B
M
C
D
A E F
D
C
B
A
B
D C
F
A
“隐圆”最值问题
分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题。
【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________．
【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC
上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________．
【例2】如图，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点，
M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始
终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________．
【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC 2AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A
旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是 ．
【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角 坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 长的最大值是（ ）
A ．2
B ．1
C ．3
D ．3 【练1】如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC 3A 、B 分别在平面 直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC
长的最大值为_________．
【练2】（2013·武汉中考·16）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，
满足AE = DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边
长为2，则线段DH长度的最小值是__________．
【例4】如图，∠XOY= 45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在
OX、OY上移动，其中AB = 10，那么点O到AB的距离的最大值为__________．
【练】（2013-2014·二中、七一九上期中·16）已知线段AB = 4，在线段AB上取一点P，在AB的同侧作等边△APC和等边△BPD，则线段CD的最小值为_________．【例5】已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB 最大时，则点C的坐标为__________．
【练】当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何处观赏最理想吗
如图，设墙壁上的展品最高点P距底面米，最低点Q距底面
2米，观察者的眼睛E距底面米，当视角∠PEQ最大时，站
在此处观赏最理想，则此时E到墙壁的距离为（）
A．1米 B．米 C．米 D．米
N
M
B
Q
C
P
A
【课外提升】
1．（2010·河南）如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠ABC = 30°，AB = 6， 点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA =
DE ，则AD 的取值范围是（ ）
A ．2 < AD < 3
B ．2 ≤ AD < 3
C ．2 ≤ A
D ≤ 3 D．1 ≤ AD < 2
2．（2012·济南）如图，矩形ABCD 中，AB = 2，AD = 1，当分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动时，矩形ABCD OD 的最大值为（ ）
A
D ．5
2
3．（2013-2014·黄陂区九上期中·10）在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠ABC
= 30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0° < θ < 180° ），得 到△MNC ，P 、Q 分别是AC 、MN 的中点，AC = 2t ，连接PQ ，则旋转时
PQ 长度的最大值是（ ）
A ．
2 B ．
t C
D ．3t
4．已知点A 、B 的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C 是x 轴正半轴上一动点，当∠ACB 最大时，点C 的坐标为__________．
中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析 在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。 在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。 一.考试说明要求 图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。 图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线 解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例： 1、与相似及圆有关的基本图形
隐圆最值问题 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
B M C D A E F D C B A B D C F A “隐圆”最值问题 分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题。 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是 __________． 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________． 【例2】如图，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC 2AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是 ． 【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角 坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 长的最大值是（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．3 【练1】如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC 3A 、B 分别在平面
几何练习题精选 题型一、相似三角形的判定与性质 1、 如图1、在ABC ?中， 90=∠BAC ，BC 边的垂直平分线EM 与AB 及CA 的延长线分别交于D 、E ，连接AM ， 求证：EM DM AM ?=2 2、 如图2，已知梯形ABCD 为圆内接四边形，AD//BC ，过C 作该圆的切线，交AD 的延长线于E ，求证：ABC ?相似于EDC ? 3、 如图3，D B ∠=∠，AE ⊥BC ， 90=∠ACD ，且AB=6，AC=4，AD=12，求BE 的长。
4、 如图4，O Θ和O 'Θ相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D 两点， 连接DB 并延长交O Θ于点E ，证明：（1）AB AD BD AC ?=?；（2）AC=AE 题型二、截割定理与射影定理的应用 1、 如图5，已知E 是正方形ABCD 的边AB 延长线上一点，DE 交CB 于M ，MN//AE 于 N ，求证：MN=MB 2、 如图6，在ABC Rt ?中， 90=∠BAC ，AD 是斜边BC 上的高，若AB ：AC=2：1， 求AD ：BC 的值。
3、 如图7，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上异于A 、B 的点，CD ⊥AB ，垂足为D ，已 知AD=2，CB=34，求CD 的长。 4、 如图8，在ABC ?中，DE//BC ，EF//CD ，若BC=3，DE=2，DF=1，求AB 的长。 题型三、圆内接四边形的判定与性质 1、 如图9、AB ，CD 都是圆的弦，且AB//CD ，F 为圆上一点，延长FD ，AB 相交于点E ， 求证：BD=AC ；（2）DE AF AC AE ?=?
