第3讲 枚举法一—完整版

第3讲枚举法一

兴趣篇

1.（1）1-20共有多少个数？（2）20-40共有多少个数？

答案：(1) 20个；(2)21个

解答：（1）20-1+1=20（个）

（2）40-20+1=21（个）

2. 如图3-1所示，桌子上有一些围棋，共有多少枚黑棋？

答案：16枚

3．★墨莫在一张纸上画了一些图形，如图3-2所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的，请你数一数，纸上一共有多少条线段？（最外面的大长方形是纸的边框，不算在内）

3.答案：24条

解答：整个纸片上有6个图形，为了便于说明，把各个图形编号为A、B、C、D、E、F，如下图所示

A号图形由5条线段连成，B号图形由3条线段连成，C号图形由4条线段连

成，D号图形由3条线段连成，E号图形由5条线段连成，F号图形由4条线段连成，

因此，这些图形中一共有线段5+3+-4+3+5+4 = 24（条）．

4．★小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游．要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺序？

答案：6种

解答：小明游览这三个旅游景点共有6种不同路线，

如下图所示：

5．★★小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方中选2个去旅游，小王有多少种不同的选择？如果小王想去其中的3个地方，又有多少种选择？

答案：6种；4种

解答：(1)①如果小王去青岛，那么他还要从三亚、桂林、杭州中选择一个去旅游，有3种情况，即：青岛与三亚，青岛与桂林，青岛与杭州；

②如果小王不去青岛而去第二个城市三亚，那么他还要从桂林、杭州中选择一个去旅游，有2种情况，即：三亚与桂林，三亚与杭州；

③如果小王青岛、三亚都不去，那么池只能去桂林、杭州，有1种情况．

如下图所示：

综上所示，小王的选择有3+2+1=6（种）

（2）从反面思考问题，4个城市中选择了3个。相当于选出一个城市不去，因此每个城市都有可能被小王排除而选择其他3个城市游览方案自然也有4种了。

6．★★小烧饼每个5角钱，大烧饼每个2元钱．墨莫一共有6元钱，如果把这些钱全部用来买烧饼，一共有多少种不同的买法？

答案：4种

解答：由于买的大烧饼不能超过3个，则分别考虑买的大烧饼有0个、1个、2个、3个这四种情况：

①如果没有买大烧饼，他的6元钱就都用来买小烧饼了，小烧饼就要买12个；、

②如果买了1个大烧饼，他还剩6-2=4（元）就只能买8个烧饼；

③如果买了2个大烧饼，他还剩6-2×2=2（元），只能买4个烧饼；

④如果买了3个大烧饼，此时他的钱都用完了，不能再买小烧饼了。

即：

因此，如果墨莫把钱都花完，就可以有以上4种买法．

逻辑推理解题技巧大全之演绎推理

逻辑推理大全之演绎推理 演绎推理 1.推理及其分类 所谓推理，是指由一个或几个已知的判断推导出另外一个新的判断的思维形式。一切推理都必须由前提和结论两部分组成。一般来说，作为推理依据的已知判断称为前提，所推导出的新的判断则称为结论。推理大体分为直接推理和间接推理。只有一个前提的推理叫直接推理。例如： 有的高三学生是共产党员，所以有的共产党员是高三学生。 一般有两个或两个以上前提的推理就是间接推理。例如： 贪赃枉法的人必会受到惩罚，你们一贯贪赃枉法，所以今天你们终于受到法律的制裁和人民的惩罚。 一般说，间接推理又可以分为演绎推理、归纳推理和类比推理等三种形式。(1)演绎推理。所谓演绎推理，是指从一般性的前提得出了特殊性的结论的推理。例如： 贪赃枉法的人是必定会受到惩罚的，你们一贯贪赃枉法，所以，你们今天是必定要受到法律的制裁、人民的惩罚的。 这里，“贪赃枉法的人是必定会受到惩罚的”是一般性前提，“你们一贯贪赃枉法”是特殊性前提。根据这两个前提推出”你们今天是必定要受到法律的制裁和人民的惩罚的”这个特殊性的结论。 演绎推理可分为三段论、假言推理和选言推理。 (2)归纳推理。归纳推理是从个别到一般，即从特殊性的前提推出普遍的一般的结论的一种推理。一般情况下，归纳推理可分为完全归纳推理、简单枚举归纳推理。 完全归纳推理，也叫完全归纳法，是指根据某一类事物中的每一个别事物都具有某种性质，推出该类事物普遍具有这种性质的结论。正确运用完全归纳推理，要求所列举的前提必须完全，不然推导出的结论会产生错误。例如： 在奴隶社会里文学艺术有阶级性；在封建社会里文学艺术有阶级性；在资本主义社会里文学艺术有阶级性；在社会主义社会里文学艺术有阶级性；所以，在阶级

