有多少种不同的走法？ 艾伦给4个好朋友写信。由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了。4个好朋友收到的都是给别人的信。问艾伦装错的情况共有多少种可能 ? 【拓展】(★★★★★) 威尔喜欢吃披萨、汉堡和薯条三种快餐。他在相邻的两天不会吃同一种。现在他第一天吃的是披萨，第五天也是吃的披萨，那么在这五天里他的食谱有多少种安排方案？ (★★★★) (★★★★★) 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！ 1．用分别写着0、5、6、9的四张卡片，可以组成多少个不同的三位数？（不能重复使用） A．15 B．16 C．17 D．18 2．安迪、乐乐、威尔、琳达、艾伦五个小朋友握手，每两个小朋友握一次，每个人都要握到，他们一共要握几次手？ A．6 B．10 C．15 D．21 3．从甲地到乙地有乘飞机、坐火车两种不同的方法，从乙地到丙地有乘飞机、坐火车和乘船三种不同的方法。问：从甲地经过乙地到丙地共有多少种不同的方法？ A．4 B．5 C．6 D．10 4．商店有围巾3种，每种价钱依次是14元、12元和10元。帽子有5种，每种价钱依次是13元、11元、9元、7元、和5元。如果一顶帽子和一条围巾配成一套，每套可以有多少种不同价钱？ A．7 B．8 C．9 D．10 第四讲运用枚举法解应用题 【知识要点】根据问题的要求，一一列举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一列举各种情况，最终达到解决整个问题的目的，这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。 一．用数字1、2、3可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？【分析】解：根据百位上数字的不同，我们可将它们分成三类：第一类：百位上的数字为1，有123,132； 第二类：百位上的数字为2，有____________ 第三类：百位上的数字为3，有____________ 答：可以组成______个不同的三位数。 二．小明有面值为5角和8角的邮票各2枚，他用这些邮票能付多少种不同的邮资(寄信时，所需邮票的钱数)？ 解： 答：能付______种不同的邮资。 三．用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个，当砝码只能放在同一个盘内时，可以称出多少种不同的重量？ 【分析】可以用树形图把解题过程表示出来。 1 用其中的一个砝码 3 9 1+3=4 称出重量 1+9=10 3+9=12 用其中的三个砝码 1+3+9=13 答：可以称出7种不同的重量。 四．班级中共有30个人，学号分别为1~30号，现在按学号排队报数，第一次报数后，报到单号的人全部站出来，余下的人继续从1开始报数，报到单号的人全部站出来，以此类推，问到第几次这些人全部都站出来了，最后站出来的人是第几号？ 解： 答：到第______次全部都站出来，最后站出来的是第几号？ 五． 如右图所求，数字1 5处，规定每次只能移动到邻近的一格，且总是向右 移动，例如：1-2-4-5就是一条移动路线，问共有多 少种不同的移动路线？ 【分析】解：移动棋子，从1到5，对1来说，向右移动到邻近一格，有两种方法1-2或1-3，对2来说，向右移动到邻近一格，也有两种方法，2-3或2-4，以此类推，我们用树形图一步一步填写： 4 5 3 2 5 4 5 1 4 5 3 5 数一数图中5的个数就是移动和路线数。 答：共有______种移动路线。 六． 用长48厘米的铁丝围成各种长方形(长和宽都是整厘米数，且长和宽不 相等)，围成的最大的一个长方形的面积是多少平方厘米？ 答：围成最大的一个长方形的面积是______平方厘米。 七． 商店出售饼干，现存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重 的。一顾客要求买9千克的饼干，为了便于携带要求不开箱。问营业员有多少种发货的办法？ 1.用50元钱兑换面值为1元、2元、5元的纸币共25张。每种纸币不少于1张，求出有多少种兑换方案？每种兑换方案中1元、2元、5元的纸币各有多少张？ 假设面值为1元、2元、5元的纸币分别是x、y、z张，兑换方案有k种，从题意可得出x、y、z满足的表达式为 x+y+z=25 x+2y+5z=50 解决此问题的Visual Basic程序如下，在(1)和(2)划线处，填入合适的语句或表达式，把程序补充完整。 Private Sub Command1_Click() Dim k As Integer Dim x As Integer, y As Integer, z As Integer k = 0 List1.Clear For y = 1 To 23 For z = 1 To 9 x = 25 - y - z If (1) Then List1.AddItem "1元" + Str(x) + "张 2元" + Str(y) + "张 5元" + Str(z) + "张" ____(2)___________ End If Next z Next y Label1.Caption = "共有" + Str(k) + "种兑换方案" End Sub 程序中划线处(1)应填入_____________ 程序中划线处(2)应填入_____________ 2.