经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单” 一.名称由来 在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！ 二.模型建立 【模型一：定弦定角】 【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 ` 三．模型基本类型图形解读 【模型一：定弦定角的“前世今生”】 【模型二：动点到定点定长】
【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 四．“隐圆”破解策略 牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。 直角必有外接圆，对角互补也共圆。五．“隐圆”题型知识储备
3 六．“隐圆”典型例题 【模型一：定弦定角】 1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB=∠ACP，则线段P B 长度的最小值为_ 。 简答：因为∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。因为A C定长、∠APC=120°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以AC 为边向下作等边△AOC，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O，P在⊙O 上。当B、P、O三点共线时，BP最短（知识储备一：点圆距离）， 此时B P=2 -2 2.如图1所示，边长为2的等边△ABC 的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A 在射线O D 上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。
(902)截一个几何体专项练习30题(有答 案)o k
截一个几何体专项练习30题（有答案）1．用平面去截正方体，在所得的截面中，边数最少的截面是（）A ． 六边形B ． 五边形C ． 四边形D ． 三角形 2．如图所示，用一个平面去截一个圆柱，则截得的形状应为（） A ． B ． C ． D ． 3．如下图，一正方体截去一角后，剩下的几何体面的个数和棱的条数分别为（） A ． 6，14 B ． 7，14 C ． 7，15 D ． 6，15 A ． 圆柱B ． 圆锥C ． 长方体D ． 正方体 A ． 8 B ． 6 C ． 7 D ． 10 6．如图，用平面去截圆锥，所得截面的形状是（） A ． B ． C ． D ． 7．给出以下四个几何体，其中能截出长方形的几何体共有（） A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个 8．请指出图中几何体截面的形状（）
A ． B ． C ． D ． 9．如图是一个长方形截去两个角后的立体图形，如果照这样截去长方形的八个角，那么新的几何体的棱有（） A ． 26条B ． 30条C ． 36条D ． 42条 A．用一个平面去截一个圆锥，可以是椭圆 B．棱柱的所有侧棱长都相等 C．用一个平面去截一个圆柱体，截面可以是梯形 D．用一个平面去截一个长方体截面不能是正方形 A．长方体的截面一定是长方形B．正方体的截面一定是正方形 C．圆锥的截面一定是三角形D．球体的截面一定是圆 A．圆柱的截面可能是三角形B．球的截面有可能不是圆 C．圆锥的截面可能是圆D．长方体的截面不可能是六边形 13．如图所示，几何体截面的形状是（） A ． B ． C ． D ． A ． 七边形B ． 六边形C ． 五边形D ． 四边形
B M C D A E F D C B A B E D C F A “隐圆”最值问题 重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________． 分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。直角对直径所以以AB 为直径画圆。使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________． 分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可 求出最小值 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。接下来考虑重点M 的用途即可。中点的用法可尝试下倍长和中位线。 此题使用中位线。答案是 3722 c x ≤≤ 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC = 22，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是 4242 22 AC -+≤≤． 分析：同例题 【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角
截一个几何体专项练习30题（有答案） 1．用平面去截正方体，在所得的截面中，边数最少的截面是（） A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形 2．如图所示，用一个平面去截一个圆柱，则截得的形状应为（） A．B．C．D． 3．如下图，一正方体截去一角后，剩下的几何体面的个数和棱的条数分别为（） A．6，14 B．7，14 C．7，15 D．6，15 4．用平面去截一个几何体，如截面为长方形，则几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．长方体D．正方体 5．一块豆腐切三刀，最多能切成块数（形状，大小不限）是（） A．8B．6C．7D．10 6．如图，用平面去截圆锥，所得截面的形状是（） A．B．C．D． 7．给出以下四个几何体，其中能截出长方形的几何体共有（） ①球；②圆锥；③圆柱；④正方体． A．4个B．3个C．2个D．1个
