例1. 甲乙、丙三人都有蛀牙，他们三人一起去看牙医诊所看病，
医生发现他们一共有8 颗蛀牙，他们三人的蛀牙数量有多少种可能的
情况？
1.在所有四位数中，各个数位上的数字之和等于34 的数有多少个?
2.甲、乙、丙、丁 4 名同学排成一行．从左到右数，如果甲不排在第一个位置
上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种?
例2.三个大于0 的整数之和（数与数可以相同）等于10 ，共有多少组这
样的三个数？
1. 三个大于0 的整数之和（数与数可以相同）等于8，共有多少组这样的三个
数？
2.四个大于0 的整数之和（数与数可以相同）等于10，共有多少组这样的四个
数？
例3.下图中一共有多少个正方形?
）个三角
形
2.下图中共有多少个三角形?
例4 .往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票?
1.下午茶的时候，牛娃课堂的老师给同学们准备了苹果，香蕉和橘子三种水果,
每种都有足够多个，昊昊想挑3个水果吃，请问：他一共有多少种选择?
2.妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法?
例5.一只小蚂蚁要从一个正四面体的顶点A出发，沿着这个正四面体的棱依次不重复地走遍4个顶点再回到A点，请问：这只小蚂蚁一共
有多少种不同的走法?
1.一个人在三个城市A、B、C中游览。他今天在这个城市，明天就必须到另个城市。这个人从A城出发，4天后还回到A城，那么这个人有几种旅游路线?
2.下图中有6个点，9条线段。一只甲虫从A点出发，要沿着几条线段爬到
F点。行进中，同一个点或同一条线段只能经过一次。这只甲虫最多有多少种不同的爬法
?
例6. 牛小娃给4 个小朋友写信。由于粗心，在把信纸装入信封时都给
装错了。4 个好朋友收到的都是给别人的信。牛小娃装错的情况共有多
少种可能？
1.布袋里有一个红球、两个白球和一个蓝球，它们除了颜色外其它都相同，摸出一个球后不再放回袋中，然后再摸出一个球，请问摸出的结果有几种可能？（考虑球摸出的先后顺序）
2.A与B两人进行围棋比赛，谁先胜三局就赢得比赛。如果最后A获胜了，那么比赛的进程有多少种可能？
第6课《枚举法》教学设计 教材分析 枚举法求解问题是现实生活中经常用到的一种方法，重点是如何从实际问题建立适当的数学模型、构造枚举的框架，使学生能真正消化知识，转化为自己的信息技术处理能力，本课就通过“张邱建百钱买百鸡”的问题引导学生如何用枚举法解决实际问题，并激发学生进一步探索的欲望。 （一）教学目标 知识与技能：了解枚举法在算法中的应用，学会利用枚举法解决实际问题，并能对枚举的范围进行优化；进一步理解算法优化的含义。 过程与方法：用易语言的循环语句实现穷举策略，编写解决问题的程序并编译通过。 情感态度与价值观：对待可能有多种解决方案的问题，尝试使用枚举法来实现问题的求解，并尽可能对解决问题的步骤和方法进行优化。 （二）内容分析 重点：枚举策略算法的理解，循环嵌套语句的使用 难点：枚举策略的现实。 （三）学生分析 学生已经学完了第一单元程算法思想初步，对易语言编程环境，对象、属性、事件、事件驱动的使用已经有所了解。对三种基本程序结构也有所了解。本节课是在学生学完了循环语句后，应用循环语句编写程序解决问题。目的让学生巩固前面所学的循环控制流程“变量循环首”命令的用法。虽然学生已经学会了易语言的一些命令的使用，但前面的学习，学生更侧重语法的学习，因此本节课在学生已经掌握一些基本语法后，培养学生应用易语言的这些命令来实现程序，解决实际问题。 （四）教学策略设计 1．教学方法设计 任务驱动、讲授、探究、 2．关于教-学流程和教-学活动的设计思路 创设情境----提出问题，师生讨论-----探究问题；师生一起分析-----找到解决问题的方法；练习-------巩固——总结。 (五)、教学过程 （一）引入课题 教师：中国古代数学家张丘建在他的《算经》中提出了著名的“百钱买百鸡问题”：母鸡每只3元，公鸡每只2元，小鸡每只0.5元，计算一下，如何花100元钱买100只鸡，并保证公鸡、母鸡、小鸡都要有，各买多少只？（学生思考） （二）小组协作，自主探究 教师：同学都很棒，现在我们先小组讨论一下，然后让每个小组的一位代表来讲解一下你们如何分析解决这个问题.。 分析问题（教师正确引导，学生小组协作完成） 我们不能一下子就能得到100元如何买100鸡。但是题意给出三种鸡的单价已知，总的钱数已知，那么要满足百钱买百鸡，就必须满足以下两个条件：即 1、母鸡数量+公鸡数量+小鸡数量=100只。 2、3*母鸡数量+2*公鸡数量+0.5*小鸡数量=100元。 所以此问题可归结为求这个不定方程的整数解。 [提问]：这解确定吗？（学生：不确定，有多个答案） 教师：因此我们可以利用枚举法来解决这个问题。什么是枚举法呢？
将问题的所有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合适就丢弃,这种归纳方法叫做枚举法。 如右图所示，ABCD是一个正方形，沿着图中线段从A到D的最短路线共有多少条？请画出来。 备用图 下图中有6个点，9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着线段爬到F 点。行进中甲虫只能向右、向下或向右下方运动。问这只甲虫有多少种不同的走法？