简单枚举三年级奥数

简单枚举 知识要点：简单枚举是一种重要的数学思考方法。运用这种方法解题，关键是分类要全，枚举要清。分类要全是指不能遗漏任何一种可能的类型；枚举要清是指要将每一个符合条件的对象都列举出来。对于容易划分类型、符合条件的对象也不太多时，简单枚举是一种较简便的方法。 经典例题：用数字1、3、4可以组成多少个不同的三位数？ 解：一个三位数由百位数字、十位数字和个位数字组成。我们可以根据百位上数字的不同将它们分成3类： 1、百位上数字是1，有：134，143 2、百位上数字是3，有：314，341 3、百位上数字是4，有：413，431 共有：2+2+2=6（个）或 2×3=6（种） 答：可以组成6个不同的三位数。 小试牛刀： 用数字3，8，9可以组成多少个不同的三位数？ 举一反三： 1、用数字0，2，5可以组成多少个不同的三位数？ 2、现有一张1元、两张5元和一张10元的人民币，一共可以组成多少种不同的币值？ 3、两个整数相除，其中除数是一位数，商是5，余数是6，求被除数是多少？

融会贯通： 用0，2，5，9可以组成多少个能被5整除的三位数？ 综合练习： 1从小华家到学校有3条路可以走，从学校到文峰公园有4条路可以走，从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？ 2、新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售，小名想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同的买法？ 3、从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达，从甲地到丙地有多少种不同的走法？ 4、有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次？

5、6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？ 6、小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两个人都要我一次手，他们一共握了多少次手？ 7、上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票？ 8、一条公路上，共有8个站点，那么共有多少种不同的车票？ 9、明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子，最多可搭配成多少种不同的装束？

常用算法枚举法

实验五常用算法：枚举法递推法迭代法 一、实验目的 掌握枚举法，递推法、迭代法这3种常用算法。 二、实验内容 1.编程求和： [提示] 令各项为b0,b1,b2,…bn 则b0 = a b1 = b0×10+a b2 = b1×10+a… 即每一项由前一项乘以10加a递推得到，然后求和。 2.编程求出所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其 各位数字的立方和等于该数本身，例如153是一个“水仙花数”，因为153＝ 13+53+33。要求采用枚举法。 3. 范例：设函数f(x)定义在区间[a,b]上，f(x)连续且满足f(a) ×f(b)<0,求f(x)在[a,b]上的根。采用割线法，迭代公式为： x i+1= x i+( x i-1- x i)/(f(x i)-f(x i-1))*f(x i) 其代换规律为：首先用两端点函数值的绝对值较大者的对应点作为x i-1，较小者 作为x i，即如果|f(a)|<|f(b)|，则将a赋给x i-1，将b赋给x i。用迭代公式得出x i+1， f(x i+1)。 误差定义为： ⊿x =( x i-1- x i)/(f(x i)-f(x i-1))*f(x i) 当⊿x<ε或f(x i+1)==0则结束运算。否则用(x i,f(x i))代替(x i-1,f(x i-1))，(x i+1,f(x i+1))代替(x i,f(x i))，继续迭代。 求解方程：x*lg(x)=1的实根的近似值，误差不超过0.001。 [提示]令 f(x)=xlgx-1,则f(2)≈-0.398<0,而f(3)≈0.431>0，由此可知根 在2与3之间。 #include #include using namespace std; const max=30; double a=2,b=3,ep=0.001; int main(){ int maxit,j; double x1,x2,temp,f1,f2,dx; f1=a*log10(a)-1; f2=b*log10(b)-1; if(f1*f2>=0){ cout<<"初值错！"<

三年级下册奥数试题简单枚举(一)人教版

简单枚举（一） 知识导航 数学问题中有些问题的答案具有多样性，直接解答比较困难，我们可以采用一一列举的方法来解决。像这样通过列举各种情况使问题得到顺利解决的数学方法，我们称之为简单枚举 典型例题1 从小辉家到学校有2条路可以走，从学校到人民公园有3条路可以走，从小辉家经过学校到人民公园，有多少种不同的路线？ 举一反三1 1、从小强家到学校有3条路可以走，从学校到文化宫有2条路可以走，从小强家经过学校到文化宫，有多少不同的路线？ 2、从甲地到乙地，有3条直达公路，从乙地到丙地，有4条直达铁路，从甲地经过乙地到达丙地，有多少种不同的路线？

3、书店有5中不同的电脑书，4种不同的手工书，小希想买一本电脑书和一本手工书，共有多少种不同的组合？ 经典例题2 小雨又4件不同的上衣，2条不同的裤子，如果将上衣和裤子搭配，请问小雨一共有多少种不同的穿法？ 举一反三2 1、小琳有3件不同的体恤，3条不同的裙子，问她一共有多少种不同的穿法？ 2、小鸭、小鸡、小鹅三个动物排成一排，有多少种不同的排法？