以下Visual Basic程序的功能是：计算表达式1+2+22+23+24+25+26+27+28+29+210的值，并在文本框Text1中输出结果。为了实现这一功能，程序中划线处的语句应更正为_____________。 Private Sub Command1_Click() Dim i As Integer,s As Long s = 0 k = 2 For i= 1 To 10 s = s + k k = k * 2 Next i Text1.Text=Str(s) End Sub 教师姓名学科数学上课时间年月日---学生姓名年级三年级 课题名称枚举法 教学目标1、做到不重补漏，把复杂的问题简单化； 2、按照一定的规律，特点去枚举； 3、从思想上认识到枚举的重要性。 教学重点枚举法 教学过程 枚举法 【课题引入】 枚举法是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是容易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意一下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 【例题学习】 例1：用数字1、3、4可以组成多少个不同的三位数？ 【即时练习】 1、用0、3、5可以组成多少个不同的三位数? 2、用4、7、8这三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数，它们有哪些？其中最大的数和最小的数各是多少？ 【例题学习】 例2、用0，2，5，9可以组成多少个是5的倍数的三位数？ 【即时练习】 1、从1、 2、 3、 4、 5、6这些数中，任取两个数，使其和不能被3整除，则有_______种取法。 2、从l～9这9个数码中取出3个，使它们的和是3的倍数，则不同取法有_______种。 3、小明的两个口袋中各有6张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，……，6。从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算上面所写两数的乘积，那么，其中能被6整除的不同乘积有_____个。 列表枚举 教学内容：二年级第二学期P71 教学目标： 知识与技能：初步了解枚举法，并能通过列表枚举的方法解决简单实际问题。过程与方法：通过尝试、探究、学会用列表枚举法一一找到不确定的答案。 情感、态度与价值观：感悟数学的实用价值，激发学习数学的兴趣。 教学过程： 一、情境引入： 1、师：我们先来做个游戏，猜猜它们是谁。 （出示一些动物的图片，只有腿）通过看腿猜动物。 （青蛙、鸭子、羊） 你是怎么马上就知道它们是什么动物的？ 2、引入：小朋友真聪明，从腿部特征一下就能猜出是什么动物，今天我们 就要运用小动物的只数以及它们腿的条数来解决的问题。 二、新授 1、根据确定的只数计算腿数 （1）（口答：大声的说出□里填的数。） 1只青蛙4条腿，2只青蛙□条腿。□只青蛙20条腿。（5是怎么算出来的？）1只鸭子2条腿，5只鸭子□条腿。（10是怎么算出来的？） □只鸭子16条腿。（8的算式怎么表示？） （2）出示：5只羊和3只鸭，共有□条腿？ 师：你是怎么算出来的？能用算式表示吗？ 根据生答，出示 5×4 3×2 20 ＋ 6 = 26（条） 师：原来你是先算出了羊的腿数，再算出了鸭的腿数，最后把它们的腿数相加，所以求总腿数就是怎么求呢？ （板书：羊的总腿数+鸭的总腿数=总腿数） 师：今天，我们也要运用这个数量关系来解决问题。 2、根据不确定的只数算腿数 小胖也在算关于动物和腿的问题，他遇到困难了，你能帮助他吗？ （出示图片） 羊和鸭共有4只 一共有（）条腿 （1）师：一共有（）条腿？你能马上算出来吗？ 预设生：先要确定羊和鸭的只数。 根据生答，出示：□只羊和□只鸭， 师：想一想，现在，羊的只数和鸭的只数可不可以随便填呢？为什么不能随便填？ 预设生：要考虑他们一共有4只。 （2）我们在解决问题之前一定要审清题目的意思。请大家动笔完成。 （巡视，找到1种、2种或几种答案。） （3）反馈汇报。（根据学生的回答一一板书，不要按序。） 板书：羊的只数鸭的只数总腿数 （1）2只2只 2×4=8条2×2=4条12条 师：这种想法可以吗？你还有不同的想法吗？ （2）1只3只 1×4=4条3×2=6条10条 （3）3只1只 3×4=12条1×2=2条14条 师：三种想法都对吗？是不是都符合题目中的条件？ 2019年小学奥数计数专题——枚举法1．如图，有8张卡片，上面分别写着自然数l至8．从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9．问有多少种不同的取法? 2．从l至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法? 3．现有1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法? 4．妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？ 