把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请列出。 将15分拆成不大于9（0除外）的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请列出。 小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两 天不做同一门。如果小明第一天做语文，第五天也做语文。这五天作业他共有多少种不同的安排？ 小胖有10块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
12枚硬币的总值是4元，其中只有5角和1角的两种，问每种硬币各多少个？ 有四种不同面值的游戏币各一枚，它们的形状也不相同，用它们共能组成多少种不同钱数？ 在一个停车场上，停着小轿车和摩托车一共12辆，这些车一共有40个轮 子。求小轿车和摩托车各有多少辆？ 笼子中有一些鸡和兔，小红数了数，它们的头共有15个，它们的脚共有40只。请小朋友算一算，笼子中鸡和兔各有多少只？
小马虎给3个小朋友写信，由于粗心，把信装入信封时都给装错了，结果3个小朋友收到的都不是给自己的信，请问小马虎错装的情况共有多少种可能？ 如下图所示，从A地到B地，最近的道路有多少条？ 一个学生假期往A、B、C三个城市游览，相邻两天不在同一个城市，假如他第一 天在A市，第五天又回到A市。问他的游览路线共有几种不同的方案？ 三个自然数的乘积是24，问由这样的三个数所组成的数组共有多少个？（1，2，12） 和（2，12，1）是同一数组。
实验五常用算法：枚举法递推法迭代法 一、实验目的 掌握枚举法，递推法、迭代法这3种常用算法。 二、实验内容 1.编程求和： [提示] 令各项为b0,b1,b2,…bn 则b0 = a b1 = b0×10+a b2 = b1×10+a… 即每一项由前一项乘以10加a递推得到，然后求和。 2.编程求出所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其 各位数字的立方和等于该数本身，例如153是一个“水仙花数”，因为153＝ 13+53+33。要求采用枚举法。 3. 范例：设函数f(x)定义在区间[a,b]上，f(x)连续且满足f(a) ×f(b)<0,求f(x)在[a,b]上的根。采用割线法，迭代公式为： x i+1= x i+( x i-1- x i)/(f(x i)-f(x i-1))*f(x i) 其代换规律为：首先用两端点函数值的绝对值较大者的对应点作为x i-1，较小者 作为x i，即如果|f(a)|<|f(b)|，则将a赋给x i-1，将b赋给x i。用迭代公式得出x i+1， f(x i+1)。 误差定义为： ⊿x =( x i-1- x i)/(f(x i)-f(x i-1))*f(x i) 当⊿x<ε或f(x i+1)==0则结束运算。否则用(x i,f(x i))代替(x i-1,f(x i-1))，(x i+1,f(x i+1))代替(x i,f(x i))，继续迭代。 求解方程：x*lg(x)=1的实根的近似值，误差不超过0.001。 [提示]令 f(x)=xlgx-1,则f(2)≈-0.398<0,而f(3)≈0.431>0，由此可知根 在2与3之间。 #include 第七讲枚举法（一） 学习内容：用枚举法一一列举可能的情况 学习目标：1、做到不重补漏，把复杂的问题简单化 2、按照一定的规律，特点去枚举 3、从思想上认识到枚举的重要性 课题引入 枚举法是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是容易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意一下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 知识点拨 在数学问题中，有些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答，让人感到无从下手。对此，我们可以先初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的顺序，一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂，我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。 这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。 例题精讲 例1、用数字1、3、4可以组成多少个不同的三位数？ 例2、用0，2，5，9可以组成多少个能被5整除的三位数？ 例3、从1数到100，一共数了多少个3？ 例4、有8张卡片，上面分别写着自然数1至8。从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9。问有多少种不同的取法？ 例5、现在1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法？ ——数学广场《列表枚举》说课稿 纪王学校唐晓庆 本节内容在全书及章节的地位： 《列表枚举》是小学数学二年级下整理与提高单元，数学广场中的内容。教材主要以我国古代“鸡兔同笼”的故事为背景，介绍了解这一典型问题的基本方法——列表枚举法，并通过两种列表方式的对比，使学生感受数学思考的条理性。