3、用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成几种不同的信号？ 典型例题3 小雨又4件不同的上衣，2条不同的裤子，3双不同的鞋子，最多可以搭配成多少种不同的装束？ 举一反三3 1、晓琳有3件不同的上衣，5条不同的裤子，4双不同的鞋子，最多可搭配成多少种不同的装束？ 2、小玲的芭比娃娃有6件不同的体恤，3条不同的牛仔裤，5双不同的鞋子，小玲最多可为芭比娃娃搭配多少种不同的装束？

3、小玉有5支钢笔，3个文具盒，4块橡皮，他要每样选一种送给同桌作为生日礼物，他有多少种不同的选法？ 经典例题4 用2、4、6这三个数字可以组成多少个没有重复数字的两位数？ 举一反三4 1、用1、7、5这三个数字可以组成多少个没有重复数字的两位数？ 2、用2、 3、9、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 3、用6、 4、 5、8这四个数字可以组成多少个没有重复数字的两位数？

小学三年级奥数--第七讲--枚举法(一)(学生版)

第七讲枚举法（一） 学习内容：用枚举法一一列举可能的情况 学习目标：1、做到不重补漏，把复杂的问题简单化 2、按照一定的规律，特点去枚举 3、从思想上认识到枚举的重要性 课题引入 枚举法是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是容易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意一下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 知识点拨 在数学问题中，有些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答，让人感到无从下手。对此，我们可以先初步估计其数目的大小。若数目不是太大，就按照一定的顺序，一一列举问题的可能情况；若数目过大，并且问题繁杂，我们就抓住对象的特征，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。

这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。 例题精讲 例1、用数字1、3、4可以组成多少个不同的三位数？ 例2、用0，2，5，9可以组成多少个能被5整除的三位数？ 例3、从1数到100，一共数了多少个3？ 例4、有8张卡片，上面分别写着自然数1至8。从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9。问有多少种不同的取法？ 例5、现在1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法？

简单枚举个性化教案

- 1 - 简单枚举 专题解析： 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 例1.小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？ 分析与解答：为了帮助理解题意，我们可以画出如上示意图。 我们把小华的不同走法一一列举如下：根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也有4种不同走法，共有4×3=12种不同走法。 练习一 1.从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法？ 2.新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？ 例2.用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？ 分析与解答：要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举。可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号，绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，因而共有3个2种不同排列方法，即2×3=6种。 练习二 1.用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？○○○

2.用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？ 例3.一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？分析与解答：由于长方形的周长是22米，可知它的长与宽之和为11米。下面列举出符合这个条件的各种长方形： 练习三 1.一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？ 2.3个自然数的乘积是18，问由这样的3个数所组成的数组有多少个？如（1.2.9）就是其中的一个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1.2.9）和（2.9，1）是同一数组。 例4.有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？ 分析与解答：把4个小朋友分别编号：A、B、C、D，A与其他小朋友打电话，应该打3次，同样B小朋友也应打3次电话，同样C、D应该各打3次电话。4个小朋友，共打了3×4=12次。但题目要求两个小朋友之间只要通一次电话，那么A打电话给B时，A、B两人已经通过话了，所以B没有必要再打电话给A，照这样计算，12次电话中，有一半是重复计算的，所以实际打电话的次数是3×4÷2=6次。 练习四 1. 6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？ 2.小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？ 课后练习 1.明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不同的装束？ 2.用数字1、2、 3.可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？ 3把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？ 4.有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？ 2

枚举法(一)

共有几条路？ 有一天，小兔去小猴家找小猴一起去图书馆看书，而从小兔家到小猴家不能直接到达，必须要经过公园或小田鼠家(如下图)，小朋友们找一找，从小兔家到小猴家共有几条路可以走？ 枚举法（一）

用3、6、9三个数字可以组成多少个不同的三位数？(不能重复使用) 【拓展】(★★★) 用3、6、9、0四个数字可以组成多少个不同的四位数？(不能重复使用) 请问：从“1”写到“50”一共写了多少个数字“1”呢？ 【拓展】(★★★) 乐乐在家做寒假作业，其中有一道题是要从1写到100，你知道当她写完时一共写了多少个数字“9”吗？ 1、2、3、4、…、98、99、100 把16个同样大小的正方形拼成1个长方形，可以拼成几个不同的长方形。 露露最近迷上了集邮，一天她收集到了3张3角邮票和2张5角邮票，请你帮她算一算，她用这些邮票可以组成多少种不同的邮资？ (★★) (★★★) (★★★) (★★★★)