8．请指出图中几何体截面的形状（） A．B．C．D． 9．如图是一个长方形截去两个角后的立体图形，如果照这样截去长方形的八个角，那么新的几何体的棱有（） A．26条B．30条C．36条D．42条 10．下列说法中，正确的是（） A．用一个平面去截一个圆锥，可以是椭圆 B．棱柱的所有侧棱长都相等 C．用一个平面去截一个圆柱体，截面可以是梯形 D．用一个平面去截一个长方体截面不能是正方形 11．下列说法上正确的是（） A．长方体的截面一定是长方形B．正方体的截面一定是正方形 C．圆锥的截面一定是三角形D．球体的截面一定是圆 12．下列说法中正确的是（） A．圆柱的截面可能是三角形B．球的截面有可能不是圆 C．圆锥的截面可能是圆D．长方体的截面不可能是六边形 13．如图所示，几何体截面的形状是（） A．B．C．D．
“隐圆”最值问题
B M C D A E F D C B A B D C F A “隐圆”最值问题 分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题。 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________． 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________． 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC = 22，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是 ． 【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角 坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 长的最大值是（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．3 【练1】如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC 3，两顶点A 、B 分别在平面 直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC
六年级数学图形与几何练习题（满分80）一填空（15分） 1、3小时20分=（）小时9公顷200平方米=（）公顷 2、棱长是1分米的正方体，把它切成棱长1厘米的小正方体，摆成一排长（）米。 3、一个棱长总和是48分米的长方体，长、宽、高的比是5:4:3，表面积是（），体积是（）。 4、把一个正方体平均分成两个小长方体，其中一个长方体的表面积是原来正方体表面积的（）。 5、把一个长20厘米、宽15厘米的长方形按1:5缩小后，长是（）厘米，宽是（）厘米，面积缩小到原来的（）。 6、王丽坐在教室最后一排的最后一列上，她的位置可以表示为（6,8），这个班中共有( )名学生。 7、把高10厘米的圆柱分成16等份，拼成近似长方体，表面积增加了80平方厘米，圆柱的体积是（）立方厘米。 8、两个圆的半径分别是3厘米和5厘米，它们周长的比是（），面积的比是（）。 9、一个棱长4分米的正方体铁块，熔铸成底面积是32平方分米的圆锥，圆锥的高是（） 2倍。( ) 7、如果一个圆柱的底面直径和高相等，那么把圆柱的侧面沿高展开是一个正方形。（）
8、一条直线上的两点把这条直线分成两条射线和一条线段，所以射线比直线短。（ ） 9、.圆有无数条对称轴，而半圆只有一条对称轴。（ ） 10、教室里小华的位置用数对表示是（2,3），他的同桌可以用数对（2,4）表示。（ ） 三、选择 1、一架飞机从某机场向南偏东50°方向飞行了1000米，返回时飞机要向( ) A 、南偏东50°方向飞行1000米 B 、 北偏东50°方向飞行1000米 C 、南偏西50°方向飞行1000米 D 、北偏西50°方向飞行1000米 2、把一段圆钢削成一个最大的圆锥，削去部分重4千克，这段圆钢原来重（ ）千克。 A 、24 B 、6 C 、 12 D 、 8 3、在一个等腰三角形中，已知两条边分别长8厘米和4厘米，这个等腰三角形的周长是（ ）厘米。 A 、12 B 、 16 C 、 20 D 、 16或20 4、甲、乙两个圆的周长之比是2:5，甲、乙的面积比是（ ） A 、2:5 B 、1:5 C 、4:10 D 、 4:25 5、.从上向下看图,应是右图中所示的( ) 四、计算（10分） 3×8×（ 31＋81 ） 3.2×1.25 ×0.25 0.32×6.7＋3.2×0.33 8×（2.5×1.25） 21＋41＋81＋161＋321
B M C D A E F D C B A B E D C F A “隐圆”最值问题 教学目标：让学生掌握各类隐藏圆的最值求法 教学重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________． 分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。直角对直径所以以AB 为直径画圆。使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是______ 25 6 ____． 分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可 求出最小值 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。接下来考虑重点M 的用途即可。中点的用法可尝试下倍长和中位线。 此题使用中位线。答案是 3722 c x ≤≤ 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC = 22，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是4242 22 AC -+≤≤． 分析：同例题