与小学数学第八册教材中的问题解决一内容，发挥着承上启下的重要地位。因此除了要设计合理教学情境之外，还须通过在师生、生生之间的交流、合作、互动中，以学生的生活经验和已有的数学知识为依托，让学生在实践操作和自主研究中构建数学思想。 数学思想方法分析： 《课标》认为，课程的目的不只是让学生获得必要的数学知识、技能，它还包括启迪思想、解决问题及情感与态度等方面的发展。 “鸡兔同笼”这个问题，从解题的角度而言，可以有一系列的方法：画图法、列表法、假设法、方程法。也蕴含着丰富的数学思想方法：化归、枚举、数形结合、假设、方程、建模。数学思想方法和具体的解题方法有一定的对应关系，比如，枚举与列表法，数形结合和画图法，方程和方程法。在小学阶段，不同的定位就有不同的教学设计，不同的年级代表着不同的认知接受水平，当然同一个课堂、同一个年级，不同的学生会表现出不同的思维层次，采用不同的方法。 我所执教的二年级学生，就是要初步运用列表枚举法，把符合问题的所有可能答案逐个找出，并用某种形式进行整理，从而得到问题的答案。因为枚举是一种朴素的思想方法，又是一种实用的解决问题的策略。在学生刚接触“鸡兔同笼”问题时，学生要列式计算往往感到困难。所以，对于数据较小的问题，一些可能的答案却很容易凭经验或直觉得到，学生可以运用猜测、验证的方法，实际上就是用枚举法（即一一列举）来解决问题，考虑到学生一般会用顺序枚举法，按从大到小或从小到大依次枚举，可以有效避免疏漏或重复。 谈谈用枚举算法解决问题的编程思路与步骤方法 一．问题 上海市普通高中在信息科技学科中开展《算法与程序设计》教学，教材中有一章名为“算法实例”的内容，其中有一节介绍“枚举算法”。教材中关于枚举算法的描述：有一类问题可以采用一种盲目的搜索方法，在搜索结果的过程中，把各种可能的情况都考虑到，并对所得的结果逐一进行判断，过滤掉那些不合要求的，保留那些符合要求的。这种方法叫做枚举算法（enumerative algorithm）。 枚举法就是按问题本身的性质，一一列举出该问题所有可能的解，并在逐一列举的过程中，检验每个可能解是否是问题的真正解，若是，我们采纳这个解，否则抛弃它。在列举的过程中，既不能遗漏也不应重复。 生活和工作中，人们经常会不经意间运用“枚举算法”的基本原理，进行问题的解决。比如，让你用一串钥匙，去开一把锁，但是不知道具体是用哪一把钥匙，你就会一把一把地挨个地逐个尝试，最终打开锁为止。又如，要对1000个零件，进行合格检验，等等。 二．用枚举算法的思想编写程序的思路与步骤 枚举算法，归纳为八个字：一一列举，逐个检验。在实际使用中，一一列举；采用循环来实现，逐个检验：采用选择来实现。 下面，通过一个问题的解决来说明这一类问题的解决过程的方法与步骤； 例1：在1—2013这些自然数中，找出所有是37倍数的自然数。 这个问题就可以采用枚举算法来解决： 1)．一一列举；采用循环来实现； 循环需要确定范围：本循环控制变量假设用i，起始值是1，终止值是2013。 2)．逐个检验：采用选择来实现； 选择需要列出判断的关系表达式：i Mod 37 = 0 这样，就可以写出整个求解的VB代码： Dim i As Integer For i = 1 To 2013 If i Mod 37 = 0 Then Print i End If Next i 说白了，用枚举算法解决问题，其实是利用计算机的高速度这一个优势，就好比上题完全可以使用一张纸和一支笔，采用人工的方法完成问题的解，从1开始，一一试除以37，这样计算2013次，也可以找到问题的答案。 在教学中，问题的求解往往是针对数学上的问题，下面举一些相关的例子，来巩固与提高采用枚举算法进行程序设计的技能。 三．枚举算法举例： 1：一张单据上有一个5位数的编号，万位数是1，千位数是4，百位数是7，个位数、十位数已经模糊不清。该5位数是57或67的倍数，输出所有满足这些条件的5位数的个数。（147□□） 1)．一一列举；采用循环来实现； 共有几条路？ 有一天，小兔去小猴家找小猴一起去图书馆看书，而从小兔家到小猴家不能直接到达，必须要经过公园或小田鼠家(如下图)，小朋友们找一找，从小兔家到小猴家共有几条路可以走？ 枚举法（一） 用3、6、9三个数字可以组成多少个不同的三位数？(不能重复使用) 【拓展】(★★★) 用3、6、9、0四个数字可以组成多少个不同的四位数？(不能重复使用) 请问：从“1”写到“50”一共写了多少个数字“1”呢？ 【拓展】(★★★) 乐乐在家做寒假作业，其中有一道题是要从1写到100，你知道当她写完时一共写了多少个数字“9”吗？ 1、2、3、4、…、98、99、100 把16个同样大小的正方形拼成1个长方形，可以拼成几个不同的长方形。 露露最近迷上了集邮，一天她收集到了3张3角邮票和2张5角邮票，请你帮她算一算，她用这些邮票可以组成多少种不同的邮资？ (★★) (★★★) (★★★) (★★★★) 小蜜蜂家门前共有5级台阶。她发现每天上楼梯的方法都不相同，小蜜蜂很想研究一下这个问题。如果规定一步只能登上一级或两级台阶，小朋友帮她算一算上这个台阶共有多少种不同的走法？ 艾伦给4个好朋友写信。由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了。4个好朋友收到的都是给别人的信。问艾伦装错的情况共有多少种可能 ? 【拓展】(★★★★★) 威尔喜欢吃披萨、汉堡和薯条三种快餐。他在相邻的两天不会吃同一种。现在他第一天吃的是披萨，第五天也是吃的披萨，那么在这五天里他的食谱有多少种安排方案？ (★★★★) (★★★★★) 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！ 1．用分别写着0、5、6、9的四张卡片，可以组成多少个不同的三位数？（不能重复使用） A．15 B．16 C．17 D．18 2．安迪、乐乐、威尔、琳达、艾伦五个小朋友握手，每两个小朋友握一次，每个人都要握到，他们一共要握几次手？ A．6 B．10 C．15 D．21 3．从甲地到乙地有乘飞机、坐火车两种不同的方法，从乙地到丙地有乘飞机、坐火车和乘船三种不同的方法。问：从甲地经过乙地到丙地共有多少种不同的方法？ A．4 B．5 C．6 D．10 4．商店有围巾3种，每种价钱依次是14元、12元和10元。帽子有5种，每种价钱依次是13元、11元、9元、7元、和5元。如果一顶帽子和一条围巾配成一套，每套可以有多少种不同价钱？ A．7 B．8 C．9 D．10 枚举算法教学设计 一、教学目标 1、知识与技能目标： 熟悉用枚举算法设计程序的基本思路；学会使用枚举算法解决现实生活、学习中所遇到的问题；了解枚举算法的局限性。 2、过程与方法: 围绕获取谜语的线索这条主线，熟悉用枚举算法求解问题的基本过程，并把它运用到实际生活中去解决问题。学会选择适当的枚举方法多角度分析问题，解决问题。 3、情感态度与价值观： 激发学生的学习热情，增强学生合作意识和创新意识。引导学生关注枚举算法在社会生活中的应用，并以此培养学生将算法思想运用到解决实际问题中去的能力。 二、学情分析 本节内容的教学对象是高一上学期《信息技术基础》的学生，他们在前面基本上了解和学会了VB的简单编程，掌握了程序的基本控制结构以及基本语句的应用。对枚举算法的概念有了一点的基础了解。 三、教材分析 1、本节主要内容介绍 枚举算法是程序设计中使用最为普遍、学生必须熟练掌握和正确运用的一种算法。它利用计算机运算速度快、精确度高的特点，对要解决问题的所有可能情况，一个不漏地进行检查，从中找出符合要求的答案。用枚举算法解决问题，通常可以从确定范围、验证条件这两个方面进行分析，把这两个方面分析好了，问题自然会迎刃而解。 2、重点难点分析 教学重点： （1）、掌握枚举算法的基本思想。 （2）、根据题目确定枚举范围以及验证条件。 （3）、枚举算法的程序实现。 教学难点： （1）、算法的程序实现。 四、教学设计理念 采用了以学生的学习和发展为中心，基于建构主义理论的任务驱动、情境教学、游戏教学等教学方法，突出自主、合作、探究等学习方法；强调信息技术与生活实际的联系，培养学生的逻辑思维能力、解决问题的能力以及创新意识等；设置多元化的评价方式，让学生掌握学习内容的同时，形成交流与评价的能力。 主要教学方法：讲授法、演示法、任务驱动、游戏教学、情境教学等 主要学习方法：小组协作学习、自主学习等 2019年小学奥数计数专题——枚举法1．如图，有8张卡片，上面分别写着自然数l至8．从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9．问有多少种不同的取法? 2．从l至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法? 3．现有1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法? 4．妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？ 5．有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少订99份，最多101份．问：共有多少种不同的订？ 6．在所有四位数中，各个数位上的数字之和等于34的数有多少个? 7．有25本书，分成6份．如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种分法? 8．小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书，共10册．已知甲、乙、丙、丁这4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元，而且每种书至少买了一本．那么，共有多少种不同的购买方法? 9．甲、乙、丙、丁4名同学排成一行．从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种? 10．abcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为l，2，3，4中的某个数字，但彼此不同，例如2134．请写出所有满足关系a 列表枚举 教学内容：二年级第二学期P71 教学目标： 知识与技能：初步了解枚举法，并能通过列表枚举的方法解决简单实际问题。过程与方法：通过尝试、探究、学会用列表枚举法一一找到不确定的答案。 情感、态度与价值观：感悟数学的实用价值，激发学习数学的兴趣。 教学过程： 一、情境引入： 1、师：我们先来做个游戏，猜猜它们是谁。 （出示一些动物的图片，只有腿）通过看腿猜动物。 （青蛙、鸭子、羊） 你是怎么马上就知道它们是什么动物的？ 2、引入：小朋友真聪明，从腿部特征一下就能猜出是什么动物，今天我们 就要运用小动物的只数以及它们腿的条数来解决的问题。 二、新授 1、根据确定的只数计算腿数 （1）（口答：大声的说出□里填的数。） 1只青蛙4条腿，2只青蛙□条腿。□只青蛙20条腿。（5是怎么算出来的？）