5．有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少订99份，最多101份．问：共有多少种不同的订？ 6．在所有四位数中，各个数位上的数字之和等于34的数有多少个? 7．有25本书，分成6份．如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种分法? 8．小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书，共10册．已知甲、乙、丙、丁这4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元，而且每种书至少买了一本．那么，共有多少种不同的购买方法? 9．甲、乙、丙、丁4名同学排成一行．从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种? 10．abcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为l，2，3，4中的某个数字，但彼此不同，例如2134．请写出所有满足关系a 奥数解题方法：关于枚举法 在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结论是可靠的，这种归纳方法叫做枚举法． 1. 在研究问题时，把所有可能发生的情况一一列举加以研究的方法叫做枚举法(也叫穷举法)。 2. 用枚举法解题时，常常需要把讨论的对象进行恰当的分类，否则就无法枚举，或解答过程变得冗长、繁琐、当讨论的对象很多，甚至是无穷多个时，更是必须如此。 3. 枚举时不能有遗漏。当然分类也就不能有遗漏，也就是说，要使研究的每一个对象都在某一类中。分类时，一般最好不重复，但有时重复没有引起错误，没有使解法变复杂，就不必苛求。 4. 缩小枚举范围的方法叫做筛选法，筛选法遵循的原则是：确定范围，逐个试验，淘汰非解，寻求解答。 例题：已知甲、乙、丙三个数的乘积是10，试问甲、乙、丙三数分别可能是几？ 分析：在寻找问题的答案时，应该严格遵循不重不漏的枚举原则，由于10的因子有1、2、5、10，因此甲、乙、丙仅可取这四个自然数，先令甲数=1、2、5、10，做到不重不漏，再考虑乙、丙的取法。 解： 因为10的因子有：1、2、5、10，故甲、乙、丙三数的取法可列下表： 甲=1 乙=1 丙=10 乙=2 丙=5 乙=5 丙=2 乙=10 丙=1 甲=2 乙=1 丙=5 乙=5 丙=2 甲=5 乙=1 丙=2 乙=2 丙=1 甲=10 乙=1 丙=1 总共得到问题的九组解答。 甲=1 、1、1、1 、2、2、5、5、10 乙=1 、2、5、10、1、5、1、2、1 丙=10、5、2、1 、5、1、2、1、1 说明 如果没有枚举的思想，只是盲目地猜试，既费时间，又有可能重复或漏掉解答。 枚举法 [知识要点] 一般地，根据问题要求，一一列举问题，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。 运用枚举法解决应用题时，必须注意无重复、无遗漏。为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。 [典型例题] 例1 用7、4、2三张数字卡片，能排成多少个无重复数字的三位数,它们分别是哪几个数？ 例2 用数字2，4，5，可以组成多少个无重复数字的三位数？分别是哪几个数？其中最大、最小各是多少？ 例3 小明有面值为5角邮票一枚、8角的邮票两枚，他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数？） 2.用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不用其他物体当砝码），当砝码只能放在同一盘内时，可称出不同的重量有多少种？ 3．把6支相同的铅笔分给3个小朋友，使每个小朋友都分到铅笔，那么有多少种不同的分法？ 4.用2张10元和1张50元一共可以组成多少种币值（组成的钱数）？ 5.麦当劳推出一种优惠活动， 汉堡类有：A、鸡腿汉堡 B、麦辣鸡腿汉堡； 饮料类有：C、雪碧 D、可口可乐； 冰淇淋类有：（1）草莓冰淇淋（2）奶油冰淇淋 汉堡只能选一种，饮料只能选一种，冰淇淋只能选一种，每次各类选一种，有多少种不同的选择，它们分别是哪些？ 1．用数字4，8，9，可以组成多少个无重复数字的三位数？分别是哪些数？ 2.用数字0，1，4可组成多少个无重复数字的三位数？分别哪些？ 3.由1角，2角，5角元的人民币各一张，一共可以组成多少种币值。（组成的钱数） 4.有7本相同的书，分别借给2名同学，每人至少借一本，有多少种不同的借法？ 小学数学《常规应用题的解法——枚举法》练习题（含答案） 知识要点 我们在课堂上遇到的数学问题，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难利用计算的方法解决。我们可以抓住对象的特征，按照一定的顺序，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。 解题指导1 1.枚举法在数字组合中的应用。 按照一定的组合规律，把所有组合的数一一列举出来。 