小蜜蜂家门前共有5级台阶。她发现每天上楼梯的方法都不相同，小蜜蜂很想研究一下这个问题。如果规定一步只能登上一级或两级台阶，小朋友帮她算一算上这个台阶共有多少种不同的走法？ 艾伦给4个好朋友写信。由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了。4个好朋友收到的都是给别人的信。问艾伦装错的情况共有多少种可能 ? 【拓展】(★★★★★) 威尔喜欢吃披萨、汉堡和薯条三种快餐。他在相邻的两天不会吃同一种。现在他第一天吃的是披萨，第五天也是吃的披萨，那么在这五天里他的食谱有多少种安排方案？ (★★★★) (★★★★★)

在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！ 1．用分别写着0、5、6、9的四张卡片，可以组成多少个不同的三位数？（不能重复使用） A．15 B．16 C．17 D．18 2．安迪、乐乐、威尔、琳达、艾伦五个小朋友握手，每两个小朋友握一次，每个人都要握到，他们一共要握几次手？ A．6 B．10 C．15 D．21 3．从甲地到乙地有乘飞机、坐火车两种不同的方法，从乙地到丙地有乘飞机、坐火车和乘船三种不同的方法。问：从甲地经过乙地到丙地共有多少种不同的方法？ A．4 B．5 C．6 D．10 4．商店有围巾3种，每种价钱依次是14元、12元和10元。帽子有5种，每种价钱依次是13元、11元、9元、7元、和5元。如果一顶帽子和一条围巾配成一套，每套可以有多少种不同价钱？ A．7 B．8 C．9 D．10

第2讲 简单枚举

第2讲枚举法（一） 枚举法：就是把所有的情况一一列举出来。 1、有序枚举（有顺序要求） 例1 小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这四个地方中选2个去旅游，有多少同不同的选择方式？ 如果小王想去其中的3个地方，又有多少种选择方式？ 用连线的方式表示小王准备游览的两个城市，看看有几种情况？ 三个又该怎样连呢？ 练习 1、妈妈去超市买水果，想从香蕉、橘子、西瓜、桃子、李子这5种水果中选择2种，有多少种不同的选择方法？如果选择4种呢？ 两个数的和是10，差是4，这两个数究竟是多少？ 你知道吗？ 桂 林 青 岛 三 亚 杭 州 青 岛 三 亚 桂 林 杭 州

2、超市里卖的饮料有可乐、雪碧、芬达、冰红茶、橙汁等五种，小月想要买两瓶不同的饮料，她有多少种不同的选择方法？ 2、无序枚举（没有顺序要求） 例2 张奶奶去超市买了12盒牛奶，发现这些牛奶需要装在2个同样的袋子里，并且每个袋子最多只能装10盒，张奶奶一共有几种不同的装法？ 第一袋中牛奶的盒数 第二袋中牛奶的盒数 练习 1、把15个玻璃球分成两堆，一共有几种不同的分法？这两堆球的个数可能相差几个？ 2、把5个小朋友分成2组，共有多少种不同的方法？

1、从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法？ 2、用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？ 3、用数字1、2、3，可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？ 4、6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？ 5、上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票？

小学奥数专题枚举法_通用版

2019年小学奥数计数专题——枚举法1．如图，有8张卡片，上面分别写着自然数l至8．从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9．问有多少种不同的取法? 2．从l至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法? 3．现有1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法? 4．妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？ 5．有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少订99份，最多101份．问：共有多少种不同的订？ 6．在所有四位数中，各个数位上的数字之和等于34的数有多少个? 7．有25本书，分成6份．如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种分法? 8．小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书，共10册．已知甲、乙、丙、丁这4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元，而且每种书至少买了一本．那么，共有多少种不同的购买方法? 9．甲、乙、丙、丁4名同学排成一行．从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种? 10．abcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为l，2，3，4中的某个数字，但彼此不同，例如2134．请写出所有满足关系ae，c

不完全归纳推理

什么是不完全归纳推理 不完全归纳推理，又称“不完全归纳法”，它是以某类中的部分对象（分子或子类）具有或不具有某一属性为前提，推出以该类对象全部具有或不具有该属性为结论的归纳推理。 不完全归纳推理的特点 不完全归纳推理由于前提只考察了某类事物中的部分对象具有这种属性，而结论却断定该类事物的全部对象都具有这种属性，其结论所断定的范围显然超出了前提所断定的范围，所以，前提同结论之间的联系是或然的。也就是说，即使前提真实，推理形式正确，其结论也未必一定是真的。 不完全归纳推理的类型 不完全归纳推理分为两类，一是简单枚举法，一是科学归纳法。 一、简单枚举法 简单枚举归纳推理，又称“简单枚举法”，它是这样一种不完全归纳推理：它根据某类中的部分对象（分子或子类）具有或不具有某一属性，并且未遇反例之前提，推出该类对象全部具有或不具有该属性之结论。其形式如下： S1是（或不是）P; S2是（或不是）P; S3是（或不是）P; ……; Sn是（或不是）P. （S1，S2，S3,……,Sn是S类的部分对象，枚举中未遇反例） 所以，所有S都是（或不是）P. 上式中的S1，S2，S3,……,Sn.可以表示S类的个体对象，也可以表示S类的子类。 二、科学归纳法 科学归纳推理，又称“科学归纳法”，它是以科学分析为主要依据，由某类中部分对象与其属性之间所具有的因果联系，推出该类的全部对象都具有某种属性的归纳推理。其形式为： S1是P;