1只鸭子2条腿，5只鸭子□条腿。（10是怎么算出来的？） □只鸭子16条腿。（8的算式怎么表示？） （2）出示：5只羊和3只鸭，共有□条腿？ 师：你是怎么算出来的？能用算式表示吗？ 根据生答，出示 5×4 3×2 20 ＋ 6 = 26（条） 师：原来你是先算出了羊的腿数，再算出了鸭的腿数，最后把它们的腿数相加，所以求总腿数就是怎么求呢？ （板书：羊的总腿数+鸭的总腿数=总腿数） 师：今天，我们也要运用这个数量关系来解决问题。 2、根据不确定的只数算腿数 小胖也在算关于动物和腿的问题，他遇到困难了，你能帮助他吗？ （出示图片） 羊和鸭共有4只 一共有（）条腿 （1）师：一共有（）条腿？你能马上算出来吗？ 预设生：先要确定羊和鸭的只数。 根据生答，出示：□只羊和□只鸭， 师：想一想，现在，羊的只数和鸭的只数可不可以随便填呢？为什么不能随便填？ 预设生：要考虑他们一共有4只。 （2）我们在解决问题之前一定要审清题目的意思。请大家动笔完成。 （巡视，找到1种、2种或几种答案。） （3）反馈汇报。（根据学生的回答一一板书，不要按序。） 板书：羊的只数鸭的只数总腿数 （1）2只2只 2×4=8条2×2=4条12条 师：这种想法可以吗？你还有不同的想法吗？ （2）1只3只 1×4=4条3×2=6条10条 （3）3只1只 3×4=12条1×2=2条14条 师：三种想法都对吗？是不是都符合题目中的条件？ 枚举算法教学设计教案《枚举法》 教学目标： 1、知识和技能----理解枚举法的概念和注意点，能用枚举法来解决实际问题。 2、方法和过程----通过对知识的探究和实际问题的解决，自学探究能力、解决问题能力和归纳概括能力得以提高。 3、情感态度和价值观----创设情境，激发学生兴趣，培养学生学习的主动性和积极性；构建研究的环境，培养学生良好的学习习惯和探索研究的科学态度。 知识点：计数器的概念、伪代码、多重For循环、List1box控件的使用、枚举算法 教学重点：用枚举法解决问题、培养学生自主学习探索知识的能力 教学难点：多重For循环的理解、培养学生自主学习、探索获取知识的学习方法 教学方法：启发式 教学过程： 一、理解枚举概念 A．将一箱苹果中烂的苹果挑出来。 B．工厂检验每件产品质量 枚举算法的基本思想：把问题所有的可能解，逐一罗列出来并加以验证，若是问题的真正解，就予以采纳，否则就抛弃它。 关键点：列举、检验 难点：多重For 循环的理解 （1）从最内层开始运行， （2）从循环次数角度理解 注意点：不遗漏、不重复 二、案例讨论(进一步理解枚举的概念) 在前1000个奇自然数中，计算恰好有三位为1的二进制数的个数（例如，19对应的二进制数10011，是一个符合题目要求的数字，而23对应的二进制数10111，则不符合本题目要求）代码：(穿插伪代码、计数器的概念) Private Sub Form_Load() Dim K(1 To 11) As Integer '定义数组下标最大为11, 2^11=2048>1999 Dim a, b, c As Integer Dim i, j, w As Integer Form1.Show c = 0 For i = 1 To 1000 a = 0 '采用除2取余法将十进制数化二进制数，结果存放在数组K中 j = i * 2 - 1 Do While j > 0 a = a + 1 K(a) = j Mod 2 j = j \ 2 Loop w = 0 '统计数组K中1的个数,结果存放在变量w中 For b = a To 1 Step -1 If K(b) = 1 Then w = w + 1 Next b If w = 3 Then c = c + 1 ‘统计二进制数中恰好有三位1的个数 Next i Print "在前1000个奇自然数中,恰好有三位为1的二进制数的个数有"; c; "个。" End Sub 枚举法 [知识要点] 一般地，根据问题要求，一一列举问题，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。 运用枚举法解决应用题时，必须注意无重复、无遗漏。为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。 [典型例题] 例1 用7、4、2三张数字卡片，能排成多少个无重复数字的三位数,它们分别是哪几个数？ 例2 用数字2，4，5，可以组成多少个无重复数字的三位数？分别是哪几个数？其中最大、最小各是多少？ 例3 小明有面值为5角邮票一枚、8角的邮票两枚，他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数？） 2.用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不用其他物体当砝码），当砝码只能放在同一盘内时，可称出不同的重量有多少种？ 3．把6支相同的铅笔分给3个小朋友，使每个小朋友都分到铅笔，那么有多少种不同的分法？ 4.用2张10元和1张50元一共可以组成多少种币值（组成的钱数）？ 5.麦当劳推出一种优惠活动， 汉堡类有：A、鸡腿汉堡 B、麦辣鸡腿汉堡； 饮料类有：C、雪碧 D、可口可乐； 冰淇淋类有：（1）草莓冰淇淋（2）奶油冰淇淋 汉堡只能选一种，饮料只能选一种，冰淇淋只能选一种，每次各类选一种，有多少种不同的选择，它们分别是哪些？ 1．用数字4，8，9，可以组成多少个无重复数字的三位数？分别是哪些数？ 2.用数字0，1，4可组成多少个无重复数字的三位数？