枚举法
【知识精要】
在数学问题里，有一些计算总数或种类的问题，很难用传统的方法去解答，感到无从下手，对此，我们可以先估计其总数的大小，若数目不大，就可以按照一定的顺序一一列举问题的可能情况；若数目过大，我们就抓住适当的标准，把问题分为有限种情况，分别采用枚举法，最终达到目的，这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。
常用的方法有：列表枚举，画图枚举，标数枚举，倒推枚举和公式枚举。
【例题精讲】
例1 有1张五元币，4张两元币，8张一元币。要拿出8元，可以有所少种不同拿法？
[分析与解答] 如果随便拿8元，那是比较容易做到的。但要把所有情况都想到，并且做到不重复，不遗漏，可以按五元、两元、一元的顺序来列表枚举。
取的张数 4 3 7 6 5 4 8 五元币 1 1 0 0 0 0 0 两元币 0 1 1 2 3 4 0 一元币 3 1 6 4 2 0 8
答： 共有7种不同拿法。
自主训练1
妈妈给小红1张5角，4张2角和8张1角的人民币，从中取出9角买铅笔，有多少种不同的拿法？
例2 暑假里，一个学生在A、B、C三个城市游览。他今天在这个城市，明天就到另一个城市。假如他第一天在A市，第五天又回到A市，问他有几种不同的游览方案？
[分析与解答] 根据游览要求，第二天可能是B市或C市，若为B市，第二天可能是A市或C市；若为C市，第三天可能是A市或B市 EMBED Equation.DSMT4 如此考虑，极有可能会把自己弄糊涂了。但画一个树形图，则会清晰明了地显示出所有的游览方案。
从下图树形图可以看出：在三个城市游览，从A市出发到第五天回到A市，只有6种符合要求的方案。
自主训练2
暑假里，一个学生在A、B、C三个城市游览。他今天在这个城市，明天就到另一个城市。假如他第一天在A市，第五天回到B市，问他有几种不同的游览方案？
例3 如下图，在中国象棋盘上，兵要走最短的距离到对方老将处，共有多少种不同的走法？
[分析与解答] 兵要走最短的距离到到老将处，只能向下向右走。因此可简化为下左图 。
兵走过第一排各点、第一列各点处都是1种走法，在各点处分别标上“1”；经过第二排、第二列各点时，走法则是它前边相邻两点走法的总和 EMBED Equation.DSMT4 依次标数如下右图共得到15种不同的走法。
自主训练3
如果沿下图的线段，经过最短的路程，从A点出发运动到B点，共有多少种不同的走法？
例4 从1到500的自然数中，数字“5”出现了多少次？
[分析与解答] 在1—500这500个数中，“5”可能出现在个位，十位或百位上。
①“5”在个位上：5、15、 EMBED Equation.DS
MT4 95；105、115、 EMBED Equation.DSMT4 295；305、315、 EMBED Equation.DSMT4 495；共 EMBED Equation.DSMT4 次
②“5”在十位上：50、51、 EMBED Equation.DSMT4 59；150、 EMBED Equation.DSMT4 159、250、 EMBED Equation.DSMT4 259、350、 EMBED Equation.DSMT4 359；450、 EMBED Equation.DSMT4 459；共 EMBED Equation.DSMT4 次
③“5”在百位上：1次
所以，数字“5”出现了 EMBED Equation.DSMT4 次
自主训练4 从1到100的自然数中，完全不含数字“2”的数共有多少个？
例5 四张卡片上分别写着1、2、3、4，若每次取3张组成一个三位数，可以组成多少个偶数？
[分析与解答] 依题意得：要组成的数是偶数，所以它的个位上应该是2或4，当个位上是2时，把能组成的三位数是偶数的列举出来：132、142、312、342、412、432，同样，个位是4的也有6个，一共组 EMBED Equation.DSMT4 个。
自主训练5
用0、5、7、3四个数字，问能组成多少个三位数？
例6 有一个长方形的周长是240 EMBED Equation.DSMT4 且长和宽都是整数。问：当长和宽是多少时，它的面积最大？当长和宽是多少时，它的面积最小？
[分析与解答] 因为长方形的周长是240 EMBED Equation.DSMT4 ，所以，长方形的长+宽=120 EMBED Equation.DSMT4 ，由于长和宽都是整数，我们可以像下边那样举例观察。可以看出：当长和宽都是60 EMBED Equation.DSMT4 时，它的面积最大，当长和宽的差最大时，即长119 EMBED Equation.DSMT4 ，宽1 EMBED Equation.DSMT4 时，面积最小。
EMBED Equation.DSMT4
自主训练6 有一铁丝全长48 EMBED Equation.DSMT4 ，现用它组成一个四边形图，面积最大是多少？最小是多少？
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