【例1】用数字1，2，3组成不同的三位数，分别是哪几个数？ 【思路点拨】根据百位上的数字的不同分为3类。 第一类：百位上为1的有：123 132 第二类：百位上为2的有：213 231 第三类：百位上为3的有：312 321 答：可以组成123，132，213 ，231，312 ，321六个数。 【变式题1】用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？ 解题指导2 2.骰子中的点数 掷骰子是生活中常见的游戏玩法，既可以掷一个骰子，比较掷出的点数大小，也可以掷两个骰子，把两个骰子的点数相加，再比较点数的大小。一个骰子只有6个点数，而两个骰子的点数经过组合最小是2，最大是12。在解决有关掷两个骰子的问题时，要全面考虑所有出现的点数情况。 【例2】小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。 【思路点拨】将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。 出现7的情况共有6种，它们是： 1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。 出现8的情况共有5种，它们是： 2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。 所以，小明获胜的可能性大。 注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有2＋6，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。 答：小明获胜的可能性大。 【变式题2】用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当 基础算法（一）枚举（穷举）法 无论什么类型的试题，只要能归纳出数学模型，我们尽量用解析方法求解，因为一个好的数学模型建立了客观事物间准确的运算关系。 在一时找不出解决问题的更好途径时，可以根据问题中的约束条件，将所有可能的解全部列举出来，然后逐一验证是否符合整个问题的求解要求。 一、枚举法的基本思想: 从可能的解集合中一一穷举各元素，用题目给定的检验条件判定哪些是有用的，哪些是无用的，能使命题成立的，即为其解。 这种思维方法主要是基于计算机运算速度快的特点。 二、枚举法解题思路： 1、对命题建立正确的数学模型； 2、根据命题确定数学模型中各变量的变化范围（即可能解的范围）； 3、利用循环语句、条件判断语句逐步求解或证明。 三、枚举法的特点： 算法简单，但运算量大。 对于可能确定解的范围，又一时找不到更好的算法时，可以采用枚举法。 1、求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A、B、C为1～3之间的整数。 2、鸡兔同笼问题（在同一个笼子里有鸡和兔子若干只，从上面看，能看到 20个头，从下面看，能看到60只脚，问鸡兔各有多少只？） 3、百钱百鸡问题（一百块钱要买一百只鸡，这一百只鸡必须包含母鸡、公 鸡和小鸡，其中，公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只，问有哪些购买方案？） 4、水仙花数问题（ABC=A3+B3+C3,列出所有的整数ABC） 5、一根29厘米长的尺子，只允许在上面刻7个刻度，要能用它量出1～29 厘米的各种长度，试问刻度应该怎样选择？ 6、猴子选大王：有M个猴子围成一圈，每个有一个编号，编号从1到M。 打算从中选出一个大王。经过协商，决定选大王的规则如下：从第一个开始，每隔N个，数到的猴子出圈，最后剩下来的就是大王。 要求：从键盘输入M，N，编程计算哪一个编号的猴子成为大王。 参考程序： 应重视用枚举法解题 题1 某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆．某天干先生准备从该汽车站前往省城办事，但他不知道客车的等级情况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么干先生乘上上等车的概率是 ． 解 这里的一次试验是“每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆”，试验成功的情形是“干先生采取上述策略能乘上上等车”． 先枚举出一次试验可能的所有情形：①上、中、下，②上、下、中，③中、上、下，④中、下、上，⑤下、上、中，⑥下、中、上．其中试验成功的情形是③④⑤三种，所以所求的概率是2 16 3=． 题2 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2名女生相邻，不同排法种数是？ 解 设想6位同学站成一排分别站的位置是1,2,3,4,5,6．因为男生甲不站两端，所以可分以下四种情形： (1)甲站的位置是2． 此时3位女生站的位置只能是(1,34)，(1,45)，(1,56)，(34,6)，(3,56)这5种情形，可得此时有60A A 522 3 3 =种排法． (2)甲站的位置是3． 