分别哪些？ 3.由1角，2角，5角元的人民币各一张，一共可以组成多少种币值。（组成的钱数） 4.有7本相同的书，分别借给2名同学，每人至少借一本，有多少种不同的借法？ 枚举算法题目及其代码 的计数算法及其代码的标题由李利添 1，权重[问题描述] 有1g，2g，3g，5g，10g，XXXX年后，欧拉证明了欧几里得定理的逆命题:每一个偶数完全数都是欧几里得形式例如，6 = 2(2–1)*(2 2–1)，28 = 2(3–1)*(2 3–1) 是一个罕见的完全数。到1975年，只找到了24个满分，前四个是6，28，496，8128对应的p是2，3，5，7， ，给你一些整数p(不一定是质数)请判断2(p-1)*(2p-1)是否是一个完全数最高满分不超过2 33分[输入格式] 输入文件只有一行，即p[输出格式] 输出\或\注意情况)。[输入样本]编号2 [输出样本]编号2 [参考程序] 常量最大值= 131071； var pr:array[1..最大值]的布尔值；p:字节； 程序埃拉托斯；var i，j:word；begin fillchar(pr，sizeof(pr)，true)；公关[1]:=假； 表示i:=2至最大div 2，如果pr[i]则 表示j:=2至最大div i，则pr[I * j]:= false；结束；{埃拉托} begin{main}埃拉托； 赋值(输入，“number . in”)；重置(输入)； 2 赋值(输出，“number . out”)；重写(输出)；read ln(p)； if(pr[p)和(pr[trunc(exp(p*ln(2)))-1])则writeln(“是”)否则writeln(“否”)； 关闭(输入)；关闭(输出)；结束。 3，苹果采摘陶陶[问题描述] 说苹果去年被陶陶采摘后非常生气，他们用最先进的克隆技术克隆了许多陶陶的复制品，然后挂在树上采摘。 的规则是，一个苹果只能摘一个陶陶，而且只有最高的陶陶低于它能摘的高度(即小于关系)，如果它不能摘，它只能沮丧地走开。给出苹果的数量、每个苹果能达到的高度和每个陶陶的高度，并问摘下苹果后还剩多少陶陶。？[输入格式] 的第一行有两个数字:苹果的数量n和陶陶的数量m (n，m0然后开始[最佳]:= false；12月(tot)；结束；结束；结束；{ work } 程序打印；开始 分配(输出，“apple . out”)；重写(输出)；write ln(tot)；关闭(输出)；结束；{打印}开始{主}初始化；工作；打印；结束。 4 4，顶级卡特彼勒编号(编号。[问题描述] 顶猫非常喜欢研究数字，尤其是质数一天，top cat发现有些数字可 基础算法（一）枚举（穷举）法 无论什么类型的试题，只要能归纳出数学模型，我们尽量用解析方法求解，因为一个好的数学模型建立了客观事物间准确的运算关系。 在一时找不出解决问题的更好途径时，可以根据问题中的约束条件，将所有可能的解全部列举出来，然后逐一验证是否符合整个问题的求解要求。 一、枚举法的基本思想: 从可能的解集合中一一穷举各元素，用题目给定的检验条件判定哪些是有用的，哪些是无用的，能使命题成立的，即为其解。 这种思维方法主要是基于计算机运算速度快的特点。 二、枚举法解题思路： 1、对命题建立正确的数学模型； 2、根据命题确定数学模型中各变量的变化范围（即可能解的范围）； 3、利用循环语句、条件判断语句逐步求解或证明。 三、枚举法的特点： 算法简单，但运算量大。 对于可能确定解的范围，又一时找不到更好的算法时，可以采用枚举法。 1、求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A、B、C为1～3之间的整数。 2、鸡兔同笼问题（在同一个笼子里有鸡和兔子若干只，从上面看，能看到 20个头，从下面看，能看到60只脚，问鸡兔各有多少只？） 3、百钱百鸡问题（一百块钱要买一百只鸡，这一百只鸡必须包含母鸡、公 鸡和小鸡，其中，公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只，问有哪些购买方案？） 4、水仙花数问题（ABC=A3+B3+C3,列出所有的整数ABC） 5、一根29厘米长的尺子，只允许在上面刻7个刻度，要能用它量出1～29 厘米的各种长度，试问刻度应该怎样选择？ 6、猴子选大王：有M个猴子围成一圈，每个有一个编号，编号从1到M。 打算从中选出一个大王。经过协商，决定选大王的规则如下：从第一个开始，每隔N个，数到的猴子出圈，最后剩下来的就是大王。 要求：从键盘输入M，N，编程计算哪一个编号的猴子成为大王。 参考程序： - 1 - 简单枚举 专题解析： 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 例1.小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？ 分析与解答：为了帮助理解题意，我们可以画出如上示意图。 我们把小华的不同走法一一列举如下：根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也有4种不同走法，共有4×3=12种不同走法。 练习一 1.从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法？ 2.新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？ 例2.