小学几何例题训练带答案 【例 1】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一 条直线上． ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以 BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等． 于是：三角形ABD 的面积12=?高26÷=?高 三角形ABC 的面积124=+?（）高28÷=?高 三角形ADC 的面积4=?高22÷=?高 所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的43 倍； 三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍． 【例 2】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分 别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积． E B A E B A 【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用． 连接BH 、CH ． C D B A
∵AE EB =， ∴AEH BEH S S =△△． 同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH ， ∴1156282 2 ABCD S S ==?=阴影长方形(平方厘米)． 【例 3】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘 米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？ E D C B A 【解析】 因为AD 垂直于BC ，所以当BC 为三角形ABC 和三角形 EBC 的底时，AD 是三角形ABC 的高，ED 是三角形EBC 的高， 于是：三角形ABC 的面积1226BC BC =?÷=? 三角形EBC 的面积32 1.5BC BC =?÷=? 所以三角形ABC 的面积是三角形EBC 的面积的4倍． 【例 4】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC 的面积为1， 其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？ A B E C D C E B A 【解析】 连接CE ，∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE ACB S S = 又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ===． 【例 5】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴 影部分面积为5平方厘米，ABC ?的面积是 平方厘
八年级上册几何题专题训练50题 1. 如图，已知△EAB ≌△DCE ，AB ，EC 分别是两个三角形的最长边，∠A ＝∠C ＝35°，∠CDE ＝100°，∠DEB ＝10°，求∠AEC 的度数． 2. 如图,点E 、A 、B 、F 在同一条直线上,AD 与BC 交于点O, 已知∠CAE=∠DBF,AC=BD.求证： ∠C=∠D 3.如图，OP 平分∠AOB ，且OA=OB ． （1）写出图中三对你认为全等的三角形（注：不添加任何辅助线）； （2）从（1）中任选一个结论进行证明． 4. 已知：如图，AB ＝AC ，DB ＝DC ，AD 的延长线交BC 于点E ，求证：BE ＝EC 。 5. 如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=28°，求∠B 和∠C 的度数。 7. 写出下列命题的逆命题，并 判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予证明；?如果是假命题，请举反例说明． 命题：有两边上的高相等的三角形是等腰三角形． 8. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90o ， D 是AC 上的一点，且AD=BC ，DE AC 于D ， ∠EAB=90o ．求证：AB=AE ． 9. 如图，等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，B ，P ，Q 三点在一条直线上，且∠ABP =∠ACQ ，BP =CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论． 10. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若AB=13，AC=5，则△ACD 的周长为多少？ 11. 如图所示，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E ，F ，求证：CE ＝DF. 12. 如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，垂足为E ，AD ⊥CE ，垂足为D. (1)判断直线BE 与AD 的位置关系是____；BE 与AD 之间的距离是线段____的长； (2)若AD ＝6 cm ，BE ＝2 cm ，求BE 与AD 之间的距离及AB 的长． 13. 如图，已知 △ABC 、△ADE 均为等边三角形，点D 是BC 延长线上一点，连结CE ， 求证：BD=CE 14. 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥AC 交BC ?于点D ，求证：?BC =3AD . 15. 如图，四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=90°，M 为BD 中点，N 为AC 中点，求证：MN ⊥ AC ． 16、已知：如图所示，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于点E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF=A C ；????? （2）求证：DG=DF ． 17. 如图，点B ，D 在射线AM 上，点C ，E 在射线AN 上，且AB=BC=CD=DE ，已知∠EDM=84°，求∠A 的6. 如图，B 、D 、C 、E 在同一直线上，AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=CE 。 B A E D C