此时3位女生站的位置只能是(12,4)，(12,5)，(12,6)，(1,45)，(1,56)，(2,45)，(2,56)这7种情形，可得此时有84A A 722 3 3 =种排法． (3)甲站的位置是4． 此时的排法数同(2)． (4)甲站的位置是5． 此时的排法数同(1)． 所以所求答案为2882)8460(=?+． 注 列举时可先选好标准进行分类，而每一类中列举时可按照字典排列法(小的在前大的在后)，这样可做到不重不漏． 题3 (2013年高考全国大纲卷第20题)甲乙丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为2 1，各局比赛的结果 相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)(理)X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望． (文)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 解 先列举出所有的情形(括号里面的表示裁判)，见表1： 表1 情 形 第1局 第2局 第3局 第4局 在前4局 中乙当裁 判的次数 1 乙丙 甲乙(丙) 乙丙(甲) 甲乙(丙) 计数枚举法例题讲解 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 计数枚举法经典例题讲解 例1一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字（适于三年级程度）解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。 个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。 10+10=20（个） 答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。 例2 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法（适于三年级程度） 解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。 第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C 第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C 第六种走法：A ③ B ⑤ C 答：从A市经过B市到C市共有6种走法 例3 9○13○7=100 14○2○5=□ 把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几（适于四年级程度） 解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。 先看第一个式子：9○13○7=100 如果在两个圆圈内填上"÷"号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填"+"、"-"号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填"÷"号，也不能同时填"+"、"-"号。 要是在等式的一个圆圈中填入"×"号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入"+"和"×"号，就会凑出100了。 9+13×7=100 再看第二个式子：14○2○5=□ 上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下"÷"号和"-"号了。如果在第一个圆圈内填上"÷"号，14÷2得到整数，所以： 14÷2-5=2 即长方形中的数是2。 例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页（适于四年级程度）解：（1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。 2021年{某某}小学 小 学 数 学 学 习 资 料 教师： 年级： 日期： 第四讲枚举法 1.计数问题分为两个大类： 2.枚举需要按照一定的顺序和一定的规律来进行分类，这样可以做到不重复和不遗漏。 3.枚举法的根本思想在于分类，通过分类可以将原本复杂的问题拆分成若干个比较简单的问题，然后再逐一进行分析。分类的思想可以化繁为简，化复杂为简单。 4.可以利用“树形图”来方便的记录枚举的过程，有几类问题就分出几个分枝，逐层按照顺序不断分叉再一一筛选，留下符合条件的，去掉不符合条件的。注意在枚举“不计次序”的问题时，只需考虑从小到大（或从大到小）排列的分枝，而不用理会其他情况。 5.计次序： 6.不计次序： 1.理解“枚举法”的含义。 2.能在题目中熟练运用枚举法解题。 例1：小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。 例2：数一数，右图中有多少个三角形。 例3:在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？ 例4 有一只无盖立方体纸箱，将它沿棱剪开成平面展开图。