用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？ 分析与解答：要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举。可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号，绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，因而共有3个2种不同排列方法，即2×3=6种。 练习二 1.用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？○○○ 2.用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？ 例3.一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？分析与解答：由于长方形的周长是22米，可知它的长与宽之和为11米。下面列举出符合这个条件的各种长方形： 练习三 1.一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？ 2.3个自然数的乘积是18，问由这样的3个数所组成的数组有多少个？如（1.2.9）就是其中的一个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1.2.9）和（2.9，1）是同一数组。 例4.有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？ 分析与解答：把4个小朋友分别编号：A、B、C、D，A与其他小朋友打电话，应该打3次，同样B小朋友也应打3次电话，同样C、D应该各打3次电话。4个小朋友，共打了3×4=12次。但题目要求两个小朋友之间只要通一次电话，那么A打电话给B时，A、B两人已经通过话了，所以B没有必要再打电话给A，照这样计算，12次电话中，有一半是重复计算的，所以实际打电话的次数是3×4÷2=6次。 练习四 1. 6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？ 2.小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？ 课后练习 1.明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不同的装束？ 2.用数字1、2、 3.可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？ 3把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？ 4.有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？ 2 常用算法——穷举搜索法 二、穷举搜索法 穷举搜索法是对可能是解的众多候选解按某种顺序进行逐一枚举和检验，并从众找出那些符合要求的候选解作为问题的解。 【问题】将A、B、C、D、E、F这六个变量排成如图所示的三角形，这六个变量分别取[1，6]上的整数，且均不相同。求使三角形三条边上的变量之和相等的全部解。如图就是一个解。 程序引入变量a、b、c、d、e、f，并让它们分别顺序取1至6的证书，在它们互不相同的条件下，测试由它们排成的如图所示的三角形三条边上的变量之和是否相等，如相等即为一种满足要求的排列，把它们输出。当这些变量取尽所有的组合后，程序就可得到全部可能的解。细节见下面的程序。 【程序1】 # include 1.6 枚举算法 《枚举算法》一课的重点是让学生理解枚举算法思想，并用其解决生活中的问题。在前面的教学中，学生已理解了算法的特点，学习了算法的三种表示方式，对于顺序、选择、循环三种基本控制结构已经有了知识基础，也能阅读一些简单的程序段。对于学生来说，枚举算法思想比较容易掌握，难点在于如何将枚举算法思想转变成具体的流程图，又如何转变成具体的VB程序。教材中以“单据涂抹”和“包装问题”两个实例引入并展开利用枚举算法解决问题的一般过程。通过上一学年的教学实践，感觉学生对这两个实例的学习兴趣并不高，教学效果也不很理想。本课设计打破教材编写的顺序，将教材中第二章的算法与第五章的程序结合起来组织教学，通过理论结合实践，让学生更容易理解各种算法的基本设计思想，体验编写程序的成功感受。 一、教学目标 知识与技能：理解枚举算法的基本思想；学会用流程图形式表示枚举算法；理解由流程图翻译成的VB代码，能上机成功调试。 过程与方法：通过具体案例分析，理解如何用三步法来解决实际问题；学会使用枚举算法解决简单问题。 情感、态度与价值观：感受枚举算法在日常生活中的广泛应用，培养对算法的兴趣；通过小组合作增进学习交流，培养合作能力。 二、教学重点与难点 重点：让学生理解枚举算法；培养学生运用三步法来解决实际问题的能力。 难点：让学生理解多种控制结构的嵌套；让学生能够将枚举算法思想转化为流程图，再将流程图转化为代码并上机实践。 三、设计思想 算法课一般与枯燥、晦涩、难懂等字眼联系在一起，难以激发学生的兴趣。如何打破这种局面，让学生自主学习算法呢？ 本课的设计除了遵循算法“自顶而下，逐步求精”的思想之外，新意之处在于，根据电影情节别出心裁地创设了一个“男女主角辨认模糊电话号码”的情境，在故事中不露痕迹地渗透了教学内容。