“圆”形毕露（二） 考纲要求： 江苏省高考考试说明中圆的方程是C 级考点,近几年在各地模考和高考中出现频率较高,在题设中没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目中的,要通过分析、转化,发现圆(或圆的方程),从而最终利用圆的知识来求解,我们称这类问题为“隐形圆”问题． 考点解读： 在平面上给定相异两点B A ,,设点P 在同一平面上且满足λ=?(或22PB PA +是定值),则点P 的轨迹是个圆. 小题热身 (1)平面内到原点距离为1的点的轨迹方程为 . (2)从圆1:22=+y x O 外一点P 向圆引两条切线,切点分别是A 、B ,使得∠APB ＝60°,则点P 的轨迹方程为 . (3)已知两点)0,2(),0,2(B A ,若存在点P ,使得∠APB =90°,则点P 的轨迹方程为 . (4)已知两点),0,2(),0,2(B A -若存在点P ,使得 20AP BP λ+=,则点P 的轨迹方程为 . (5)已知两点),0,2(),0,2(B A -若存在点P ,使得1022=+PB PA ,则点P 的轨迹方程为 . 题型一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆
例 1(1)如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a 的取值范围是 ．05 6<-m m B m A ,若圆上存在点P , 使得∠APB =90°,则m 的取值范围是 ． 题型三 两定点B A ,,动点P 满足λ=?PB PA 确定隐形圆 例 3 (2017南通密卷3)已知点)3,2(A ,点)3,6(B 点P 在直线 3430x y -+=上, 若满足等式 20AP BP λ+=的点P 有两个,则实数λ的取值范围是 ． 题型四 两定点B A ,,动点P 满足22PB PA +是定值确定隐形圆
几何图形初步经典测试题含答案 一、选择题 1．图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②所示．则下列图形中，是图②的表面展开图的是（）． A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 试题分析：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 解：由图中阴影部分的位置，首先可以排除C、D， 又阴影部分正方形在左，三角形在右，而且相邻，故只有选项B符合题意． 故选B． 点评：此题主要考查了几何体的展开图，本题虽然是选择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念． 2．下列图形中，是正方体表面展开图的是（） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】 解：A、B、D经过折叠后，下边没有面，所以不可以围成正方体，C能折成正方体． 故选C． 【点睛】 本题考查了正方体的展开图，解题时牢记正方体无盖展开图的各种情形． 3．如图，将矩形纸片沿EF折叠，点C在落线段AB上，∠AEC=32°，则∠BFD等于（）
A．28°B．32°C．34°D．36° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据折叠的性质和矩形的性质，结合余角的性质推导出结果即可. 【详解】 解：如图，设CD和BF交于点O，由于矩形折叠， ∴∠D=∠B=∠A=∠ECD=90°，∠ACE+∠BCO=90°，∠BCO+∠BOC=90°， ∵∠AEC=32°， ∴∠ACE=90°-32°=58°， ∴∠BCO=90°-∠ACE=32°， ∴∠BOC=90°-32°=58°=∠DOF， ∴∠BFD=90°-58°=32°. 故选B. 【点睛】 本题考查了折叠的性质和矩形的性质和余角的性质，解题的关键是掌握折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应角相等． 4．如图，如果用剪刀沿直线将一个正方形图片剪掉一部分，发现剩下部分的周长比原正方形图片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）
B y C x A O 隐圆及几何最值训练题 一、利用“直径是最长的弦”求最值 1.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为（ ） ． 2.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，D 为AC 的中点，过点D 作DE ⊥DF ，DE 、DF 分别交射线AB 、AC 于点E 、F ，则EF 的最小值为 . 二、利用“定点定长存隐圆”求最值 3．（2012年武汉市中考）在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan ∠BOC=m ，则m 的取值范围是_________． 4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是. 5．正方形ABCD 中，BC=4，E ，F 分别为射线BC ，CD 上两个动点，且满足BE=CF ，设AE ，BF 交于G ，则DG 的最小值为（ ）。 D F G C D E
6.（2013年武汉市中考）如图， E 、 F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点 G ，连接BE 交AG 于点 H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 7.（2015年武汉中考）如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点， 直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ） 8.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是沿MN 所在的直线翻折得到△A 'MN ，连接A 'C ，则A 'C 长度的最小值是. 9.（2013年武汉中考）如图，圆A 与圆B 外切于点D ，PC 、PD 、PE 分别是圆的切线，C 、D 、E 是切 点，若∠CDE ＝x °,∠ECD ＝y °，⊙B 的半径为R ，则弧DE 的长度是( ) A.90 )90(R x -π B. 90 )90(R y -π C. 180 )180(R x -π D. 180 )180(R y -π 10.在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （-2，0），点B （0，2），点E ，点F 分别为OA ，OB 的中点.若正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转，得正方形OE ’D ’F ’，若直线AE ’与直线BF ’相交于点P. （1）求∠PAO 的最大值 （2）点P 运动的路径长 M F E G D C A B E C A B D P x y P F' D'D E G A o F E' 第16题图 N M A' D C B A