那么，共有多少种不同的展开图？ 例5：小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门。如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排？ 例6：一次数学课堂练习有3道题，老师先写出一个，然后每隔5分钟又写出一个。规定：（1）每个学生在老师写出一个新题时，如果原有题还没有做完，那么必须立即停下来转做新题；（2）做完一道题时，如果老师没有写出新题，那么就转做前面相邻未解出的题。解完各题的不同顺序共有多少种可能？ 例7：是否存在自然数n，使得n2＋n＋2能被3整除？ （ 12）用枚举法解题 【知识精读】同学们：一分耕耘一分收获，只要我们能做到有永不言败+勤奋学习+有远大的理想+坚定的信念，坚强的意志，明确的目标，相信你在学习和生活也一定会收获成功（可删除） 有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： ① 按一定的顺序，有系统地进行； ② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏； ③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。 【分类解析】 例1 如图由西向东走， 从A 处到B 处有几 种走法？ 解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如 从A 到C 有三种走法，在C 处标上3， 从A 到M （N ）有3＋1＝4种， 从A 到P 有3＋4＋4＝11种，这样逐步累计到B ，可得1＋1＋11＝13（种走法） 例2 写出由字母X ，Y ，Z 中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项 式。 解法一：按X 4，X 3，X 2，X ，以及不含X 的项的顺序列出（如左） 解法二：按X →Y →Z →X 的顺序轮换写出（如右） X 4 ， X 4 ， Y 4 ， Z 4 X 3Y ， X 3Z ， X 3Y ， Y 3Z ， Z 3X X 2Y 2， X 2Z 2， X 2YZ ， X 3Z ， Y 3X ， Z 3Y XY 3， XZ 3， XY 2Z ， XYZ 2， X 2Y 2， Y 2Z 2 ， Z 2X 2 Y 4， Z 4 Y 3Z ， Y 2Z 2， YZ 3。 X 2YZ ， Y 2ZX ， Z 2XY 解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略) 例3 讨论不等式ax0时，解集是xa , 13A B 排列组合问题(一) 枚举法 枚举法 导言： 当计算的总数量不多时，我们通常把要计数的所有对象一一列举出来，从而求出其总数，这种最简单、最基本的计数方法叫做枚举法，或穷举法、列举法、分组法 使用枚举法计数时，要注意以下几点：①初步估计，总的数目不太多，又没有更简捷的办法②为了使枚举的结果不重复又不遗漏，我们要抓住对象的特征，选择适当的标准分类，有次序、有规律地列举 例1．现有1克、2克、4克、10克的砝码各一个，那么在天平上能称出多少不同重量的物体（只允许砝码放在天平的右边的盘子里） 解析：按使用砝码的个数进行分类列举 （1）、若使用一个砝码能称：1克、2克、4克、10克，共4种重量物体 （2）、若使用二个砝码能称：1+2；1+4；1+10；2+4；2+10；4+10克，共6种重量 （3）、若使用三个砝码能称：1+2+4；1+2+10；1+4+10；2+4+10克，共4种重量 （4）若使用四个砝码能称：1+2+4+10=17克，共1种重量物体 所以，总共能称：4+6+4+1=15种不同重量的物体 思考：如果把题目中括号里的条件去掉，又能称多少种不同重量的物体？ 例2、有一张五元、4张贰元和8张一元人民币，从中取出9元，共有多少种不同的取法？ 解析：按从大到小，从少到多的次序，先取五元，再取贰元，后取一元的顺序，把所有情况通常列表的形式一一列举出来 从上面的列举中可以看出:取9元钱共有7种不同的取法 例3、从1—10的10个数中，每次取2个数，要使它们的和大于10，一共有多少种取法？ 解析：可从小到大依次思考 ① 1+10 ② 2+9，2+10 ③ 3+8，3+9，3+10 ④ 4+7，4+8，4+9，4+10 ⑤ 5+6，5+7，5+8，5+9，5+10 ⑥ 6+7，6+8，6+9，6+10 ⑦ 7+8，7+9，7+10 ⑧ 8+9，8+10 ⑨ 9+10小学三年级奥数--第七讲--枚举法(一)(学生版)
《列表枚举》说课——唐唐
初中数学竞赛：用枚举法解题
枚举法(一)
第四讲运用枚举法解应用题
枚举算法 练习题
(三年级奥数)枚举法
列表枚举
小学奥数专题枚举法_通用版
奥数解题方法：关于枚举法
四年级奥数枚举法和列表法
小学数学《常规应用题的解法——枚举法》练习题(含答案)
基础算法(一)枚举法
高考数学应重视用枚举法解题
计数枚举法例题讲解
{小学数学}小六数学第4讲：枚举法学生版-——李寒松[仅供参考]
(12)用枚举法解题
排列组合问题1：枚举法
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