让学生融入电影情节，体验角色的情感，不知不觉地学会枚举算法，完成教学任务。 四、课前准备 向左走向右走》电影片段、枚举算法的VB演示程序、多媒体网络机房 五、教学过程 1.创设情境认知主题 课前播放电影片段。 师：这是哪部电影中的画面？ 计数枚举法例题讲解 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 计数枚举法经典例题讲解 例1一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字（适于三年级程度）解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。 个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。 10+10=20（个） 答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。 例2 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法（适于三年级程度） 解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。 第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C 第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C 第六种走法：A ③ B ⑤ C 答：从A市经过B市到C市共有6种走法 例3 9○13○7=100 14○2○5=□ 把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几（适于四年级程度） 解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。 先看第一个式子：9○13○7=100 如果在两个圆圈内填上"÷"号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填"+"、"-"号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填"÷"号，也不能同时填"+"、"-"号。 要是在等式的一个圆圈中填入"×"号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入"+"和"×"号，就会凑出100了。 9+13×7=100 再看第二个式子：14○2○5=□ 上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下"÷"号和"-"号了。如果在第一个圆圈内填上"÷"号，14÷2得到整数，所以： 14÷2-5=2 即长方形中的数是2。 例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页（适于四年级程度）解：（1）数码一共有10个：0、1、2……8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。 如对你有帮助，请购买下载打赏，谢谢！ 枚举方法举例 在数学问题中，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答，让人感到无从下手。对此，我们可以先初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的顺序，一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂。我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。为了便于掌握，根据这类题的特点，我们可以分成如下几类： 一、列表枚举 特点是有条理，不易重复或遗漏，使人一目了然。适用于所求的对象为有限个。 例1有一张伍圆币，4张贰圆币，8张壹圆币。要拿出8元，可以有多少种不同的拿法？ 分析与解答如果随便拿出8元，那是比较容易做到的。但要把所有的情况都想到，并且做到不重复、不遗漏，可以按伍圆、贰圆、壹圆的顺序来列表枚举。 二、画图枚举 为了更清楚地表示出所有可能的情形。用画树图枚举法，能做到形象直观，条理分明，简炼易懂。特别适用于找出所有的情形或结果。 例2暑假里，一个学生在A、B、C三个城市游览。他今天在这个城市，明天就到另一个城市。假如他第一天在A市，第五天又回到A市，问他有几种不同的游览方案？ 分析与解答根据游览要求，第二天可能是B市或C市，若为B市，第三天又可能是A 市或C市；若为C市，第三天可能是A市或B市……如此考虑，极可能会把自己弄糊涂了。但画一个树形图，则会清晰明了地显示出所有的游览方案： 从树形图（图1）中可以看出：在三个城市游览，第五天回到A市，只有4种符合要求的方案。 三、标数枚举小学三年级奥数--第七讲--枚举法(一)(学生版)
《列表枚举》说课——唐唐
谈谈用枚举算法解决问题的编程思路与步骤方法
枚举法(一)
枚举算法教学设计
小学奥数专题枚举法_通用版
列表枚举
枚举算法教案
四年级奥数枚举法和列表法
枚举算法题目及其代码
基础算法(一)枚举法
简单枚举个性化教案
常用算法(二)——穷举搜索法
初中信息技术 1.6 枚举算法教案
计数枚举法例题讲解
枚举方法举例
相关主题
文本预览