S2是P; S3是P; ……; Sn是P. （S1，S2，S3,……,Sn是S类的部分对象，它们与P之间有因果联系） 所以，所有S都是P. 所谓因果联系是指原因和结果之间的联系。原因和结果本是哲学中的一对范畴。它是对自然界和社会领域中普遍存在的一种必然联系的哲学概括和反映。所谓原因，就是引起某现象出现的现象；所谓结果，就是被某现象引起的现象。 例如，某甲未付货款在先，致使某乙未交货物。甲的行为就是乙未交货的原因，乙未交货就是甲未付款的结果。 不完全归纳法的作用 不完全归纳法的特点是结论所断定的范围超出了前提所断定的范围，结论的知识往往不只是前提已有知识的简单推广，而且还揭示出存在于无数现象之间的普遍规律性，给我们提供全新的知识，尤其是科学的普遍原理。人们要认识周围的事物，首先必须对事物的现象进行大量的观察和实验，然后根据观察和实验所确认的一系列个别事实，应用不完全归纳法由个别的知识概括成为一般的知识，从而达到对普遍规律性的认识。所以，不完全归纳法在探求新知识的过程中具有极为重要的意义。

小学二年级数学简单枚举练习题

小学二年级数学简单枚举练习题 1. 一条公路上，共有8个站点，如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔3个车站），那么共有多少种不同的车票？ 2. 李老师要把19颗星星分给两个小朋友，每个小朋友都要分到，可以怎么分？共有几种分法？ 3. 用1元、2元和5元币中的两张，一共可以组成几种不同的钱数？ 4. 三个自然数的乘积是24，问由这样的三个数所组成的数组有多少个?如(1，2，12)就是其中的一个，而且要注意数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如(1，2，12)和(2，12，1)是同一数组. 5. 在10和31之间有多少个数是3的倍数? 6. 6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少场比赛？ 7. 一条公路上，共有10个站点，如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那么这样的车票共有多少种？ 8. 上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票？ 9. 小娟出席由10人参加的生日会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？ 10. 幼儿园张老师要把14颗糖分给两个小朋友，每个小朋友都要分到，可以怎么分？共有几种分法？ 11. 一条公路上，共有12个站点，如果每个起点到终点只用一种车票（中间至

少相隔6个车站），那么这样的车票共有多少种？ 12. 有4位小朋友，寒假中每两人都互通一次电话，他们一共打了多少次电话？ 13. 用1、2、3三个数字可以组成多少不同的三位数？分别是哪几个数？ 14. 明明要到文具店买东西，他看到了两个非常漂亮的文具盒和三支笔，如果要挑选一个笔盒和一支笔，请问有多少种不同的挑法？ 15. 一个学习小组有五个人，如果每个人都与其余的人握一次手，问：五个人总共握了几次手？ 16. 用红、黄、蓝三种颜色涂三个圆圈，每个圆圈的颜色都不一样，一共有多少种不同的涂法？ 17. 小淘气跟妈妈爸爸外出游玩时要带两个球和三条绳子，妈妈只许他拿走一条绳子和一个球，问他有几种挑法？ 18. 用红、黄、绿三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？

演绎推理经典14种方法20例题详解

演绎推理经典14种方法20例题详解 一、矛盾关系的推理 矛盾关系是指两个语句或命题之间不能同真（必有一假），也不能同假（必有一真）。 不能同真，就是说当其中一个命题真时，另一个命题必假；不能同假，就是说当其中一个命题假时，另一个命题必真。例如，“我们单位所有职工都买了保险”与“我们单位有些职工没有买保险”之间是矛盾关系，“我们单位所有职工都没有买保险”与“我们单位有些职工买了保险”之间也是矛盾关系，“张云是总经理”与“张云不是总经理”之间也具有矛盾关系。 根据直言命题之间的矛盾关系必有一真，必有一假，我们可以求解一些问题。 例题1 莎士比亚在《威尼斯商人》中，写富家少女鲍细娅品貌双全，贵族子弟、公子王孙纷纷向她求婚。鲍细娅按照其父遗嘱，由求婚者猜盒定婚。鲍细娅有金、银、铅三个盒子，分别刻有三句话，其中只有一个盒子，放有鲍细娅肖像。求婚者通过这三句话，猜中鲍细娅的肖像放在哪只盒子里，就嫁给谁。三个盒子上刻的三句话分别是： （1）金盒子：“肖像不在此盒中。” （2）银盒子：“肖像在铅盒中。” （3）铅盒子：“肖像不在此盒中。” 鲍细娅告诉求婚者，上述三句话中，最多只有一句是真的。如果你是一位求婚者，如何尽快猜中鲍细娅的肖像究竟放在哪一个盒子里？ A．金盒子。B．银盒子。C．铅盒子。D．要么金盒子要么银盒子。E．不能确定。 例题2