隐形圆问题 一、确定动点轨迹是圆 【例题 1】如图，已知圆 C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足OC=5，点 P 为圆C 上一动点， 经过点 O 的直线 l 上有两点 A ，且 OA=OB ，∠APB=90°，l 不过点 C ，则 AB 的最小值为 【举一反三】 1、如图，在边长为 2的菱形 ABCD 中，∠ A=60°， M 是 AD 边的中点， N 是 AB 边上的一动 点，将△ AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△ A'MN,连接 A'C ，则 A'C 长度的最小值是 3、如图，已知等边 △ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点 （与点 A 、B 不重合 ）.直线 l 是经过点 P 的一条直线， 把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点 B'.当PB=6时，在直 线 l 变化过程中，则 △ ACB '面积的最大值是 . 4、如图，矩形 ABCD 中，AB ＝4，BC=8，P 、Q 分別是直线 BC 、AB 上的两个动点， AE ＝2， △AEQ 沿 EQ 翻折形成△ FEQ ，连接 PF 、PD ，则 PF+PD 的最小值是 2、如图，在 Rt △ABC 中， ∠C=90°，AC ＝6， 为边 BC 上的动点，将 △ CEF 沿直线 EF 翻折， 小值是 BC=8，点 F 在边 AC 上，并且 CF ＝ 2，点 E 点 C 落在点 P 处，则点 P 到 边 AB 距离的最 第 2
二、定边对直角 知识回顾 :直径所对的圆周角是直角 构造思路 :一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧 图形释义 : 【例题 1】已知正方形 ABCD 边长为 2，E 、F 分别是 BC 、CD 上的动点，且满足 BE ＝ CF ， 连接 AE 、 BF ，交点为 P 点，则 PC 的最小值为 【举一反三】 1、如图， E 、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE ＝DF ，连接 CF 交 BD 于 点 G ，连接 BE 交 AG 于点 H ，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是 2、如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点， 且满足 ∠PAB ＝∠ PBC ，则线段 CP 长的最小值是 若 AB 是一条定线段，且 ∠APB-90 °， 则 P 点轨迹是以 AB 为直径的圆
六年级数学几何操作题专项训练(总2页)
2 O A B C 1、一个小正方形，它的边长增加8厘米后，面积就增加了224平方厘米。求小正方形的边长多少厘米。（提示用方程解） 2、如左图，已知长方形ABCD 的面积是88平方厘米，E 和F 分别是长和宽的中点。 （1）画出长方形ABCD 的所有对称轴。 （2）求出阴影部分的面积。 3、有一块长120米，宽80米的长方形空地，请你按一定的比例，画出空地的平面图，然后在平面图上用阴影 标出4 1 的草坪。（注意：要标明你所采用的比例尺及相 应的长和宽）。 4、圆的面积与长方形的面积相等，已知圆的周长厘米，求阴影部分的周长。 5、一个圆柱底面直径是10厘米，高是20厘米，把圆柱的侧面沿着它的一条高剪开，再打开，然后按1：10的比例尺画出它的侧面展开图。并标明数据。 的面积是平方厘米，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 7、求图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 8、计算下面的阴影部分的面积。（单位：厘米） 9、已知四个等圆的半径分别为6厘米。 （1）求阴影部分的面积和周长。 （2）画出此图的所有对称轴。 10、画两个直径分别为3厘米和1厘米的同心圆，再画出这两个同心圆的两条互相垂直的对称轴。并求出两个 圆之间的环形部分的面积。 11、（1）在下面正方形内，画一个最大的圆，并标出圆心与半径。 （2）计算下面图形阴影部分的面 积。（4%） 已知直径8厘米。 F A B C D E O r 2 3 2 1 2 2 2
12、（1）量出左图的直径是（）厘米。 正方形。 （3）以圆的直径为边长 作一个正方形，使圆在正方形 内。 （4）大正方形的周长是（）厘米。 （5）小正方形的面积是（）平方厘米。 3
隐圆及几何最值训练题 一、利用“直径是最长的弦”求最值 1.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为（ ） ． 2.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，D 为AC 的中点，过点D 作DE ⊥DF ，DE 、DF 分别交射线AB 、AC 于点E 、F ，则EF 的最小值为 . 二、利用“定点定长存隐圆”求最值 3．（2012年市中考）在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限一点，且AC=2．设tan ∠BOC=m ，则m 的取值围是_________． 4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值围是. 5．正方形ABCD 中，BC=4，E ，F 分别为射线BC ，CD 上两个动点，且满足BE=CF ，设AE ，BF 交于G ，则DG 的最小值为（ ）。 E