某珠宝店失窃，甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘审。四人的口供如下： 甲：案犯是丙。 乙：丁是罪犯。 丙：如果我作案，那么丁是主犯。 丁：作案的不是我。 四个口供中只有一个是假的。 如果上述断定为真，那么以下哪项是真的？ A．说假话的是甲，作案的是乙。B．说假话的是丁，作案的是丙和丁。 C．说假话的是乙，作案的是丙。D．说假话的是丙，作案的是丙。 E．说假话的是甲，作案的是甲。 二、三段论 三段论就是指由三个命题构成的推理。具体说来，三段论是由包含着一个共同因素（逻辑中介）的两个命题推出一个新的命题的推理。例如： 所有阔叶植物都是落叶的， 所有葡萄树都是阔叶植物， 所以，所有葡萄树都是落叶的。 上述推理中的共同因素就是“阔叶植物”。进行三段论推理，关键就是要看这个共同因素能否把两个前提连接起来推出结论。如果连接不起来，则三段论就是错误的。例如，英雄难过美人关， 我难过美人关， 所以，我是英雄。

三年级数学简单枚举讲义

一对一个性化辅导教案

简单枚举 一、专题导引 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 二、你1对1 【例1】从小华家到学校有3条路可以走，从学校到岐江公园有4条路可以走，从小华家到岐江公园，有几种不同的走法？ 【试一试】 1. 从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路可以直达，从甲地到丙地有多少种不同的走法？ 2. 新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售，小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同的买法？ 【例2】把4个同样的苹果放在两个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？

1．把5个同样的苹果放在两个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？ 2．把7个同样的苹果放在三个同样的盘子里，不允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？ 【例3】从1～6这六个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于7，能有多少种取法？ 【试一试】 1．从1～9这九个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于10，能有多少种取法？ 2．从1～19这十九个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于20，能有多少种取法？ 【例4】一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？

1．一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？ 2．把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？ 【例5】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？ 【试一试】 1．6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？ 2．有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？ 三、培优提高看名校 【※例1】一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那么这样的车票共有多少种？

基础算法(一)枚举法

基础算法（一）枚举（穷举）法 无论什么类型的试题，只要能归纳出数学模型，我们尽量用解析方法求解，因为一个好的数学模型建立了客观事物间准确的运算关系。 在一时找不出解决问题的更好途径时，可以根据问题中的约束条件，将所有可能的解全部列举出来，然后逐一验证是否符合整个问题的求解要求。 一、枚举法的基本思想: 从可能的解集合中一一穷举各元素，用题目给定的检验条件判定哪些是有用的，哪些是无用的，能使命题成立的，即为其解。 这种思维方法主要是基于计算机运算速度快的特点。 二、枚举法解题思路： 1、对命题建立正确的数学模型； 2、根据命题确定数学模型中各变量的变化范围（即可能解的范围）； 3、利用循环语句、条件判断语句逐步求解或证明。 三、枚举法的特点： 算法简单，但运算量大。 对于可能确定解的范围，又一时找不到更好的算法时，可以采用枚举法。 1、求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A、B、C为1～3之间的整数。 2、鸡兔同笼问题（在同一个笼子里有鸡和兔子若干只，从上面看，能看到 20个头，从下面看，能看到60只脚，问鸡兔各有多少只？） 3、百钱百鸡问题（一百块钱要买一百只鸡，这一百只鸡必须包含母鸡、公 鸡和小鸡，其中，公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只，问有哪些购买方案？） 4、水仙花数问题（ABC=A3+B3+C3,列出所有的整数ABC） 5、一根29厘米长的尺子，只允许在上面刻7个刻度，要能用它量出1～29 厘米的各种长度，试问刻度应该怎样选择？ 6、猴子选大王：有M个猴子围成一圈，每个有一个编号，编号从1到M。 打算从中选出一个大王。经过协商，决定选大王的规则如下：从第一个开始，每隔N个，数到的猴子出圈，最后剩下来的就是大王。 要求：从键盘输入M，N，编程计算哪一个编号的猴子成为大王。 参考程序：

归纳推理

1、什么是归纳推理？ 归纳推理是以个别知识为前提推出一般知识为结论的推理。归纳推理的实质—概括性 2、课本所涉及的归纳概括有两种：简单枚举归纳和统计归纳 （一）简单枚举归纳：根据一类事物中部分个体对象具有（或不具有）某种属性，从而推出该类事物全部对象都具有（或不具有）某种属性。 简单枚举归纳推理的逻辑结构式 S 1是（不是）P S 2是（不是）P S 3是（不是）P …… S n 是（不是）P （S 1、S 2、S 3……S n 是S 类的部分对象，且没有出现反例） —————————————————————— 所以，所有的S 是（不是）P 评价：用途非常广泛，可以适用于各种场合。在探求新知识的过程中具有极为重要的意义。但是，它也有缺点，这就是它的结论是或然的，因此，在归纳推理中，逻辑学要解决的一个中心课题就是“如何提高结论的可靠性”。（尽量广泛考察个体对象。因为被考察对象的范围愈广，结论的可靠性程度愈高。一旦发现反例，就应该推翻原来带有普遍性的结论。。避免“轻率概括”或“以偏概全”。）

（二）统计归纳：根据被考察的样本中百分之几的对象具有（或不具有）某属性，从而推出总体百分之几的对象具有（或不具有）某属性。即样本推广到全体 统计归纳推理格式： 在若干个A 的样品中观察到有X 百分比的A 有 属性B 。 所以，所有A 中有X 百分比的A 有属性B 样本中百分之几的S 是P 所以，总体百分之几的S 是P 评价：统计归纳推理是由样本推广到全体，因此，结论也是或然。也要注意提高结论的可靠性程度。（第一，观测的次数愈多，考察的范围愈广，结论的可靠性程度愈高。第二，概率的推算不是一劳永逸的，要随着客观实际的发展不断地进行新的推算。确

三年级数学简单枚举

第20讲简单枚举 一、知识要点 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 二、精讲精练 【例题1】从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？ 练习1： 1、从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法？

2、新华书店有3种不同的英语书，4 种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？ 例题2】用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？ 练习2： 1、用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？ooo 2、用数字1、2、3. 可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？

【例题3】一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？ 练习3： 1、一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？ 2、把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法? 【例题4】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话?

练习4: 1、6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛? 2、有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话? 【例题5】一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那么这样的车票共有多少种？ 123 + 557B9 10 练习5： 1、上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票？

浅谈归纳推理在生活中的应用

浅谈归纳推理在生活中的应用 刘美辰 哈尔滨师范大学（黑龙江省哈尔滨150025） 指导教师鲍曼教授 摘要：归纳推理是一个思维逻辑很强的推理，是数学中非常重要的一部分。归纳法更是应用到初高中数学的课本中，成为学生对于初等逻辑的认识。逻辑学中的归纳推理在法律，医学，哲学中都可以应用，是一个涉及多门学科的重要逻辑思维。本篇论文主要讨论归纳推理的定义、分类、性质、和在生活中的应用，着重讨论多种归纳方法之间的不同和相同之处，对比其间的特点和作用，通过比较更加深刻的了解归纳方法的思路，讨论如何利用归纳推理的逻辑思维来研究生活中出现的问题。 关键字：归纳逻辑定义性质应用 通过以往的学习我们知道在学习数学的过程中，逻辑思维尤为重要。归纳法是数学中非常重要的证明方法，在解决命题真假起到重要的作用。 一．归纳推理的定义 归纳推理是由个别事物或现象推出该类事物或现象的普遍规律的推理。它是一种非论证的推理。归纳推理可以根据其前提是否涉及了一类事物中的全部对象，分为完全归纳和不完全归纳推理两大类。例1： 直角三角形内角和是180度：锐角三角形内角和是180度;钝角三角形内交合是180度；直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形；所以，一切三角形内角和都是180度。 这个例子从直角三角形，锐角三角形和钝角三角形内角和分别都是180度，这些个别性知识，推出了“一切三角形内角和都是180 度”这样的一般性结论，就属于归纳推理。 （一）不完全归纳推理定义

不完全归纳推理，就是根据其类事物中部分对象具有或不具有的某一属性，推出该类全部对象具有或不具有该属性的结论的归纳推理。 （二）完全归纳推理的定义 在研究某类事物的一切特殊情况或没一个子类的情况后所得到的共同属性的基础上，作出关于该事物的一般性结论的推理方法，成为完全归纳推理（又称完全归纳法）。 说明1.传统逻辑的不完全归纳推理，包括简单枚举归纳推理和科学归纳推理两种。 2.完全归纳法一般有两种相似的推理形。 二．不完全归纳和完全归纳推理的分类 （一）不完全归纳推理的分类 1.简单枚举归纳推理 （1）简单枚举归纳推理的定义 简单枚举归纳推理是以经验的认识为主要依据，从某种的多次重复而又未发现反例，来推出一般性的结论。 简单枚举归纳推理又称为简单枚举法。 例2： 强奸案有社会危害性， 诈骗案有社会危害性， 抢劫案有社会危害性， ：