6.（2013年市中考）如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 7.（2015年中考）如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中 点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 8.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A 'MN ，连接A 'C ，则A 'C 长度的最小值是 . 9.（2013年中考）如图，圆A 与圆B 外切于点D ，PC 、PD 、PE 分别是圆的切线，C 、D 、E 是切点，若∠CDE ＝x °,∠ECD ＝y °，⊙B 的半径为R ，则弧DE 的长度是( ) A. 90 )90(R x -π B. 90 )90(R y -π C.180)180(R x -π D.180 )180(R y -π 10.在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （-2，0），点B （0，2），点E ，点F 分别为OA ，OB 的中点.若正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转，得正方形 OE ’D ’F ’，若直线AE ’与直线BF ’相交于点P. （1）求∠PAO 的最大值 （2）点P 运动的路径长 B 第16题图 N M A' D C B A
F O E D C B A 八年级上册几何题专题训练50题 1. 如图，已知△EAB≌△DCE，AB，EC分别是两个三角形的最长边，∠A＝∠C＝35°，∠CDE＝100°，∠DEB ＝10°，求∠AEC的度数． 2. 如图,点E、A、B、F在同一条直线上,AD与BC交于点O, 已知∠CAE=∠DBF,AC=BD.求证：∠C=∠D 3.如图，OP平分∠AOB，且OA=OB． （1）写出图中三对你认为全等的三角形（注：不添加任何辅助线）； （2）从（1）中任选一个结论进行证明． 4. 已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，AD的延长线交BC于点E，求证：BE＝EC。 5. 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=28°，求∠B和∠C的度数。
6. 如图，B、D、C、E在同一直线上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。 7. 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予证明；?如果是假命题，请举反例说明． 命题：有两边上的高相等的三角形是等腰三角形． 8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90o，D是AC上的一点，且AD=BC，DE AC于D，∠EAB=90o．求证：AB=AE． 9. 如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，B，P，Q三点在一条直线上，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论． 10. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=13，AC=5，则△ACD的周长为多少？
11. 如图所示，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E ，F ，求证：CE ＝DF. 12. 如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，垂足为E ，AD ⊥CE ，垂足为D. (1)判断直线BE 与AD 的位置关系是____；BE 与AD 之间的距离是线段____的长； (2)若AD ＝6 cm ，BE ＝2 cm ，求BE 与AD 之间的距离及AB 的长． 13. 如图，已知 △ABC 、△ADE 均为等边三角形，点D 是BC 延长线上一点，连结CE ， 求证：BD=CE 14. 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥AC 交BC ?于点D ，求证：?BC =3AD . B A E D C
利用“隐圆”解决几何问题 光谷实验中学江芳 几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值． 在一个平面内，线段OA绕它的一个固定的端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。从画圆的过程可以看出： （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 根据圆的定义，在解决几何问题中，只要观察出几个点到同一个定点的距离相等，这里常常隐藏了一个圆，我们就可以以这个定点为圆心，以这个距离为半径作出这个隐藏的圆，从而帮助我们解决问题。因为这个圆没有画出，因此我们把它称为“隐圆”。笔者谈一谈利用“隐圆”解决几何中的一些常见的问题。 一．利用“隐圆”求几何的最值 几何中的最值近年广泛出现于中考中，成为中考的热点问题．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．极端位置法； 2．几何定理(公理)法； 3．“三角函数”法等． 例1.（武汉市2013年中考第16题）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF交BD与点G, 连接BE交AG与点H,若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________. 思路点拨：易证⊿ABE≌⊿DCF, ⊿ABG≌⊿CBG 则∠EBC=∠FCB=∠BAG=∠AEB,可证∠AHB=900，取AB的中点O,有OH=OA=OB,故H点在以AB为直径的圆O上，当H点在DO与圆O的交点时取得最小值 5 -1. 注：本题求最值是应用的极端位置法。D点是 定点，H点是动点，主要是找H点运动的极端 位置，直线DO与圆O的交点是H点的 极端位置。