归纳逻辑 练习题答案

For personal use only in study and research; not for commercial use For personal use only in study and research; not for commercial use 第八章归纳逻辑练习题答案 一、下列结论能否通过完全归纳推理得到？为什么？ 1. 不能。因为原子的数量无穷，不能对一切原子的可分性进行考察。 2. 不能。因为不可能对过去，现在和将来所有的人逐个进行考察。 3. 不能。因为“蚂蚁搬家”、“老牛大叫”等属于经验现象，这些现象反复出现，数量不可计算，无法逐个考察完全。 4. 能。因为数目只有五个。 5. 能。因为“我们厂的车间”的个数是确定的、有限的。 6. 不能。因为绿色植物的数量很多，不能毫无遗漏地逐个考察完全。 7. 不能。因为时间是无限的。 8. 能。因为两个特称命题无非三种情况，即II、IO和OO。 9. 不能。因为无法对全部数量的乌鸦进行考察。 10. 能。因为社会形态只有原始、奴隶、封建、资本主义、社会主义和共产主义。 二、请指出下列归纳推理形式的种类，并写出其逻辑形式。 1. 简单枚举归纳推理。逻辑形式是： S1是P S2是P S3是P …… Sn是P S1，S2，S3，…，Sn是S类的部分对象 并且不存在Si(i=1,2，…，n)不是P 所以，所有的S是P 2. 完全归纳推理。逻辑形式是： S1是P S2是P S3是P …… Sn是P S1，S2，S3，…，Sn是S类的全部对象 所以，所有的S是P 3. 科学归纳推理。逻辑形式是： S1是P S2是P S3是P …… Sn是P S1，S2，S3，…，Sn是S类的部分对象 并且S和P之间存在因果联系 所以，所有的S是P

举一反三-三年级奥数分册第十九周 简单枚举

第十九周简单枚举 专题简析： 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。

例题1从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？ 为了帮助理解题意，我们可以画出如上示意图。 我们把小华的不同走法一一列举如下： 根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也有4种不同走法，共有4×3=12种不同走法。

练习一 1，从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法？ 2，新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？ 3，明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不同的装束？

例题2用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？ 思路导航：要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举： 红绿黄红 绿黄红绿黄红绿黄红绿黄 黄绿红从上面可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号，绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，因而共有3个2种不同排列方法，即2×3=6种。 练习二 1，用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？ ○○○ 2，用数字1、2、3，可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？ 3，用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？

完全归纳推理和不完全归纳推理

完全归纳推理和不完全归纳推理 1.完全归纳推理 先看一个实例：当着天文学家对太阳系的大行星运行轨道进行考察的时候，他们发现：水星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，金星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，地球是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，火星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，木星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，土星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，天王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，海王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，冥王星是沿着椭圆轨道绕太阳运行的，而水星、金星、地球、火星、土星、木星、天王星、海王星、冥王星是太阳系的全部大行星。由此，他们便得出如下结论：所有的太阳系大行星都是沿着椭圆轨道绕太阳运行的。这一结论，就是运用完全归纳推理得出的。 可见，完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物的全部个别对象的考察，发现它们每一个都具有某种性质，因而得出结论说：该类事物都具有某种性质。 根据完全归纳推理的这一定义，它的逻辑形式可表示如下(S表示事物，P表示属性)，S1--P S2--P …………… Sn--P (S1,S2……Sn是S类的所有分子) 所以，S--P 从公式可见，完全归纳推理在前提中考察的是某类事物的全部对象，而不是某一部分对象，因此，其结论所断定的范围并未超出前提所断定的范围。所以其结论是根据前提必然得出的，即其前提与结论的联系是必然的。就此而言，完全归纳推理具有演绎的性质。 由于完全归纳推理要求对某类事物的全部对象一一列举考察，所以，它的运用是有局限性的。如果某类事物的个别对象是无限的(如天体、原子)或者事实上是无法一一考察穷尽的(如工人，学生)，它就不能适用了。这时就只能运用不完全归纳推理了。 2.不完全归纳推理 不完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物部分对象的考察，发现它们具有某种性质，因而得出结论说，该类事物都具有某种性质。 第一种情况。主要根据是：所碰到的某类事物的部分对象都具有某种性质，而没有发现相反的情况。比如 -《内经?针刺篇》记载了这样一个故事：有一个患头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破足趾，出了一点血，但头部不疼了。当时他没有引起注意。后来头疼复发，又偶然碰破原处，头疼又好了。这次引起了注意，以后头疼时，他就有意刺破该处，都有效应(这个樵夫碰的地方，即现在所称的"大敦穴")。 现在我们要问，为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破足趾的原处呢?从故事里可见，这是因为他根据自己以往的各次个别经验作出了一个有关碰破足趾能治好头痛的一个一般性结论了。在这里，就其所运用的推理形式来说，就是一个不完全的归纳推理。具体过程是这样的： 第一次碰破足趾某处，头痛好了， 第二次碰破足趾某处，头痛好了， (没有出现相反的情况，即碰破足趾某处，而头痛不好。) 所以，凡碰破足趾某处，头痛都会好，